课件20张PPT。平面向量基本定理、平面向量的正交分解和坐标表示及运算
教学目的：
（1）了解平面向量基本定理；理解平面向量的坐标的概念；
（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；
（3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.
教学重点：平面向量基本定理.
教学难点：平面向量基本定理的理解与应用. 向量的坐标表示的理解及运算的准确性.
教学过程：
复习引入：
1．实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ
（1）|λ|=|λ|||；
（2）λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ=
2．运算定律
结合律：λ(μ)=(λμ) ；分配律：(λ+μ)=λ+μ， λ(+)=λ+λ
3. 向量共线定理 向量与非零向量共线则：有且只有一个非零实数λ，使=λ.
二、讲解新课：
1．思考：（1）给定平面内两个向量，，请你作出向量3+2，-2，
（2）同一平面内的任一向量是否都可以用形如λ1+λ2的向量表示？
平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2.
2．探究：
(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
(2) 基底不惟一，关键是不共线；
(3) 由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；
(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被，，唯一确定的数量
3．讲解范例：
例1 已知向量， 求作向量(2.5+3
例2
本题实质是
4．练习1：
1.设e1、e2是同一平面内的两个向量，则有( D )
A.e1、e2一定平行 B.e1、e2的模相等 C.同一平面内的任一向量a都有a ＝λe1+μe2(λ、μ∈R)
D.若e1、e2不共线，则同一平面内的任一向量a都有a =λe1+ue2(λ、u∈R)
2.已知向量a ＝ e1-2e2，b ＝2e1+e2，其中e1、e2不共线，则a+b与c ＝6e1-2e2的关系（Ｂ ）
A.不共线 B.共线 C.相等 D.无法确定
３.已知λ1＞0，λ2＞0，e1、e2是一组基底，且a ＝λ1e1+λ2e2，则a与e1不共线，a与e2不共线．
(填共线或不共线).
5．向量的夹角:已知两个非零向量、，作，，则∠AOB＝，叫向量、的夹角，当=0°，、同向，当=180°，、反向，当=90°，与垂直，记作⊥。
6．平面向量的坐标表示
（1）正交分解：把向量分解为两个互相垂直的向量。
（2）思考：在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数表示，平面内的每一个向量，如何表示呢？
如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得…………
我们把叫做向量的（直角）坐标，记作…………
其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示.与相等的向量的坐标也为. 特别地，，，.
如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作，则点的位置由唯一确定.
设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.
7．讲解范例：
例2．教材P96面的例2。
8．课堂练习：P100面第3题。
三、小结：（1）平面向量基本定理；
（2）平面向量的坐标的概念；
四、课后作业：《习案》作业二十一
课件62张PPT。2.3平面向量的基本
定理及坐标表示复习引入复习引入思考:给定平面内两个向量
向量(2) 同一平面内的任一向量是否都可以用
形如 的向量表示？请你作出平面向量基本定理：平面向量基本定理：将三个向量的起点移到同一点：平面向量基本定理：将三个向量的起点移到同一点：平面向量基本定理：将三个向量的起点移到同一点：平面向量基本定理：将三个向量的起点移到同一点：平面向量基本定理：将三个向量的起点移到同一点：平面向量基本定理：将三个向量的起点移到同一点：平面向量基本定理：将三个向量的起点移到同一点：平面向量基本定理：将三个向量的起点移到同一点：归纳：想一想：讨论：⑴⑵讨论：O⑵讨论：O⑵讨论：O⑵讨论：O⑵O讨论：⑶讨论：⑶讨论：⑶讨论：⑶讨论：⑶讨论：⑶讨论：⑶讨论：平面向量基本定理：平面向量基本定理：问题一：问题一： 基底不共线也不唯一，任意
两个不共线的向量均可作基底．问题二： 给定基底后，任意一个向量的
表示是唯一的．问题二：定理的应用：定理的应用：定理的应用：定理的应用：定理的应用：定理的应用：定理的应用：定理的应用：定理的应用：定理的应用：ABDCM定理的应用：定理的应用：定理的应用：向量的夹角:向量的坐标表示向量的坐标表示平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示应用： 平面向量基本定理；
2. 平面向量的坐标的概念；课堂小结 阅读教材P.93到P.96；
2. 《习案》作业二十.课后作业§2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
2．3.1 平面向量基本定理
课时目标 1.理解并掌握平面向量基本定理.2.掌握向量之间的夹角与垂直．
1．平面向量基本定理
(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个______向量，那么对于这一平面内的______向量a，__________实数λ1，λ2，使a＝____________________________.
(2)基底：把________的向量e1，e2叫做表示这一平面内________向量的一组基底．
2.
两向量的夹角与垂直
(1)夹角：已知两个__________a和b，作＝a，＝b，则________＝θ (0°≤θ≤180°)，叫做向量a与b的夹角．
①范围：向量a与b的夹角的范围是______________．
②当θ＝0°时，a与b________.
③当θ＝180°时，a与b________.
(2)垂直：如果a与b的夹角是________，则称a与b垂直，记作______________．
一、选择题
1．若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( )
A．e1－e2，e2－e1 B．2e1＋e2，e1＋e2
C．2e2－3e1,6e1－4e2 D．e1＋e2，e1－e2
2．等边△ABC中，与的夹角是( )
A．30° B．45° C．60° D．120°
3．下面三种说法中，正确的是( )
①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量．
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
4．若＝a，＝b，＝λ(λ≠－1)，则等于( )
A．a＋λb B．λa＋(1－λ)b
C．λa＋b D.a＋b
5．如果e1、e2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各命题中不正确的有( )
①λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；
②对于平面α中的任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数λ、μ有无数多对；
③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；
④若实数λ、μ使λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.
A．①② B．②③ C．③④ D．②
6．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD上的一点，且＝，连结CF并延长交AB于E，则等于( )
A. B. C. D.
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．设向量m＝2a－3b，n＝4a－2b，p＝3a＋2b，试用m，n表示p，p＝________.
8．设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是________．(写出所有满足条件的序号)
9．在△ABC中，＝c，＝b.若点D满足＝2，则＝____________.
10．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ、μ∈R，则λ＋μ＝________.
三、解答题
11. 如图所示，已知△ABC中，D为BC的中点，E，F为BC的三等分点，若＝a，＝b，用a，b表示，，.
12. 如图所示，已知△AOB中，点C是以A为中点的点B的对称点，＝2，DC和OA交于点E，设＝a，＝b.
(1)用a和b表示向量、；
(2)若＝λ，求实数λ的值．
能力提升
13. 如图所示，OM∥AB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，且＝x＋y，则x的取值范围是________；当x＝－时，y的取值范围是____________．
14. 如图所示，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求证：AP∶PM＝4∶1.
1．对基底的理解
(1)基底的特征
基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件．
(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底．
2．准确理解平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．
(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决．
§2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
2．3.1 平面向量基本定理
答案
知识梳理
1．(1)不共线 任意 有且只有一对 λ1e1＋λ2e2 (2)不共线 所有
2．(1)非零向量 ∠AOB ①[0°，180°] ②同向 ③反向 (2)90° a⊥b
作业设计
1．D 2.D 3.B
4．D [∵＝λ，∴－＝λ(－)
∴(1＋λ)＝＋λ
∴＝＋＝a＋b.]
5．B [由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个，故选B.]
6．D [设＝a，＝b，＝λ.
∵＝，∴＝＋
＝＋＝(＋)－
＝－＝a－b.
＝＋
＝＋
＝－
＝a－b.
∵∥，
∴＝.∴λ＝.]
7．－m＋n
解析 设p＝xm＋yn，则3a＋2b＝x(2a－3b)＋y(4a－2b)＝(2x＋4y)a＋(－3x－2y)b，
得?.
8．①②
解析 对于③4e2－2e1＝－2e1＋4e2＝－2(e1－2e2)，
∴e1－2e2与4e2－2e1共线，不能作为基底．
9.b＋c
解析 ＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝b＋c.
10.
解析
设＝a，＝b，
则＝a＋b，
＝a＋b，
又∵＝a＋b，
∴＝(＋)，即λ＝μ＝，∴λ＋μ＝.
11．解 ＝＋＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b；
＝＋＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b；
＝＋＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b.
12．解 (1)由题意，A是BC的中点，且＝，
由平行四边形法则，＋＝2.
∴＝2－＝2a－b，
＝－＝(2a－b)－b＝2a－b.
(2)∥.又∵＝－＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，＝2a－b，
∴＝，∴λ＝.
13．(－∞，0)
解析 由题意得：
＝a·＋b·(a，b∈R＋，0＝a·λ＋b·
＝aλ(－)＋b·
＝－aλ·＋(aλ＋b)·(λ>0)．
由－aλ<0，得x∈(－∞，0)．
又由＝x＋y，则有0当x＝－时，有0<－＋y<1，
解得y∈.
14．解 设＝b，＝c，
则＝b＋c，＝＝c，
＝＋＝c－b.
∵∥，∥，
∴存在λ，μ∈R，使得＝λ，＝μ，
又∵＋＝，
∴λ－μ＝，
由λ－μ＝b得
b＋c＝b.
又∵b与c不共线，
∴解得
故＝，即AP∶PM＝4∶1.
2.3.1《平面向量的基本定理》导学案
【学习目标】 1、知道平面向量基本定理；
2、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步应用向量解决实际问题；
3、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表示.
【重点难点】
1. 教学重点：平面向量基本定理 [来源:Z.xx.k.Com]
2. 教学难点：平面向量基本定理的理解与应用
【学法指导】:通过回顾复习向量的线性运算,提出新的疑惑.为新授内容做好铺垫.
【知识链接】
（一）复习回顾
1．实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ[来源:学科网]
（1）|λ|= ；（2）λ>0时λ与方向 ；λ<0时λ与方向 ；λ=0时λ=
2．运算定律
结合律：λ(μ)= ；分配律：(λ+μ)= ， λ(+)= .
3. 向量共线定理 向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使 .
(二)阅读教材,提出疑惑:
如何通过向量的线性运算来表示出平面内的任意向量?
【学习过程】
（一）定理探究：
平面向量基本定理：
探究：
(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的 ;
(2) 基底不惟一，关键是 ；
(3) 由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；
(4) 基底给定时，分解形式 . 即λ1，λ2是被，，唯一确定的数量
（二）例题讲解
例1 已知向量， 求作向量(2.5+3.
例2、如图 ABCD的两条对角线交于点M，且=，=，用，表示，，和
例3已知 ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，求证：+++=4
例4（1）如图，，不共线，=t (t(R)用，表示.
（2）设不共线，点P在O、A、B所在的平面内，且.求证：A、B、P三点共线.
例5 已知 a=2e1-3e2，b= 2e1+3e2，其中e1，e2不共线，向量c=2e1-9e2，问是否存在这样的实数与c共线.
【学习反思】
[来源:学科网ZXXK]
【拓展提升】
1.设e1、e2是同一平面内的两个向量，则有( )
A.e1、e2一定平行
B.e1、e2的模相等
C.同一平面内的任一向量a都有a =λe1+μe2(λ、μ∈R)
D.若e1、e2不共线，则同一平面内的任一向量a都有a =λe1+ue2(λ、u∈R)
2.已知向量a = e1-2e2，b =2e1+e2，其中e1、e2不共线，则a+b与c =6e1-2e2的关系
A.不共线 B.共线 C.相等 D.无法确定
3.已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，则x-y的值等于( )
A.3 B.-3 C.0 D.2
4.已知a、b不共线，且c =λ1a+λ2b(λ1，λ2∈R)，若c与b共线，则λ1= .
5.已知λ1＞0，λ2＞0，e1、e2是一组基底，且a =λ1e1+λ2e2，则a与e1_____，a与e2_________(填共线或不共线).
[来源:Z+xx+k.Com][来源:Zxxk.Com]
双基限时练(十八)
1．已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论：
①存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)；
②a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2；
③若a＝(x，y)，且a≠0，则a的始点是原点O；
④若a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)．
其中，正确结论的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 由平面向量基本定理可知，①正确；②不正确．例如，a＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1；因为向量可以平移，所以a＝(x，y)与a的始点是不是原点无关，故③错误；a的坐标是终点坐标是以a的始点是原点为前提的，故④错误．
答案 B
2．若向量＝(1,2)，＝(3,4)，则＝( )
A．(4,6) B．(－4，－6)
C．(－2，－2) D．(2,2)
解析 ＝＋＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6)，故选A.
答案 A
3．已知＝(－2,4)，＝(2,6)，则＝( )
A．(0,5) B．(0,1)
C．(2,5) D．(2,1)
解析 ＝(－)＝(4,2)＝(2,1)．
答案 D
4．已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b( )
A．平行于y轴
B．平行于第一、第三象限的角平分线
C．平行于x轴
D．平行于第二、第四象限的角平分线
解析 a＋b＝(x,1)＋(－x，x2)＝(0,1＋x2)，
由1＋x2≠0及向量的性质可知，a＋b平行于y轴．
答案 A
5．若M(4，－1)，＝(4，－1)，则有( )
A．点M与点A重合
B．点M与点B重合
C．点M在上
D.＝(O为坐标原点)
解析 M(4，－1)，即＝(4，－1)，又＝(4，－1)，∴＝.
答案 D
6．若向量a＝(3,2)，b＝(0，－1)，则向量2b－a的坐标是( )
A．(3，－4) B．(－3,4)
C．(3,4) D．(－3，－4)
解析 a＝(3,2)，b＝(0，－1)，∴2b－a＝2(0，－1)－(3,2)＝(0，－2)－(3,2)＝(－3，－4)．
答案 D
7．在平行四边形ABCD中，若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝________.(用坐标表示)
解析 ＝＝－＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)．
答案 (－1，－1)
8．平面上三点分别为A(2，－5)，B(3,4)，C(－1，－3)，D为线段BC中点，则向量的坐标为________．
解析 依题意知＝(＋)＝(2,1)＝，则＝－＝(2，－5)－＝.
答案
9．若点A(－1,2)，B(2,3)，C(3，－1)且＝2－3，则点D的坐标为________．
解析 设D(x，y)，则＝(x＋1，y－2)＝2－3＝2(3,1)－3(1，－4)＝(6,2)－(3，－12)＝(3,14)，∴x＋1＝3且y－2＝14，∴x＝2，y＝16.
答案 (2,16)
10．已知O为坐标原点，点A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60°，则向量＝________.
解析 设＝(x，y)，则x＝4 cos60°＝2，
y＝4 sin60°＝6，∴＝(2，6)．
答案 (2，6)
11．已知2a＋b＝(－4,3)，a－2b＝(2,4)，求a，b.
解 ∵2a＋b＝(－4,3)，
∴4a＋2b＝(－8,6)．
又a－2b＝(2,4)，
∴(4a＋2b)＋(a－2b)＝(－8,6)＋(2,4)．
∴5a＝(－6,10)．
∴a＝.
又b＝(2a＋b)－2a
＝(－4,3)－2
＝，
∴a＝，b＝.
12．已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及＝＋t，试求t为何值时，
(1)点P在x轴上；
(2)点P在y轴上；
(3)点P在第一象限．
解 ∵O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，
∴＝(1,2)，＝(3,3)．
∴＝＋t＝(1＋3t,2＋3t)．
(1)若点P在x轴上，则2＋3t＝0，
∴t＝－；
(2)若点P在y轴上，则1＋3t＝0，
∴t＝－；
(3)若点P在第一象限，则
∴t＞－.
13．已知A，B，C三点坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，＝，＝.
(1)求点E，F及向量的坐标；
(2)求证：∥.
解 (1)设O(0,0)，则＝＋＝＋
＝(－1,0)＋(2,2)
＝，
＝＋＝＋
＝(3，－1)＋(－2,3)＝，
∴E，F.
∴＝－＝.
(2)证明：∵＝－＝(4，－1)，
＝
∴＝＝.
∴∥.
