人教版数学初中九年级下册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题27.1 图形的相似（含答案）

知识
1．相似图形的定义
（1）我们把形状相同的图形叫做__________．
（2）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形__________得到．
（3）全等图形可以看成是一种特殊的相似图形，即不仅形状相同，大小也相等．
2．比例线段
（1）对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另两条线段的比相等，如（即ad=bc），我们就说这四条线段__________．
（2）比例的相关性质
①比例的基本性质：若，则__________；若ad=bc（bd≠0），则．
②比例的有关性质：
合比性质：若，则或（a+b，c+d均不为0）．
分比性质：若，则或（a–b，c–d均不为0）
更比性质：若，则或（a，b，c，d均不为0）．
等比性质：若，则．
3．相似多边形
（1）两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做__________．
（2）相似多边形对应边的比叫做__________．
知识参考答案：
1．（1）相似图形；（2）放大或缩小；
2．（1）成比例；（2）ad=bc．
3．（1）相似多边形；（2）相似比．
重点
重点
了解线段的比和成比例的线段
难点
相似多边形的有关性质
易错
求线段的比时，线段的长度单位不一致；找错相似多边形的对应边
一、相似图形
判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是形状相同，与图形的大小、位置无关，这也是相似图形的本质．
【例1】下列四组图形中，不是相似图形的是
A． B．
C． D．
【答案】D
【例2】下列各组图形一定相似的是
A．各有一角是70°的两个等腰三角形
B．任意两个等边三角形
C．任意两个矩形
D．任意两个菱形
【答案】B
【解析】A、各有一角是70°的两个等腰三角形对应角不一定相等，故不一定相似；B、两个等边三角形相似对应边的比相等，对应角相等，一定相似；C、两个矩形对应边的比不一定相等，故不一定相似；D、任意两个菱形对应角不一定相等，故不一定相似；故选B．
二、比例线段
一般地，四条线段a，b，c，d的单位应该一致，有时为了计算方便，a，b的单位一致，c，d的单位一致也可以．
【例3】下列线段（单位：cm）成比例的是
A．1，2，3，4 B．5，6，7，8
C．1，2，2，4 D．3，5，6，9
【答案】C
三、相似多边形
两个多边形相似，必须同时具备两个条件：（1）角分别相等；（2）边成比例．
【例4】下列说法正确的是
A．对应边成比例的多边形都相似
B．四个角对应相等的梯形都相似
C．有一个角相等的两个菱形相似
D．有一个锐角相等的两个等腰三角形相似
【答案】C
【解析】A、对应边成比例且对应角相等的多边形都相似，故原说法错误；B、四个角对应相等且对应边成比例的梯形都相似，故原说法错误； C、有一个角相等即可利用菱形的性质得到其余的角对应相等，且对应边的比相等，故这样的菱形相似，正确；D、有一个锐角相等的两个等腰三角形不一定相似，故原说法错误．故选C．
基础训练
1．下列各选项中的两个图形是相似图形的是
A． B．
C． D．
2．下列图形是相似图形的是
A．两张孪生兄弟的照片
B．一个三角板的内、外三角形
C．行书中的“美”与楷书中的“美”
D．在同一棵树上摘下的两片树叶
3．下列各组线段(单位：cm)中，成比例线段的是
A．1，2，3，4 B．1，2，2，4
C．3，5，9，13 D．1，2，2，3
4．下列四组图形中，一定相似的是
A．正方形与矩形 B．正方形与菱形
C．菱形与菱形 D．正五边形与正五边形
5．一个五边形的边长依次为2，3，4，5，6，另一个和它相似的五边形的最长边长为24，则这个五边形的最短边长为
A．6 B．8
C．10 D．12
6．若，则下列各式正确的是．
A． B．
C． D．
7．将一个直角三角形三边扩大3倍，得到的三角形一定是
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能
8．两个相似多边形的一组对应边边长分别为3cm和4.5cm，那么它们的相似比为
A． B．
C． D．
9．已知a，b，c，d是四条线段，且，其中a=5cm，b=3cm，c=6cm，则线段d=________cm.
10．在一幅比例尺是1∶100000的地图上，测得A，B两地间的距离为3.5厘米，那么A，B两地间的实际距离为__________米．
11．如图，若△ADE∽△ACB，且，DE=10，则BC=__________．
12．在比例尺为1∶200的地图上，测得A，B两地间的图上距离为4.5cm，则A，B两地间的实际距离为__________．
13．如图所示，它们是两个相似的平行四边形，根据条件可知，∠α=__________，m=__________．
14．如图所示是两个相似四边形，求边x、y的长和∠α的大小．
15．如图，左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形，要求大小与左边四边形不同．
能力测试
16．用放大镜看四边形ABCD，若四边形的边长被放大为原来的10倍，则下列结论正确的是
A．放大后的∠B是原来的10倍
B．两个四边形的对应边相等
C．两个四边形的对应角相等
D．以上选项都不正确
17．如图，在长为8cm、宽为4cm的矩形中截去一个矩形(阴影部分)，使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形的宽为________cm.
18．△ABC和△A′B′C′的各角的度数与各边的长度如图，这两个三角形相似吗？若相似，则相似比是多少？若不相似，请说明理由．
19．如图，六边形ABCDEF与六边形A′B′C′D′E′F′相似．
求：（1）相似比；
（2）∠A和∠B′的度数；
（3）边CD，EF，A′F′，E′D′的长．
20．如图，矩形ABCD中，AB=30，BC=20.
（1）如图（1），若在矩形ABCD的内部沿四周有宽为1的空白区域，矩形A′B′C′D′与矩形ABCD相似吗？请说明理由；
（2）如图（2），当x为多少时，矩形ABCD与矩形A′B′C′D′相似？

真题练习
21．（2019?梧州）如图，AG：GD=4：1，BD：DC=2：3，则AE：EC的值是
A．3：2 B．4：3
C．6：5 D．8：5
22．（2019?陇南）已知=（a≠0，b≠0），下列变形错误的是
A．= B．2a=3b
C．= D．3a=2b
23．（2019?乐山）如图，DE∥FG∥BC，若DB=4FB，则EG与GC的关系是
A．EG=4GC B．EG=3GC
C．EG=GC D．EG=2GC
24．（2019?宁夏）已知：=，则的值是__________．
25．（2019?舟山）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F，已知=，则=__________．
26．（2019?成都）已知==，且a+b–2c=6，则a的值为__________．
参考答案
1．【答案】D
【解析】只有选项D的图形形状相同，故相似．故选D．
2．【答案】B
【解析】两张孪生兄弟的照片，不一定完全相同；一个三角板的内、外三角形形状相同，故相似；行书中的“美”与楷书中的“美”，形状不同；在同一棵树上摘下的两片树叶，形状不同.故选B．
3．【答案】B
【解析】A．1×4≠2×3，故本选项错误；
B．2×2=1×4，故本选项正确；
C．3×13≠5×9，故本选项错误；
D．1×3≠2×2，故本选项错误；
故选B．
4．【答案】D
5．【答案】B
【解析】设这个五边形的最短边是x，则，解得x=8．故选B．
6．【答案】B
【解析】A．2a=3b?a:b=3:2，故选项错误；
B．3a=2b?a:b=2:3，故选项正确；
C．?b:a=2:3，故选项错误；
D．?a:b=4:3，故选项错误．
故选B．
7．【答案】A
【解析】将直角三角形的三边同时扩大3倍，根据相似三角形的判定可知，得到的三角形和原三角形相似，得到的三角形还是直角三角形.故选A．
8．【答案】A
【解析】由题意得，两个相似多边形的一组对应边的比为3:4.5=，∴它们的相似比为，故选A．
9．【答案】
【解析】因为a，b，c，d是四条线段，且，即，解得d=，故答案为：．
13．【答案】125°；12
【解析】两个平行四边形相似，解得：
故答案为：
14．【解析】由于两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等，所以18：4=y：6=x：7，解得x=31.5，y=27．α=360°–（77°+83°+117°）=83°．故答案为x=31.5，y=27，83°．
15．【解析】如图所示：
16．【答案】C
17．【答案】2
【解析】设留下的矩形的宽为x，∵留下的矩形与矩形相似，∴，解得x=2，
∴留下的矩形的宽为：2cm.故答案为：2．
18．【解析】∵∠A=180°–∠B–∠C=82.5°，∠A′=180°–∠B′–∠C′=82.5°，
∴∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′.
又∵，，，
∴.
∴根据相似图形的定义可知，△ABC与△A′B′C′相似，相似比是3∶1.
19．【解析】（1）∵六边形ABCDEF与六边形A′B′C′D′E′F′相似，BC与B′C′是对应边，
∴，即相似比为.
（2）∵六边形ABCDEF与六边形A′B′C′D′E′F′相似，∴∠A=∠A′，∠B=∠B′.又∵∠A′=90°，∠B=150°，∴∠A=90°，∠B′=150°.
（3）∵六边形ABCDEF与六边形A′B′C′D′E′F′相似，
∴====.
由=，AF=4cm，得=，∴A′F′=(cm)．
由=，E′F′=4cm，得=，∴EF=(cm)．
由=，ED=5cm，得=，∴E′D′=(cm)．
由=，C′D′=3cm，得=，∴CD=(cm)．
即CD=cm，EF=cm，A′F′=cm，E′D′=cm.
20．【解析】（1）不相似．
故当x为1.5或9时，矩形ABCD与矩形A′B′C′D′相似．
21．【答案】D
【解析】过点D作DF∥CA交BE于F，如图，
∵DF∥CE，∴=，而BD：DC=2：3，∴=，则CE=DF，
∵DF∥AE，∴=，∵AG：GD=4：1，∴=，则AE=4DF，
∴==．故选D．
22．【答案】B
【解析】由=得，3a=2b，
A、由等式性质可得：3a=2b，正确；
B、由等式性质可得3a=2b，错误；
C、由等式性质可得：3a=2b，正确；
D、由等式性质可得：3a=2b，正确；
故选B．