人教版数学初中九年级上册专题21.1 一元二次方程知识讲解+巩固练习（含答案解析）

第二十一章 一元二次方程
21.1 一元二次方程
知识
1．一元二次方程的定义：
（1）等号两边都是 ，只含有一个 （一元），并且 是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．
（2）注意以下几点：①只含有 ；②未知数的最高次数是 ；③等号两边都是 ．
2．一元二次方程的一般形式：
一元二次方程的一般形式是 ．其中，ax2是 ，a是 ；bx是 ，b是 ；c是 ．
3．一元二次方程的根：
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的 ，也叫做一元二次方程的根．方程的解的定义是解方程过程中 的依据．将此数代入这个一元二次方程的左右两边，看是否相等，若相等，就是这个方程的根；若不相等，就不是这个方程的根．
知识参考答案：
1．（1）整式，未知数，未知数的最高次数（2）一个未知数，2，整式
2．ax2+bx+c=0(a≠0)，二次项，二次项系数，一次项，一次项系数，常数项
3．解，验根
重点
重点
一元二次方程的根
难点
根据实际问题列出一元二次方程
易错
（1）若一元二次方程的二次项系数含有字母，则根据一元二次方程的定义求值时，要注意不能忽略隐含条件“”．（2）指出一元二次方程的二次项、一次项和常数项时，一定要注意各项均包含前面的符号．
一、一元二次方程的定义及一般形式
1．等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是（二次）的方程，叫做一元二次方程．
2．一元二次方程的一般形式是，其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项．
【例1】下面关于的方程中：①；②；③；④（为任意实数）；⑤．一元二次方程的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【名师点睛】判断是否为一元二次方程，需看方程是否满足三个条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是．对于复杂的方程需要化简后再根据定义进行判断．
【例2】将方程(8－2x)(5－2x)＝18 化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．
【答案】二次项系数为 4，一次项系数为－26，常数项为 22.
【解析】去括号，得 40－16x－10x＋4x2＝18，
移项，得 4x2－26x＋22＝0，
其中二次项系数为 4，一次项系数为－26，常数项为 22.
二、一元二次方程的根
1．使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根．
2．将此数代入这个一元二次方程的左右两边，看是否相等，若相等，就是这个方程的根；若不相等，就不是这个方程的根．
【例3】关于的一元二次方程的一个根是，则实数的值为_________．
【答案】
【解析】∵关于的一元二次方程的一个根是，
∴，，∴．
【名师点睛】已知方程的根求方程中未知字母的值，步骤如下：一是“代入”，二是“变形求解”．若二次项系数含有未知字母，要注意二次项系数不为零．
基础训练
1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是
A．ax2+bx+c=0 B．x2+2x=x2﹣1
C．3（x+1）2=2（x+1） D．﹣2=0
2．一元二次方程的一般形式是
A．ax2＋bx＋c＝0 B．ax2＋bx＋c(a≠0)
C．ax2＋bx＋c＝0(a≠0) D．ax2＋bx＋c＝0(b≠0)
3．一元二次方程4x2–3x–5=0的一次项系数是
A．–5 B．4 C．–3 D．3
4．方程（m–2）x2+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则
A．m≠±2 B．m=2 C．m=–2 D．m≠2
5．下列方程是一元二次方程的是
A．2x–3y+1 B．3x+y=z
C．x2–5x=1 D．x+2y=1
6．一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项分别是
A．2，5，–4 B．2，5，4
C．2，–5，–4 D．2，，4
7．把方程x（x+2）=5x化成一般式，则a、b、c的值分别是
A．1，3，5 B．1，–3，0
C．–1，0，5 D．1，3，0
8．一元二次方程2x2–3x=1的二次项系数a、一次项系数b和常数c分别是
A．a=2，b=3，c=–1 B．a=2，b=1，c=–3
C．a=2，b=–3，c=–1 D．a=2，b=–3，c=1
9．一元二次方程化为一般形式是__________，它的一次项是__________，常数项是__________．
10．当m=__________时，关于x的方程 是一元二次方程．
11．已知关于的方程的一个根是，则__________．
12．关于x的一元二次方程的一个根是0，求n的值．
13．若方程是关于x的一元二次方程，求m的值．
能力测试
14．若方程 是一元二次方程，则m的值为
A．0 B．±1 C．1 D．–1
15．下面关于的方程中：①；②；③；④（为任意实数）；⑤．一元二次方程的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
16．已知关于x的方程x2–kx–6=0的一个根为x=3，则实数k的值为
A．1 B．–1 C．2 D．–2
17．关于的方程是一元二次方程，则=__________．
18．已知=0是关于x的一元二次方程，则k为__________．
19．如果是一元二次方程的一个解，那么代数式的值为__________．
20．已知是方程的根，则式子的值为__________．
21．关于x的方程x2+5x–m=0的一个根是2，则m=__________．
22．若一元二次方程ax2–bx–2017=0有一根为x=–1，则a+b=__________．
23．关于x的一元二次方程（a–1）x2+x+（a2–1）=0的一个根是0，则a的值是__________．
24．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a–c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．如果x=–1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
真题练习
25．（2019·盐城市）已知一元二次方程x2+kx-3=0有一个根为1，则k的值为
A． ?2 B． 2 C．?4 D． 4
26．（2019·扬州）若是方程的一个根，则的值为__________．
参考答案
1．【答案】C
【解析】A．可能，不是一元二次方程.
B．化成一般形式，不是一元二次方程.
C．化成一般形式，是一元二次方程.
D．不是整式方程.
2．【答案】C
【解析】一元二次方程的一般形式.
5．【答案】C
【解析】根据一元二次方程的概念，含有一个未知数，未知数的最高次数为2次的方程叫一元二次方程可得．A不是方程，错误；B是三元一次方程，错误；C正确；D是二元一次方程，错误．故选C．
6．【答案】C
【解析】方程的二次项系数、一次项系数及常数项分别是2，–5，–4．故选C．
7．【答案】B
【解析】∵x（x+2）=5x，∴x2+2x–5x=0，∴x2–3x=0，∴a=1，b=–3，c=0．故选B．
8．【答案】C
【解析】∵2x2–3x=1，∴2x2–3x–1=0，∴二次项系数a、一次项系数b和常数c分别是2、–3、–1．故选C．
9．【答案】，3x，–2．
【解析】方程可整理为：，，即，根据一元二次方程的一般式（a≠0）可得，该一元二次方程的一般式为，它的一次项是3x，常数项为–2．故答案为：，3x，–2．
10．【答案】–2
【解析】由得，又∵，∴，∴．
11．【答案】2
【解析】∵关于的方程的一个根是，∴，∴，∴．
12．【答案】
【解析】∵关于x的一元二次方程的一个根是0，∴，∴，∵，∴．
13．【答案】m=?2
【解析】由题意，得，解得.
【名师点睛】一元二次方程需要满足三个条件：（1）含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）整式方程.
14．【答案】D
【解析】已知方程是一元二次方程，根据一元二次方程的定义可得且m–1≠0，∴且m≠1，∴m=–1，故选D．
16．【答案】A
【解析】把x=3代入x2–kx–6=0得9–3k–6=0，∴3–3k=0，∴3k=3，∴k=1，故选A．
17．【答案】3
【解析】根据题意得，|m?1|=2，且m+1≠0，解得：m=3，∴m的值为3．
18．【答案】–2
【解析】已知=0是关于x的一元二次方程，可得，1–k≥0，解得k=–2．
19．【答案】–2
【解析】把代入得，a2–3a–3=0，∴2a2–6a–6=0，∴2a2–6a=6，∴=6–8=–2．
20．【答案】2018
【解析】∵m为方程x2+x?1=0的根，∴m2+m?1=0，∴m2+m=1，
∴m3+2m2+2017=m(m2+m)+m2+2017=m+m2+2017=1+2017=2018．故答案为：2018．
21．【答案】14
【解析】把x=2代入方程：x2+5x–m=0可得4+10–m=0，解得m=14．
22．【答案】2017
【解析】把x=–1代入ax2–bx–2017=0得a+b–2017=0，∴a+b=2017．
25．【答案】B
【解析】把x=1代入方程得1+k?3=0，解得k=2．故选B．
【名师点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
26．【答案】2018
【解析】由题意可知：2m2-3m-1=0，∴2m2-3m=1.
∴原式=3（2m2-3m）+2015=2018.故答案为：2018.
【名师点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．