3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
课时目标 1.能利用两角和与差的正、余弦公式导出两角和与差的正切公式.2.掌握两角和与差的正切公式及变形运用．
1．两角和与差的正切公式
(1)T(α＋β)：tan(α＋β)＝_____________________________________________________.
(2)T(α－β)：tan(α－β)＝______________________________________________________.
2．两角和与差的正切公式的变形
(1)T(α＋β)的变形：
tan
α＋tan
β＝____________________________________________________________.
tan
α＋tan
β＋tan
αtan
βtan(α＋β)＝____________.
tan
α·tan
β＝______________________________________________________________.
(2)T(α－β)的变形：
tan
α－tan
β＝______________________________.
tan
α－tan
β－tan
αtan
βtan(α－β)＝____________.
tan
αtan
β＝______________________________________________________________.
一、选择题
1．已知α∈，sin
α＝，则tan的值等于( )
A. B．7 C．－ D．－7
2．若sin
α＝，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tan
β的值是( )
A.
B．－
C．－7
D．－
3．已知tan
α＝，tan
β＝，0<α<，π<β<，则α＋β的值是( )
A.
B.
C.
D.
4．A，B，C是△ABC的三个内角，且tan
A，tan
B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是( )
A．钝角三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．无法确定
5．化简tan
10°tan
20°＋tan
20°tan
60°＋tan
60°tan
10°的值等于( )
A．1
B．2
C．tan
10°
D.tan
20°
6．在△ABC中，角C＝120°，tan
A＋tan
B＝，则tan
Atan
B的值为( )
A.
B.
C.
D.
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7.＝________.
8．已知tan＝2，则的值为________．
9．如果tan
α，tan
β是方程x2－3x－3＝0两根，则＝________.
10．已知α、β均为锐角，且tan
β＝，则tan(α＋β)＝________.
三、解答题
11．在△ABC中，tan
B＋tan
C＋tan
Btan
C＝，且tan
A＋tan
B＋1＝tan
Atan
B，试判断△ABC的形状．
12.
如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.
求tan(α＋β)的值．
能力提升
13．已知tan(α－β)＝，tan
β＝－，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．
14．已知锐角三角形ABC中，sin(A＋B)＝，sin(A－B)＝.
(1)求证：tan
A＝2tan
B；
(2)设AB＝3，求AB边上的高．
1．公式T(α±β)的适用范围
由正切函数的定义可知α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y轴上，即不为kπ＋(k∈Z)．
2．公式T(α±β)的逆用
一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如tan
＝1，tan
＝，tan
＝等．
要特别注意tan(＋α)＝，tan(－α)＝.
3．公式T(α±β)的变形应用
只要见到tan
α±tan
β，tan
αtan
β时，有灵活应用公式T(α±β)的意识，就不难想到解题思路．
3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
答案
知识梳理
1．(1) (2)
2．(1)tan(α＋β)(1－tan
αtan
β) tan(α＋β) 1－
(2)tan(α－β)(1＋tan
αtan
β) tan(α－β) －1
作业设计
1．A 2.C 3.C
4．A [tan
A＋tan
B＝，tan
A·tan
B＝，
∴tan(A＋B)＝，∴tan
C＝－tan(A＋B)＝－，
∴C为钝角．]
5．A [原式＝tan
10°tan
20°＋tan
20°＋
tan
10°
＝(tan
10°＋tan
20°＋tan
10°tan
20°)
＝tan
30°＝1.]
6．B [tan(A＋B)＝－tan
C＝－tan
120°＝，
∴tan(A＋B)＝＝，即＝，解得tan
A·tan
B＝.]
7．－
8.
解析 ∵tan＝2，∴＝2，
解得tan
α＝.
∴＝＝＝＝.
9．－
解析 ＝＝＝＝－.
10．1
解析 tan
β＝＝.
∴tan
β＋tan
αtan
β＝1－tan
α.
∴tan
α＋tan
β＋tan
αtan
β＝1.
∴tan
α＋tan
β＝1－tan
αtan
β.
∴＝1，∴tan(α＋β)＝1.
11．解 由tan
B＋tan
C＋tan
Btan
C＝，
得tan
B＋tan
C＝(1－tan
Btan
C)．
∴tan(B＋C)＝＝，
又∵B＋C∈(0，π)，∴B＋C＝.
又tan
A＋tan
B＋1＝tan
Atan
B，
∴tan
A＋tan
B＝－(1－tan
Atan
B)，
∴tan(A＋B)＝＝－，
而A＋B∈(0，π)，∴A＋B＝，又∵A＋B＋C＝π，
∴A＝，B＝C＝.∴△ABC为等腰三角形．
12．解 由条件得cos
α＝，cos
β＝.
∵α，β为锐角，∴sin
α＝＝，
sin
β＝＝.
因此tan
α＝＝7，tan
β＝＝.
tan(α＋β)＝＝＝－3.
13．解 tan
α＝tan[(α－β)＋β]＝＝>0.
而α∈(0，π)，故α∈(0，)．
∵tan
β＝－，0<β<π，∴<β<π.
∴－π<α－β<0.而tan(α－β)＝>0，
∴－π<α－β<－.
∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)．
∵tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝＝1，
∴2α－β＝－.
14．(1)证明 ∵sin(A＋B)＝，sin(A－B)＝，
∴ ＝2，所以tan
A＝2tan
B.
(2)解 ∵
将tan
A＝2tan
B代入上式并整理得，2tan2
B－4tan
B－1＝0.
解得tan
B＝，舍去负值，得tan
B＝.
∴tan
A＝2tan
B＝2＋.设AB边上的高为CD.
则AB＝AD＋DB＝＋＝.
由AB＝3，得CD＝2＋.∴AB边上的高等于2＋.(共23张PPT)
QD
ANYOU
KETANG3.1.2
两角和与差的正弦、余弦、正切公式（二）
( http: / / www. )
一、教学目标
( http: / / www. )
1、理解两角和与差的余弦、正弦和正切公式，体会三角恒等变换特点的过程；
( http: / / www. )
2、掌握两角和与差的余弦、正弦和正切公式的应用及类型的变换。
( http: / / www. )
二、教学重、难点
( http: / / www. )
1.
教学重点：两角和、差正弦和正切公式的运用；
( http: / / www. )
2.
教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.
( http: / / www. )
三、教学设想：
( http: / / www. )
（一）复习式导入：（1）基本公式
( http: / / www. )
( http: / / www. )
( http: / / www. )
( http: / / www. )
（2）练习：教材P132面第6题。
思考：怎样求类型？
（二）新课讲授
例1、化简
解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？
思考：是怎么得到的？
，我们是构造一个叫使它的正、余弦分别等于和的.
归纳：
例2、已知：函数
（1）
求的最值。（2）求的周期、单调性。
例3．已知A、B、C为△ABC的三內角，向量，，且，
（1）
求角A。（2）若，求tanC的值。
练习：（1）教材P132面7题
（2）在△ABC中，，则△ABC为（
）
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．锐角三角形
D．等腰三角形
（2）
（
）
A．
0
B．2
C．
D．
思考：已知，，，求
三、小结：掌握两角和与差的余弦、正弦和正切公式的应用及类型的变换
四、作业：《习案》作业三十一的1、2、3题。(共20张PPT)
3.1.2两角和与差的正弦、
余弦、正切公式
复习引入
基本公式：
复习引入
基本公式：
复习引入
基本公式：
复习引入
基本公式：
复习引入
基本公式：
复习引入
基本公式：
复习引入
基本公式：
练习
教材P.132练习第6题.
练习
教材P.132练习第6题.
思考：
讲解范例：
例1.
讲解范例：
例1.
思考：
讲解范例：
归纳：
讲解范例：
例2.
(1)求f(x)的最值；
(2)求f(x)的周期、单调性.
讲解范例：
例3.
已知A、B、C为△ABC的三内角，
向量
且
练习：
1.
教材P.132练习第7题.
2.
在△ABC中，sinAsinB＜cosAcosB，则△ABC为
(
)
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．锐角三角形
D．等腰三角形
练习：
思考：
课堂小结
掌握两角和与差的余弦、正弦
和正切公式的应用及asin ＋bcos
类型的变换.
阅读教材P.128到P.131;
2.
《习案》作业三十一的
第1、2、3题.
课后作业3.1.2
《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》导学案
【学习目标】
1.
能从两角差的余弦公式导出两角和的余弦公式，以及两角和与差的正弦、正切公式，了解公式间的内在联系。
2.能应用公式解决比较简单的有关应用的问题。
【重点难点】
1.
教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；
2.
教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.
【学法指导】
1.理解并掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，初步运用公式求一些角的三角函数值；
2.经历两角和与差的三角公式的探究过程，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力；
【知识链接】
1、在一般情况下sin(α+β)≠sinα+sinβ,cos(α+β)≠cosα+cosβ.
2、
已知，那么(
)
A、－
B、
C、
D、
3.在运用公式解题时，既要注意公式的正用，也要注意公式的反用和变式运用.如公式tan(α±β)=
可变形为：tanα±tanβ=tan(α±β)(1tanαtanβ);
±tanαtanβ=1-,
4、又如：asinα+bcosα=
(sinαcosφ+cosαsinφ)=
sin(α+φ),其中tanφ=等，有时能收到事半功倍之效.
=_____________.
[]
提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
【学习过程】
（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：
动手完成两角和与差正弦和正切公式.
观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.
通过什么途径可以把上面的式子化成只含有、的形式呢？（分式分子、分母同时除以，得到．
注意：
以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角差的正切公式呢？
注意：．
（二）例题讲解
例1、已知是第四象限角，求的值.
[]
例2、利用和（差）角公式计算下列各式的值：
（1）、；（2）、；（3）、．
例3、化简
[]
[]
【学习反思】
【基础达标】
(A)
(B)
(C)
(D)
(A)
(B)
(D)[]
(A)
(B)
(C)
(D)
参考答案
1、
2、C
3、A
4、
5、1
6、
【拓展提升】
1.
已知求的值．（
）
2.
若
3、函数的最小正周期是___________________.
4、为第二象限角，双基限时练(二十六)
1．已知下列四个等式：
①sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；
②cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；
③cos＝－sinα；
④tan(α－β)＝.
其中恒成立的等式有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
解析 ①，②，③对任意角α，β恒成立，④中的α，β还要使正切函数有意义．
答案 B
2.的值为( )
A.
B.
C．1
D．－
解析 原式＝＝tan(45°－15°)＝tan30°＝.
答案 B
3．设tan(α＋β)＝，tan＝，则tan等于( )
A.
B.
C.
D.
3．已知α，β为锐角，cosα＝，tan(α－β)＝－，则tanβ的值为( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
4．已知tanα＋tanβ＝2，tan(α＋β)＝4，则tanαtanβ等于( )
A．2
B．1
C.
D．4
解析 因为tan(α＋β)＝＝＝4，所以tanαtanβ＝.
答案 C
5．若0<α<，0<β<，且tanα＝，tanβ＝，则α＋β等于( )
A.
B.
C.
D.
解析 由已知可求得tan(α＋β)＝1.
又0<α＋β<π，∴α＋β＝.
答案 B
6．已知tanα和tan是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则a，b，c的关系是( )
A．b＝a＋c
B．2b＝a＋c
C．c＝b＋a
D．c＝ab
解析 由韦达定理可知tanα＋tan＝－且tanαtan＝，∴tan＝tan＝＝1.∴－＝1－.∴－b＝a－c.∴c＝a＋b.故选C.
答案 C
7．若tanα＝3，tanβ＝，则tan(α－β)＝________.
解析 tan(α－β)＝＝＝.
答案
8.＝________.
解析 原式＝tan(51°－6°)＝tan45°＝1.
答案 1
9．已知α∈，sinα＝，则tan＝______.
解析 ∵<α<π，sinα＝，
∴cosα＝－，∴tanα＝－.
∴tan＝＝＝.
答案
10．tan67°－tan22°－tan67°tan22°＝________.
解析 因为tan67°－tan22°＝tan(67°－22°)(1＋tan67°tan22°)
＝tan45°(1＋tan67°tan22°)
＝1＋tan67°tan22°
所以tan67°－tan22°－tan67°tan22°
＝1＋tan67°tan22°－tan67°tan22°＝1.
答案 1
11．求下列各式的值．
(1)tan；(2).
解 (1)tan＝tan
＝
＝＝2－.
(2)原式＝tan(75°－15°)＝tan60°＝.
12．(1)已知α＋β＝，求(1＋tanα)(1＋tanβ)．
(2)利用(1)的结论求(1＋tan1°)·(1＋tan2°)·(1＋tan3°)·…·(1＋tan45°)的值．
解 (1)∵α＋β＝，∴tan(α＋β)＝1，
即＝1，
∴tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ.
∴(1＋tanα)(1＋tanβ)＝(tanα＋tanβ)＋1＋tanαtanβ＝2.
(2)由(1)知当α＋β＝45°时，
(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2.
∴原式＝(1＋tan1°)(1＋tan44°)(1＋tan2°)(1＋tan43°)…(1＋tan22°)(1＋tan23°)·(1＋tan45°)
＝222·2＝223.
13．已知tanα＝－，cosβ＝，α，β∈(0，π)．
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求函数f(x)＝sin(x－α)＋cos(x＋β)的最大值．
解 (1)tanα＝－，cosβ＝，β∈(0，π)，
∴sinβ＝，∴tanβ＝2.
∴tan(α＋β)＝＝＝1.
(2)∵tanα＝－，
α∈(0，π)，
∴sinα＝，cosα＝－
.
∴f(x)＝(sinxcosα－cosxsinα)＋cosxcosβ－sinxsinβ
＝－sinx－cosx＋cosx－sinx
＝－sinx.
∴f(x)的最大值为.
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