课件21张PPT。2.3.4 平面向量共线的坐标表示
课时目标 1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.会根据平面向量的坐标，判断向量是否共线．
1．两向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
(1)当a∥b时，有______________________．
(2)当a∥b且x2y2≠0时，有____________________．即两向量的相应坐标成比例．
2．若＝λ，则P与P1、P2三点共线．
当λ∈________时，P位于线段P1P2的内部，特别地λ＝1时，P为线段P1P2的中点；
当λ∈________时，P位于线段P1P2的延长线上；
当λ∈________时，P位于线段P1P2的反向延长线上．
一、选择题
1．已知三点A(－1,1)，B(0,2)，C(2,0)，若和是相反向量，则D点坐标是( )
A．(1,0) B．(－1,0)
C．(1，－1) D．(－1,1)
2．已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b( )
A．平行于x轴
B．平行于第一、三象限的角平分线
C．平行于y轴
D．平行于第二、四象限的角平分线
3．若a＝(2cos α，1)，b＝(sin α，1)，且a∥b，则tan α等于( )
A．2 B. C．－2 D．－
4．已知向量a、b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么( )
A．k＝1且c与d同向
B．k＝1且c与d反向
C．k＝－1且c与d同向
D．k＝－1且c与d反向
5．已知向量a＝(1,2)，b＝(0,1)，设u＝a＋kb，v＝2a－b，若u∥v，则实数k的值为( )
A．－1 B．－
C. D．1
6．已知A、B、C三点在一条直线上，且A(3，－6)，B(－5,2)，若C点的横坐标为6，则C点的纵坐标为( )
A．－13 B．9
C．－9 D．13
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．已知向量a＝(2x＋1,4)，b＝(2－x,3)，若a∥b，则实数x的值等于________．
8．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)且a∥b，则2a＋3b＝________.
9．若三点P(1,1)，A(2，－4)，B(x，－9)共线，则x的值为________．
10．设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)．若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝________.
三、解答题
11．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
12．如图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，O(0,0)，求AC与OB的交点P的坐标．
能力提升
13．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1)，B(－1，3)，若点C满足＝m＋n，其中m，n∈R且m＋n＝1，则点C的轨迹方程为( )
A．3x＋2y－11＝0 B．(x－1)2＋(y－2)2＝5
C．2x－y＝0 D．x＋2y－5＝0
14．已知点A(－1，－3)，B(1,1)，直线AB与直线x＋y－5＝0交于点C，则点C的坐标为________.
1．两个向量共线条件的表示方法
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
(1)当b≠0，a＝λb.
(2)x1y2－x2y1＝0.
(3)当x2y2≠0时，＝，即两向量的相应坐标成比例．
2．向量共线的坐标表示的应用
两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面．
(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线．联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题．要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行．
(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程．要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据．
2．3.4 平面向量共线的坐标表示
答案
知识梳理
1．(1)x1y2－x2y1＝0 (2)＝
2．(0，＋∞) (－∞，－1) (－1,0)
作业设计
1．C
2．C [∵a＋b＝(0,1＋x2)，∴平行于y轴．]
3．A [∵a∥b，∴2cos α×1＝sin α.
∴tan α＝2.故选A.]
4．D [由c∥d，则存在λ使c＝λd，即ka＋b＝λa－λb，
∴(k－λ)a＋(λ＋1)b＝0.又a与b不共线，
∴k－λ＝0，且λ＋1＝0.
∴k＝－1.此时c＝－a＋b＝－(a－b)＝－d. 故c与d反向，选D.]
5．B [∵u＝(1,2)＋k(0,1)＝(1,2＋k)，
v＝(2,4)－(0,1)＝(2,3)，
又u∥v，∴1×3＝2(2＋k)，得k＝－.故选B.]
6．C [C点坐标(6，y)，则＝(－8,8)，＝(3，y＋6)．
∵A、B、C三点共线，∴＝，∴y＝－9.]
7.
解析 由a∥b得3(2x＋1)＝4(2－x)，解得x＝.
8．(－4，－8)
解析 由a∥b得m＝－4.
∴2a＋3b＝2×(1,2)＋3×(－2，－4)＝(－4，－8)．
9．3
解析 ＝(1，－5)，＝(x－1，－10)，
∵P、A、B三点共线，∴与共线．
∴1×(－10)－(－5)×(x－1)＝0，解得x＝3.
10．2
解析 λa＋b＝(λ＋2,2λ＋3)，c＝(－4，－7)，∴＝，∴λ＝2.
11．解 由已知得ka＋b＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(10，－4)，∵ka＋b与a－3b平行，
∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，解得k＝－.
此时ka＋b＝＝－(a－3b)，
∴当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且反向．
12．解 方法一 由题意知P、B、O三点共线，又＝(4,4)．
故可设＝t＝(4t,4t)，
∴＝－＝(4t,4t)－(4,0)＝(4t－4,4t)，
＝－＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．
又∵A、C、P三点共线，∴∥，
∴6(4t－4)＋8t＝0，解得t＝，
∴＝(3,3)，即点P的坐标为(3,3)．
方法二 设点P(x，y)，则＝(x，y)，＝(4,4)．
∵P、B、O三点共线，∴∥，∴4x－4y＝0.
又＝－＝(x，y)－(4,0)＝(x－4，y)，
＝－＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)，
∵P、A、C三点共线，∴∥，∴6(x－4)＋2y＝0.
由 得
所以点P的坐标为(3,3)．
13．D [设点C的坐标为(x，y)，
则(x，y)＝m(3,1)＋n(－1,3)＝(3m－n，m＋3n)，
∴
①＋2×②得，x＋2y＝5m＋5n，又m＋n＝1，
∴x＋2y－5＝0.所以点C的轨迹方程为x＋2y－5＝0.]
14．(2,3)
解析 设＝λ，则得C点坐标为.
把C点坐标代入直线x＋y－5＝0的方程，解得λ＝－3.∴C点坐标为(2,3)．
课件18张PPT。2.3.4 平面向量共线的坐标表示
教学目的：
（1）理解平面向量共线的坐标表示；
（2）掌握平面上两点间的中点坐标公式及定点坐标公式；
（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.
教学重点：平面向量公线的坐标表示及定点坐标公式，
教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性
教学过程：
一、复习引入：
1．平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2
(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
(2)基底不惟一，关键是不共线；
(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；
(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被，，唯一确定的数量
2．平面向量的坐标表示
分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得
把叫做向量的（直角）坐标，记作
其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标， 特别地，，，.
2．平面向量的坐标运算
（1）若，，
则，，
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
. 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。
（2）若，，则
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.
向量的坐标与以原点为始点、点P为终点的向量的坐标是相同的。
3．练习：
1．若M(3， -2) N(-5， -1) 且 ， 求P点的坐标
2．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ， 则(2= .
3．已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) ，
如何求证：四边形ABCD是梯形.？
二、讲解新课：
1、思考：（1）两个向量共线的条件是什么？
（2）如何用坐标表示两个共线向量？
设=(x1， y1) ，=(x2， y2) 其中(.
由=λ得， (x1， y1) =λ(x2， y2) 消去λ，x1y2-x2y1=0
∥ (()的充要条件是x1y2-x2y1=0
探究：（1）消去λ时能不能两式相除？
（不能 ∵y1， y2有可能为0， ∵( ∴x2， y2中至少有一个不为0）
（2）能不能写成 ？ （不能。 ∵x1， x2有可能为0）
(3)向量共线有哪两种形式？ ∥ (()
三、讲解范例：
例1已知=(4，2)，=(6， y)，且∥，求y.
例2已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(2，5)，试判断A，B，C三点之间的位置关系.
思考：你还有其它方法吗？
例3若向量=(-1，x)与=(-x， 2)共线且方向相同，求x
解：∵=(-1，x)与=(-x， 2) 共线 ∴(-1)×2- x?(-x)=0
∴x=± ∵与方向相同 ∴x=
例4 已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2，7) ，向量与平行吗？直线AB平行于直线CD吗？
解：∵=(1-(-1)， 3-(-1))=(2， 4) ， =(2-1，7-5)=(1，2)
又 ∵2×2-4×1=0 ∴∥
又 ∵ =(1-(-1)， 5-(-1))=(2，6) ，=(2， 4)，2×4-2×6(0 ∴与不平行
∴A，B，C不共线 ∴AB与CD不重合 ∴AB∥CD
例5设点P是线段P1P2上的一点， P1、P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2).
当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.
思考：（1）中 P1P：PP2=？ （2）中P1P：PP2=？ 若P1P：PP2=如何求点P的坐标？
四、课堂练习：P101面4、5、6、7题。
五、小结 ：（1）平面向量共线的坐标表示；
（2）平面上两点间的中点坐标公式及定点坐标公式；
（3）向量共线的坐标表示.
六、课后作业：《习案》二十二。
思考：
1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，则y=（ C ）
A.6 B.5 C.7 D.8
2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（ B ）?
A.-3 B.-1 C.1 D.3
3.若=i+2j， =(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量). 与共线，则x、y的值可能分别为（ B ）
A.1，2 B.2，2 C.3，2 D.2，4
4.已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，则y= 3 .
5.已知a=(1，2)，b=(x，1)，若a+2b与2a-b平行，则x的值为
6.已知□ABCD四个顶点的坐标为A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x)，则x= 5
课件34张PPT。2.3平面向量的基本
定理及坐标表示复习平面向量基本定理：复习平面向量基本定理：复习平面向量基本定理：(2)基底不惟一，关键是不共线；复习平面向量基本定理：(2)基底不惟一，关键是不共线；复习平面向量基本定理：(2)基底不惟一，关键是不共线；平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示平面向量的坐标运算 两个向量和与差的坐标分别等于这
两个向量相应坐标的和与差. 实数与向量的积的坐标等于用这个
实数乘原来向量的相应坐标.平面向量的坐标运算 一个向量的坐标等于表示此向量的
有向线段的终点坐标减去始点的坐标. 向量 的坐标与以原点为始点、
点P为终点的向量的坐标是相同的.练习思考1. 两个向量共线的条件是什么?
2. 如何用坐标表示两个共线向量?讲授新课推导过程：推导过程：推导过程：推导过程：推导过程：探究：探究：探究：探究：探究：讲解范例例2. 已知A(?1, ?1)，B(1, 3)，C(2, 5)，
试判断A，B，C三点之间的位置关系.讲解范例例3. 讲解范例例4. 讲解范例讲解范例例5. 设点P是线段P1P2上的一点，P1、
P2的坐标分别是(x1, y1)，(x2, y2).
(1)当点P是线段P1P2的中点时，求点
P的坐标；
(2)当点P是线段P1P2的一个三等分点
时，求点P的坐标.例5. 设点P是线段P1P2上的一点，P1、
P2的坐标分别是(x1, y1)，(x2, y2).
(1)当点P是线段P1P2的中点时，求点
P的坐标；
(2)当点P是线段P1P2的一个三等分点
时，求点P的坐标.讲解范例思考.(1)中P1P：PP2＝?(2)中P1P：PP2＝?
若P1P：PP2＝?如何求点P的坐标?练习教材P.101练习第4、5、6、7题. 课堂小结1. 平面向量共线的坐标表示；
2. 平面上两点间的中点坐标公式及
定点坐标公式；
3. 向量共线的坐标表示. 阅读教材P.98到P.100；
2. 《习案》作业二十二.课后作业课后思考A. 6 B. 5 C. 7 D. 82. 若A(x, －1)，B(1, 3)，C(2, 5)三点共线，
则x的值为( )
A. －3 B. －1 C. 1 D. 3课后思考A. 1, 2 B. 2, 2 C. 3, 2 D. 2, 4课后思考6. 已知平行四边形ABCD四个顶点的坐
标为A(5, 7)，B(3, x)，C(2, 3)，D(4, x)，
则x= . 2.3.2《平面向量正交分解及坐标表示》导学案
【学习目标】
（1）理解平面向量的坐标的概念；
（2）掌握平面向量的坐标运算；
（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.
【重点难点】
教学重点：平面向量的坐标运算[来源:学*科*网Z*X*X*K]
教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性.
【知识链接】
平面向量基本定理：
理解：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的 ;
(2) 基底不惟一，关键是 ；[来源:学科网ZXXK]
(3) 由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；
(4) 基底给定时，分解形式 . 即λ1，λ2是被，，唯一确定的数量
二、提出疑惑：
如果在平面直角坐标系中选定一组互相垂直的向量作为基低，向量分解情况又会如何呢？
【学习过程】
一、探究学习[来源:学+科+网Z+X+X+K]
1．平面向量的坐标表示
如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得
…………
我们把叫做 ，记作
…………
其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，式叫做 与相等的向量的坐标也为.
特别地，i= , j= , 0= .
如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作，则点的位置由唯一确定.
设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.
2．平面向量的坐标运算
（1） 若，，则= ，= .
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
设基底为、，则
即= ，同理可得= .[来源:学科网]
（2） 若，，则
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.
=(=( x2， y2) ( (x1，y1)= .
（3）若和实数，则.
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
设基底为、，则，即
二、讲解范例：
例1 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，求的坐标.
例2 已知=(2，1)， =(-3，4)，求+，-，3+4的坐标.
例3 已知平面上三点的坐标分别为A((2， 1)， B((1， 3)， C(3， 4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.
例4已知三个力 (3， 4)， (2， (5)， (x， y)的合力++=，求的坐标.
【基础达标】：
1．若M(3， -2) N(-5， -1) 且 ， 求P点的坐标
2．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ， 则(2= .
3．已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) ， 求证：四边形ABCD是梯形.
【拓展提升】
1、在平面直角坐标系中，已知点A时坐标为（2，3），点B的坐标为（6，5），则=_______________，=__________________。
2、已知向量,的方向与x轴的正方向的夹角是30°，则的坐标为_____________。[来源:Zxxk.Com]
3、下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底是（ ）
A．
B．
C．
D．
4、已知向量则与的关系是（ ）
A．不共线 B．相等 C．同向 D．反向
5、已知点A（2，2） B（-2，2） C（4，6） D（-5，6） E（-2，-2） F（-5，-6）
在平面直角坐标系中，分别作出向量并求向量的坐标。
双基限时练(二十)
1．已知|a|＝6，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则a·b等于( )
A．6＋ B．6－
C．6 D．7
解析 a·b＝|a||b|cos60°＝6×2×cos60°＝6.
答案 C
2．已知|a|＝2，|b|＝4，a·b＝－4，则向量a与b的夹角为( )
A．30° B．60°
C．150° D．120°
解析 cosθ＝＝＝－，∵θ∈[0°，180°]，
∴θ＝120°，故选D.
答案 D
3．已知|b|＝3，a在b方向上的投影为，则a·b＝( )
A．3 B.
C．2 D.
解析 由题意，得|a|cos〈a，b〉＝，
∴a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝3×＝.
答案 B
4．已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|＝( )
A．0 B．2
C．4 D．8
解析 |2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝8，
∴|2a－b|＝2.
答案 B
5．若非零向量a与b的夹角为，|b|＝4，(a＋2b)·(a－b)＝－32，则向量a的模为( )
A．2 B．4
C．6 D．12
解析 (a＋2b)·(a－b)＝a2＋2a·b－a·b－2b2
＝a2＋a·b－2b2＝－32，
又a·b＝|a||b|cos＝|a|×4×＝－2|a|，
∴|a|2－2|a|－2×42＝－32.
∴|a|＝2，或|a|＝0(舍去)．
答案 A
6．在△ABC中，若2＝·＋·＋·，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形
解析 因为2＝·＋·＋·＝·(－)＋·＝·＋·，所以·＝0，即⊥，所以三角形为直角三角形，选D.
答案 D
7．若平面向量a＝(－1,2)与b的夹角是180°，且|b|＝3，则b＝________.
解析 设b＝(x，y)，则∴x2＝9.
∴x＝±3，又a＝(－1,2)与b方向相反．
∴b＝(3，－6)．
答案 (3，－6)
8．设向量a，b满足|a|＝1，|b|＝1，且|ka＋b|＝|a－kb|(k>0)．若a与b的夹角为60°，则k＝________.
解析 由|ka＋b|＝|a－kb|，
得k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2，
即(k2－3)a2＋8ka·b＋(1－3k2)b2＝0.
∵|a|＝1，|b|＝1，a·b＝1×1cos60°＝，
∴k2－2k＋1＝0，∴k＝1.
答案 1
9．若向量a，b满足|a|＝，|b|＝1，a·(a＋b)＝1，则向量a，b的夹角的大小为________．
解析 ∵|a|＝，a·(a＋b)＝1，
∴a2＋a·b＝2＋a·b＝1.
∴a·b＝－1.
设a，b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝－，
又θ∈[0，π]，∴θ＝.
答案
10．在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB的长为________．
解析 因为＝＋＋＝－＋＋＝－，
所以·＝(＋)·＝2＋·－2＝1＋×1×||cos60°－||2＝1，所以||－||2＝0，解得||＝.
答案
11．在△ABC中，||＝4，||＝9，∠ACB＝30°，
求·.
解 如图所示，
与所成的角为∠ACB的补角即150°，
又因为||＝4，||＝9，
所以·＝||·||cos150°＝4×9×＝－18.
12．已知|a|＝1，a·b＝，(a－b)·(a＋b)＝，求：
(1)a与b的夹角；
(2)a－b与a＋b的夹角的余弦值．
解 (1)∵(a－b)·(a＋b)＝，
∴|a|2－|b|2＝.∵|a|＝1，
∴|b|＝ ＝.
设a与b的夹角为θ，则
cosθ＝＝＝，∵0°≤θ≤180°，
∴θ＝45°.
(2)∵(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝，
∴|a－b|＝.
∵(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝，
∴|a＋b|＝.
设a－b与a＋b的夹角为α，则
cosα＝＝＝.
13．已知a，b是两个非零向量，当a＋tb(t∈R)的模取得最小值时．
(1)求t的值(用a，b表示)；
(2)求证：b与a＋tb垂直．
(1)解 |a＋tb|2＝a2＋t2b2＋2ta·b＝b22＋a2－.当t＝－时，|a＋tb|取最小值．
(2)证明 (a＋tb)·b＝a·b＋tb2＝a·b－×b2＝0，所以a＋tb与b垂直．
