人教版数学初中九年级下册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题27.3 位似（含答案）

知识
1．位似图形
（1）如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做__________，这个点叫做__________．
（2）位似图形一定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形．
（3）位似图形具有两个特点：一是相似图形；二是对应点的连线交于一点．
（4）利用位似，可以将一个图形放大或缩小．
2．位似图形的性质
（1）位似图形的对应角相等，对应边成比例．
（2）位似图形的对应点的连线相交于一点，即经过位似中心．
（3）位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上．
（4）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．
3．位似图形的画法
画位似图形的一般步骤：
（1）确定位似中心；
（2）分别连接位似中心和能代表原图的关键点并延长；
（3）根据相似比，确定能代表所画的位似图形的关键点；
（4）按照原图的形状，顺次连接上述各点，得到放大或缩小后的图形．
4．位似图形对应点的坐标的变化规律
一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点（x，y）对应的位似图形上的点的坐标为（kx，ky）或（–kx，–ky）．
知识参考答案：
1．（1）位似图形；（2）位似中心．
重点
重点
理解位似图形的概念，理解位似变化是特殊的相似变化．
难点
画位似图形，根据相似比把一个图形放大或缩小
易错
混淆位似与相似，忽略位似中心的位置
一、位似图形
（1）位似中心可以在两个图形的内部，可以在两个图形的外部，也可以在两个图形上．
（2）判断两个图形是否位似，首先看它们是否相似，再看对应的连线是否经过同一点．
【例1】下列关于位似图形的表述：
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于相似比．
其中正确命题的序号是（　　）
A．②③ B．①② C．③④ D．②③④
【答案】A
二、位似图形的性质
位似图形的对应角相等，对应边成比例；位似图形的对应点的连线相交于一点，即经过位似中心；位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上；位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．
【例2】如图，在正方形网格中，△ABC和△DEF相似，则关于位似中心与相似比叙述正确的是
A．位似中心是点B，相似比是2：1
B．位似中心是点D，相似比是2：1
C．位似中心在点G，H之间，相似比为2：1
D．位似中心在点G，H之间，相似比为1：2
【答案】C
三、画位似图形
用在对应点所在直线上截取的方法画位似图形时，关键是准确地按比例画出各线段的长，只有这样画出的图形才准确．
【例3】（1）图1中，以O为位似中心，把△ABC放大到原来的2倍；
（2）图2中，以O为位似中心，把△ABC缩小为原来的．
四、平面直角坐标系中的位似变化
位似、平移、轴对称、旋转都是图形变化的基本形式，它们的本质区别在于：平移、轴对称、旋转三种图形变化都是全等变化，而位似变化是相似（扩大、缩小或不变）变化．
【例4】如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（1，2），D（2，0），以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B的坐标为（6，0），则点A的坐标为
A．（2，5） B．（2.5，5）
C．（3，5） D．（3，6）
【答案】D
基础训练
1．下列说法不正确的是
A．位似图形一定是相似图形
B．相似图形不一定是位似图形
C．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比
D．位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行
2．如图，点O是五边形ABCDE和A1B1C1D1E1的位似中心，若OA∶OA1=1∶3，则C1D1∶CD=
A．1∶2 B．1∶3
C．3∶1 D．1∶4
3．如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，若AD=OA，则△ABC与△DEF的面积之比为
A．1:2 B．1:4
C．1:5 D．1:6
4．如图，火焰的光线穿过小孔O，在竖直的屏幕上形成倒立的实像，像的长度BD=2cm，OA=60cm，OB=15cm，则AC的长度为________.
5．已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，以点A为位似中心把△ABC的各边放大2倍后得到△AB′C′，则∠B的对应角∠B′的度数为__________.
6．如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE的面积扩大为原来的4倍，得到五边形A′B′C′D′E′，则OD∶OD′=__________.
7．如图，矩形ABCD与矩形AB′C′D′是位似图形，A为位似中心，已知矩形ABCD的周长为24，BB′=4，DD′=2，求AB、AD的长．
8．如图，分别按下列要求作出四边形ABCD以O点为位似中心的位似四边形A′B′C′D′.
(1) 沿AO的方向放大为原图的2倍；
(2) 沿OA的方向放大为原图的2倍．
能力测试
9．下列说法：有一个锐角相等的两个直角三角形相似；顶角相等的两个等腰三角形相似；任意两个菱形一定相似；位似图形一定是相似图形；其中正确的个数
A．1个 B．2个
C．3 D．4个
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为轴于点以原点O为位似中心，将放大为原来的2倍，得到，且点在第二象限，则点的坐标为
A． B．
C． D．
11．如图，正方形BODC的顶点C的坐标是，以原点O为位似中心，将正方形BODC缩小后得到正方形，点C的对应点C′的坐标为，那么点D的对应点D′的坐标为
A． B．
C． D．
12．如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是__________．
13．如图，在的正方形方格中，每个小正方形的边长都为1，顶点都在网格线交点处的三角形，是一个格点三角形．
在图中，请判断与是否相似，并说明理由；
在图中，以O为位似中心，再画一个格点三角形，使它与的位似比为2：1；
在图中，请画出所有满足条件的格点三角形，它与相似，且有一条公共边和一个公共角．
真题练习
14．（2019?毕节市）在平面直角坐标系中，△OAB各顶点的坐标分别为：O（0，0），A（1，2），B（0，3），以O为位似中心，△OA′B′与△OAB位似，若B点的对应点B′的坐标为（0，–6），则A点的对应点A′坐标为
A．（–2，–4） B．（–4，–2）
C．（–1，–4） D．（1，–4）
15．（2019?邵阳）如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），过点A作AB⊥x轴于点B．将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的，得到△COD，则CD的长度是
A．2 B．1
C．4 D．2
16．（2019?潍坊）在平面直角坐标系中，点P（m，n）是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，则点P的对应点的坐标为
A．（2m，2n） B．（2m，2n）或（–2m，–2n）
C．（m，n） D．（m，n）或（–m，–n）
17．（2019?青海）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且=，则=__________．
18．（2019?宁夏）已知：△ABC三个顶点的坐标分别为A（–2，–2），B（–5，–4），C（–1，–5）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2，并写出点B2的坐标．
参考答案
3．【答案】B
【解析】利用位似图形的性质首先得出位似比，进而得出面积比．∵以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，AD=OA，∴OA：OD=1：2，∴△ABC与△DEF的面积之比为：1：4．故选B．
4．【答案】8cm
【解析】由题意可得△AOC∽△BOD，再根据相似三角形的对应边成比例即可求得结果.
由题意得△AOC∽△BOD，∴，∵BD=2cm，OA=60cm，OB=15cm，∴，解得，则AC的长度为8cm.
5．【答案】72°
【解析】∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠C=72°．∵△ABC∽△AB′C′，∴∠B′=∠B=72°．故答案是：72°.
8．【解析】（1）如图所示：四边形A′B′C′D′符合题意；（2）如图所示：四边形A″B″C″D″符合题意.
9．【答案】C
【解析】①有一个锐角相等的两个直角三角形相似；正确.
②顶角相等的两个等腰三角形相似；正确.
③任意两个菱形不一定相似；不正确.
④位似图形一定是相似图形；正确.
故选C．
10．【答案】A
【解析】根据位似的性质可得当点在第二象限时，的坐标为故选A．
11．【答案】A
【解析】∵点C的坐标是(3，3)，∴点D的坐标是(3，0)，
∵点C′的坐标为(?1，?1)，∴点D′的坐标为(?1，0)，故选A．
12．【答案】（9，0）
【解析】根据位似图形的定义，连接A′A，B′B并延长交于(9，0)，所以位似中心的坐标为(9，0)．
14．【答案】A
【解析】∵△OA′B′与△OAB关于O（0，0）成位似图形，且B（0，3）的对应点B′的坐标为（0，–6），∴OB：OB'=1：2=OA：OA'．∵A（1，2），∴A'（–2，–4）．故选A．
15．【答案】A
【解析】∵点A（2，4），过点A作AB⊥x轴于点B．将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的，得到△COD，∴C（1，2），则CD的长度是：2．故选A．
16．【答案】B
【解析】点P（m，n）是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，则点P的对应点的坐标为（m×2，n×2）或（m×（–2），n×（–2）），即（2m，2n）或（–2m，–2n），故选B．