人教版数学初中九年级上册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题23.2 中心对称 23.3 课题学习 图案设计（含答案）

知识
1．中心对称：
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心（简称中心）．
2．轴对称与中心对称的区别
轴对称：两个图形关于一条直线对称，沿该直线翻折，两图形重合；关于一条直线对称的两个图形，对应点的连线被对称轴垂直平分．
中心对称：两个图形关于一点对称，沿该点旋转180°，两个图形重合，关于一点对称的两个图形，对应点的连线被对称中心平分．
3．关于中心对称的图形的性质
（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分；
（2）关于中心对称的两个图形对应线段平行（或在同一条直线上）且相等；
（3）关于中心对称的两个图形是全等图形．
4．确定对称中心的方法
（1）连接任意一对对称点，取这条线段的中点，则该点是对称中心．
（2）连接任意两对对称点，这两条线段的交点即是对称中心．
5．利用尺规作关于中心对称的图形
这类问题应首先明确对称中心的位置，再利用“对应点的连线被对称中心平分”的特性，分别找出原图形中各个关键点的对应点，最后按原图形中各点的次序，将各对应点连接起来．
6．中点对称图形
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是对称中心．
7．关于原点对称的点的坐标特征
两个点关于原点对称时，它们的坐标符合相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P′（–x，–y）．
8．图案设计
图案的设计与日常生活息息相关，通常是利用基本图形的变换来完成设计工作．图形之间基本变换关系有轴对称、平移、旋转这三种基本形式，也有很多图形的形成是经过n次变换复合而成的，其复合形式灵活多样，我们可以根据各自的审美情趣，创造出各种各样的图案．
9．利用基本图案进行组合设计
几个基本图案组合在一起，可能形成一个复合型图案，我们还可以进行多次变换，设计出较大型美丽图案．
重点
重点
中心对称和中心对称图形的定义
关于原点对称的点的坐标特征
难点
中心对称与中心对称图形的区别
易错
区分中心对称与中心对称图形
一、中心对称与中心对称图形
1．中心对称是指两个图形间的位置关系．
2．中心对称是特殊的旋转，旋转角为180°．
3．成中心对称的两个图形，只有一个对称中心，这个对称中心可能在每个图形的外部，也可能在每个图形的内部或图形上，但对称点一定在对称中心的两侧与对称中心重合．
【例1】下列说法中错误的是
A．成中心对称的两个图形全等
B．成中心对称的两个图形中，对称点的连线被对称轴平分
C．中心对称图形的对称中心是对称点连线的中心
D．中心对称图形绕对称中心旋转180°后，都能与自身重合
【答案】B
【解析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称，中心对称图形的对称中心是对称点连线的交点，根据中心对称图形的定义和性质可知A、C、D正确，B错误．故选B．
【例2】下列四张扑克牌图案，属于中心对称的是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】A、是中心对称图形，符合题意；B、不是中心对称图形，不符合题意；C、不是中心对称图形，不符合题意；D、不是中心对称图形，不符合题意．故选A．
二、关于原点对称的点的坐标
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P′（–x，–y）．
【例3】在平面直角坐标系中，点P（–3，–5）关于原点对称的点的坐标是
A．（3，–5） B．（–3，5）
C．（3，5） D．（–3，–5）
【答案】C
【解析】点P（–3，–5）关于原点对称的点的坐标是（3，5），故选C．
【名师点睛】第一象限内的点关于原点的对称点在第三象限，第二象限内的点关于原点的对称点在第四象限，坐标轴上的点关于原点的对称点仍在坐标轴上．
三、利用轴对称设计图形
利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．
【例4】如图是由16个小正方形组成的正方形网格图，现已将其中的两个涂黑．请你用三种不同的方法分别在下图中再涂黑三个空白的小正方形，使它成为轴对称图形．
【答案】见解析
【解析】如图所示
四、利用平移设计图形
确定一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离，连续作图即可设计出美丽的图案．通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富多彩．
【例5】如图，它是由哪个基本图形经过怎样的变化得到的？
【答案】见解析
【解析】是由基本图形向右平移，再向下平移，再向左平移，然后再由基本图形利用轴对称结合平移，得出．
四、利用旋转设计图形
【例6】（1）请写出是旋转对称图形的两种多边形（正三角形除外）的名称，并分别写出其旋转角α的最小值；
（2）下面的网格图都是由边长为1的正三角形组成的，请以图中给出的图案为基本图形（其顶点均在格点上），在图1、图2中再分别添加若干个基本图形，使添加的图形与原基本图形组成一个新图案，要求：
①图1中设计的图案既是旋转对称图形又是轴对称图形；
②图2中设计的图案是旋转对称图形，但不是中心对称图形；
③所设计的图案顶点都在格点上，并给图案上阴影（建议用一组平行线段表示阴影）．
【答案】见解析
【解析】（1）正方形是旋转对称图形，最小旋转角为90°，
正六边形是旋转对称图形，最小旋转角为60°；
（2）①如图2所示：
②如图3所示：
基础训练
1．下列图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，点P（–3，）关于原点对称的点的坐标是
A．（–，3） B．（3，） C．（3，–） D．（–3，–）
3．如图是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是
A．主视图 B．左视图 C．俯视图 D．主视图和左视图
4．下列所示的图案分别是奔驰、奥迪、大众、三菱汽车的车标，其中看作由“基本图案”经过平移得到的是
A． B．
C． D．
5．将点A绕另一个点O旋转一周，点A在旋转过程中所经过的路线是__________.
6．在等腰三角形ABC中，∠C=90°，BC=2cm．如果以AC的中点O为旋转中心，将这个三角形旋转180°，点B落在点B′处，那么点B′与点B的原来位置相距__________cm．
7．如图，在平面直角坐标系中，图形①，②关于点P中心对称．
（1）画出对称中心P，并写出点P的坐标；
（2）将图形②向下平移4个单位长度，画出平移后的图形③，并判断图形③与图形①的位置关系．(直接写出结果)
8．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A(–3，2)，B(0，4)，C(0，2)．
（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C；平移△ABC，若A的对应点A2的坐标为(0，–4)，画出平移后对应的△A2B2C2；
（2）若将△A1B1C绕某一点旋转180°可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．
9．△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示，点A的坐标为（–2，3），点B的坐标为(–1，1)，点C的坐标为(0，2)．
（1）作△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C1．
（2）将△A1B1C1向右平移4个单位长度，作出平移后的△A2B2C2．
（3）点P是x轴上的一点，并且使得PA1＋PC2的值最小，则点P的坐标为(__________，__________)．

能力测试
10．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标分别为（2，1），（6，1），∠BAC=90°，AB=AC，直线AB交y轴于点P，若△ABC与△A′B′C′关于点P成中心对称，则点A′的坐标为
A．（–4，–5） B．（–5，–4）
C．（–3，–4） D．（–4，–3）
11．已知点A(x–2，3)与点B(x+4，y–5)关于原点对称，则yx的值是
A． 2 B． C． 4 D． 8
12．将线段AB绕点O顺时针旋转180°得到线段A′B′，那么A（–3，2）的对应点A′的坐标是__________．
13．以等腰直角△ABC的斜边AB所在的直线为对称轴，作这个△ABC的对称图形△，则所得到的四边形ACBC′一定是__________.
14．如图，方格纸上画有AB、CD两条线段，按下列要求作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）．
（1）请你在图①中画出线段AB、CD关于点E成中心对称的图形；
（2）请你在图②中画出线段AB关于CD所在直线成轴对称的图形；
（3）请你在图③中添上一条线段，使图中3条线段组成一个轴对称图形，请画出所有情形．

真题练习
15．（2019·张家界）下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是
A． B．
C． D．
16．（2019·成都）在平面直角坐标系中，点P（–3，–5）关于原点对称的点的坐标是
A．（3，–5） B．（–3，5）
C．（3，5） D．（–3，–5）
17．（2019·烟台）在学习《图形变化的简单应用》这一节时，老师要求同学们利用图形变化设计图案．下列设计的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是
A． B．
C． D．
18．（2019·攀枝花）下列平面图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是
A．菱形 B．等边三角形
C．平行四边形 D．等腰梯形
19．（2019?台州）在下列四个新能源汽车车标的设计图中，属于中心对称图形的是
A． B．
C． D．
20．（2019?江西）小军同学在网格纸上将某些图形进行平移操作，他发现平移前后的两个图形所组成的图形可以是轴对称图形．如图所示，现在他将正方形ABCD从当前位置开始进行一次平移操作，平移后的正方形顶点也在格点上，则使平移前后的两个正方形组成轴对称图形的平移方向有
A．3个 B．4个 C．5个 D．无数个
21．（2019?大庆）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（a，3），点B的坐标是（4，b），若点A与点B关于原点O对称，则ab=__________．
22．（2019?温州）如图，P，Q是方格纸中的两格点，请按要求画出以PQ为对角线的格点四边形．
（1）画出一个面积最小的PAQB．
（2）画出一个四边形PCQD，使其是轴对称图形而不是中心对称图形，且另一条对角线CD由线段PQ以某一格点为旋转中心旋转得到．
参考答案
1．【答案】D
2．【答案】C
【解析】点P（–3，）关于原点对称的点的坐标是（3，–），故选C．
3．【答案】C
【解析】观察几何体，可得三视图如图所示：
可知俯视图是中心对称图形，故选C.
4．【答案】B
【解析】观察图形可知，图案B可以看作由“基本图案”经过平移得到．故选B．
5．【答案】圆
【解析】依题意，点A绕点O旋转一周的路线是圆．
6．【答案】2
【解析】根据中心对称的性质得，OB=OB′，OC=1，又BC=2，
由勾股定理得BO=，所以BB′=2OB=.
故答案为.
7．【解析】（1）画点P，P（1，5）；
（2）画图形③，图形③与图形①关于点Q（1，3）成中心对称．
10．【答案】A
11．【答案】B
【解析】∵点A(x–2，3)与点B(x+4，y–5)关于原点对称，
∴，解得：，
则yx=2–1=．故选B．
12．【答案】（3，–2）
【解析】∵将线段AB绕点O顺时针旋转180°得到线段A′B′，
∴线段AB与线段A′B′的对应点关于原点对称，
∵点A坐标为（–3，2），
∴点A的对应点A′的坐标是（3，–2）；
故答案为：（3，–2）．
13．【答案】正方形
14．【解析】（1）如图①所示：

（2）如图②所示：

（3）共4种画法，如图③所示．
第一种：以线段CD的垂直平分线为对称轴；
第二种：以线段CD所在的直线为对称轴；
第三种：以线段AB所在的直线为对称轴；
第四种：以线段AB的垂直平分线为对称轴．
15．【答案】C
16．【答案】C
【解析】点P（–3，–5）关于原点对称的点的坐标是（3，5），故选C．
17．【答案】C
【解析】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误．
故选C．
18．【答案】A
【解析】A、菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项正确；
B、等边三角形不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
C、平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；
D、等腰梯形不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误．
故选A．
19．【答案】D
【解析】A、不是中心对称图形，本选项错误；
B、不是中心对称图形，本选项错误；
C、不是中心对称图形，本选项错误；
D、是中心对称图形，本选项正确．
故选D．
20．【答案】C
21．【答案】12
【解析】∵点A的坐标为（a，3），点B的坐标是（4，b），点A与点B关于原点O对称，
∴a=–4，b=–3，则ab=12．故答案为：12．
22．【解析】（1）答案不唯一，如图①所示：
（2）答案不唯一，如图②所示：