人教版数学初中九年级上册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题23.1 图形的旋转（含答案）

知识
1．旋转的概念：
把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做__________，转动的角叫做__________，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做旋转的__________．
旋转有三要素：（1）__________；（2）__________；（3）__________．
2．旋转的性质：
对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
3．旋转作图的基本步骤
（1）明确旋转中心，旋转方向和旋转角．
（2）找出原图形中的各顶点在新图形中的对应点的位置．
（3）按原图形中各顶点的排列规律，将这些对应点连成一个新的图形．
知识参考答案：
1．旋转中心，旋转角，对应点，旋转中心，旋转方向，旋转角度
重点
重点
旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角；旋转图形的性质
难点
利用旋转的性质探索线段与角的等量关系
易错
对旋转角的概念理解不透彻
一、生活中的旋转现象
1．旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键．
2．旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向．
3．旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点．
【例1】下列运动属于旋转的是
A．滚动过程中的篮球的滚动
B．钟表的钟摆的摆动
C．气球升空的运动
D．一个图形沿某直线对折的过程
【答案】B
故选B．
【例2】下列各图中，既可经过平移，又可经过旋转，由图形①得到图形②的是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】A、B、C中只能由旋转得到，不能由平移得到，只有D可经过平移，又可经过旋转得到．故选D．
【名师点睛】平移、旋转的性质：
①平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
②旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，两组对应点连线的交点是旋转中心．
二、旋转的性质
1．旋转的性质：
（1）对应点到旋转中心的距离相等．
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
（3）旋转前、后的图形全等．
2．旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．
注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
【例3】如图，△ABC按顺时针旋转到△ADE的位置，以下关于旋转中心和对应点的说法正确的是
A．点A是旋转中心，点B和点E是对应点
B．点C是旋转中心，点B和点D是对应点
C．点A是旋转中心，点C和点E是对应点
D．点D是旋转中心，点A和点D是对应点
【答案】C
三、旋转对称图形
1．旋转对称图形：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．
2．常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等．
【例4】下面四个图案中，旋转90°后能与自身重合的图案的个数为
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】第一个图形的最小旋转角为：360÷2=180°；
第二个旋转对称图形的最小旋转角为：360÷4=90°；
第三个旋转对称图形的最小旋转角为：360÷8=45°；
第四个旋转对称图形的最小旋转角为：360÷4=90°；
则旋转90°后能与自身重合的图案有3个．
故选B．
基础训练
1．请你仔细观察A、B、C、D四个全等的正六边形，其中与所给图的正六边形完全相同的是
A． B．
C． D．
2．下列每组大写字母中，旋转180°和原来形状一样的是
A．HIOE B．HION C．HIOU D．HIOB
3．如图是日本“三菱”汽车的标志，它可以看作是由菱形通过旋转得到的，每次旋转了
A．60° B．90° C．120° D．150°
4．如图，将△ABC绕点A旋转到△AB1C1，下列说法正确的个数有
（1）AC=AB；（2）BC=B1C1；（3）∠BAC=∠B1AC1；（4）∠CAC1=∠BAB1．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．在10分钟的时间内，时钟的时针旋转过的角度是
A．5° B．10° C．15° D．30°
6．如图，图甲的火柴棒房子变成图乙的火柴棒房子需要旋转两根火柴棒，请你指出旋转的火柴棒是
A．a，b B．b，c C．b，d D．c，d
7．观察下列图形，其中是旋转对称图形的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，将△AOB绕着O点沿顺时针方向旋转180°后，A、B两点的坐标是
A．（2，–5），（2，5） B．（–2，5），（–5，2）
C．（2，–5），（2，0） D．（–2，–5），（–5，2）
9．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（–2，5），B（–5，1），C（–2，1），将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，得到△DEC，则点D的坐标为
A．（1，2） B．（2，1） C．（1，1） D．（2，2）
10．如图，在方格纸上△DEF是由△ABC绕定点P顺时针旋转得到的，如果用（2，1）表示方格纸上A点的位置，（1，2）表示B点的位置，那么点P的位置为__________．
11．将点（0，1）绕原点顺时针旋转90°，所得的点的坐标为__________．
12．如图，将△ABC绕顶点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′，∠CAB=35°，若旋转角为80°，则∠B′AC的度数为__________．
13．如图，△ABC为等边三角形，△AP′B旋转后能与△APC重合，那么：
（1）指出旋转中心；（2）求旋转角的度数；（3）求∠PAP′的度数．
14．如图所示，将△ABC绕其顶点A顺时针旋转30°后得△ADE．
（1）问△ABC与△ADE的关系如何？
（2）求∠BAD的度数．
15．钟表的分针匀速旋转一周需要60分．如图所示．
（1）指出它的旋转中心；
（2）经过18分，分针旋转多少度？
（3）从12时整开始计时，到几时几分时，分针和时针的旋转角度第一次相差90°？
16．已知，点P是等边△ABC内一点，PA=4，PB=3，PC=5，线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，连接PQ．
（1）求PQ的长．
（2）如图，求∠APB的度数．
17．如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．
（1）求证：∠AEB=∠ADC；
（2）连接DE，若∠ADC=105°，求∠BED的度数．
能力测试
18．将三角形ABC的3个顶点的坐标作如下变换：横坐标和纵坐标都乘–1，则所得到的图形与原图形的关系是
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于原点对称
D．将原图形向下平移一个单位长度后再向左平移一个单位长度
19．下列关于图形旋转的说法不正确的是
A．对应点到旋转中心的距离相等
B．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角
C．旋转前后的图形全等
D．旋转后，图形的大小，形状与位置都发生了变化
20．如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么B（–3，2）的对应点B′的坐标是
A．（2，3） B．（3，2）
C．（2，–3） D．（3，–2）
21．在直角坐标系中，将点A（0，2）绕原点O逆时针方向旋转60°后的对应点B的坐标是
A．（–1，） B．（–，1）
C．（–1，） D．（–，1）
22．如图，把△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△A1B1C，A1B1交AC于点D，若∠A1DC=90°，则∠A的度数是
A．35° B．50° C．55° D．60°
23．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转80°后得到△A′B′C′（点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′，连接BB′，若∠B′BC=20°，则∠BB′C′的大小是
A．82° B．80° C．78° D．76°
24．将下面方格中的图形绕O点顺时针旋转90°得到的图形是
A． B． C． D．
25．如图，在ABCD中，∠A=72°，将ABCD绕顶点B顺时针旋转到A1BC1D1，当C1D1首次经过顶点C时，旋转角∠ABA1=__________°．
26．如图，P是等边△ABC内的一点，PA=2cm，PC=3cm，AC=4cm，若将△ACP绕点A按逆时针方向旋转到△ABP′，则PP′=__________．
27．如图，在平面直角坐标系中，方格纸中有一条美丽可爱的小金鱼，且各点的坐标分别为A（4，4），B（1，3），C（3，3），D（3，1），在同一方格纸中，画出将小金鱼图案绕原点O旋转180°后得到的四边形A′B′C′D′，并求出A′，B′，C′，D′的坐标．
28．如图，四边形ABCD是正方形，E是AD上任意一点，延长BA到F，使得AF=AE，连接DF：
（1）旋转△ADF可得到哪个三角形？
（2）旋转中心是哪一点？旋转了多少度？
（3）BE与DF的数量关系、位置关系如何？为什么？
真题练习
29．（2019?吉林）如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1=70°，∠2=50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是
A．10° B．20° C．50° D．70°
30．（2019?大连）如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为
A．90°–α B．α C．180°–α D．2α
31．（2019?泰安）如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中每个小正方形的边长均为1，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，若AC上一点P（1.2，1.4）平移后对应点为P1，点P1绕原点顺时针旋转180°，对应点为P2，则点P2的坐标为
A．（2.8，3.6） B．（–2.8，–3.6）
C．（3.8，2.6） D．（–3.8，–2.6）
32．（2019?乌鲁木齐）在平面直角坐标系xOy中，将点N（–1，–2）绕点O旋转180°，得到的对应点的坐标是
A．（1，2） B．（–1，2）
C．（–1，–2） D．（1，–2）
33．（2019?金华）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，
∠ACB=20°，则∠ADC的度数是
A．55° B．60° C．65° D．70°
34．（2019?桂林）如图，在正方形ABCD中，AB=3，点M在边CD上，且DM=1，△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，连接EF，则线段EF的长为
A．3 B．2 C． D．
35．（2019?衡阳）如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得到的，则旋转的角度为__________．
36．（2019?贺州）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接BB'，若∠A′B′B=20°，则∠A的度数是__________．
37．（2019?江西）如图，在矩形ABCD中，AD=3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE=FF，则AB的长为__________．
38．（2019?张家界）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，则∠B的度数为__________．
参考答案
故选B．
3．【答案】C
【解析】每次旋转的度数为：360°÷3=120°．故选C．
4．【答案】C
【解析】根据旋转的性质，可知：（1）AC=AC1，故错误；（2）BC=B1C1，故正确；（3）∠BAC=∠B1AC1，故正确；（4）在（3）的基础上，结合等式的性质，得∠CAC1=∠BAB1．故选C．
5．【答案】A
【解析】时钟的时针每一小时旋转30°，即每分钟旋转0.5°，
所以10分钟时钟的时针旋转过的角度=10×0.5°=5°．
故选A．
9．【答案】B
【解析】∵A（–2，5），B（–5，1），C（–2，1），∴AC=4，AC∥y轴，
∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，得到△DEC，∴∠DCE=∠ACB=90°，CD=AC=4，
∴B，C，D三点在一条直线上，∴D（2，1），故选B．
10．【答案】（5，2）
【解析】如图所示：作出对应点连线AD、BE、CF中任意两条中垂线的交点P，就是对称中心，∵（2，1）表示方格纸上A点的位置，（1，2）表示B点的位置，
∴点P的位置为：（5，2）．故答案为：（5，2）．
11．【答案】（1，0）
【解析】将点（0，1）绕原点顺时针旋转90°，所得的点在x轴的正半轴上，到原点的距离为1，
因而该点的坐标为（1，0）．故答案为：（1，0）．
12．【答案】45°
【解析】∵△ABC绕顶点A按逆时针方向旋转80°得到△AB′C′，∴∠BAB′=80°，
∴∠B′AC=∠B′AB–∠CAB=80°–35°=45°．故答案为：45°．
13．【解析】（1）∵△AP′B旋转后能与△APC重合，
∴旋转中心是点A；
（2）旋转角是∠BAC=60°；
（3）由（2）得：∠P′AP=∠BAC=60°．
16．【解析】（1）∵AP=AQ，∠PAQ=60°，
∴△APQ是等边三角形，∴PQ=AP=4；
（2）连接QC．
∵△ABC、△APQ是等边三角形，
∴∠BAC=∠PAQ=60°，
∴∠BAP=∠CAQ=60°–∠PAC．
在△ABP和△ACQ中，，
∴△ABP≌△ACQ（SAS），
∴BP=CQ=3，∠APB=∠AQC，
∵在△PQC中，PQ2+CQ2=PC2，
∴△PQC是直角三角形，且∠PQC=90°，
∵△APQ是等边三角形，
∴∠AQP=60°，
∴∠APB=∠AQC=∠AQP+∠PQC=60°+90°=150°．
∴△EAB≌△DAC，
∴∠AEB=∠ADC；
（2）如图，∵∠DAE=60°，AE=AD，
∴△EAD为等边三角形，∴∠AED=60°，
又∵∠AEB=∠ADC=105°，
∴∠BED=105°–60°=45°．
18．【答案】C
【解析】∵3个顶点的横坐标和纵坐标都乘–1，
∴新顶点与原顶点关于原点对称，
∴所得到的图形与原图形的关系是关于原点对称，
故选C．
19．【答案】D
20．【答案】A
【解析】如图，过点B作BC⊥x轴于点C，过点B'作B'D⊥x轴于点D，则∠OCB=∠B'DO=90°，
由旋转可得，BO=OB'，∠BOB'=90°，∴∠BOC+∠B'OD=90°=∠BOC+∠OBC，
∴∠OBC=∠B'OD，∴△BOC≌△OB'D，∴BC=OD，CO=DB'，
又∵B（–3，2），∴BC=OD=2，CO=DB'=3，∴B'（2，3），故选A．
21．【答案】B
【解析】将点A（0，2）绕原点O逆时针方向旋转60°后的对应点B的坐标是（–，1），
故选B．
22．【答案】C
【解析】∵把△ABC绕点C顺时针旋转35°后，得到△A1B1C，∴∠A1DA=35°，
而∠A1DC=90°，∴∠A=90°–35°=55°．故选C．
23．【答案】B
24．【答案】B
【解析】根据旋转的性质可知，绕O点顺时针旋转90°得到的图形如下．故选B．
25．【答案】36
【解析】∵ABCD绕顶点B顺时针旋转到?A1BC1D1，∴BC=BC1，∴∠BCC1=∠C1，
∵∠A=72°，∴∠BCC1=∠C1=72°，∴∠BCC1=∠C1，∴∠CBC1=180°–2×72°=36°，
∴∠ABA1=36°，故答案为：36．
26．【答案】2
【解析】∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=60°．根据旋转的性质，有∠PAP′=∠BAC=60°，AP′=AP，∴△APP′是等边三角形，∴PP′=AP=2，故答案为：2．
27．【解析】
由图中可以看出A′（–4，–4），B′（–1，–3），C′（–3，–3），D′（–3，–1）．
28．【解析】（1）旋转△ADF可得△ABE，
31．【答案】A
【解析】由题意将点P向下平移5个单位长度，再向左平移4个单位长度得到P1，∵P（1.2，1.4），
∴P1（–2.8，–3.6），∵P1与P2关于原点对称，∴P2（2.8，3.6），故选A．
32．【答案】A
【解析】在平面直角坐标系xOy中，将点N（–1，–2）绕点O旋转180°，得到的对应点的坐标是（1，2），故选A．
33．【答案】C
【解析】∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．
∴∠DCE=∠ACB=20°，∠BCD=∠ACE=90°，AC=CE，∴∠ACD=90°–20°=70°，
∵点A，D，E在同一条直线上，∴∠ADC+∠EDC=180°，
∵∠EDC+∠E+∠DCE=180°，∴∠ADC=∠E+20°，
∵∠ACE=90°，AC=CE，∴∠DAC+∠E=90°，∠E=∠DAC=45°，
在△ADC中，∠ADC+∠DAC+∠DCA=180°，即45°+70°+∠ADC=180°，
解得：∠ADC=65°，故选C．
34．【答案】C
35．【答案】90°
【解析】∵△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得，∴OB=OD，
∴旋转的角度是∠BOD的大小，∵∠BOD=90°，∴旋转的角度为90°．
故答案为：90°．
36．【答案】65°
【解析】∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，∴BC=B′C，
∴△BCB′是等腰直角三角形，∴∠CBB′=45°，∴∠B′A′C=∠A′B′B+∠CBB′=20°+45°=65°，由旋转的性质得∠A=∠B′A′C=65°．故答案为：65°．
37．【答案】3
【解析】由旋转得：AD=EF，AB=AE，∠D=90°，∵DE=EF，∴AD=DE，即△ADE为等腰直角三角形，根据勾股定理得：AE==3，则AB=AE=3，故答案为：3．
38．【答案】15°
【解析】∵将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，∴∠BAD=150°，AD=AB，
∵点B，C，D恰好在同一直线上，∴△BAD是顶角为150°的等腰三角形，
∴∠B=∠BDA，∴∠B=（180°–∠BAD）=15°，故答案为：15°．