(共29张PPT)
2.5.1平面几何中
的向量方法
复习引入
1.
两个向量的数量积：
复习引入
1.
两个向量的数量积：
复习引入
1.
两个向量的数量积：
2.
平面两向量数量积的坐标表示:
复习引入
1.
两个向量的数量积：
2.
平面两向量数量积的坐标表示:
复习引入
1.
两个向量的数量积：
2.
平面两向量数量积的坐标表示:
3.
向量平行与垂直的判定:
复习引入
1.
两个向量的数量积：
2.
平面两向量数量积的坐标表示:
3.
向量平行与垂直的判定:
复习引入
1.
两个向量的数量积：
2.
平面两向量数量积的坐标表示:
3.
向量平行与垂直的判定:
复习引入
4.
平面内两点间的距离公式：
复习引入
4.
平面内两点间的距离公式：
复习引入
4.
平面内两点间的距离公式：
5.
求模：
复习引入
4.
平面内两点间的距离公式：
5.
求模：
复习引入
4.
平面内两点间的距离公式：
5.
求模：
复习引入
4.
平面内两点间的距离公式：
5.
求模：
练习
教材P.106练习第1、2、3题.
教材P.107练习第1、2题.
例1.
已知AC为⊙O的一条直径，
∠ABC为圆周角.
求证：∠ABC＝90o.
讲授新课
例2.
如图，AD，BE，CF是△ABC
的三条高.
求证：
AD，BE，CF相交于一点.
讲解范例：
B
D
A
C
F
E
H
例3.
平行四边形是表示向量加法与减法
的几何模型.
如图，
你能发现平行四边形对角线的长度与两
条邻边长度之间的关系吗？
A
B
C
D
讲解范例：
例3.
平行四边形是表示向量加法与减法
的几何模型.
如图，
你能发现平行四边形对角线的长度与两
条邻边长度之间的关系吗？
A
B
C
D
思考1：
如果不用向量
方法，你能证明上
述结论吗？
讲解范例：
运用向量方法解决平面几何问题可
以分哪几个步骤？
思考2：
运用向量方法解决平面几何问题可
以分哪几个步骤？
“三步曲”：
思考2：
运用向量方法解决平面几何问题可
以分哪几个步骤？
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量
表示问题中涉及的几何元素，将平面几
何问题转化为向量问题；
“三步曲”：
思考2：
运用向量方法解决平面几何问题可
以分哪几个步骤？
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量
表示问题中涉及的几何元素，将平面几
何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的
关系，如距离、夹角等问题；
“三步曲”：
思考2：
运用向量方法解决平面几何问题可
以分哪几个步骤？
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量
表示问题中涉及的几何元素，将平面几
何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的
关系，如距离、夹角等问题；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
“三步曲”：
思考2：
讲解范例：
例4．如图，□
ABCD中，点E、F分别
是AD、DC边的中点，BE、
BF分别与
AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、
TC之间的关系吗？
A
B
C
D
E
F
R
T
讲解范例：
例4．如图，□
ABCD中，点E、F分别
是AD、DC边的中点，BE、
BF分别与
AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、
TC之间的关系吗？
A
B
C
D
E
F
R
T
课堂小结
用向量方法解决平面几何的“三步曲”：
课堂小结
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量
表示问题中涉及的几何元素，将平面几
何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的
关系，如距离、夹角等问题；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
用向量方法解决平面几何的“三步曲”：
阅读教材P.109到P.111;
2.
《习案》作业二十五.
课后作业双基限时练(二十三)
1．已知作用在A点的三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)，A(1,1)，则合力F＝F1＋F2＋F3的终点坐标是( )
A．(8,2)
B．(9,1)
C．(－1,9)
D．(3,1)
解析 由已知得F＝F1＋F2＋F3＝(8,0)．
∴＝＋＝(1,1)＋(8,0)＝(9,1)．
答案 B
2．初速度为v0，发射角为θ，若要使炮弹在水平方向的速度为v0，则发射角θ应为( )
A．15°
B．30°
C．45°
D．60°
解析 炮弹的水平速度为v＝v0·cosθ＝v0 cosθ＝ θ＝60°.
答案 D
3．已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3,2)，F3＝(4，－3)同时作用于某一物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力F4，则F4等于( )
A．(－1，－2)
B．(1，－2)
C．(－1,2)
D．(1,2)
解析 由题意知，F1＋F2＋F3＋F4＝0.
又F1＋F2＋F3＝(－1，－2)，∴F4＝(1,2)．
答案 D
4．已知两个力F1，F2的夹角为90°，它们的合力大小为10
N，合力与F1的夹角为60°，那么F1的大小为( )
A．5
N
B．5
N
C．10
N
D．5
N
解析 如下图所示，|F1|＝|F|cos60°＝10×＝5
N，应选B.
答案 B
5．一船从某河的一岸驶向另一岸，船速为v1，水速为v2，已知船可垂直到达对岸，则( )
A．|v1|<|v2|
B．|v1|>|v2|
C．|v1|≤|v2|
D．|v1|≥|v2|
解析 船速v1应大于水速v2，即|v1|>|v2|.
答案 B
6．当两人提重为|G|的书包时，夹角为θ，用力为|F|，则当|F|最小时，θ应为( )
A．0
B.
C.
D.
π
答案 A
7．河水从东向西流，流速为2
m/s，一轮船以2
m/s垂直水流方向向北横渡，则轮船实际航行的方向是________，航速是________．
解析 如图所示，记水速|v1|＝2
m/s，船速|v2|＝2
m/s.
v表示船实际航行的速度，则由图知：|v|＝＝2(m/s)．
方向与水流方向成45°.
答案 西北方向 2
m/s
8．三个力F1，F2，F3同时作用于O点且处于平衡状态，已知F1与F2的夹角为120°，又|F1|＝|F2|＝20
N，则|F3|＝________.
解析 由题意有F1＋F2＋F3＝0，∴F3＝－F1－F2，
∴|F3|2＝F＋2F1·F2＋F＝202＋2|F1|·|F2|cos120°＋202＝202，∴|F3|＝20
N.
答案 20
N
9．已知速度v1＝(1，－2)，速度v2＝(3,4)，则合速度v＝________.
答案 (4,2)
10．质量m＝2.0
kg的物体，在4
N的水平力作用下，由静止开始在光滑水平面上运动了3
s，则水平力在3
s内对物体所做的功为__________．
解析 水平力在3
s内对物体所做的功：F·s＝F·at2＝F·t2＝F2t2＝××42×32＝36(J)．
答案 36
J
11.
今有一小船位于d＝60
m宽的河边P处，从这里起，在下游l＝80
m处河流有一瀑布，若河水流速方向由上游指向下游(与河岸平行)，水速大小为5
m/s，如图，为了使小船能安全渡河，船的划速不能小于多少？当划速最小时，划速方向如何？
解
如图，由题设可知，船的实际速度v＝v划＋v水，其方向为临界方向.
则最小划速|v|＝|v水|·sinθ，
sinθ＝＝＝，
∴θ＝37°，
∴最小划速应为|v划|＝5×sinθ＝5×＝3(m/s)．
12．平面上有两个向量e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，今有动点P，从P0(－1,2)开始沿着与向量e1＋e2相同的方向作匀速直线运动，速度大小为|e1＋e2|，另一动点Q，从点Q0(－2，－1)出发，沿着与向量3e1＋2e2相同的方向作匀速直线运动，速度大小为|3e1＋2e2|.
设P，Q在t＝0秒时分别在P0，Q0处，则当⊥时，t等于多少秒．
解 ∵P0(－1,2)，Q0(－2，－1)，
∴＝(－1，－3)．
又∵e1＋e2＝(1,1)，∴|e1＋e2|＝.
∵3e1＋2e2＝(3,2)，∴|3e1＋2e2|＝.
∴当t时刻时，点P的位置为(－1＋t,2＋t)，点Q位置为(－2＋3t，－1＋2t)．
∴＝(－1＋2t，－3＋t)．
∵⊥，
∴(－1)×(－1＋2t)＋(－3)×(－3＋t)＝0.
∴t＝2.
即当⊥时所需时间为2秒．
13．如图，用两根分别长5米和10米的绳子，将100
N的物体吊在水平屋顶AB上，平衡后，G点距屋顶距离恰好为5米，求A处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．
解 如图，由已知条件可知AG与竖直方向成45°角，BG与竖直方向成60°角．
设A处所受力为Fa，B处所受力为Fb，物体的重力为G，
∠EGC＝60°，∠EGD＝45°，
则有|Fa|cos45°＋|Fb|cos60°＝|G|＝100，①
且|Fa|sin45°＝|Fb|sin60°.②
由①②解得|Fa|＝150－50，
∴A处所受力的大小为(150－50)
N.
PAGE
2§2.5 平面向量应用举例
2．5.1 平面几何中的向量方法
课时目标 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题及其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力．
1．向量方法在几何中的应用
(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0) ________ ______________________.
(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a，b，a⊥b ____________ ______________.
(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos
θ＝______________＝___________________.
(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|＝_______
2．直线的方向向量和法向量
(1)直线y＝kx＋b的方向向量为________，法向量为________．
(2)直线Ax＋By＋C＝0的方向向量为________，法向量为________．
一、选择题
1．在△ABC中，已知A(4,1)、B(7,5)、C(－4,7)，则BC边的中线AD的长是( )
A．2
B.
C．3
D.
2．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的( )
A．三个内角的角平分线的交点
B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高的交点
3．已知直线l1：3x＋4y－12＝0，l2：7x＋y－28＝0，则直线l1与l2的夹角是( )
A．30°
B．45°
C．135°
D．150°
4．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
5．已知点A(，1)，B(0,0)，C(，0)，设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有＝λ，其中λ等于( )
A．2
B.
C．－3
D．－
6．已知非零向量与满足·＝0且·＝，则△ABC的形状是( )
A．三边均不相等的三角形
B．直角三角形
C．等腰(非等边)三角形
D．等边三角形
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两
点M、N，若＝m，＝n，则m＋n的值为__________________．
8．已知平面上三点A、B、C满足||＝3，||＝4，||＝5.则·＋·＋·＝________________.
9．设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知(＋－2)·(－)＝0，则△ABC的形状一定是__________．
10．在直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)和点B(－3,4)，若点C在∠AOB的平分线上且||＝2，则＝__________________.
三、解答题
11．在△ABC中，A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，求∠A的平分线的方程．
12．P是正方形ABCD对角线BD上一点，PFCE为矩形．求证：PA＝EF且PA⊥EF.
能力提升
13．已知点O，N，P在△ABC所在平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，·＝PB·＝·，则点O，N，P依次是△ABC的( )
A．重心、外心、垂心
B．重心、外心、内心
C．外心、重心、垂心
D．外心、重心、内心
14．求证：△ABC的三条高线交于一点．
1．利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．
2．在直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)上任取两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则(λ∈R且λ≠0)也是直线l的方向向量．所以，一条直线的方向向量有无数多个，它们都共线．同理，与直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直的向量都叫直线l的法向量．一条直线的法向量也有无数多个．熟知以下结论，在解题时可以直接应用．
①y＝kx＋b的方向向量v＝(1，k)，法向量为n＝(k，－1)．
②Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的方向向量v＝(B，－A)，法向量n＝(A，B)．
§2.5 平面向量应用举例
2．5.1 平面几何中的向量方法
答案
知识梳理
1．(1)a＝λb x1y2－x2y1＝0 (2)a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0(3) (4)
2．(1)(1，k) (k，－1) (2)(B，－A) (A，B)
作业设计
1．B [BC中点为D，＝，
∴||＝.]
2．D [∵·＝·，
∴(－)·＝0.
∴·＝0.
∴OB⊥AC.同理OA⊥BC，OC⊥AB，
∴O为垂心．]
3．B [设l1、l2的方向向量为v1，v2，则
v1＝(4，－3)，v2＝(1，－7)，
∴|cos〈v1，v2〉|＝＝＝.
∴l1与l2的夹角为45°.]
4．B [∵|－|＝||＝|－|，
|＋－2|＝|＋|，
∴|－|＝|＋|，
∴四边形ABDC是矩形，且∠BAC＝90°.
∴△ABC是直角三角形．]
5．C
[如图所示，由题知∠ABC＝30°，∠AEC＝60°，CE＝，∴＝3，∴＝－3.]
6．D [由·＝0，得角A的平分线垂直于BC.∴AB＝AC.
而·＝cos〈，〉＝，又〈，〉∈[0°，180°]，∴∠BAC＝60°.
故△ABC为正三角形，选D.]
7．2
解析 ∵O是BC的中点，
∴＝(＋)＝＋，
∴＝－＝(－1)＋.
又∵＝－，∥，
∴存在实数λ，使得＝λ，即
化简得m＋n＝2.
8．－25
解析 △ABC中，B＝90°，cos
A＝，cos
C＝，
∴·＝0，·＝4×5×＝－16，
·＝5×3×＝－9.
∴·＋·＋·＝－25.
9．等腰三角形
解析 ∵(＋－2)·(－)
＝[(－)＋(－)]·(－)
＝(＋)·(－)＝2－2
＝||2－||2＝0，
∴||＝||，∴△ABC是等腰三角形．
10.
解析
已知A(0,1)，B(－3,4)，
设E(0,5)，D(－3,9)，
∴四边形OBDE为菱形．
∴∠AOB的角平分线是菱形OBDE的对角线OD.
设C(x1，y1)，||＝3，
∴＝.
∴(x1，y1)＝×(－3,9)＝，
即＝.
11．解 ＝(3,4)，＝(－8,6)，
∠A的平分线的一个方向向量为：
＋＝＋＝.
∵∠A的平分线过点A.
∴所求直线方程为－(x－4)－(y－1)＝0.
整理得：7x＋y－29＝0.
12．证明 以D为坐标原点，DC所在直线为x轴，DA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，设正方形边长为1，||＝λ，则A(0,1)，
P，E，F，
于是＝，＝.
∴||＝＝，
同理||＝，
∴||＝||，∴PA＝EF.
∴·＝＋＝0，
∴⊥.∴PA⊥EF.
13．C
[如图，∵＋＋＝0，
∴＋＝－.依向量加法的平行四边形法则，知|N|＝2||，故点N为△ABC的重心．
∵·＝·，
∴(－)·＝·＝0.
同理·＝0，·＝0，
∴点P为△ABC的垂心．
由||＝||＝||，知点O为△ABC的外心．]
14．证明
如图所示，已知AD，BE，CF是△ABC的三条高．
设BE，CF交于H点，
令＝b，＝c，＝h，
则＝h－b，＝h－c，＝c－b.
∵⊥，⊥，
∴(h－b)·c＝0，(h－c)·b＝0，
即(h－b)·c＝(h－c)·b
整理得h·(c－b)＝0，∴·＝0
∴AH⊥BC，∴与共线．
AD、BE、CF相交于一点H.2.5.1平面几何中的向量方法
( http: / / www. )
教学目的：
( http: / / www. )
1.通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何的问题的”三步曲”；
( http: / / www. )
2.明确平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示.；
( http: / / www. )
3.让学生深刻理解向量在处理平面几何问题中的优越性.
( http: / / www. )
教学重点：用向量方法解决实际问题的基本方法：向量法解决几何问题的“三步曲”.
( http: / / www. )
教学难点：如何将几何等实际问题化归为向量问题.
( http: / / www. )
教学过程：
( http: / / www. )
一、复习引入：
( http: / / www. )
1.
两个向量的数量积：
( http: / / www. )
2.
平面两向量数量积的坐标表示:
( http: / / www. )
3.
向量平行与垂直的判定:
( http: / / www. )
( http: / / www. )
4.
平面内两点间的距离公式：
( http: / / www. )
5.
求模：
( http: / / www. )
( http: / / www. )
练习
( http: / / www. )
教材P.106练习第1、2、3题.；教材P.107练习第1、2题.
( http: / / www. )
二、讲解新课：
例1.
已知AC为⊙O的一条直径，∠ABC为圆周角.求证：∠ABC＝90o.
证明：设
例2.
如图，AD，BE，CF是△ABC的三条高.求证：
AD，BE，CF相交于一点.
例3.
平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型.如图，
你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？
思考1：
如果不用向量方法，你能证明上述结论吗？
思考2：
运用向量方法解决平面几何问题可以分哪几个步骤？
运用向量方法解决平面几何问题可以分哪几个步骤？
“三步曲”：
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
例4．如图，□
ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、
BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？
课堂小结
用向量方法解决平面几何的“三步曲”：
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
课后作业
1.
阅读教材P.109到P.111;
2.
《习案》作业二十五.(共27张PPT)
QD
ANYOU
KETANG2.5《平面向量应用举例》导学案
【学习目标】
1.运用向量的有关知识（向量加减法与向量数量积的运算法则等）解决平面几何和解析
几何中直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题.
2.运用向量的有关知识解决简单的物理问题.
【学法指导】
预面向量应用举例》，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，建立实际问题与向量的联系。
[]
【知识链接】
阅读课本内容，整理例题，结合向量的运算，解决实际的几何问题、物理问题。另外，在思考一下几个问题：
例1如果不用向量的方法，还有其他证明方法吗？
利用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是什么？
例3中，⑴为何值时，|F1|最小，最小值是多少？
⑵|F1|能等于|G|吗？为什么？
提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
【学习过程】
探究一：（１）向量运算与几何中的结论＂若，则，且所在直线平行或重合＂相类比，你有什么体会？
（２）举出几个具有线性运算的几何实例．
例1．证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．
已知：平行四边形ABCD．
求证：．
试用几何方法解决这个问题
利用向量的方法解决平面几何问题的“三步曲”？
（1）
建立平面几何与向量的联系，
（2）
通过向量运算，研究几何元素之间的关系，
（3）
把运算结果“翻译”成几何关系。
变式训练：中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，BF与CD交于点O，设
（1）证明A、O、E三点共线；
（2）用表示向量。
例2，如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的
中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？
探究二：两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.在单杠上做引体向上运动,两臂夹角越小越省力.
这些力的问题是怎么回事？
例3．在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上作引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．你能从数学的角度解释这种现象吗？
请同学们结合刚才这个问题，思考下面的问题：
⑴为何值时，|F1|最小，最小值是多少？[]
⑵|F1|能等于|G|吗？为什么？
例4如图，一条河的两岸平行，河的宽度m，一艘船从A处出发到河对岸．已知船的速度|v1|=10km/h，水流的速度|v2|=2km/h，问行驶航程最短时，所用的时间是多少(精确到0.1min)？
[]
变式训练：两个粒子A、B从同一源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为
，（1）写出此时粒子B相对粒子A的位移s;
(2)计算s在方向上的投影。
【学习反思】
结合图形特点，选定正交基底，用坐标表示向量进行运算解决几何问题，体现几何问题
代数化的特点，数形结合的数学思想体现的淋漓尽致。向量作为桥梁工具使得运算简练标致，又体现了数学的美。有关长方形、正方形、直角三角形等平行、垂直等问题常用此法。
本节主要研究了用向量知识解决平面几何问题和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决实际问题的步骤。
【基础达标】
1.已知，求边长c。
2.在平行四边形ABCD中，已知AD=1，AB=2，对角线BD=2，求对角线AC的长。
3.在平面上的三个力作用于一点且处于平衡状态，的夹角为，求：（1）的大小；（2）与夹角的大小。
【拓展提升】
一、选择题
1.给出下面四个结论：
1
若线段AC=AB+BC，则向量；
2
若向量，则线段AC=AB+BC；
3
若向量与共线，则线段AC=AB+BC;
4
若向量与反向共线，则.
其中正确的结论有
（
）
A.
0个
B.1个
C.2个
D.3个
2.河水的流速为2，一艘小船想以垂直于河岸方向10的速度驶向对岸，则小
船的静止速度大小为
（
）
A.10
B.
C.
D.12
3.在中，若=0，则为
(
）
A.正三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.无法确定
二、填空题
4.已知两边的向量，则BC边上的中线向量用、表示为
5.已知，则、、两两夹角是
