苏科版八年级上册数学全套章节讲义练习(同步巩固+专题拓展)

目录
一、同步巩固篇
1
7
14
21
27
35
41
46
53
61
67
72
80
84
86
90
96
103
108
115
120
127
137
145
152

二、专题拓展篇
160
165


第1讲 全等三角形的概念和性质
【学习目标】
1．理解全等三角形及其对应边、对应角的概念；能准确辨认全等三角形的对应元素.
2．掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题.
【要点梳理】
要点一、全等形
形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.
要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.
要点二、全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.
要点三、对应顶点，对应边，对应角
1. 对应顶点，对应边，对应角定义
两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.
要点诠释：
在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.

2. 找对应边、对应角的方法
（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；
（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；
（3）有公共边的，公共边是对应边；
（4）有公共角的，公共角是对应角；
（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；
（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.
要点四、全等三角形的性质
　　全等三角形的对应边相等；
全等三角形的对应角相等.
要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.



【巩固练习A】
一、选择题
1. 如图所示，△ABC≌△DEC，则不能得到的结论是（ ）
A. AB＝DE B. ∠A＝∠D C. BC＝CD D. ∠ACD＝∠BCE

2. 如图，△ABC≌△BAD，A和B，C和D分别是对应顶点，若AB＝6，AC＝4，BC＝5，则AD的长为（　 ）
A. 4　　 　B. 5　　 　C. 6　 　D. 以上都不对

3. 下列说法中正确的有（ ）
①形状相同的两个图形是全等图形 ②对应角相等的两个三角形是全等三角形 ③全等三角形的面积相等 ④若△ABC≌△DEF，△DEF ≌△MNP，△ABC≌△MNP.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
4. 如图，△ABC≌△A′B′C，∠ACB=90°，∠A′CB=20°，则∠BCB′的度数为（　　）

　 A.20° B.40° C.70° D.90°
5. 已知△ABC≌△DEF，BC＝EF＝6cm，△ABC的面积为18平方厘米，则EF边上的高是（ 　）
A.6cm　　　 　B.7cm　　 　C.8cm　 　　D.9cm
6. 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC、BD分别为折痕，则∠CBD的度数为（　　）
A．60°　　　　 B．75°　　　　　　C．90°　　 　D．95°



二、填空题
7.如图所示，△AOB≌△COD，∠AOB=∠COD，∠A=∠C，则∠D的对应角是___________，图中相等的线段有____________________________．

8. 如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A=36°，∠C′=24°，则∠B=___________.
　
9. 已知△DEF≌△ABC，AB＝AC，且△ABC的周长为23，BC＝4，则△DEF的边中必有一条边等于______.
10. 如图，如果将△ABC向右平移CF的长度，则与△DEF重合，那么图中相等的线段有__________；若∠A＝46°，则∠D＝________.

11.已知△ABC≌△，若△ABC的面积为10 ，则△的面积为________ ，若△的周长为16，则△ABC的周长为________．
12. △ABC中，∠A∶∠C∶∠B＝4∶3∶2，且△ABC≌△DEF，则∠DEF＝______ .
三、解答题
13.如图，已知△ABC≌△DEF，∠A＝30°，∠B＝50°，BF＝2，求∠DFE的度数与EC的长.





14. 如图，在图中的两个三角形是全等三角形，其中A和D、B和E是对应点．
（1）用符号“≌“表示这两个三角形全等（要求对应顶点写在对应位置上）；
（2）写出图中相等的线段和相等的角；
（3）写出图中互相平行的线段，并说明理由．

15. 如图，E为线段BC上一点，AB⊥BC，△ABE≌△ECD.判断AE与DE的关系，并证明你的结论.

【巩固练习B】
一、选择题
1．下列命题中，真命题的个数是 （ ）
①全等三角形的周长相等 ②全等三角形的对应角相等
③全等三角形的面积相等 ④面积相等的两个三角形全等
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2. 如图，△ABC≌△ADE，若∠B=80°，∠C=30°，∠DAB：∠DAC=4：3，则∠EFC的度数为（　　）
A．30° B．40° C．70° D．80°

3.下列命题中：⑴形状相同的两个三角形是全等形；⑵在两个三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；⑶全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其中真命题的个数有( )
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
4．△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为100，A、B分别与D、E对应，且AB＝35，DF＝30，则EF的长为（　　　）　
A．35 B．30 C．45 D．55
5.如图，已知△ACE≌△DFB，下列结论中正确的个数是（　　）
①AC=DB；②AB=DC；③∠1=∠2；④AE∥DF；⑤S△ACE=S△DFB；⑥BC=AE；⑦BF∥EC．




6.如图，△ABE≌△ACD,AB＝AC, BE＝CD, ∠B＝50°,∠AEC＝120°，则∠DAC的度数为 （ 　 ）
A.120° B.70 ° C.60° D.50°

二、填空题
7. 如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线交DE于点G，若∠B=24°，∠CAB=54°，∠DAC=16°，则∠DGB=　 　．

8. 如图，△ABC≌△ADE，如果AB＝5，BC＝7，AC＝6，那么DE的长是________.

9. 如图，△ABC≌△ADE，则，AB＝ 　　 ，∠E ＝∠ 　　 ；若∠BAE＝120°，∠BAD＝40°，则∠BAC＝___________.

10.如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′=30°，则∠ACA′的度数为　__________．

11. △ABC中，∠A∶∠C∶∠B＝4∶3∶2，且△ABC≌△DEF，则∠DEF＝______



12. 如图,AC、BD相交于点O，△AOB≌△COD，则AB与CD的位置关系是 .

三、解答题
13. 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，△ABC≌△DFC，你能判断DE与AB互相垂直吗？说出你的理由.

14.如图，已知△ABC≌△DEF，∠A=30°，∠B=50°，BF=2，求∠DFE的度数和EC的长．




15.如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，
（1）写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；
（2）设的度数为，∠的度数为，那么∠1，∠2的度数分别是多少？（用含有或的代数式表示）
（3）∠A与∠1＋∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律.




第2讲 全等三角形的判定一（ASA，SAS）
【学习目标】
1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“角边角”，判定方法2——“边角边”；能运用它们判定两个三角形全等．
2．能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．
【要点梳理】
要点一、全等三角形判定1——“角边角”
全等三角形判定1——“角边角”
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△.

要点二、全等三角形判定2——“边角边”
1. 全等三角形判定2——“边角边”
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.

要点诠释：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.
2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.





【巩固练习A】
一、选择题
1.如图，AE∥DF，AE=DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（　　）

A.AB=CD B.EC=BF C.∠A=∠D D.AB=BC
2．如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是 （ ）

A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙
3．如图，AB⊥BC，BE⊥AC，∠1＝∠2，AD＝AB，则（ ）
A.∠1＝∠EFD B.BE＝EC C.BF＝DF＝CD D.FD∥BC

4．如图，由∠1＝∠2，BC＝DC，AC=EC，得△ABC≌△EDC的根据是（ ）
A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS

5. 某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的方法是( )
A.带①去 B.带②去 C.带③去 D.①②③都带去

6. 如图，将两根钢条，的中点O连在一起，使，可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，则的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△的理由是( )

A.边角边 　　　　B.角边角 　　C.边边边　　　　 D.角角边
二、填空题
7.如图，A，D，F，B在同一直线上，AE=BC，且AE∥BC．添加一个条件　 　，使△AEF≌△BCD．

8. 在△ABC和△中，∠A＝44°，∠B＝67°，∠＝69°，∠＝44°，且AC＝ ，则这两个三角形_________全等.（填“一定”或“不一定”）
9.如图，AD和CB相交于点E，BE=DE，请添加一个条件，使△ABE≌△CDE（只添一个即可），你所添加的条件是　 　．

10. 如图，AB∥CD，AD∥BC，OE＝OF，图中全等三角形共有______对.

11. 如图，点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，且AD＝AE，AB＝AC，若∠B ＝20°，则∠C＝_______．




12. 已知:如图，∠B＝∠DEF，AB＝DE，要说明△ABC≌△DEF，
（1）若以“ASA”为依据，还缺条件
（2）若以“SAS”为依据，还缺条件

三、解答题
13．如图，AB∥CD，AB=CD，点E、F在AD上，且AE=DF．
求证：△ABE≌△DCF．

14. 已知：如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠ADC＝∠BCD，AD＝BC，
求证：CO＝DO．

15. 已知：如图, AB∥CD, OA ＝ OD, BC过O点, 点E、F在直线AOD上, 且AE ＝ DF.
求证：EB∥CF.

【巩固练习B】
一、选择题
1.如图，口ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为（　　）
A.BE=DF B.BF=DE C.AE=CF D.∠1=∠2
2．如图，是的中线，、分别是和延长线上的点，且，连接、，下列说法：①；② 和的面积相等；③；④ ≌，其中正确的有（ ）．
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3. AD为△ABC中BC边上的中线, 若AB＝2, AC＝4, 则AD的范围是( )
A .AD＜6 B. AD＞2 C. 2＜AD＜6 D. 1＜AD＜3
4．如图，AB＝DC，AD＝BC，E、F是DB上两点，且BF＝DE，若∠AEB＝120°，∠ADB＝30°，则∠BCF＝（　　）．
A.150° 　　 B.40° 　　 C.80° 　 D.90°
5. 根据下列条件能唯一画出△ABC的是（ ）
A.AB＝3，BC＝4，AC＝8 B.AB＝4，BC＝3，∠A＝30°
C.AB＝5，AC＝6，∠A＝45° D. ∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°
6.如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（　　）
A．∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD
二、填空题
7.如图，点B、A、D、E在同一直线上，BD=AE，BC∥EF，要使△ABC≌△DEF，则只需添加一个适当的条件是　 　．（只填一个即可）






8．要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD=BC,再定出BF的垂线DE，使A，C，E在同一条直线上，如图8，可以得到，所以ED=AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定的理由是 .

9. 如图，已知AE＝AF，AB＝AC，若用“SAS”证明△AEC≌AFB，还需要条件 .

10. 如图，四边形ABCD中，∠1=∠2，请你补充一个条件　 　，使△ABC≌△CDA．

11. 如图所示，BE⊥AC于点D，且AD＝CD，BD＝ED，若∠ABC＝54°，则∠E＝ °.

12. 把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）， 如图，若测得AB＝5厘米，则槽宽为 厘米．



三、解答题
13.如图，已知AB=AD，AC=AE，∠1=∠2，求证：△ABC≌△ADE．

14. 如图, B＝C，BD＝CE，CD＝BF.求证: EDF ＝ 90 －A

15. 已知：如图，BE、CF是△ABC的高，且BP＝AC，CQ＝AB，求证：AP⊥AQ.




















第3讲 全等三角形的判定二（SSS，AAS）
【学习目标】
1．理解和掌握全等三角形判定方法3——“边边边”，和判定方法4——“角角边”；
2．能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等.
【要点梳理】
要点一、全等三角形判定3——“边边边”
全等三角形判定1——“边边边”
三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.
要点诠释：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△.

要点二、全等三角形判定4——“角角边”
1.全等三角形判定4——“角角边”
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.
2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.

要点三、判定方法的选择
1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：

已知条件 可选择的判定方法
一边一角对应相等 SAS AAS ASA
两角对应相等 ASA AAS
两边对应相等 SAS SSS


2.如何选择三角形证全等
（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；
（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；
（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；
（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.
【巩固练习A】
一、选择题
1. 如图，已知AD是△ABC的边BC上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是（　　）

　 A．∠B=45° B.∠BAC=90° C. BD=AC D．AB=AC
2. 如图，已知AB＝CD，AD＝BC，则下列结论中错误的是（ ）
A.AB∥DC B.∠B＝∠D C.∠A＝∠C D.AB＝BC

3. 如图，已知∠ABC=∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是（　　）

A．AC=BD B．∠CAB=∠DBA C．∠C=∠D D．BC=AD
4. 如图，AB、CD、EF相交于O，且被O点平分，DF＝CE，BF＝AE，则图中全等三角形的对数共有（ ）
A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对

5．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下面结论中错误的是（ ）
A．△ADC≌△BCD B．△ABD≌△BAC
C．△ABO≌△CDO D．△AOD≌△BOC

6. 如图，已知AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，AB＝CD，BC＝ED，以下结论不正确的是（ ）
A.EC⊥AC B.EC＝AC C.ED＋AB＝DB D.DC＝CB

二、填空题
7. 如图，AB＝CD，AC＝DB，∠ABD＝25°，∠AOB＝82°，则∠DCB＝_________.

8. 如图, 已知：∠1 ＝∠2 , ∠3 ＝∠4 , 要证BD ＝CD , 需先证△AEB ≌△AEC , 根据是 ，再证△BDE ≌△ ，根据是 ．

9. 如图，AD=AE，请你添加一个条件______________，使得△ADC≌△AEB．

10. 如图，AC＝AD，CB＝DB，∠2＝30°，∠3＝26°，则∠CBE＝_______.






11. 如图，点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，且AD＝AE，AB＝AC，若∠B＝20°，则∠C＝_______．

12. 已知，如图，AB＝CD，AC＝BD，则△ABC≌ ，△ADC≌ .

三、解答题
13.如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC与△DEC全等．


14. 如图，已知D、E、B 三点共线，AE=CE ,AE⊥CE，∠D=∠B=90°．求证：CD+AB=DB．

15. 如图，已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE求证：AE＝DE.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

【巩固练习B】
一、选择题
1．如图，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BF＝CE，下列结论错误的是（ ）
A.△ABC≌△DEF B. BF＝EC C.AC∥DE D.AC＝DF

2． 如图，AB∥EF，DE∥AC，BD＝CF，则图中不是全等三角形的是（ ）
A.△BAC≌FED B. △BDA≌FCE C. △DEC≌CAD D. △BAC≌FCE

3．如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（　　）
A．AB=DE B．AC=DF C．∠A=∠D D．BF=EC


4．下列判断中错误的是（ ）
A.有两角和一边对应相等的两个三角形全等
B.有两边和一角对应相等的两个三角形全等
C.有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
D.有一边对应相等的两个等边三角形全等
5．如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（　　）

　 A．BD=DC，AB=AC B． ∠ADB=∠ADC，BD=DC
　 C．∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D． ∠B=∠C，BD=DC

6．如图，点A在DE上，AC＝CE，∠1＝∠2＝∠3，则DE的长等于（ ）
A．DC B．BC C．AB D．AE＋AC

二、填空题
7．如图，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件：　　　　　　，使△AEH≌△CEB．

8．如图，点D在AB上，点E在AC上，且∠B＝∠C，在条件①AB＝AC，②AD＝AE，③BE＝CD，④∠AEB＝∠ADC中，不能使△ABE≌△ACD的是_______.（填序号）

9． 已知，如图，AB∥CD，AF∥DE，AF＝DE，且BE＝2，BC＝10，则EF＝________.

10． 如图，AB∥CD，AD∥BC，OE＝OF，图中全等三角形共有______对.




11．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1和2，则EF的长是___________．

12．在△ABC和△DEF中（1）AB＝DE；（2）BC＝EF；（3）AC＝DF；（4）∠A＝∠D；（5）∠B＝∠E；（6）∠C＝∠F从这六个条件中选取三个条件可判定△ABC与△DEF全等的方法共有________种.
三、解答题
13．如图，O为码头，A，B两个灯塔与码头的距离相等，OA，OB为海岸线，一轮船离开码头，计划沿∠AOB的平分线航行，在航行途中，测得轮船与灯塔A和灯塔B的距离相等，试问轮船航行时是否偏离预定航线，请说明理由．



14．已知：如图，中，，于，于，与相交于点．求证：.


15． 如图，DC∥AB，∠BAD和∠ADC的角平分线相交于E，过E的直线分别交DC、AB于C、B两点.求证：AD＝AB＋DC.


第4讲 直角三角形全等判定
【学习目标】
1．理解和掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法——“斜边，直角边”（即“HL”）.
2．能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法判定两个直角三角形全等.
【要点梳理】
要点一、判定直角三角形全等的一般方法
由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.
要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理
在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.
要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.
（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.
（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.
【巩固练习A】
一、选择题
1．下列语句中不正确的是（　　）
　 A．斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
　 B．有两边对应相等的两个直角三角形全等
　 C．有两个锐角相等的两个直角三角形全等
　 D．有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
2．如图，AB＝AC，AD⊥ BC于D，E、F为AD上的点，则图中共有（ ）对全等三角形．
A．3 B．4 C．5 D．6

3. 能使两个直角三角形全等的条件是( )
A.斜边相等　　　　　　　 B.一锐角对应相等
C.两锐角对应相等　　　　 D.两直角边对应相等
4. 在Rt△ABC与Rt△中, ∠C ＝ ∠ ＝ 90, A ＝ ∠, AB ＝, 那么下列结论中正确的是( )
A. AC ＝ B.BC ＝ C. AC ＝ D. ∠A ＝ ∠


5. 如图，∠B=∠D=90°，BC=CD，∠1=40°，则∠2=（　　）

A．40° B．50° C．60° D．75°
6. 在两个直角三角形中，若有一对角对应相等，一对边对应相等，则两个直角三角形（ ）
A.一定全等 B.一定不全等 C.可能全等 D.以上都不是
二、填空题
7．如图，BE，CD是△ABC的高，且BD＝EC，判定△BCD≌△CBE的依据是“______”．

8. 已知，如图，∠A＝∠D＝90°，BE＝CF，AC＝DE，则△ABC≌_______.

9. 如图，BA∥DC，∠A＝90°，AB＝CE，BC＝ED，则AC＝_________.

10.如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC=BE,若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是　 　．






11．有两个长度相同的滑梯，即BC＝EF，左边滑梯的高度AC与右边滑梯的水平方向的长度DF相等，则∠ABC＋∠DFE＝________．

12. 如图，已知AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且BF＝AC，FD＝CD.则
∠BAD＝_______.

三、解答题
13. 如图，工人师傅要在墙壁的O处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的B点处打开，墙壁厚是35，B点与O点的铅直距离AB长是20，工人师傅在旁边墙上与AO水平的线上截取OC＝35，画CD⊥OC，使CD＝20，连接OD，然后沿着DO的方向打孔，结果钻头正好从B点处打出，这是什么道理呢？请你说出理由．


14.如图，用三角尺可按下面方法画角平分线：在∠AOB的两边上分别取OM=ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则得到OP平分∠AOB．请用你所学的知识说明其中的道理．








15. 如图，已知AB＝AC，AE＝AF，AE⊥EC，AF⊥BF，垂足分别是点E、F.
求证：∠1＝∠2.

【巩固练习B】
一、选择题
1.下列命题中，不正确的是（ ）
A.斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等
B.两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
C.有一条边相等的两个等腰直角三角形全等
D.有一条直角边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等
2. 如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD和CE交于点O，AO的延长线交BC于F，则图中全等直角三角形的对数为（　 ）
　 A. 3对　　　 B. 4对　　　 C. 5对　　　 D. 6对

3. 如图，在△ABC中AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，则CH的长是（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4







4. 在如图中，AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF交于点D，则下列结论中不正确的是（　　）
A. △ABE≌△ACF B. 点D在∠BAC的平分线上
C. △BDF≌△CDE D. 点D是BE的中点

5．如图所示，∠C=∠D=90°添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．
以下给出的条件适合的是（　　）

A．AC=AD B．AB=AB C．∠ABC=∠ABD D．∠BAC=∠BAD
6. 已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD＝ED，AD＝2，BC＝3，则△ADE的面积为（　　）
A. 1 B. 2 C. 5 D. 无法确定

二、填空题
7. 如图，E、B、F、C在同一条直线上，若∠D＝∠A＝90°，EB＝FC，AB＝DF．则ΔABC≌_____，全等的根据是_____．

8. 如图，AB=AC，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE与CD相交于点O，图中有　　对全等的直角三角形．



9. 判定两直角三角形全等的各种条件：（1）一锐角和一边；（2）两边对应相等；（3）两锐角对应相等.其中能得到两个直角三角形全等的条件是_________.
10. 如图，△ABC中，AM平分∠CAB，CM＝20，那么M到AB的距离是_________.

11. 如图，已知AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且BF＝AC，FD＝CD.则
∠BAD＝_______.

12. 如图所示的网格中（4×4的正方形），∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝________.


三、解答题
13．如图，有一直角三角形ABC，∠C=90°，AC=10cm，BC=5cm，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等．






14. 求证：有两边和其中一边上的高对应相等的两个锐角三角形全等．
　





　
15. 如图，A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB＝CD，试证明BD平分EF．



第5讲 全等三角形全章复习与巩固
【巩固练习A】
一.选择题
1. 如图所示，若△ABE≌△ACF，且AB＝5，AE＝2，则EC的长为（ ）
A.2 　　　　 B.3 　　　 C.5 　　　 D.2.5

2.请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A′O′B′等于已知角∠AOB的示意图，请你根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（　　）

　 A． SAS B． ASA C． AAS D． SSS


3. 如图，在△ABC和△DEF中，∠B=∠DEF，AB=DE，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是（　　）

A．∠A=∠D B．BC=EF C．∠ACB=∠F D．AC=DF
4. 在下列结论中, 正确的是( )
A.全等三角形的高相等 B.顶角相等的两个等腰三角形全等
C. 一角对应相等的两个直角三角形全等 D.一边对应相等的两个等边三角形全等
5. 如图，点C、D分别在∠AOB的边OA、OB上，若在线段CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（ ）．
A. 线段CD的中点　 B. OA与OB的中垂线的交点　
C. OA与CD的中垂线的交点　 D. CD与∠AOB的平分线的交点

6．在△ABC与△DEF中，给出下列四组条件：（1）AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；（2）AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF；（3）∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F；（4）AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E．其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（ ）组．
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
7. 如果两个锐角三角形有两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是（ ）
A. 相等 B.不相等 C.互补 D.相等或互补
8. △ABC中，∠BAC＝90° AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝2∠C，∠DAE的度数是( )
　
　　A.45° 　B.20°　 C.、30°　 D.15°
二.填空题
9. 已知，若△ABC的面积为10 ，则的面积为________ ，若的周长为16，则△ABC的周长为________．
10. △ABC和△ADC中，下列三个论断：①AB＝AD；②∠BAC＝∠DAC；③BC＝DC．将两个论断作为条件，另一个论断作为结论构成一个命题，写出一个真命题：__________．
11.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠BAC，CD=2cm，则BD的长是　 　．

12. 下列说法中：①如果两个三角形可以依据“AAS”来判定全等，那么一定也可以依据“ASA”来判定它们全等；②如果两个三角形都和第三个三角形不全等，那么这两个三角形也一定不全等；③要判断两个三角形全等，给出的条件中至少要有一对边对应相等．正确的是_____.
13. 如右图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠CBA交AC于点D．若AB＝，CD＝，则△ADB的面积为______________ ．

14．如图，AC⊥AB，AC⊥CD，要使得△ABC≌△CDA．
（1）若以“SAS”为依据，需添加条件　 　；
（2）若以“HL”为依据，需添加条件　 　．

15. 如图，△ABC中，H是高AD、BE的交点，且BH＝AC，则∠ABC＝________.

16. 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E.若AB＝20cm，则△DBE的周长为_________.
三.解答题
17. 已知：如图，CB＝DE，∠B＝∠E，∠BAE＝∠CAD．求证：∠ACD＝∠ADC．






18．已知：△ABC中，AC⊥BC，CE⊥AB于E，AF平分∠CAB交CE于F，过F作FD∥BC交AB于D．求证： AC＝AD

19. 已知：如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BD=CD．求证：BE=CF．

20.感受理解
如图①，△ABC是等边三角形，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，则线段FE与FD之间的数量关系是 　
自主学习
事实上，在解决几何线段相等问题中，当条件中遇到角平分线时，经常采用下面构造全等三角形的解决思路
如：在图②中，若C是∠MON的平分线OP上一点，点A在OM上，此时，在ON上截取OB=OA，连接BC，根据三角形全等判定（SAS），容易构造出全等三角形△OBC和△OAC，从而得到线段CA与CB相等
学以致用
参考上述学到的知识，解答下列问题：
如图③，△ABC不是等边三角形，但∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．求证：FE=FD．









【巩固练习B】
一.选择题
1.如图，在△ABC与△DEF中，给出以下六个条件：
（1）AB=DE；（2）BC=EF；（3）AC=DF；（4）∠A=∠D；（5）∠B=∠E；（6）∠C=∠F．
以其中三个作为已知条件，不能判断△ABC与△DEF全等的是（　　）

　 A．（1）（5）（2） B．（1）（2）（3） C． （2）（3）（4） D． （4）（6）（1）
2. 两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，在探究筝形的性质时，得到如下结论：①△ABD≌△CBD；②AC⊥BD；③四边形ABCD的面积=AC?BD，其中正确的结论有（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3. 如图, AB∥CD, AC∥BD, AD与BC交于O, AE⊥BC于E, DF⊥BC于F, 那么图中全等的三角形有( )
A. 5对 B. 6对 C. 7对 D. 8对

4．如图，AB⊥BC于B，BE⊥AC于E，∠1＝∠2，D为AC上一点，AD＝AB，则（ ）．
A．∠1＝∠EFD B． FD∥BC C．BF＝DF＝CD D．BE＝EC

5. 如图，△ABC≌△FDE，∠C＝40°，∠F＝110°，则∠B等于（ ）
A.20° B.30° C.40° D.150°





6. 根据下列条件能画出唯一确定的△ABC的是（ ）
A.AB＝3，BC＝4，AC＝8 B.AB＝4，BC＝3，∠A＝30°
C.∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 D.∠C＝90°，AB＝AC＝6
7. 如图，已知AB＝AC，PB＝PC，且点A、P、D、E在同一条直线上.下面的结论：①EB＝EC；②AD⊥BC；③EA平分∠BEC；④∠PBC＝∠PCB.其中正确的有（ ）
A.1个 B. 2个 C.3个 D. 4个

8. 如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（　　）
A．50 B．62 C．65 D．68

二.填空题
9. 在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（5，5），C（5，2），存在点E，使△ACE和△ACB全等，写出所有满足条件的E点的坐标 ．
10. 如图，△ABC中，H是高AD、BE的交点，且BH＝AC，则∠ABC＝________.

11. 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E.若AB＝20cm，则△DBE的周长为_________.
12. 如图，△ABC中，∠C＝90°，ED∥AB，∠1＝∠2，若CD＝1.3，则点D到AB边的距离是_______.

13. 如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，若点O到三角形三边的距离相等，则∠AOC＝_________.

14. 如图，BA⊥AC，CD∥AB，BC＝DE，且BC⊥DE.若AB＝2，CD＝6，则AE＝_______.

15. 如图所示，已知P是正方形ABCD外一点，且PA=3，PB=4，则PC的最大值是 　．

16.如图，点B的坐标为（4，4），作BA⊥x轴，BC⊥y轴，垂足分别为A，C，点D为线段OA的中点，点P从点A出发，在线段AB、BC上沿A→B→C运动，当OP=CD时，点P的坐标为　 　．

三.解答题
17．如图所示，已知在△ABC中，∠B＝60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O，
求证：AE＋CD＝AC．


18. 在四边形ABCP中，BP平分∠ABC，PD⊥BC于D，且AB＋BC＝2BD.
求证：∠BAP＋∠BCP＝180°.

19. 如图：已知AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4,求证：BE＋CF＞EF.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
20．如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为　 　 ，线段CF、BD的数量关系为　 　；
②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；
如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），并说明理由．










第6讲 轴对称与轴对称图形
【学习目标】
1．通过具体实例了解两个图形成轴对称的概念，能找出对称轴和对称点．
2．了解两个图形关于某直线成轴对称和轴对称图形的联系与区别，理解图形成轴对称的性质，会画一些简单的关于某直线对称的图形．
3．欣赏现实生活中的轴对称图形，体会轴对称在现实生活中的应用和文化价值.
4. 理解线段的垂直平分线的概念，掌握线段的垂直平分线的性质及判定，会画已知线段的垂直平分线，能运用线段的垂直平分线的性质解决简单的数学问题及实际问题．
5．通过学习，体验数学的对称美，激发学习数学的兴趣．
【要点梳理】
要点一、轴对称与轴对称图形
1.轴对称的定义
把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴. 折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点.
要点诠释：
轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图形一定全等.
2.轴对称图形的定义
把一个图形沿着某直线折叠，如果直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴.
要点诠释：
　　轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.
3.轴对称与轴对称图形的区别与联系
轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称.
要点二、轴对称的性质
　　轴对称的性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连被对称轴垂直平分；成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称；成轴对称的两个图形全等.
要点三、线段的垂直平分线
定义：
垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．
【巩固练习A】
一.选择题
1．下列图案属于轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，ΔABC与Δ关于直线对称，则∠B的度数为 （ ）

A．30° B．50° C．90° D．100°
3.等腰三角形ABC中，一腰AB的垂直平分线交另一腰AC于G，已知AB=10，△GBC的周长为17，则底BC为（　　）
A．5 B．7 C．10 D．9
4. 一平面镜以与水平面成45°角固定在水平桌面上,如图所示,一小球以1米/秒的速度沿桌面向平面镜匀速滚去,则小球在平面镜里所成的像（ ）.
A. 以1米/秒的速度,做竖直向上运动
B. 以1米/秒的速度,做竖直向下运动
C. 以2米/秒的速度,做竖直向上运动
D. 以2米/秒的速度,做竖直向下运动

5. 下列图形：其中所有轴对称图形的对称轴条数之和为（　　）

　 A．13 B．11 C．10 D．8
6．如图所示，BE⊥AC于点D，且AD＝CD，BD＝ED，若∠ABC＝54°，则∠E＝（ ）．
A．25° 　 B．27° 　 C．30° 　 D．45°

二.填空题
7.下列图表是由我们熟悉的一些基本数学图形组成的，其中是轴对称图形的是　 （填序号）



8．如图，ΔABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于P点．
（1）若∠A＝35°，则∠BPC＝_____°；
（2）若AB＝5，BC＝3，则ΔPBC的周长＝_____cm．
9. 如图，等边△ABC的边长为2，D，E分别是AB，AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点处，且点在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为 ．

第8题 第9题 第10题
10.如图，CD与BE互相垂直平分，AD⊥DB，∠BDE=70°，则∠CAD=______°.
11.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线MN分别交AC，AB于点D，E． 若∠CBD : ∠DBA ＝3:1，则∠A的度数为________．

12．如图，已知AB=AC，DE垂直平分AB分别交AB、AC于D、E两点，若∠A=40°，则∠EBC=　 　°．

三.解答题
13.作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹）
如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）．现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库P应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案．

14. 如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中，有线段AB和直线MN，点A，B，M，N均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画四边形ABCD（四边形的各顶点均在小正方形的顶点上），使四边形ABCD是以直线MN为对称轴的轴对称图形，点A的对称点为点D，点B的对称点为点C；
（2）请直接写出四边形ABCD的周长．

15．已知，如图，在直角坐标系中，点A在y轴上，BC⊥轴于点C，点A关于直线OB的对称点D恰好在BC上，点E与点O关于直线BC对称，∠OBC＝25°，求∠OED的度数．

【巩固练习B】
一.选择题
1. 甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（ ）
2. 在平面直角坐标系中，点P（－2，3）关于轴的对称点在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3. 如图，△ABC与△关于直线MN对称，P为MN上任一点，下列结论中错误的是( )
A．△是等腰三角形 B．MN垂直平分，
C．△ABC与△面积相等 D．直线AB、的交点不一定在MN上




4. 已知点（，5）与（2，－1）关于轴的对称，则的值为（ ）
A.0 B.－1 C.1 D.
5.如图，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是（　　）

　 A．8 B． 9 C． 10 D． 11
6. 如图，六边形ABCDEF是轴对称图形，CF所在的直线是它的对称轴，若∠AFC＋∠BCF＝150°，则∠AFE＋∠BCD的大小是（ ）
A.150° B.300° C.210° D.330°

二.填空题
7. 已知△ABC和△关于MN对称，并且AB＝5，BC＝3，则的取值范围是_________.
8. 已知点A（，2），B（－3，）.若A，B关于轴对称，则＝_____，＝_____.若A，B关于轴对称，则＝_____，＝_________.
9.如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的黑色部分分别表示四个人球孔．如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反弹），那么该球最后将落入的球袋是　 号袋（填球袋的编号）．




10.如图，正三角形网格中，已有两个小正三角形被涂黑，再将图中其余小正三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的方法有　 　种．

第10题图 第11题图
11. 如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，点B（0，），点A在第一象限且AB⊥BO，点E是线段AO的中点，点M在线段AB上．若点B和点E关于直线OM对称，且则点M的坐标是 ( ， ) ．
12. 平面直角坐标系中的点P关于x轴的对称点在第四象限，则m的取值范围为　 　．
三.解答题
13.如图，如下图均为2×2的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．请分别在四个图中各画出一个与△ABC成轴对称、顶点在格点上，且位置不同的三角形．

14. 如图，点M在锐角∠AOB内部，在OB边上求作一点P，使点P到点M的距离与点P到OA边的距离之和最小

15.如图，点P在∠AOB的内部，点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，线段MN交OA、OB于点E、F，若△PEF的周长是20cm，
（1）求线段MN的长，
（2）若∠AOB=30°，求OM的长．








第7讲 线段、角的轴对称性
【学习目标】
1．理解线段的垂直平分线的概念，掌握线段的垂直平分线的性质及判定，会画已知线段的垂直平分线，能运用线段的垂直平分线的性质解决简单的数学问题及实际问题．
2. 理解角平分线的画法，掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质，熟练运用角的平分线的性质解决问题．
【要点梳理】
要点一、线段的轴对称性
1.线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.
2. 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；
3. 线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两个端距离相等的点在线段的垂直平分线上．
要点诠释：
线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件.
三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.
要点二、角的轴对称性
1.角的轴对称性
（1）角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴.
（2）角平分线上的点到角两边的距离相等.
（3）角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
要点诠释：
（1）用符号语言表示角平分线上的点到角两边的距离相等.
若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.

（2）用符号语言表示角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB




2.角平分线的画法
角平分线的尺规作图

（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.
　　（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.
　　（3）画射线OC.
射线OC即为所求.
【巩固练习】
一.选择题
1. 已知，如图AD、BE是△ABC的两条高线，AD与BE交于点O，AD平分∠BAC，BE平分
∠ABC，下列结论：（1）CD＝BD, 　(2)AE＝CE 　(3)OA＝OB＝OD＝OE 　(4)AE＋BD＝AB，其中正确结论的个数是（ ）
　 A.1 　 　 　B.2 　 　 　C.3 　　 　D.4
2. 已知，如图，AB∥CD，∠BAC、∠ACD的平分线交于点O，OE⊥AC于E，且OE＝5，则直线AB与CD的距离为（ ）
A. 5 B. 10 C. 15 D. 20

第1题 第2题
3. 如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（　　）

A．65° B．60° C．55° D．45°
4. 如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S.若AQ＝PQ，PR＝PS，下列结论：①AS＝AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSP.其中正确的是（ ）
A.①③ B.②③ C.①② D.①②③
5. 如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则︰︰等于（ ）
A．1︰1︰1 B．1︰2︰3 C．2︰3︰4 D．3︰4︰5

第4题 第5题 第6题
6．中，AD是的平分线，且.若，则 的大小为 （ ）?
A． B． C． D．
二.填空题
7. 在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝3.折叠该纸片，使点A与点B重合，折痕与AB、AC分别相交于点D和点E（如图），折痕DE的长为
8. 如图，已知在中，平分，于，若，则的周长为 ．

第7题 第8题
已知如图点D是△ABC的两外角平分线的交点，下列说法
　　（1）AD＝CD　　 　　　　　　　　(2)D到AB、BC的距离相等
　　（3）D到△ABC的三边的距离相等 （4）点D在∠B的平分线上
　　其中正确的说法的序号是_____________________.
　　




10. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，BC＝20，DB＝17，则D点到AB的距离DE为_________.

11．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED＝35°，如图，则∠EAB是多少度？大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是______．

12.如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=110°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，则∠ABD=　 　度．

三.解答题
13．将军要检阅一队士兵，要求(如图所示)：队伍长为a，沿河OB排开(从点P到点Q)；将军从马棚M出发到达队头P，从P至Q检阅队伍后再赶到校场N．请问：在什么位置列队(即选择点P和Q)，可以使得将军走的总路程MP＋PQ＋QN最短?







14．如图，已知P点是∠AOB平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足为C、D．
（1）求证：∠PCD=∠PDC；
（2）求证：OP是线段CD的垂直平分线．

15．已知：如图，在ΔABC中，AD是△ABC的角平分线，E、F分别是AB、AC上一点，并且有∠EDF＋∠EAF＝180°．试判断DE和DF的大小关系并说明理由．


























第8讲 等腰三角形性质及判定
【学习目标】
1. 掌握等腰三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直．
2. 掌握等腰三角形的判定定理．
3. 熟练运用等腰三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．
【要点梳理】
要点一、等腰三角形的定义
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．
　　
要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ .
要点二、等腰三角形的性质
1.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．
2.等腰三角形的性质的作用
性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．
性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．
3.等腰三角形是轴对称图形
等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．
要点三、等腰三角形的判定
如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.
要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.




【巩固练习A】
一.选择题
1. 已知一个等腰三角形两边长分别为5，6，则它的周长为( )
A．16 B．17 C．16或17 D．10或12
2. 若一个三角形的三个外角度数比为2：3：3，则这个三角形是（ ）
　　A. 等腰三角形 　　　B. 等边三角形
　　C. 直角三角形 　　　D. 等腰直角三角形
3. 将两个全等的且有一个角为30°的直角三角形拼成如图所示形状，两条长直角边在同一条直线上，则图中等腰三角形的个数是（ ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　A. 4个 　　　B. 3个 　　　C. 2个　　　 D. 1个

4.如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，则下列四个结论：（1）∠DEF=∠DFE；（2）AE=AF；（3）AD平分∠EDF；（4）EF垂直平分AD.其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5. 如图，D是AB边上的中点，将沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若，则度数是（ ）
A．60° B．70° C．80° D．不确定

6.有3cm，3cm，6cm，6cm，12cm，12cm的六条线段，任选其中的三条线段组成一个等腰三角形，则最多能组成等腰三角形的个数为（　　）
　 A．1 B． 2 C． 3 D． 4





二.填空题
7．如图，△ABC中，D为AC边上一点，AD＝BD＝BC，若∠A＝40°，则∠CBD＝_____°．

8. 等腰三角形的顶角比其中一个底角大30°，则顶角的度数为 ．
9. 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，BD平分∠CBA交AC于点D，DE⊥AB于E．若△ADE的周长为8，则AB ＝_________．

10. 等腰三角形的一个角是70°，则它的顶角的度数是 .
11. 如图，在△ABC中，OB、OC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，过点O作OE∥AB，OF∥AC，交边BC于点E、F，如果BC=10，那么C△OEF等于　 　．

12.如图，在△ABC中，BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF，DE过点I，且DE∥BC．BD=8cm，CE=5cm，则DE等于　 　．


三.解答题
13．已知：如图，ΔABC中，AB＝AC，D是AB上一点，延长CA至E，使AE＝AD．
试确定ED与BC的位置关系，并证明你的结论．

14. 在△ABC中，AB=AC，AC上的中线BD把三角形的周长分为24cm和30cm的两个部分，求三角形的三边长．






15. 如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别为∠BAC、∠ABC的角平分线，求证：BQ＋AQ＝AB＋BP．







【巩固练习B】
一.选择题
1．如图，在△ABC中，若AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝EB，则∠A等于( )．
A．30° B．36° C．45° D．54°

2. 等腰三角形两边、满足｜｜＋＝0，则此三角形的周长是（ ）
A．7 B．5 C．8 D．7或5
3.如图，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，EF∥BC，EF经过点O，若AB=10，AC=15，则△AEF的周长是（　　）

　 A．10 B． 15 C． 20 D． 25
4. 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，与AC交于点D，DE⊥AB于点E，若BC=5，△BCD的面积为5，则ED的长为（　　）．
　
A． B．1 C．2 D．5
5．如图所示，在长方形ABCD的对称轴上找点P，使得△PAB、△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P有（ ）
A．1个 　 B．3个 C．5个 D．无数多个

6. 如图所示，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝，点E是折线段A-D-C上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点、在点E运动的过程中，使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有（　　）
A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

二.填空题
7．已知一个等腰三角形的顶角为度,则其一腰上的高线与底边的夹角___________度（用含的式子表示）.
8. 已知等腰三角形的两边长分别为2和3，则其周长为________.
9.等腰三角形的周长为14，其中一边长为4，则另外两边长为　 　．
10. 如图，在ΔABC中，高AD、BE交于H点，若BH＝AC，则∠ABC＝______°．






11．如图，钝角三角形纸片ABC中，∠BAC＝110°，D为AC边的中点．现将纸片沿过点D的直线折叠，折痕与BC交于点E，点C的落点记为F．若点F恰好在BA的延长线上，则∠ADF ＝_________°．

12.如图，已知AB=A1B，在AA1的延长线上依次取A2、A3、A4、…、An，并依次在三角形的外部作等腰三角形，使A1C1=A1A2，A2C2=A2A3，A3C3=A3A4，…，An﹣1Cn﹣1=An﹣1An，若∠B=30°，则∠An=　　 °．

三.解答题
13.如图，点A的坐标为 （5，0），试在第一象限内网格的格点（网格线的交点）上找一点B，使其与点O、A构成等腰三角形，请写出图中所有满足条件的点B的坐标．

14．已知，如图，△ABC中，D是BC中点，DE⊥DF,试判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明你的结论.



15.在中，，点是直线上一点（不与重合），以AD 为一边在AD 的右侧作，使，连接．
（1）如图1，当点在线段上，如果，则_________；
（2）设，．
①如图2，当点在线段上移动，则之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点在直线上移动，则之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．



























第9讲 《轴对称图形》全章复习与巩固
【巩固练习A】
一.选择题
1.以下图形中对称轴数量小于3的是（ )
A. B. C. D.
2．直角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的（ ）
A.形内??? ? B.形外???? C.斜边的中点? ?D.不能确定
3. 以下叙述中不正确的是（ ）
A．等边三角形的每条高线都是角平分线和中线
B．其中有一内角为60°的等腰三角形是等边三角形
C．等腰三角形一定是锐角三角形
D．在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等；反之，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等
4．下列条件①有一个角为60°的三角形；②三个外角都相等的三角形；③一边上的高与中线重合的三角形；④有一个角为60°的等腰三角形．能判定三角形为等边三角形的有（ 　　 ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5. 如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，DE交AB于E, 且AB＝ BC，则下列结论中错误的是（ ）
A．BD⊥AC B．∠A＝∠EDA C．BC＝2AD D．BE＝ED
6. 如图，△ABC中∠ACB＝90°,CD是AB边上的高，∠BAC的角平分线AF交CD于E，则△CEF必为（ ）
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形

第5题 第6题
7.如图，∠MON内有一点P，P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点．若GH的长为15cm，则△PAB的周长为（　　）
A．5cm B．10cm C．20cm D．15cm
8．如图所示,Rt△ABC中，∠C＝90°,AB的垂直平分线DE交BC于D，交AB于点E．当∠B＝30°时，图中不一定相等的线段有（ ）
A．AC＝AE＝BE B．AD＝BD C．CD＝DE D．AC＝BD

二.填空题
9. 如图，O是 △ABC内一点，且 OA＝OB＝OC，若∠OBA＝20°,∠OCB＝30°，则∠OAC＝_________.

第9题 第10题
10. 如图，△ABC中，∠A＝90°，BD为∠ABC平分线，DE⊥BC，E是BC的中点，∠C的度数为_________.
11. 如图，△ABC中，∠C＝90°，D是CB上一点，且DA＝DB＝4，∠B＝15°,则AC的长为 ．

第11题
12.已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是　 　．
13. 点D、E分别在等边△ABC的边AB、BC上，将△BDE沿直线DE翻折，使点B落在B1处，DB1、EB1分别交边AC于点F、G．若∠ADF＝80?，则∠CEG＝ ．

14．一个汽车车牌在水中的倒影为 ，则该车的牌照号码是______．


15.如图，∠AOB=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1，ON=3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是　　 ．

16. 三角形纸片ABC中，∠A＝60°，∠B＝80°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，如图所示∠1＝30°，则∠2＝_______．

三.解答题
17. 已知∠AOB，试在∠AOB内确定一点P，如图，使P到OA、OB的距离相等，并且到M、N两点的距离也相等.

18.如图，一个六边形的六个内角都是120°，AB=1，BC=CD=3，DE=2，求该六边形的周长．


19．如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，且AB＝AE，AC＝AD，求证∠DBC＝∠DAB．

20．如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，BD＝CE，M是AC边的中点，求证△DEM是等腰三角形．

【巩固练习B】
一.选择题
1.如图，图中阴影部分是由5个小正方形组成的一个图形，再在图中的方格里涂黑两个正方形，使整个阴影部分称为轴对称图形，涂法有几种( )
A.2 B.4 C.5 D.7
2. 如图，将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF的大小为( )
A. 15° B. 30° C. 45° D. 60°
3．在下列说法中，正确的是（ ）
A．如果两个三角形全等，则它们必是关于直线成轴对称的图形；
B．如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形；
C．等腰三角形是关于底边中线成轴对称的图形；
D．一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形 .
4.已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N，则下列五个结论：①AD=BE；②∠BMC=∠ANC；③∠APM=60°；④AN=BM；⑤△CMN是等边三角形．其中，正确的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5. 已知A（4，3）和B是坐标平面内的两个点，且它们关于直线＝－3轴对称，则平面内点B的坐标是（ ）
A.（1，3） B.（－10，3） C.（4，3） D.（4，1）
6．如图，已知△ABC中，AC＋BC＝24，AO、BO分别是角平分线，且MN∥BA，分别交AC于N、BC于M，则△CMN的周长为（ ）
A．12 B．24 C．36 D．不确定
A
N

O
B M C
（22题图）
7. 如图，将△沿、、翻折，三个顶点均落在点处.若，则 的度数为（ ）
A. 49° B. 50° C. 51° D. 52°

第6题 第7题 第8题
8. 如图, △ABC中, ∠ACB＝90°, ∠ABC＝60°, AB的中垂线交BC的延长线于D,交AC于E, 已知DE＝2.AC的长为（ ）
A.2 B.3 C. 4 D.5
二.填空题
9. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2，点E在BC上，且AE＝CE．若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC上的点重合，则AC＝ ．

10. 在同一直角坐标系中，A（＋1，8）与B（－5，－3）关于轴对称，则＝___________，＝___________.
11．已知：如图，△ABC中，BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线,过O点的直线分别交AB，AC于点D、E，且DE∥BC.若AB=6，AC=8，则△ADE的周长为________．







12. 如图所示，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝4，PD的长为________．

第12题 第13题
13．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，点O在△ABC内，且∠OBC＝∠OCA，∠BOC＝110°，求∠A的度数为________．
14. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C.若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为 .
15. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60?，若BE＝6，DE＝2，则BC＝______________．

第14题 第15题
16.如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若BC=4，则BE+CF=　 　．

三.解答题
17．如图所示，△ABC中，D，E在BC上，且DE＝EC，过D作DF∥BA，交AE于点F，
DF＝AC，求证AE平分∠BAC．




18. 如图所示，等边三角形ABC中，AB＝2，点P是AB边上的任意一点（点P可以与点A重合，但不与点B重合），过点P作PE⊥BC，垂足为E，过E作EF⊥AC，垂足为F，过F作FQ⊥AQ，垂足为Q，设BP＝，AQ＝．
（1）写出与之间的关系式；
（2）当BP的长等于多少时，点P与点Q重合？









19．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°．点D为△ABC内一点，且DB＝DC，∠DCB＝30°．点E为BD延长线上一点，且AE＝AB．
（1）求∠ADE的度数；
（2）若点M在DE上，且DM＝DA，求证：ME＝DC．












20．已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC．
（1）【特殊情况，探索结论】
如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE
　 　DB（填“＞”、“＜”或“=”）．
（2）【特例启发，解答题目】
如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE　 　DB（填“＞”、“＜”或“=”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．
（3）【拓展结论，设计新题】
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线CB的延长线上，且ED=EC，若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．













第10讲 勾股定理
【学习目标】
1．掌握勾股定理的内容，了解勾股定理的多种证明方法，体验数形结合的思想；
2．能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长（只限于常用的数）；
3．通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题．
【要点梳理】
要点一、勾股定理
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么．
要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系．
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的．
（3）理解勾股定理的一些变式：
，， ．
要点二、勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．
　　　 图（1）中，所以．
　　　　　
　　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．
　　　　 　　图（2）中，所以．
　　　　　　
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．
　　　　　　
　　　　 ，所以．
要点三、勾股定理的作用
已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
用于解决带有平方关系的证明问题；
3． 与勾股定理有关的面积计算；
4．勾股定理在实际生活中的应用．
【巩固练习A】
一．选择题
1．如图，△ABC中，AB=AC,AD是∠BAC的平分线.已知AB=5，AD=3，则BC的长为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10

2．若直角三角形的三边长分别为2，4，，则的值可能有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3． 小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米,当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是( )
A．12米 B．10米 C．8米 D．6米
4．Rt△ABC中，斜边BC＝2，则的值为( )
A．8 B．4 C．6 D．无法计算
5．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高线，DC＝2，则BD等于( )

A．4 B．6 C．8 D．5
6．如图，在△ABC中，AB=AC=5，P是BC边上除B、C点外的任意一点，则代数式AP2+PB?PC等于（　　）

A．25 B．15 C．20 D．30

二．填空题
7．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm，CD⊥AB于D，CD=　　．
8．如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了______米路，却踩伤了花草．

9．如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离为　 　mm．

10．如图，有两棵树，一棵高8，另一棵高2，两树相距8，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______．

11．如图，直线经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线的距离分别是6、8，则正方形的边长是______．

12.学习勾股定理相关内容后，张老师请同学们交流这样的一个问题：“已知直角三角形的两条边长分别为3，4，请你求出第三边．”张华同学通过计算得到第三边是5，你认为张华的答案是否正确：　 　，你的理由是　 　 ．






三．解答题
13． 如图四边形ABCD的周长为42，AB＝AD＝12，∠A＝60°，∠D＝150°，求BC的长．


14． 已知在三角形ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，CD＝3，BD＝5，求AC的长．

15.如图所示的一块地，AD=9m，CD=12m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积．



【巩固练习B】
一．选择题
1．如图，△ABC中，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC．若DE=10，AE=16，则BE的长度为（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13

2. 如图，△ABC中，AB=AC=5,BC=8，D是线段BC上的动点（不含端点B、C）.若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个


3．如图，长方形AOBC中，AO=8，BD=3，若将矩形沿直线AD折叠，则顶点C恰好落在边OB上E处，那么图中阴影部分的面积为（ ）
A.30 B．32 C．34 D．16

4．如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°,AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线，，上，且，之间的距离为2 , ，之间的距离为3 ,则的值是（ ）
A．68 B．20 C．32 D．47

5．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12,则△ABC的周长为（ ）
A．42 B．32 C．42或32 D．37或33
6．如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…按照此规律继续下去，则S2015的值为（　　）

A． B． C． D．
二．填空题
7．若一个直角三角形的两边长分别为12和5，则此三角形的第三边的平方为______．
8． 将一根长为15cm的很细的木棒置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形杯中，木棒露在杯子外面的部分长度x的范围是 ．
9．如图，在的正方形网格中，以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，这样的点C共 个．





10．如图，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边长为a，较长的直角边长为b，那么（a+b）2的值是　_________　．

11．已知长方形ABCD，AB＝3，AD＝4，过对角线BD的中点O做BD的垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，则AE的长为_______________．

12．如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°，那么四边形ABCD的面积是　 　．

三．解答题
13．如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，求运动过程中，点D到点O的最大距离．

14．现有10个边长为1的正方形，排列形式如左下图, 请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求： 在左下图中用实线画出分割线, 并在右下图的正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．







15．由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴的侵袭．近日，A城气象局测得沙尘暴中心在A城的正西方向240km的B处，以每时12km的速度向北偏东60°方向移动，距沙尘暴中心150km的范围为受影响区域．
（1）A城是否受到这次沙尘暴的影响？为什么？
（2）若A城受这次沙尘暴影响，那么遭受影响的时间有多长？





第11讲 勾股定理的逆定理
【学习目标】
1. 理解勾股定理的逆定理，并能与勾股定理相区别；
2. 能运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形；
3. 理解勾股数的含义；
4. 通过探索直角三角形的判定条件的过程，培养动手操作能力和逻辑推理能力.
【要点梳理】
要点一、勾股定理的逆定理
如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.
要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.
要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形
首先确定最大边（如）.
验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.
要点诠释：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.
要点三、勾股数
满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.
熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：　
3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……
如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.
要点诠释：（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长；
（2）（n≥1，是自然数）是直角三角形的三条边长；
（3） （是自然数）是直角三角形的三条边长；
【巩固练习】
一.选择题
1. 下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（　　）
A．a=1.5，b=2，c=3 B．a=7，b=24，c=25
C．a=6，b=8，c=10 D．a=3，b=4，c=5
2. 如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（　　）．

　 A.CD、EF、GH B.AB、EF、GH C.AB、CF、EF D.GH、AB、CD
3. 下列说法：（1）在△ABC中，若a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形；（2）若△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a2+b2=c2；（3）在△ABC中，若a2+b2=c2，则∠C=90°；（4）直角三角形的两条直角边的长分别为5和12，则斜边上的高为．其中说法正确的有（　）．
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
4.如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为（　　）

A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上答案都不对
5．已知三角形的三边长为(其中)，则此三角形( )．
A.一定是等边三角形 B.一定是等腰三角形
C.一定是直角三角形 D.形状无法确定



6．三角形的三边长分别为 、、（都是正整数），则这个三角形是（ ）．
A．直角三角形 B． 钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
二.填空题
7．若三角形的边长分别为6、8、10，则它的最长边上的高为　　．
8.如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的点C有　 　个．

9. 已知,则由此为边的三角形是 三角形.
10．在△ABC中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成的四边形的面积是 ．
11．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60，则它的面积为 ．
12．如图，AB＝5，AC＝3，BC边上的中线AD＝2，则△ABC的面积为______．

三.解答题
13．已知：如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为CB的四等分点且CE＝，求证：AF⊥FE．

14．观察下列各式：，，，，…，你有没有发现其中的规律?请用含的代数式表示此规律，再根据规律写出接下来的式子．



15.如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，求这块空地的面积？

【巩固练习B】
一．选择题
1．下列各组数中，可以构成勾股数的是（　　）
A．13，16，19 B．，， C．18，24，36 D．12，35，37
2．△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（　　）
　 A.a：b：c=1：：1 B.∠A：∠B：∠C=3：4：5
　 C.（a+b）（a﹣b）=c D.∠A：∠B：∠C=1：2：3
3． 已知△ABC三边长分别为2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1，（n为正整数），则△ABC为（　　）
　 A． 直角三角形 B． 等腰三角形 C． 锐角三角形 D． 钝角三角形

4． 有下面的判断：①△ABC中，a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形．②△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a2+b2=c2．③若△ABC中，a2﹣b2=c2，则△ABC是直角三角形．④若△ABC是直角三角形，则（a+b）（a﹣b）=c2．以上判断正确的有（　　）
　 A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个

5．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）

6． 为直角三角形的三边，且为斜边，为斜边上的高，下列说法：
①能组成一个三角形 ②能组成直角三角形
③能组成直角三角形 ④三个内角的度数之比为3：4:5能组成一个三角形
其中正确结论的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题
7．若△ABC中，，则∠B＝____________．
8．若△ABC的三边长分别为x+1，x+2，x+3，要使此三角形成为直角三角形，则x=　 　．
9．若一个三角形的三边长分别为1、、8(其中为正整数)，则以、、为边的三角形的面积为______．
10．△ABC的两边分别为5，12，另一边为奇数，且是3的倍数，则应为______，此三角形为______．
11．在某港口有甲乙两艘渔船，若甲沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，同时，乙船沿南偏东角度以每小时15海里速度前进，2小时后，甲乙两船相距34海里，那么，乙船航行的方向是南偏东___________度．　
12． 如果线段能组成一个直角三角形，那么________组成直角三角形．(填“能”或“不能”)．
三．解答题
13．如图，已知某经济开发区有一块四边形空地ABCD，现计划在该空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=300m，AD=400m，CD=1300m，BC=1200m．请计算种植草皮的面积．


14．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c．
（1）填表：
边a、b、c 三角形的面积与周长的比值
3 4 5
5 12 13
8 15 17

（2）若a+b﹣c=m，则猜想=　　（并证明此结论）．









15． 我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称正方形、长方形、直角梯形（任选两个均可）；
（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（3，0），B（0，4），请你画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB；
（3）如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD，DC，∠DCB=30度．求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．








第12讲 《勾股定理》全章复习与巩固
【巩固练习】
一．选择题
1．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3处折断，树顶端落在离树底部4处，则树折断之前高( )

A．5 B．7 C．8 D．10
2．如图，从台阶的下端点B到上端点A的直线距离为( )

A．15 B．16 C．17 D．18
3．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40m/min，甲客轮用15min到达点A，乙客轮用20min到达点B，若A，B两点的直线距离为1000m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（　　）
A．北偏西30° B．南偏西30° C．南偏东60° D．南偏西60°
4． 如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点E、F是中线AD上的两点，则图中阴影部分的面积是（ ）．

A．6 B．12 C．24 D．30
5．下列三角形中，是直角三角形的是( )
A．三角形的三边满足关系 B．三角形的三边比为1∶2∶3
C．三角形的一边等于另一边的一半 D．三角形的三边为9，40，41
6．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价元，则购买这种草皮至少需要( )

A．450元 B．225元
C．150元 D．300元
7．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABDE、ACFG、BCIH，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4． 则S1+S2+S3+S4等于（　　）

　 A．90 B．60 C．169 D．144
8． 已知，如图长方形ABCD中，AB＝3，AD＝9，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（　 ）

　　A．3 　　　B．4 　　　C．6　　　 D．12

二．填空题
9． 根据下图中的数据，确定A=　　，B=　　，x=　　．

10．若一个三角形的三边长分别为6，8，10，则这个三角形中最短边上的高为______．
11．如图，B，C是河岸边两点，A是对岸岸边一点，测得∠ABC＝45°，∠ACB＝45°，BC＝60米，则点A到岸边BC的距离是______米．

12．在直角三角形中，一条直角边为11，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______．
13．三角形的三边长为a、b、c，且满足等式（a+b）2﹣c2=2ab，则此三角形是　 　 三角形（直角、锐角、钝角）．
14．如图，平面上A、B两点处有甲、乙两只蚂蚁，它们都发现C处有食物，已知点C在A的东南方向，在B的西南方向．甲、乙两只蚂蚁同时从A、B两地出发爬向C处，速度都是30／min．结果甲蚂蚁用了2 min，乙蚂蚁2分40秒到达C处分享食物，两只蚂蚁原来所处地点相距_______．

15．小明要把一根长为70cm的长的木棒放到一个长、宽、高分别为50cm，40cm，30cm的木箱中，他能放进去吗？　　（填“能”或“不能”）．
16．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，取斜边的中点，向斜边做垂线，画出一个新的等腰直角三角形，如此继续下去，直到所画直角三角形的斜边与△ABC的BC边重叠为止，此时这个三角形的斜边长为__________．


三．解答题
17．若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此三角形的面积．







18．甲乙两船从位于东西走向的海岸线上的港口A同时出发，甲以每小时30海里的速度向北偏东35°方向航行，乙船以每小时40海里的速度向另一方向航行，2小时后，甲船到C岛，乙船到达B岛，B、C两岛相距100海里，判断乙船所走方向，说明理由．







19．如图，△ABC中，∠A＝90°，AC＝20，AB＝10，延长AB到D，使CD＋DB＝AC＋AB，求BD的长．


20．如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，为CD边上的点，＝3．将纸片沿某条直线折叠，使点B落在点处，点A的对应点为，折痕分别与AD，BC边交于点M，N．求BN的长．






【巩固练习B】
一．选择题
1．在△中，若，则△ABC是（ ）
A． 锐角三角形 　 B． 钝角三角形 C． 等腰三角形 　 D． 直角三角形
2． 如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ）
A．90°　　　 B．60°　　　 C．45°　　　 D．30°

3．下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（　　）
　 A．三内角之比为1：2：3 B．三边长的平方之比为1：2：3
　 C．三边长之比为3：4：5 D．三内角之比为3：4：5
4．如图，一牧童在A处牧马，牧童家在B处，A、B处距河岸的距离AC、BD的长分别为500m和700m，且C、D两地的距离为500m，天黑前牧童从A点将马牵引到河边去饮水后，再赶回家，那么牧童至少要走（　　）

　 A．2900m B． 1200m C． 1300m D． 1700m
5． 直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边上的高为h，则下列各式中总能成立的是（　　）
A．ab=h2　　　 B．a2+b2=h2　　　 C．　　　 D．
6．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于点D，AB＝13，CD＝6，则(AC＋BC)2等于( )
A．25 B．325 C．2197 D．405
7． 已知三角形的三边长为，由下列条件能构成直角三角形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S1、S2、S3；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S4、S5、S6．其中S1=16，S2=45，S5=11，S6=14，则S3+S4=（　　）

A．86 B．64 C．54 D．48
二．填空题
9．如图，AB＝5，AC＝3，BC边上的中线AD＝2，则△ABC的面积为______．

10．如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将直角边AB折叠使它落在斜边AC上，折痕为AD，则BD＝______．

11．已知：△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，BC＝_______．
12．如图，E是边长为4cm的正方形ABCD的边AB上一点，且AE=1cm，P为对角线BD上的任意一点，则AP+EP的最小值是　 　cm．






13．如图，长方体的底面边长分别为1cm 和2cm，高为4cm，点P在边BC上，且BP=BC．如果用一根细线从点A开始经过3个侧面缠绕一圈到达点P，那么所用细线最短需要　　cm．

14．小明把一根70cm长的木棒放到一个长宽高分别为30cm，40cm，50cm的木箱中，他能放进去吗？答：　 　（选填“能”或“不能”）．
15．如图，AD=8，CD=6，∠ADC=90°，AB=26，BC=24，该图形的面积等于　　 ．

16． 如图所示，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6，∠BAD＝________．

三．解答题
17．能够成为直角三角形边长的三个正整数，我们称之为一组勾股数，观察表格所给出的三个数a，b，c，a＜b＜c．
（1）试找出它们的共同点，并证明你的结论；
（2）写出当a=17时，b，c的值．
3，4，5　 　32+42=52
　5，12，13， 　52+122=132
　7，24，25 　72+242=252
　9，40，41 　92+402=412
… …
　17，b，c 　172+b2=c2


18．如图等腰△ABC的底边长为8cm，腰长为5cm，一个动点P在底边上从B向C以0．25cm/s的速度移动，请你探究，当P运动几秒时，P点与顶点A的连线PA与腰垂直．

19．如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A．当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若一直重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时．
（1）求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离；
（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间．






20． 如图1，四根长度一定的木条，其中AB＝6，CD＝15，将这四根木条用小钉绞合在一起，构成一个四边形ABCD（在A、B、C、D四点处是可以活动的）．现固定AB边不动，转动这个四边形，使它的形状改变，在转动的过程中有以下两个特殊位置．
位置一：当点D在BA的延长线上时，点C在线段AD上（如图2）；
位置二：当点C在AB的延长线上时，∠C＝90°．
（1）在图2中，若设BC的长为，请用的代数式表示AD的长；
（2）在图3中画出位置二的准确图形；（各木条长度需符合题目要求）
（3）利用图2、图3求图1的四边形ABCD中，BC、AD边的长．












第13讲 平方根
【学习目标】
1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．
2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负