课件23张PPT。课件53张PPT。2.4.1平面向量数量积的
物理背景及其含义复习引入1. 两个非零向量夹角的概念：复习引入1. 两个非零向量夹角的概念：复习引入1. 两个非零向量夹角的概念：OBA复习引入1. 两个非零向量夹角的概念：OBA复习引入复习引入复习引入复习引入复习引入复习引入复习引入复习引入2. 两向量共线的判定复习引入2. 两向量共线的判定复习引入2. 两向量共线的判定3. 练习复习引入A.6 B.5 C.7 D.83. 练习复习引入A.6 B.5 C.7 D.8C3. 练习复习引入(2) 若A(x, －1)，B(1, 3)，C(2, 5)三点共
线，则x的值为( )
A.－3 B.－1 C.1 D.3A.6 B.5 C.7 D.8C3. 练习复习引入(2) 若A(x, －1)，B(1, 3)，C(2, 5)三点共
线，则x的值为( )
A.－3 B.－1 C.1 D.3A.6 B.5 C.7 D.8CB复习引入4. 力做的功：复习引入4. 力做的功：W = |F|?|s|cos?，?是F与s的夹角.1. 平面向量的数量积(内积)的定义：讲授新课1. 平面向量的数量积(内积)的定义：讲授新课1. 平面向量的数量积(内积)的定义：讲授新课1. 平面向量的数量积(内积)的定义：规定:讲授新课探究：1. 向量数量积是一个向量还是一个数量?
它的符号什么时候为正?什么时候为负?1. 向量数量积是一个向量还是一个数量?
它的符号什么时候为正?什么时候为负?探究：2. 两个向量的数量积与实数乘向量的积有
什么区别？2. 投影的概念:投影也是一个数量，不是向量.OBAB12. 投影的概念:ABOB1当?为锐角时
投影为正值; 2. 投影的概念:ABOB1ABOB1当?为锐角时
投影为正值; 当?为钝角时
投影为负值;2. 投影的概念:ABOB1当?为直角时
投影为0;ABOB1ABO(B1)当?为锐角时
投影为正值; 当?为钝角时
投影为负值;2. 投影的概念:当? = 0?时投影为
当? = 180?时投影为3.向量的数量积的几何意义:4.两个向量的数量积的性质:4.两个向量的数量积的性质:4.两个向量的数量积的性质:4.两个向量的数量积的性质:4.两个向量的数量积的性质:4.两个向量的数量积的性质:5.平面向量数量积的运算律:5.平面向量数量积的运算律:(交换律)5.平面向量数量积的运算律:(交换律)(数乘结合律)5.平面向量数量积的运算律:(交换律)(数乘结合律)(分配律)讲解范例：例1．证明：讲解范例：例2．讲解范例：例3．讲解范例：例4．练习：1．教材P.106练习第1、2、3题.练习：1．教材P.106练习第1、2、3题.2．下列叙述不正确的是（ ）
向量的数量积满足交换律
B. 向量的数量积满足分配律
C. 向量的数量积满足结合律
D. 是一个实数练习：练习： 平面向量的数量积及其几何
意义;
2. 平面向量数量积的重要性质
及运算律;
3. 向量垂直的条件.课堂小结 阅读教材P.103到P.105;
2. 《习案》作业二十三.课后作业2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义
教学目的：
1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；
2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；
3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题；
4.掌握向量垂直的条件.
教学重点：平面向量的数量积定义
教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用
教学过程：
一、复习引入：
（1）两个非零向量夹角的概念：
已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.
说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；
（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；
（3）当θ＝时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；
（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0(≤(≤180(
（2）两向量共线的判定
（3）练习
1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，则y=（ C ）
A.6 B.5 C.7 D.8
2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（ B ）?
A.-3 B.-1 C.1 D.3
（4）力做的功：W = |F|(|s|cos(，(是F与s的夹角.
二、讲解新课：
1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，
则数量|a||b|cos(叫ａ与ｂ的数量积，记作a(b，即有a(b = |a||b|cos(，（０≤θ≤π）.
并规定0向量与任何向量的数量积为0.
(探究：1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？
2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？
（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos(的符号所决定.
（2）两个向量的数量积称为内积，写成a(b；今后要学到两个向量的外积a×b，而a(b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.
（3）在实数中，若a(0，且a(b=0，则b=0；但是在数量积中，若a(0，且a(b=0，不能推出b=0.因为其中cos(有可能为0.
（4）已知实数a、b、c(b(0)，则ab=bc ( a=c.但是a(b = b(c a = c
如右图：a(b = |a||b|cos( = |b||OA|，b(c = |b||c|cos( = |b||OA|
( a(b = b(c 但a ( c
(5)在实数中，有(a(b)c = a(b(c)，但是(a(b)c ( a(b(c)
显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.
2．“投影”的概念：作图
定义：|b|cos(叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；
当(为锐角时投影为正值； 当(为钝角时投影为负值； 当(为直角时投影为0；
当( = 0(时投影为 |b|； 当( = 180(时投影为 (|b|.
3．向量的数量积的几何意义：
数量积a(b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos(的乘积.
探究：两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，
1、a(b ( a(b = 0
2、当a与b同向时，a(b = |a||b|； 当a与b反向时，a(b = (|a||b|.
特别的a(a = |a|2或 |a(b| ≤ |a||b| cos( =
探究：平面向量数量积的运算律
1．交换律：a ( b = b ( a
证：设a，b夹角为(，则a ( b = |a||b|cos(，b ( a = |b||a|cos( ∴a ( b = b ( a
2．数乘结合律：(a)(b =(a(b) = a((b)
证：若> 0，(a)(b =|a||b|cos(， (a(b) =|a||b|cos(，a((b) =|a||b|cos(，
若< 0，(a)(b =|a||b|cos(((() = (|a||b|((cos() =|a||b|cos(，(a(b) =|a||b|cos(，
a((b) =|a||b|cos(((() = (|a||b|((cos() =|a||b|cos(.
3．分配律：(a + b)(c = a(c + b(c
在平面内取一点O，作= a， = b，= c， ∵a + b （即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即 |a + b| cos( = |a| cos(1 + |b| cos(2
∴| c | |a + b| cos( =|c| |a| cos(1 + |c| |b| cos(2， ∴c((a + b) = c(a + c(b 即：(a + b)(c = a(c + b(c
说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）
（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ
（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，
（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ
三、讲解范例：
例1．证明：(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２
例2．已知|a|=12， |b|=9，，求与的夹角。
例3．已知|a|=6， |b|=4， a与b的夹角为60o求：（1）(a+2b)·(a-3b). （2）|a+b|与|a-b|.
（ 利用 ）
例4．已知|a|=3， |b|=4， 且a与b不共线，k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直.
四、课堂练习：
1．P106面1、2、3题。
2．下列叙述不正确的是（ ）
A. 向量的数量积满足交换律 B. 向量的数量积满足分配律
C. 向量的数量积满足结合律 D. a·b是一个实数
3．|a|=3，|b|=4，向量a+b与a-b的位置关系为（ ）
A.平行 B.垂直 C.夹角为 D.不平行也不垂直
4．已知|a|=8， |b|=10， |a+b|=16，求a与b的夹角.
五、小结：
1．平面向量的数量积及其几何意义；
2．平面向量数量积的重要性质及运算律；
3．向量垂直的条件.
六、作业：《习案》作业二十三。
§2.4 平面向量的数量积
2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
课时目标 1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握向量数量积的运算律．
1．平面向量数量积
(1)定义：已知两个非零向量a与b，我们把数量______________叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a与b的夹角．
(2)规定：零向量与任一向量的数量积为____．
(3)投影：设两个非零向量a、b的夹角为θ，则向量a在b方向的投影是____________，向量b在a方向上的投影是______________．
2．数量积的几何意义
a·b的几何意义是数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影________________的乘积．
3．向量数量积的运算律
(1)a·b＝________(交换律)；
(2)(λa)·b＝________＝________(结合律)；
(3)(a＋b)·c＝______________________(分配律)．
一、选择题
1．|a|＝2，|b|＝4，向量a与向量b的夹角为120°，则向量a在向量b方向上的投影等于( )
A．－3 B．－2 C．2 D．－1
2．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ等于( )
A. B．－ C．± D．1
3．已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|等于( )
A．0 B．2 C．4 D．8
4．在边长为1的等边△ABC中，设＝a，＝b，＝c，则a·b＋b·c＋c·a等于( )
A．－ B．0 C. D．3
5．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
6．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为( )
A．2 B．4 C．6 D．12
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝|b|＝4，那么b·(2a＋b)的值为________．
8．给出下列结论：
①若a≠0，a·b＝0，则b＝0；②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0.
其中正确结论的序号是________．
9．设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉＝________.
10．已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a－b)＝0，则|b|的取值范围是________．
三、解答题
11．已知|a|＝4，|b|＝3，当(1)a∥b；(2)a⊥b；
(3)a与b的夹角为60°时，分别求a与b的数量积．
12．已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为，求|a＋b|，|a－b|.
能力提升
13．已知|a|＝1，|b|＝1，a，b的夹角为120°，计算向量2a－b在向量a＋b方向上的投影．
14．设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．
1．两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时)．
2．数量积对结合律一般不成立，因为(a·b)·c＝|a||b|·cos〈a，b〉·c是一个与c共线的向量，而(a·c)·b＝|a|·|c|cos〈a，c〉·b是一个与b共线的向量，两者一般不同．
3．向量b在a上的射影不是向量而是数量，它的符号取决于θ角，注意a在b方向上的射影与b在a方向上的射影是不同的，应结合图形加以区分．
§2.4 平面向量的数量积
2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
答案
知识梳理
1．(1)|a||b|cos θ (2)0 (3)|a|cos θ |b|cos θ
2．|b|cos θ 3.(1)b·a (2)λ(a·b) a·(λb) (3)a·c＋b·c
作业设计
1．D [a在b方向上的投影是
|a|cos θ＝2×cos 120°＝－1.]
2．A [∵(3a＋2b)·(λa－b)＝3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝3λa2－2b2＝12λ－18＝0.
∴λ＝.]
3．B [|2a－b|2＝(2a－b)2＝4|a|2－4a·b＋|b|2＝4×1－4×0＋4＝8，∴|2a－b|＝2.]
4．A [a·b＝·＝－·＝－||||cos 60°＝－.同理b·c＝－，c·a＝－，
∴a·b＋b·c＋c·a＝－.]
5．C [由(2a＋b)·b＝0，得2a·b＋b2＝0，
设a与b的夹角为θ，
∴2|a||b|cos θ＋|b|2＝0.
∴cos θ＝－＝－＝－，∴θ＝120°.]
6．C [∵a·b＝|a|·|b|·cos 60°＝2|a|，
∴(a＋2b)·(a－3b)＝|a|2－6|b|2－a·b＝|a|2－2|a|－96＝－72.
∴|a|＝6.]
7．0
解析 b·(2a＋b)＝2a·b＋|b|2
＝2×4×4×cos 120°＋42＝0.
8．④
解析 因为两个非零向量a、b垂直时，a·b＝0，故①不正确；
当a＝0，b⊥c时，a·b＝b·c＝0，但不能得出a＝c，故②不正确；向量(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故③不正确；
④正确，a·[b(a·c)－c(a·b)]
＝(a·b)(a·c)－(a·c)(a·b)＝0.
9．120°
解析 ∵a＋b＝c，∴|c|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2.
又|a|＝|b|＝|c|，∴2a·b＝－b2，
即2|a||b|cos〈a，b〉＝－|b|2.
∴cos〈a，b〉＝－，
∴〈a，b〉＝120°.
10．[0,1]
解析 b·(a－b)＝a·b－|b|2＝|a||b|cos θ－|b|2＝0，
∴|b|＝|a|cos θ＝cos θ (θ为a与b的夹角)，θ∈[0，π]，
∴0≤|b|≤1.
11．解 (1)当a∥b时，若a与b同向，
则a与b的夹角θ＝0°，
∴a·b＝|a||b|cos θ＝4×3×cos 0°＝12.
若a与b反向，则a与b的夹角为θ＝180°，
∴a·b＝|a||b|cos 180°＝4×3×(－1)＝－12.
(2)当a⊥b时，向量a与b的夹角为90°，
∴a·b＝|a||b|cos 90°＝4×3×0＝0.
(3)当a与b的夹角为60°时，
∴a·b＝|a||b|cos 60°＝4×3×＝6.
12．解 a·b＝|a||b|cos θ＝5×5×＝.
|a＋b|＝＝＝＝5.
|a－b|＝＝＝＝5.
13．解 (2a－b)·(a＋b)＝2a2＋2a·b－a·b－b2＝2a2＋a·b－b2＝2×12＋1×1×cos 120°－12＝.
|a＋b|＝＝＝＝1.
∴|2a－b|cos〈2a－b，a＋b〉＝|2a－b|·＝＝.
∴向量2a－b在向量a＋b方向上的投影为.
14．解 ∵|n|＝|m|＝1且m与n夹角是60°，
∴m·n＝|m||n|cos 60°＝1×1×＝.
|a|＝|2m＋n|＝＝＝ ＝，
|b|＝|2n－3m|＝＝＝ ＝，
a·b＝(2m＋n)·(2n－3m)＝m·n－6m2＋2n2＝－6×1＋2×1＝－.
设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－.
又θ∈[0，π]，∴θ＝，故a与b的夹角为.
2.4.1《平面向量的数量积的物理背景及其含义》导学案
【学习目标】
1说出平面向量的数量积及其几何意义；
2.学会用平面向量数量积的重要性质及运算律；
3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；
【重点难点】。平面向量的数量积及其几何意义
【学法指导】
预习平面向量的数量积及其几何意义；平面向量数量积的重要性质及运算律；
【知识链接】：
1.平面向量数量积（内积）的定义：
2.两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
3．“投影”的概念：作图
4.向量的数量积的几何意义：
5．两个向量的数量积的性质：
设、为两个非零向量，e是与同向的单位向量.
1( e(= e =
2( ((( =
设、为两个非零向量，e是与同向的单位向量.
e( =(e =
3( 当与同向时，(= 当与反向时，( = 特别的(= ||2或
4( cos( =
5( |(| ≤ ||||
[来源:学&科&网Z&X&X&K]
三、提出疑惑：
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
[来源:Z,xx,k.Com]
【学习过程】
创设问题情景，引出新课
1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？
2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？
3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义
探究一：
数量积的概念
1、给出有关材料并提出问题3：
（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，
那么力F所做的功：W=
（2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空：
①W（功）是 量，
②F（力）是 量，
③S（位移）是 量，
④α是 。
（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?
2、明晰数量积的定义
（1）数量积的定义：
已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量 ︱︱·︱︱cos叫做与的数量积（或内积），记作：·，即：·= ︱︱·︱︱cos
（2）定义说明：
①记法“·”中间的“· ”不可以省略，也不可以用“ ”代替。
② “规定”：零向量与任何向量的数量积为零。
（3）提出问题4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？
（4）学生讨论，并完成下表：
的范围
0°≤<90°
=90°
0°<≤180°
·的符号
例1 ：已知｜｜＝３，｜｜＝６，当①∥，②⊥，③与的夹角是60°时，分别求·.
解：
变式：对于两个非零向量、，求使|+t|最小时的t值，并求此时与+t的夹角.
探究二：研究数量积的意义
1.给出向量投影的概念：
如图，我们把││cos（││cos）
叫做向量在方向上（在方向上）的投影，
记做：OB1=︱││︱cos[来源:学§科§网Z§X§X§K]
2.提出问题5：数量积的几何意义是什么？
3. 研究数量积的物理意义
请同学们用一句话来概括功的数学本质：
[来源:Zxxk.Com]
探究三：探究数量积的运算性质
1、提出问题6：比较︱·︱与︱︱×︱︱的大小，你有什么结论？
2、明晰：数量积的性质
3.数量积的运算律
（1）、提出问题7：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也用？
（2）、明晰：数量积的运算律：
例2、（师生共同完成）已知︱︱=6，︱︱=4, 与的夹角为60°，求（+2 ）·（-3），并思考此运算过程类似于实数哪种运算？
解：
变式：（1）(+)2=2+2·+2
（2）(+ )·(-)= 2—2
【学习反思】
【基础达标】
1 .已知||=5， ||=4， 与的夹角θ=120o，求·.
2. 已知||=6， ||=4，与的夹角为60o求(+2)·(-3)
.
3 .已知||=3， ||=4， 且与不共线，k为何值时，向量+k与-k互相垂直.
4.已知｜｜＝３，｜｜＝６，当①∥，②⊥，③与的夹角是60°时，分别求·.
5.已知||=1，||=，(1)若∥，求·；(2)若、的夹角为６０°，求|+|；(3)若-与垂直，求与的夹角.
6.设m、n是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量=2m+n与=2n-3m的夹角.
【拓展提升】
1.已知||=1，||=，且(-)与垂直，则与的夹角是（ ）
A.60° B.30° C.135° D.４５°
2.已知||=2，||=1，与之间的夹角为，那么向量m=-4的模为（ ）
A.2 B.2 C.6 D.12
3.已知、是非零向量，则||=||是(+)与(-)垂直的（ ）
A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件?
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知向量、的夹角为，||=2，||=1，则|+|·|-|= .[来源:学科网]
5.已知+=2i-8j，-=-8i+16j，其中i、j是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量，那么·= .
6.已知⊥、c与、的夹角均为60°，且||=1，||=2，|c|=3，则(+2-c)２＝______.
双基限时练(二十一)
1．已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，则a·b＝( )
A．23 B．7
C．－23 D．－7
解析 a·b＝－3×5＋4×2＝－7，故选D.
答案 D
2．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)．若a·b＝1，则x＝( )
A．－1 B．－
C. D．1
解析 由a＝(1，－1)，b＝(2，x)可得a·b＝2－x＝1，故x＝1.
答案 D
3．若非零向量a，b，满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
答案 C
4．已知A，B，C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1,2)，B(4,1)，C(0，－1)，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．以上均不正确
解析 ＝(3，－1)，＝(－1，－3)，＝(－4，－2)，
∴||＝，||＝，||＝.
∴||＝||，且||2＋||2＝||2＝20.
∴△ABC为等腰直角三角形，应选C.
答案 C
5．已知a＝(0,1)，b＝(3，x)，向量a与b的夹角为，则x的值为( )
A．±3 B．±
C．±9 D．3
解析 cos＝＝，
∴2x＝，且x>0，∴3x2＝27，∴x＝3.
答案 D
6．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝( )
A. B.
C. D.
解析 不妨设c＝(m，n)，则a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)，
对于(c＋a)∥b，则有－3(1＋m)＝2(2＋n)．
又c⊥(a＋b)，则有3m－n＝0，
∴m＝－，n＝－.
答案 D
7．已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,2)，若(a－c)⊥b，则k＝________.
解析 ∵a＝(3,1)，c＝(k,2)，
∴a－c＝(3－k，－1)．
又b＝(1,3)，且(a－c)⊥b，
∴(a－c)·b＝0，
即1×(3－k)＋(－1)×3＝0.
∴k＝0，故应填0.
答案 0
8．已知向量a＝(1，－2)，b＝(2，λ)，且a与b夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．
解析 a·b＝2－2λ，|a|＝，|b|＝，由a与b的夹角为锐角，得＝>0，即2－2λ>0，
∴λ<1.
当＝1时，解得λ＝－4，此时a与b夹角为0°，不合题意．
∴λ≠－4.故λ的取值范围是(－∞，－4)∪(－4,1)．
答案 (－∞，－4)∪(－4,1)
9．已知向量a＝(x，y)，b＝(－1,2)，且a＋b＝(1,3)，则|a－2b|等于________．
解析 a＋b＝(x－1，y＋2)＝(1,3)，
∴x＝2，y＝1，∴a＝(2,1)．
又|a|＝，|b|＝，a·b＝0，
∴|a－2b|2＝|a|2－4a·b＋4|b|2＝25.
∴|a－2b|＝5.
答案 5
10．已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a－b)＝0，则|b|的取值范围是________．(用数字作答)
解析 由题意知|a|＝1，设a与b的夹角为θ，则
b·(a－b)＝b·a－b2＝0，
∴b2＝b·a，∴|b|2＝|a||b|cosθ.
∴|b|(|b|－cosθ)＝0，∴|b|＝0，或|b|＝cosθ.
∵θ∈[0，π]，∴|b|∈[0,1]．
答案 [0,1]
11．已知点A(－1,1)，点B(1,2)，若点C在直线y＝3x上，且⊥.求点C的坐标．
解 设C(x,3x)，则＝(2,1)，＝(x－1,3x－2)，
所以2(x－1)＋3x－2＝0，
所以x＝，所以C.
12.已知向量a＝(1,1)，b＝(2，－3)．
(1)若λa－2b与a垂直，求λ的值；
(2)若a－2kb与a＋b平行，求k的值．
解 (1)∵a＝(1,1)，b＝(2，－3)，
∴λa－2b＝(λ，λ)－(4，－6)＝(λ－4，λ＋6)．
∵(λa－2b)⊥a，∴(λa－2b)·a＝0，
∴λ－4＋λ＋6＝0，∴λ＝－1.
(2)∵a－2kb＝(1,1)－(4k，－6k)＝(1－4k,1＋6k)，
a＋b＝(3，－2)，且(a－2kb)∥(a＋b)，
∴－2(1－4k)－3(1＋6k)＝0，
∴k＝－.
13．已知点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD两对角线所夹的锐角的余弦值．
解 (1)∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
∴＝(1,1)，＝(－3,3)，
由·＝1×(－3)＋1×3＝0，
得⊥.∴AB⊥AD.
(2)∵AB⊥AD，四边形ABCD为矩形，∴＝.设点C的坐标为(x，y)，则＝(x＋1，y－4)，又＝(1,1)，
∴∴∴C(0,5)．
从而＝(－2,4)，＝(－4,2)，且||＝2，
||＝2，·＝8＋8＝16.
设〈，〉＝θ，
则cosθ＝＝＝.
∴矩形ABCD两条对角线所夹的锐角的余弦值为.
