人教版数学初中九年级上册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题25.2 用列举法求概率（含答案）

知识
1．用列举法求概率
在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率.
事件的概率=．
2．用列表法求概率
当一次试验涉及两个因素并且可能出现的结果数较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法．
3．用树状图法求概率
当一次试验涉及三个或更多因素时，列表法就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用画树状图法．
重点
重点
能够运用列举法（包括列表法、画树状图法）求事件的概率
难点
列表法、画树状图法求事件的概率
易错
考虑问题不全面；不能准确区分放回试验与不放回试验对事件发生概率的影响
一、用列举法求概率
（1）常用的列举法：①直接列举法（枚举法）；②列表法；③树状图法．
（2）用列举法求某事件的概率时，各种结果出现的可能性必须相等．
（3）直接列举法求概率的适用条件是事件涉及的对象比较单一且出现的等可能结果数目较少．
【例1】有5张看上去无差别的卡片，上面分别写着2，4，5，7，9，随机抽取3张，用抽到的三个数字作为边长，恰能构成三角形的概率是
A． B． C． D．
【答案】A
【名师点睛】列举时要注意分类处理，保证结果不重复不遗漏．
二、用列表法求概率
（1）“涉及两个因素”包括两种情况：①同时进行两种相同的操作；②先后进行两次相同的操作，即两步试验．
（2）列表的方法：选一次操作（或一个条件）为横行，另一次操作（或另一个条件）为竖行．
（3）如果第一个因素有a种可能的结果，第二个因素有b种可能的结果，那么这个试验所有可能的结果数有ab种．
【例2】某中学举行数学竞赛，经预赛，七、八年级各有一名同学进入决赛，九年级有两名同学进入决赛，那么九年级同学获得前两名的概率是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】列表如下：
七
八
九
九
七
–––
（八，七）
（九，七）
（九，七）
八
（七，八）
–––
（九，八）
（九，八）
九
（七，九）
（八，九）
–––
（九，九）
九
（七，九）
（八，九）
（九，九）
–––
所有等可能的情况有12种，其中九年级同学获得前两名的情况有2种，
则P==．故选D．
【名师点睛】（1）用列举法列举事件发生的所有可能的结果时，注意各种结果出现的可能性必须相等．
（2）用列举法不适合求三步及三步以上试验的概率．
三、用树状图法求概率
（1）“涉及三个或更多因素”包括两种情况：①同时进行三种或更多种相同的操作；②先后进行三次或更多次相同的操作，即三步或更多步试验．
（2）如果各因素分别有a，b，c…种可能的结果，那么这个试验所有可能的结果有a×b×c×…种．
【例3】某人有红、白、蓝三条长裤和红、白、蓝三件衬衣，他从中任意拿一条长裤和一件衬衣，恰好颜色配套的概率是
A． B． C． D．
【答案】C
【名师点睛】用树状图列举所有可能的结果时，要注意题目中的关键字眼，弄清“放回”与“不放回的区别”．
基础训练
1．如图所示的两个圆盘中，指针落在每一个数上的机会均等，那么两个指针同时落在偶数上的概率是
A． B．
C． D．
2．书架上有数学书2本，英语书3本，语文书5本，从中任意抽取一本是数学书的概率是
A．

3．有三张正面分别标有数字–2，3，4的不透明卡片，它们除数字不同外，其余全部相同，现将它们背面朝上洗匀后，从中任取一张（不放回），再从剩余的卡片中任取一张，则两次抽取的卡片上的数字之积为正偶数的概率是
A．

4．随机掷一枚质地均匀的硬币两次，落地后至少有一次正面向上的概率是
A．

5．如图，在4×4的正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任意选取一个白色的小正方形并涂黑，使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是
A．
6．小杰和爸爸妈妈一起去奥体中心看球赛，他们买了同一排3张连号的票，小杰挨着爸爸坐的概率是
A．
7．一套书共有上，中，下三册，将它们任意摆放到书架的同一层上，这三册书从左到右恰好成上，中，下顺序的概率为
A． B． C． D．
8．如图，一个圆形转盘被分成了6个圆心角都为60°的扇形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向阴影区域的概率是
A．1 B．0 C． D．
9．袋子内有3个红球和2个蓝球，它们只有颜色上的区别，从袋子中随机地取出一个球，取出红球的概率是
A． B． C． D．
10．小明“六一”去公园玩投掷飞镖的游戏，投中图中阴影部分有奖品(飞镖盘被平均分成8份)，小明能获得奖品的概率是________.
11．从一个装有2黄2黑的袋子里有放回地两次摸到的都是黑球的概率是_______.
12．如图，用两个相同的转盘(每个圆都平均分成六个扇形)玩配紫色游戏(一个转盘转出“红”，另一个转盘转出“蓝”，则为配成紫色).在所给转盘中的扇形里，分别填上“红”、“蓝”或“白”，使得到紫色的概率是.
13．如图，有四张背面完全相同的卡片，小伟将这四张卡片背面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸一张．
（1）用树状图或列表法表示两次摸出卡片所有可能出现的结果卡片可用表示；
（2）求摸出两张卡片所表示的几何图形是轴对称图形而不是中心对称图形的概率．
能力测试
14．如果小强将飞镖随意投中如图所示的正方形木板，那么飞镖落在阴影部分的概率为
A．
15．自由转动转盘，指针指在白色区域的机会为的转盘是
A． B． C． D．
16．小明向图中的格盘中随意掷一棋子，使之落在三角形内的概率是
A．
17．一个布袋内只装有个黑球和个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是
A． B．
C． D．
18．某校组织九年级学生参加中考体育测试，共租3辆客车，分别编号为1、2、3，李军和赵娟两人可任选一辆车乘坐，则两人同坐2号车的概率为
A．

19．连掷两枚质地均匀的骰子，它们的点数相同的概率是
A． B．
C． D．
20．从1，3，5三个数中选取一个数作为x，使二次根式有意义的概率为______．
21．某学校组织知识竞赛，共设有15道试题，其中有关中国传统文化试题8道，实践应用试题4道，创新试题3道，一学生从中任选一道试题作答，他选中创新能力试题的概率是______．
22．“中国梦”关乎每个人的幸福生活，为进一步感知我们身边的幸福，展现成都人追梦的风采，某校开展了以“梦想中国，逐梦成都”为主题的摄影大赛，要求参赛学生每人交一件作品.现将参赛的50件作品的成绩(单位：分)进行统计如下：
等级
成绩（用s表示）
频数
频率
A
90≤s≤100
x
0.08
B
80≤s＜90
35
y
C
s＜80
11
0.22
合?计
50
1
请根据上表提供的信息，解答下列问题：
（1）表中x的值为________，y的值为________；
（2）将本次参赛作品获得A等级的学生依次用A1，A2，A3，…表示，现该校决定从本次参赛作品获得A等级的学生中，随机抽取两名学生谈谈他们的参赛体会，请用树状图或列表法求恰好抽到学生A1和A2的概率.
23．王强与李刚两位同学在学习“概率”时，做抛骰子（均匀正方体形状）试验，他们共抛了54次，出现向上的点数的次数如下表：
向上点数
1
2
3
4
5
6
出现次数
6
9
5
8
16
10
（1）请计算出现向上点数为3的频率及出现向上点数为5的频率；
（2）王强说：“根据试验，一次试验中出现向上点数为5的概率最大”.
李刚说：“如果抛540次，那么出现向上点数为6的次数正好是100次”.
两位同学的说法正确吗？为什么？
（3）如果王强与李刚各抛一枚骰子，求出现向上点数之和为3的倍数的概率.
真题练习
24．（2019·青海）用扇形统计图反映地球上陆地面积与海洋面积所占比例时，陆地面积所对应的圆心角是108°，当宇宙中一块陨石落在地球上，则落在陆地上的概率是
A．
25．（2019·山西）在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球．两次都摸到黄球的概率是
A．

26．（2019·梧州）小燕一家三口在商场参加抽奖活动，每人只有一次抽奖机会：在一个不透明的箱子中装有红、黄、白三种球各1个，这些球除颜色外无其他差别，从箱子中随机摸出1个球，然后放回箱子中轮到下一个人摸球，三人摸到球的颜色都不相同的概率是
A．

27．（2019·荆州）如图，将一块菱形ABCD硬纸片固定后进行投针训练．已知纸片上AE⊥BC于E，CF⊥AD于F，sinD=．若随意投出一针命中了菱形纸片，则命中矩形区域的概率是
A．
28．（2019·大连）一个不透明的袋子中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，随机摸出一个小球，记下标号后放回，再随机摸出一个小球并记下标号，两次摸出的小球标号的和是偶数的概率是
A．
29．（2019·攀枝花）布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出第二个球，两次都摸出白球的概率是
A．

30．（2019·河南）现有4张卡片，其中3张卡片正面上的图案是“”，1张卡片正面上的图案是“”，它们除此之外完全相同．把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案相同的概率是
A．

31．（2019·抚顺）一个不透明布袋里有3个红球，4个白球和m个黄球，这些球除颜色外其余都相同，若从中随机摸出1个球是红球的概率为，则m的值为__________．
32．（2019·通辽）如图，这个图案是3世纪我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．已知AE=3，BE=2，若向正方形ABCD内随意投掷飞镖（每次均落在正方形ABCD内，且落在正方形ABCD内任何一点的机会均等），则恰好落在正方形EFGH内的概率为__________．
33．（2019·龙东地区）掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为5的概率是__________．
34．（2019·长沙）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数为偶数的概率是__________．
35．（2019·兰州）在一个不透明的布袋里装有4个标有1、2、3、4的小球，它们的形状、大小完全相同，李强从布袋中随机取出一个小球，记下数字为x，王芳在剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为y，这样确定了点M的坐标
（1）画树状图列表，写出点M所有可能的坐标；
（2）求点在函数的图象上的概率．
36．（2019·甘孜州）某区域为响应“绿水青山就是金山银山”的号召，加强了绿化建设.为了解该区域群众对绿化建设的满意程度，某中学数学兴趣小组在该区域的甲、乙两个片区进行了调查，得到如下不完整统计图.
请结合图中信息，解决下列问题：
（1）此次调查中接受调查的人数为__________人，其中“非常满意”的人数为__________人；
（2）兴趣小组准备从“不满意”的4位群众中随机选择2位进行回访，已知这4位群众中有2位来自甲片区，另2位来自乙片区，请用画树状图或列表的方法求出选择的群众来自甲片区的概率.
参考答案
1．【答案】C
【解析】列表如下：
1
2
3
4
5
2
(1，2)
(2，2)
(3，2)
(4，2)
(5，2)
3
(1，3)
(2，3)
(3，3)
(4，3)
(5，3)
4
(1，4)
(2，4)
(3，4)
(4，4)
(5，4)
5
(1，5)
(2，5)
(3，5)
(4，5)
(5，5)
6
(1，6)
(2，6)
(3，6)
(4，6)
(5，6)
所有等可能的情况有25种，其中两个指针同时落在偶数上的情况有6种，
则P（两个指针同时落在偶数上）=.故答案为：.
2．【答案】D
3．【答案】C
【解析】画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，两次抽取的卡片上的数字之积为正偶数的有2种情况，
∴两次抽取的卡片上的数字之积为正偶数的概率是：.故选C.
4．【答案】A
【解析】∵随机掷一枚质地均匀的硬币两次，可能出现的情况为：正正，正反，反正，反反．∴落地后至少有一次正面朝上的概率为．故选A．
5．【答案】B
6．【答案】C
【解析】设小杰为A，爸爸为B，妈妈为C，
则所有的可能性是：（ABC），（ACB），（BAC），（BCA），（CAB），（CBA），
∴小杰挨着爸爸坐的概率是：，故选C.
7．【答案】B
【解析】画树状图得：
所有等可能的情况有6种，其中恰好从左到右摆成“上、中、下”顺序的只有1种，则P=．故选B．
8．【答案】C
【解析】设圆的面积为6，
∵圆被分成6个相同扇形，∴每个扇形的面积为1，∴阴影区域的面积为3，
∴指针指向阴影区域的概率.
9．【答案】C
【解析】根据概率=所求情况数与总情况数之比可得：
因为3个红球，2个蓝球，一共是5个，从袋子中随机取出一个球，
所以取出红球的概率是:.
故选C.
10．【答案】
【解析】观察图形可得：总共有8份，而阴影部分的区域占3份，所以命中的概率为.
故答案为：.
11．【答案】
12．【解析】如图，
一个转盘的六个扇形都填“红”，另一个转盘的一个扇形填“蓝”，余下的五个扇形不填或填其他色.
13．【解析】（1）画树状图得：
则共有16种等可能的结果；
（2）∵是轴对称图形而不是中心对称图形情况有1种，
是轴对称图形而不是中心对称图形的概率．
14．【答案】C
【解析】设小正方形的边长为1，则正方形的面积为6×6=36，
阴影部分面积为，所以，飞镖落在阴影部分的概率为.
故选：C.
15．【答案】C
故选：C.
16．【答案】C
【解析】设小正方形的边长为1，则正方形的面积为9，三角形的面积为，所以，棋子落在三角形内的概率是.
故选：C.
17．【答案】D
【解析】列表得：
黑
白
白
黑
(黑，黑)
(白，黑)
(白，黑)
白
(黑，白)
(白，白)
(白，白)
白
(黑，白)
(白，白)
(白，白)
∵共9种等可能的结果，两次都是黑色的情况有1种，
∴两次摸出的球都是黑球的概率为，故选D.
18．【答案】A
【解析】画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两人同坐2号车的结果数为1，
所以两人同坐2号车的概率故选A.
19．【答案】D
【解析】列表得：
∵一共有36种等可能的结果，两枚骰子点数相同的有6种，
∴两枚骰子点数相同的概率是：.
故选D．
20．【答案】
21．【答案】
【解析】因为共有15道题，创新能力试题3道，所以从中任选一道试题作答，他选中创新能力试题的
概率是，故答案为:.
22．【解析】（1）x=50–35–11=4；y=35÷50=0.7；故答案为：4，0.7；
（2）由第1问知获得A等级的学生共有4人，则另外两名学生为A3和A4.
由如下树状图可知：
23．【解析】（1）向上点数为3的频率=向上点数为5的频率
（2）王强的说法不对；李刚的说法不对.
每个点数出现的机会是相等的，因而一次试验中出现向上点数为5的概率是，故王强的说法是错误的；
出现的概率只是反映机会的大小，因而李刚的说法也是错误的．
（3）由表可知共有36种可能结果，其中和为3的倍数的有12种，
∴P(点数之和为3的倍数)
24．【答案】D
【解析】“陆地”部分对应的圆心角是，
“陆地”部分占地球总面积的比例为：，
宇宙中一块陨石落在地球上，落在陆地的概率是，
故选D．
25．【答案】A
【解析】画树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到黄球的有4种结果，
∴两次都摸到黄球的概率为，故选A．
26．【答案】D
故选D．
27．【答案】B
【解析】设CD=5a，
∵四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于E，CF⊥AD于F，sinD=，
∴CF=4a，DF=3a，
∴AF=2a，
∴命中矩形区域的概率是：，
故选B．
28．【答案】D
【解析】列表得：
29．【答案】A
【解析】画树状图得：
则共有9种等可能的结果，两次都摸到白球的有4种情况，
∴两次都摸到白球的概率为.
故选：A．
30．【答案】D
【解析】令3张用A1，A2，A3表示，用B表示，
画树状图为：
，
一共有12种可能的情况，其中两张卡片正面图案相同的有6种情况，
故从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案相同的概率是：．
故选D．
31．【答案】2
【解析】由题意可得，布袋中球的总数为：3÷=9（个），
所以m=9–3–4=2，
故答案为：2．
32．【答案】
33．【答案】
【解析】掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数有6种可能，所以向上一面的点数为5的概率是：，
故答案为：．
34．【答案】
【解析】正方体骰子共六个面，点数为1，2，3，4，5，6，偶数为2，4，6，
故点数为偶数的概率为，故答案为：．
35．【解析】（1）画树状图得：
共有12种等可能的结果、、、、、、、、、、、；
（2）∵在所有12种等可能结果中，在函数的图象上的有、、这3种结果，
点在函数的图象上的概率为．
36．【解析】（1）∵满意的有20人，占40%，