课件20张PPT。3.1.1 两角差的余弦公式
一、教学目标
掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础.
二、教学重、难点
1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；
2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等.
三、教学设想：
（一）导入：问题1：
我们在初中时就知道?，，由此我们能否得到大家可以猜想，是不是等于呢？
根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式
（二）探讨过程：
在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角的终边与单位圆的交点为，等于角与单位圆交点的横坐标，也可以用角的余弦线来表示。
思考
怎样构造角和角？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.）
思考2：怎样联系向量的数量积探求公式？
（1）结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？
（2）怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？
两角差的余弦公式：
（三）例题讲解
例1、利用和、差角余弦公式求、的值.
解：分析：把、构造成两个特殊角的和、差.
点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：，要学会灵活运用.
例2、已知，是第三象限角，求的值.
解：因为，由此得
又因为是第三象限角，所以
所以
点评：注意角、的象限，也就是符号问题.
思考：本题中没有，呢？
（四）练习：1.不查表计算下列各式的值：
解:
2．教材P127面1、2、3、4题
（五）小结：两角差的余弦公式，首先要认识公式结构的特征，了解公式的推导过程，熟知由此衍变的两角和的余弦公式.在解题过程中注意角、的象限，也就是符号问题，学会灵活运用.
（1）牢记公式
（2）在“给值求值”题型中，要能灵活处理已、未知关系．
（六）作业：《习案》作业二十九
课件28张PPT。3.1.1两角差的
余弦公式复习引入复习引入猜想：思考1:思考1:思考1:如图，设α，β为锐角，且α＞β，角α的终边与单位圆的交点为P1, ∠P1OP＝β，那么cos(α－β)表示哪条线段长？cos(α－β)=OM如何用线段分别表示sinβ和cosβ？sinβcosβcosαcosβ＝OAcosα，它表示哪条线段长？
sinαsinβ＝PAsinα，它表示哪条线段长？sinαsinβcosαcosβ 利用OM＝OB＋BM＝OB＋CP可得什么结论？cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβxyPP1MBOAC+11思考2:2. 怎样联系向量的数量积探求公式？思考2:(1)结合图形，明确应该选择哪几个向量，
它们是怎样表示的？2. 怎样联系向量的数量积探求公式？思考2:(1)结合图形，明确应该选择哪几个向量，
它们是怎样表示的？(2)怎样利用向量的数量积的概念的计算
公式得到探索结果？2. 怎样联系向量的数量积探求公式？向量与的夹角θ与α、β有什么关系？根据数量积定义， 等于什么？由此可得什么结论？ cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ两角差的余弦公式:讲解范例 例1. 利用差角余弦公式求cos15o的值.讲解范例 例1. 利用差角余弦公式求cos15o的值. 把一个具体角构造成两个角的差形式，有很多种构造方法，例如： 点评：讲解范例 把一个具体角构造成两个角的差形式，有很多种构造方法，例如： 点评：要会灵活应用. 例1. 利用差角余弦公式求cos15o的值.思考 1．你能利用差角余弦公式求：
cos(90o－?)的值吗？思考 2．你能求sin75o的值吗？ 1．你能利用差角余弦公式求：
cos(90o－?)的值吗？讲解范例例2. 讲解范例 注意角?、?的象限，也就是符号问题.点评：例2. 讲解范例思考：例2. 练习1. 不查表计算下列各式的值： 2. 教材P.127练习第1、2、3、4题.课堂小结两角差的余弦公式：(2)在“给值求值”题型中，要能灵活处理
已、未知关系．(1)牢记公式 阅读教材P.124到P.127;
2. 《习案》作业二十九.课后作业第三章 三角恒等变换
§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.1 两角差的余弦公式
课时目标 1.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式.2.掌握两角差的余弦公式．
两角差的余弦公式
C(α－β)：cos(α－β)＝____________________________，其中α、β为任意角．
一、选择题
1．cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°＝( )
A．－ B. C．0 D．1
2．化简cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α得( )
A．cos α B．cos β
C．cos(2α＋β) D．sin(2α＋β)
3．化简cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)得( )
A. B．－ C. D．－
4．若cos(α－β)＝，cos 2α＝，并且α、β均为锐角且α<β，则α＋β的值为( )
A. B. C. D.
5．若sin(π＋θ)＝－，θ是第二象限角，sin＝－，φ是第三象限角，则cos(θ－φ)的值是( )
A．－ B. C. D.
6．若sin α＋sin β＝1－，cos α＋cos β＝，则cos(α－β)的值为( )
A. B．－ C. D．1
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．cos 15°的值是________．
8．若cos(α－β)＝，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝________.
9．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值是________．
10．已知α、β均为锐角，且sin α＝，cos β＝，则α－β的值为________．
三、解答题
11．已知tan α＝4，cos(α＋β)＝－，α、β均为锐角，求cos β的值．
12．已知cos(α－β)＝－，sin(α＋β)＝－，<α－β<π，<α＋β<2π，求β的值．
能力提升
13．已知cos(α－)＝－，sin(－β)＝，且<α<π，0<β<，求cos的值．
14．已知α、β、γ∈，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，求β－α的值．
1．给式求值或给值求值问题，即由给出的某些函数关系式(或某些角的三角函数值)，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．
2．“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：
①求角的某一三角函数值；②确定角所在的范围(找一个单调区间)；③确定角的值．
确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定．
§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3．1.1 两角差的余弦公式
答案
知识梳理
cos αcos β＋sin αsin β
作业设计
1．C 2.B
3．A [原式＝cos(α－45°)cos(α＋15°)＋sin(α－45°)sin(α＋15°)＝cos[(α－45°)－(α＋15°)]＝cos(－60°)＝.]
4．C [sin(α－β)＝－(－<α－β<0)．sin 2α＝，
∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)＝·＋·＝－，
∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.]
5．B [∵sin(π＋θ)＝－，
∴sin θ＝，θ是第二象限角，
∴cos θ＝－.
∵sin＝－，∴cos φ＝－，
φ是第三象限角，
∴sin φ＝－.
∴cos(θ－φ)＝cos θcos φ＋sin θsin φ＝×＋×＝.]
6．B [由题意知
①2＋②2?cos(α－β)＝－.]
7.
8.
解析 原式＝2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝2＋2cos(α－β)＝.
9．－
解析 由
①2＋②2?2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1?cos(α－β)＝－.
10．－
解析 ∵α、β∈，
∴cos α＝，sin β＝，
∵sin α∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝·＋·＝，
∴α－β＝－.
11．解 ∵α∈，tan α＝4，
∴sin α＝，cos α＝.
∵α＋β∈(0，π)，cos(α＋β)＝－，
∴sin(α＋β)＝.
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝×＋×＝.
12．解 ∵<α－β<π，cos(α－β)＝－，
∴sin(α－β)＝.
∵π<α＋β<2π，sin(α＋β)＝－，
∴cos(α＋β)＝.
∴cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝×＋×＝－1.∵<α－β<π，π<α＋β<2π，∴<2β<，∴2β＝π，∴β＝.
13．解 ∵<α<π，∴<<.
∵0<β<，∴－<－β<0，－<－<0.
∴<α－<π，－<－β<.
又cos(α－)＝－<0，
sin(－β)＝>0，
∴<α－<π，0<－β<.
∴sin(α－)＝＝.
cos(－β)＝＝.
∴cos＝cos[(α－)－(－β)]＝cos(α－)cos(－β)＋sin(α－)sin(－β)＝(－)×＋×＝.
14．解 由已知，得
sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β.
平方相加得(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝1.
∴－2cos(β－α)＝－1，∴cos(β－α)＝，
∴β－α＝±.
∵sin γ＝sin β－sin α>0，
∴β>α，∴β－α＝.
3.1.1《两角差的余弦公式》
【学习目标】
通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并为建立其他和差公式打
好基础。[来源:学。科。网]
【重点难点】
重点：两角差余弦公式的探索和简单应用。
难点：探索过程的组织和引导。
【学法指导】
之前学习了三角函数的性质，以及平面向量的运算和应用，在此基础上，要考虑如何利用任意角的正弦余弦值来表示，牢固的掌握这个公式，并会灵活运用公式进行下一节内容的学习。预习《两角差的余弦公式》，体会两角差的余弦公式的推导过程 ，尤其是向量法的运用。
【知识链接】
阅读课本相关内容，经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，进一步体会向量方法作用，并回答以下问题：
1、如何用任意角的正弦余弦值来表示；
2、如何求出的值;
会求的值吗？
提出疑惑
疑惑点
疑惑内容
【学习过程】
探究一：（1）能不能不用计算器求值 ： ， ，[来源:学科网ZXXK]
（2）
[来源:学|科|网Z|X|X|K]
探究二：两角差的余弦公式的推导
1.三角函数线法：
问：①怎样作出角、、的终边。
②怎样作出角的余弦线OM
③怎样利用几何直观寻找OM的表示式。
2.向量法：
问：①结合图形，明确应选哪几个向量，它们怎么表示？
怎样利用向量数量积的概念和计算公式得到结果。
对探索的过程进一步严谨性的思考和处理，从而得到合理的科学结论。
例题整理
利用差角余弦公式求的值
[来源:Zxxk.Com]
变式训练：利用两角差的余弦公式证明下列诱导公式：
（1）； （2）
变式训练：。
【学习反思】
本节主要考察如何用任意角的正弦余弦值来表示，回顾公式 的推导过程，观察公式的特征，注意符号区别以及公式中角，的任意性，特别要注意公式既可正用、逆用，还可变用(即要活用).在求值的过程中，还要注意掌握“变角”和“拆角”的思想方法解决问题.
【基础达标】
1.利用两角和（差）的余弦公式，求
2.求值
3．化简
[来源:学科网]
【拓展提升】
一、选择题
1. 的值为 （ ）
A. B. C. D.
2. 的值为 （ ）
A. B. C. D .
3.已知，则的值等于（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
4.化简=
5.若，则=
三、解答题、
6.已知，求的值.
双基限时练(二十四)
1．cos17°等于( )
A．cos20°cos3°－sin20°sin3°
B．cos20°cos3°＋sin20°sin3°
C．sin20°sin3°－sin20°cos3°
D．cos20°sin20°＋sin3°cos3°
解析 cos17°＝cos(20°－3°)
＝cos20°cos3°＋sin20°sin3°.
答案 B
2．cos(α＋30°)cosα＋sin(α＋30°)sinα等于( )
A. B.
C. D．－
解析 原式＝cos(α＋30°－α)
＝cos30°＝.
答案 B
3．满足cosαcosβ＝－sinαsinβ的一组α，β的值是( )
A．α＝π，β＝ B．α＝，β＝
C．α＝，β＝ D．α＝，β＝
解析 ∵cosαcosβ＝－sinαsinβ，
∴cosαcosβ＋sinαsinβ＝，
即cos(α－β)＝，
经验证可知选项B正确．
答案 B
4．已知cosα＝，则cos的值为( )
A. B．－
C. D.或－
解析 ∵cosα＝，∴sinα＝±＝±.
∴cos＝cosαcos＋sinαsin＝·＋·＝有两解，应选D.
答案 D
5.＝( )
A．－ B．－
C. D.
答案 D
答案 D6.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则cos(A－B)的值是( )
A. B.
C. D.
解析 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴斜边AB＝5.
sinA＝＝，cosA＝＝，
sinB＝＝，cosB＝＝，
∴cos(A－B)＝cosAcosB＋sinAsinB
＝×＋×＝.
答案 C
7．已知平面向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)(α，β∈R)，当α＝，β＝时，a·b＝________.
解析 a·b＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)＝cos＝cos＝.
答案
8．若cosαcosβ＝1，则cos(α－β)的值为________．
解析 由cosαcosβ＝1，知
cosα＝cosβ＝－1，或cosα＝cosβ＝1.
∴sinα＝sinβ＝0.
∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝1.
答案 1
9．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝－，则cosαcosβ的值为________．
答案 0
10．已知α，β均为锐角，满足cosα＝，sinβ＝，则cos(α－β)＝________.
解析 因为α，β均为锐角，所以sinα＝＝，cosβ＝＝.所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×＋×＝.
答案
11．若x∈，且sinx＝，求2cos＋2cosx的值．
解 ∵x∈，sinx＝，∴cosx＝－.
∴2cos＋2cosx
＝2＋2cosx
＝2＋2cosx
＝sinx＋cosx
＝－
＝.
12．已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，|a－b|＝，求cos(α－β)．
解 因为a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，所以a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)．
所以|a－b|
＝
＝
＝＝，
所以2－2cos(α－β)＝，
所以cos(α－β)＝.
13．已知sinα＋sinβ＝，cosα＋cosβ＝，求cos(α－β)．
解 ∵sinα＋sinβ＝，cosα＋cosβ＝，
两式平方相加，得
2＋2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝1，
∴cos(α－β)＝－.
