2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
课时目标 1.掌握数量积的坐标表示， 会进行平面向量数量积的坐标运算.2.能运用数量积的坐标表示求两个向量的夹角，会用数量积的坐标表示判断两个平面向量的垂直关系，会用数量的坐标表示求向量的模．
1．平面向量数量积的坐标表示
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝____________.
即两个向量的数量积等于________________．
2．两个向量垂直的坐标表示
设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a⊥b?________________.
3．平面向量的模
(1)向量模公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝________________.
(2)两点间距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝________________________.
4．向量的夹角公式
设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos θ＝________＝__________.
一、选择题
1．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于( )
A．1 B. C．2 D．4
2．平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|等于( )
A. B．2 C．4 D．12
3．已知a，b为平面向量，a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于( )
A. B．－ C. D．－
4．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于( )
A. B.
C. D.
5．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|＝( )
A. B. C．5 D．25
6．已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为( )
A．－ B. C．－ D.
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．已知a＝(3，)，b＝(1,0)，则(a－2b)·b＝________.
8．若平面向量a＝(1，－2)与b的夹角是180°，且|b|＝4，则b＝________.
9．若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为______．
10．已知a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，则λ的取值范围为________．
三、解答题
11．已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.
(1)求a的坐标；
(2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c.
12．已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两对角线所成的锐角的余弦值．
能力提升
13．已知向量a＝(1,1)，b＝(1，a)，其中a为实数，O为原点，当此两向量夹角在变动时，a的范围是( )
A．(0,1) B.
C.∪(1，) D．(1，)
14．若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足＝＋，则·＝________.
1．向量的坐标表示简化了向量数量积的运算．为利用向量法解决平面几何问题以及解析几何问题提供了完美的理论依据和有力的工具支持．
2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．
2．4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
答案
知识梳理
1．x1x2＋y1y2 相应坐标乘积的和
2．x1x2＋y1y2＝0
3．(1) (2)
4.
作业设计
1．C [由(2a－b)·b＝0，则2a·b－|b|2＝0，
∴2(n2－1)－(1＋n2)＝0，n2＝3.
∴|a|＝＝2.故选C.]
2．B [a＝(2,0)，|b|＝1，
∴|a|＝2，a·b＝2×1×cos 60°＝1.
∴|a＋2b|＝＝2.]
3．C [∵a＝(4,3)，∴2a＝(8,6)．又2a＋b＝(3,18)，∴b＝(－5,12)，∴a·b＝－20＋36＝16.
又|a|＝5，|b|＝13，
∴cos〈a，b〉＝＝.]
4．D [设c＝(x，y)，
由(c＋a)∥b有－3(x＋1)－2(y＋2)＝0，①
由c⊥(a＋b)有3x－y＝0，②
联立①②有x＝－，y＝－，则c＝(－，－)，
故选D.]
5．C [∵|a＋b|＝5，
∴|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝5＋2×10＋b2＝(5)2，
∴|b|＝5.]
6．A [由a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，
知λa＋b＝(－3λ－1,2λ)，a－2b＝(－1,2)．
又(λa＋b)·(a－2b)＝0，
∴3λ＋1＋4λ＝0，∴λ＝－.]
7．1
解析 a－2b＝(1，)，
(a－2b)·b＝1×1＋×0＝1.
8．(－4,8)
解析 由题意可设b＝λa＝(λ，－2λ)，λ<0，
则|b|2＝λ2＋4λ2＝5λ2＝80，∴λ＝－4，
∴b＝－4a＝(－4,8)．
9.
解析 设a、b的夹角为θ，则cos θ＝＝，
故a在b方向上的投影为|a|cos θ＝×＝.
或直接根据计算a在b方向上的投影．
10.∪(2，＋∞)
解析 由题意cos α＝＝，
∵90°<α<180°，∴－1
∴－1<<0，
∴
即 即
∴λ的取值范围是∪(2，＋∞)．
11．解 (1)设a＝λb＝(λ，2λ) (λ>0)，则有a·b＝λ＋4λ＝10，
∴λ＝2，∴a＝(2,4)．
(2)∵b·c＝1×2－2×1＝0，
a·b＝1×2＋2×4＝10，
∴a(b·c)＝0a＝0，
(a·b)c＝10×(2，－1)＝(20，－10)．
12．(1)证明 ∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
∴＝(1,1)，＝(－3,3)，
又∵·＝1×(－3)＋1×3＝0，
∴⊥，即AB⊥AD.
(2)解 ⊥，四边形ABCD为矩形，
∴＝.
设C点坐标为(x，y)，则＝(1,1)，＝(x＋1，y－4)，
∴ 得
∴C点坐标为(0,5)．
由于＝(－2,4)，＝(－4,2)，
所以·＝8＋8＝16，
||＝2 ，||＝2 .
设与夹角为θ，则
cos θ＝＝＝>0，
∴解得矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为.
13．C
[已知＝(1,1)，即A(1,1)如图所示，当点B位于B1和B2时，a与b夹角为，即∠AOB1＝∠AOB2＝，此时，∠B1Ox＝－＝，∠B2Ox＝＋＝，故B1，B2(1，)，又a与b夹角不为零，故a≠1，由图易知a的范围是∪(1，)．]
14．－2
解析 建立如图所示的直角坐标系，根据题设条件即可知A(0,3)，B(－，0)，M(0,2)，
∴＝(0,1)，＝(－，－2)．∴·＝－2.
课件21张PPT。2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
教学目的：
1.掌握平面向量数量积运算规律；
2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；
3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.
教学重点：平面向量数量积及运算规律.
教学难点：平面向量数量积的应用
教学过程：
一、复习引入：
1．平面向量数量积（内积）的定义：
2．两个向量的数量积的性质： 设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.
1( e(a = a(e =|a|cos(； 2( a(b ( a(b = 0
3( 当a与b同向时，a(b = |a||b|；当a与b反向时，a(b = (|a||b|. 特别的a(a = |a|2或
4(cos( = ； 5(|a(b| ≤ |a||b|
3．练习：
（1）已知|a|=1，|b|=，且(a-b)与a垂直，则a与b的夹角是（ ）
A.60° B.30° C.135° D.４５°
（2）已知|a|=2，|b|=1，a与b之间的夹角为，那么向量m=a-4b的模为（ ）
A.2 B.2 C.6 D.12
二、讲解新课：
探究：已知两个非零向量，，怎样用和的坐标表示？.
1、平面两向量数量积的坐标表示
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即
2. 平面内两点间的距离公式
（1）设，则或.
（2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，
那么(平面内两点间的距离公式)
向量垂直的判定
设，，则
两向量夹角的余弦（）
cos( =
二、讲解范例：
例1 已知A(1， 2)，B(2， 3)，C((2， 5)，试判断△ABC的形状，并给出证明.
例2 设a = (5， (7)，b = ((6， (4)，求a·b及a、b间的夹角θ(精确到1o)
分析：为求a与b夹角，需先求a·b及｜a｜·｜b｜，再结合夹角θ的范围确定其值.
例3 已知a＝（１，），b＝（＋１，－１），则a与b的夹角是多少?
分析：为求a与b夹角，需先求a·b及｜a｜·｜b｜，再结合夹角θ的范围确定其值.
解：由a＝（１，），b＝（＋１，－１）
有a·b＝＋１＋（－１）＝４，｜a｜＝２，｜b｜＝２．
记a与b的夹角为θ，则ｃｏｓθ＝ 又∵０≤θ≤π，∴θ＝
评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.
三、课堂练习：1、P107面1、2、3题
2、已知A(3，2)，B(-1，-1)，若点P(x，-)在线段AB的中垂线上，则x= .
四、小结： 1、
2、平面内两点间的距离公式
3、向量垂直的判定：
设，，则
五、课后作业：《习案》作业二十四。
思考：
1、如图，以原点和A(5， 2)为顶点作等腰直角△OAB，使(B = 90(，求点B和向量的坐标.
解：设B点坐标(x， y)，则= (x， y)，= (x(5， y(2)
∵( ∴x(x(5) + y(y(2) = 0即：x2 + y2 (5x ( 2y = 0
又∵|| = || ∴x2 + y2 = (x(5)2 + (y(2)2即：10x + 4y = 29
由
∴B点坐标或；=或
2 在△ABC中，=(2， 3)，=(1， k)，且△ABC的一个内角为直角，求k值.
解：当A = 90(时，(= 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k =
当B = 90(时，(= 0，=(= (1(2， k(3) = ((1， k(3)
∴2×((1) +3×(k(3) = 0 ∴k =
当C = 90(时，(= 0，∴(1 + k(k(3) = 0 ∴k =
课件35张PPT。2.4.2平面向量数量积的
坐标表示、模、夹角复习引入1. 平面向量的数量积(内积)的定义：复习引入1. 平面向量的数量积(内积)的定义：复习引入1. 平面向量的数量积(内积)的定义：复习引入1. 平面向量的数量积(内积)的定义：规定:复习引入2. 两个向量的数量积的性质:复习引入2. 两个向量的数量积的性质:复习引入2. 两个向量的数量积的性质:复习引入2. 两个向量的数量积的性质:复习引入2. 两个向量的数量积的性质:复习引入2. 两个向量的数量积的性质:复习引入2. 两个向量的数量积的性质:复习引入2. 两个向量的数量积的性质:复习引入3. 练习：复习引入3. 练习：讲授新课探究：1. 平面两向量数量积的坐标表示: 两个向量的数量积等于它们对应
坐标的乘积的和. 即 1. 平面两向量数量积的坐标表示: 两个向量的数量积等于它们对应
坐标的乘积的和. 即 2.平面内两点间的距离公式:2.平面内两点间的距离公式:2.平面内两点间的距离公式:那么2.平面内两点间的距离公式:那么(平面内两点间的距离公式) 3.向量垂直的判定:3.向量垂直的判定:4.两向量夹角的余弦:4.两向量夹角的余弦:讲解范例:例1. 已知A(1，2)，B(2，3)，C(?2，5)，
试判断△ABC的形状，并给出证明.例2. 讲解范例:例3. 讲解范例:例3. 讲解范例: 评述：已知三角形函数值求角时，
应注重角的范围的确定.练习：1．教材P.107练习第1、2、3题.练习：1．教材P.107练习第1、2、3题.2. 已知A(3，2)，B(－1，－1)，若点
在线段AB的中垂线上，则x＝ .课堂小结2. 平面内两点间的距离公式:3. 向量垂直的判定: 阅读教材P.106到P.107;
2. 《习案》作业二十四.课后作业课后思考: 以原点和A(5， 2)为顶点作等腰直角
△OAB，使?B=90?，求点B和向量的坐标.2. 在△ABC中，且△ABC的一个内角为直角，求k值.2.4.2《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》导学案
【学习目标】
学会用平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.
【重点难点】平面向量数量积及运算规律.平面向量数量积的应用
【学法指导】
预习平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。了解向量的模、夹角等公式。
【知识链接】
1.平面向量数量积（内积）的坐标表示
2.引入向量的数量积的坐标表示，我们得到下面一些重要结论：
(1)向量模的坐标表示：
能表示单位向量的模吗？ [来源:学#科#网]
(2)平面上两点间的距离公式：
向量a的起点和终点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)
AB=
(3)两向量的夹角公式cos( =
3. 向量垂直的判定（坐标表示）
[来源:学。科。网]
4.向量平行的判定（坐标表示）
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
【学习过程】
（一）创设问题情景，引出新课
a与b的数量积 的定义？⑵向量的运算有几种?应怎样计算？
（二）合作探究，精讲点拨
探究一：已知两个非零向量a=(x1,x2),b=(x2,y2),怎样用a与b的坐标表示数量积a·b呢？
a·b=(x1,y1)·(x2,y2)=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)=x1x2i2+x1y2i·j+x2y1i·j+y1y2j2=x1x2+y1y2
教师：巡视辅导学生，解决遇到的困难，估计学生对正交单位基向量i,j的运算可能有困难，点拨学生：i2=1,j2=1,i·j=0
[来源:Zxxk.Com]
探究二：探索发现向量的模的坐标表达式
若a=(x,y)，如何计算向量的模|a|呢？
若A(x1,x2),B(x2,y2)，如何计算向量AB的模两点A、B间的距离呢？
例1、如图，以原点和A(5， 2)为顶点作等腰直角△OAB，使(B = 90(，求点B和向量的坐标.
[来源:Z+xx+k.Com]
变式：已知
探究三：向量夹角、垂直、坐标表示
设a,b都是非零向量，a=(x1,y1),b(x2,y2),如何判定a⊥b或计算a与b的夹角呢？
1、向量夹角的坐标表示
2、a⊥b<=> <=>x1x2+y1y2=0
3、a∥b <=>X1y2-x2y1=0
例2 在△ABC中，=(2， 3)，=(1， k)，且△ABC的一个内角为直角，求k值.
变式：已知，当k为何值时，（1）垂直？
（2）平行吗？平行时它们是同向还是反向？
【学习反思】
【基础达标】
1.已知|a|=1，|b|=，且(a-b)与a垂直，则a与b的夹角是（ ）
A.60° B.30° C.135° D.４５°
2.已知|a|=2，|b|=1，a与b之间的夹角为，那么向量m=a-4b的模为（ ）
A.2 B.2 C.6 D.12
3、a=(5,-7),b=(-6,-4)，求a与b的 数量积
4、设a=(2,1),b=(1,3),求a·b及a与b的夹角[来源:学*科*网Z*X*X*K]
5、已知向量a=(-2,-1),b=(λ,1)若a与b的夹角为钝角,则λ取值范围是多少?
【拓展提升】
1.已知则（ ）
A.23 B.57 C.63 D.83
2.已知则夹角的余弦为（ ）
A. B. C. D.
3.则__________。
4.已知则__________。
5.则_______ _______
6.与垂直的单位向量是__________
A. B.
D.
7.则方向上的投影为_________
8.A(1,2),B(2,3),C(2,0)所以为( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.不等边三角形
9.已知A(1,0),B(5,-2),C(8,4),D.(4.6)则四边形ABCD为（ ）
A.正方形 B.菱形 C.梯形 D. 矩形
10.已知点A（1，2），B(4,-1),问在y轴上找点C，使∠ABC＝90o若不能，说明理由；若能，求C坐标。
双基限时练(二十二)
1．在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则( )
A.＝ B.与共线
C.＝ D.与共线
解析 由题意知，DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，∴与共线．
答案 D
2．设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知(＋－2)·(－)＝0，则△ABC是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
解析 ＋－2＝(＋)＋(＋)＝＋，
∴(＋－2)·(－)＝(＋)·(－)＝2－2＝0.即2＝2，∴||＝||.故选B.
答案 B
3．(2009·福建高考)设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，a⊥c，|a|＝|c|，则|b·c|的值一定等于( )
A．以a，b为邻边的平行四边形的面积
B．以b，c为邻边的平行四边形的面积
C．以a，b为两边的三角形的面积
D．以b，c为两边的三角形的面积
解析
如右图，设b与c的夹角为θ，a与b的夹角为α，
∵a⊥c，∴|cosθ|＝|sinα|.
又|a|＝|c|，
∴|b·c|＝|b||c||cosθ|
＝|b||a||sinα|，即|b·c|的值一定等于以a，b为邻边的平行四边形的面积．
答案 A
4．已知点A，B的坐标分别为A(4,6)，B，则与直线AB平行的向量的坐标可以是( )
①；②；③；④(－7,9)．
A．① B．①②
C．①②③ D．①②③④
解析 ∵A(4,6)，B，
∴＝，易知①、②、③与平行，故选C.
答案 C
5．设O(0,0)，A(1,0)，B(0,1)，点P是线段AB上的一个动点，＝λ，若·≥·，则实数λ的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析 设P(x，y)，则＝(x，y)，＝(－1,1)，＝(1－x，－y)，＝(－x,1－y)，
∵＝λ，∴(x－1，y)＝(－λ，λ)，∴
∴ ①
又∵·＝(x，y)·(－1,1)＝－x＋y，
·＝(1－x，－y)·(－x,1－y)＝－x(1－x)－y(1－y)，
∴－x＋y≥－x(1－x)－y(1－y)，将①代入可得：λ－1＋λ≥(λ－1)·λ－λ(1－λ)，
整理可得：2λ2－4λ＋1≤0，解得：1－≤λ≤1＋，又P是线段AB上的动点，∴λ≤1，∴1－≤λ≤1，故选B.
答案 B
6．在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则＝( )
A．2 B．4
C．5 D．10
解析 ∵＝－，
∴||2＝2－2·＋2.
∵＝－，∴||2＝2－2·＋2.
∴||2＋||2＝(2＋2)－2·(＋)＋22＝2－2·2＋22.
又2＝162，＝2，代入上式整理得||2＋||2＝102，故所求值为10.
答案 D
7．在△ABC所在平面上有一点P，满足＋＋＝，则△PAB与△ABC的面积之比为________．
解析 ∵＋＋＝，
∴＝－－＝＋＋＝2，
∴A，P，C三点共线，且点P是靠近点A的线段AC的三等分点，
故＝.
答案
8．质量m＝2.0 kg的物体，在4 N的水平力作用下，由静止开始在光滑水平面上运动了3 s，则水平力在3 s内对物体所做的功为__________．已知直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点，且|AB|＝，则·＝________.
解析 如图，∵AB＝，取D为AB的中点，又OA＝1，∴∠AOD＝.
∴∠AOB＝.
∴·＝1×1×cos＝－.
答案 －
9.
如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________．
解析 以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，
则由题意知，点B(，0)，点E(，1)，设点F(a,2)，
所以＝(，0)，＝(a,2)．
由条件解得点F(1,2)，
所以＝(，1)，＝(1－，2)．
所以·＝.
答案
10．如下图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________．
解析 如下图，过B作BD∥MN，
易知m＝＝，n＝，
∴m＋n＝.∵＝＝1，
∴AD＋AC＝2AN.
∴m＋n＝2.
答案 2
11.
如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2.
求证：AD⊥BC.
分析 解答本题可先表示出图中线段对应的向量，找出所给等式所蕴含的等量关系，再利用它计算所需向量的数量积．
证明 设＝a，＝b，＝e，＝c，＝d，则a＝e＋c，b＝e＋d.
∴a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2.
由已知a2－b2＝c2－d2，
∴c2＋2e·c－2e·d－d2＝c2－d2，即e·(c－d)＝0.
∵＝＋＝d－c，
∴·＝e·(d－c)＝0.
∴⊥，即AD⊥BC.
12．已知点A、B的坐标分别是(－4,3)，(2,5)，并且＝3，＝3，求证：AB∥CD.
证明 ∵＝3，＝3，
∴C(－12,9)，D(6,15)，
∴＝(6,2)，＝(18,6)．
∴＝3，∴AB∥CD.
13．如图所示，以原点和A(5,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，∠B＝90°，求点B的坐标．
解 设B(x，y)，则||＝.
∵B(x，y)，A(5,2)，
∴||＝.
又||＝||，
∴＝，
整理，得10x＋4y＝29①
∴又＝(x，y)，＝(x－5，y－2)，且⊥.
∴·＝0，∴x(x－5)＋y(y－2)＝0，
即x2＋y2－5x－2y＝0，②
由①、②解得或
∴B或.
