3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
课时目标 1.在两角差的余弦公式的基础上，会推导两角和与差的正弦、余弦公式.2.灵活运用两角和与差的正、余弦公式进行求值、化简、证明．
1．两角和与差的余弦公式
C(α－β)：cos(α－β)＝__________________.
C(α＋β)：cos(α＋β)＝__________________.
2．两角和与差的正弦公式
S(α＋β)：sin(α＋β)＝__________________________.
S(α－β)：sin(α－β)＝____________________________.
3．两角互余或互补
(1)若α＋β＝________，其α、β为任意角，我们就称α、β互余．例如：－α与__________互余，＋α与________互余．
(2)若α＋β＝________，其α，β为任意角，我们就称α、β互补．例如：＋α与______________互补，____________与π－α互补．
一、选择题
1．计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于( )
A. B. C. D.
2．sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°的值是( )
A．－ B．－ C. D.
3．若锐角α、β满足cos α＝，cos(α＋β)＝，则sin β的值是( )
A. B. C. D.
4．已知cos αcos β－sin αsin β＝0，那么sin αcos β＋cos αsin β的值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．±1
5．若函数f(x)＝(1＋tan x)cos x,0≤x<，则f(x)的最大值为( )
A．1 B．2 C．1＋ D．2＋
6．在三角形ABC中，三内角分别是A、B、C，若sin C＝2cos Asin B，则三角形ABC一定是( )
A．直角三角形 B．正三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．化简sin＋cos的结果是________．
8．函数f(x)＝sin x－cos x的最大值为________．
9．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则的值是__________．
10．式子的值是________．
三、解答题
11．已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin 2α的值．
12．证明：－2cos(α＋β)＝.
能力提升
13．已知sin α＋cos＝，则sin的值是________．
14．求函数f(x)＝sin x＋cos x＋sin x·cos x，x∈R的最值及取到最值时x的值．
1．两角和差公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成两角和差公式的特例，例如：sin＝sin cos α－cos sin α＝－cos α.
2．使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)时，不要将cos(α＋β)和sin(α＋β)展开，而应采用整体思想，作如下变形：sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)＝sin[β－(α＋β)]＝sin(－α)＝－sin α.
3．运用和差公式求值、化简、证明时要注意，灵活进行三角变换，有效地沟通条件中的角与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解．
3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
答案
知识梳理
1．cos αcos β＋sin αsin β cos αcos β－sin αsin β
2．sin αcos β＋cos αsin β sin αcos β－cos αsin β
3．(1) ＋α －α (2)π π－α α＋
作业设计
1．A
2．B [原式＝－sin 65°sin 55°＋sin 25°sin 35°
＝－cos 25°cos 35°＋sin 25°sin 35°
＝－cos(35°＋25°)＝－cos 60°＝－.]
3．C [∵cos α＝，cos(α＋β)＝，
∴sin α＝，sin(α＋β)＝.
∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝×－×＝.]
4．D [cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)＝0.
∴α＋β＝kπ＋，k∈Z，
∴sin αcos β＋cos αsin β＝sin(α＋β)＝±1.]
5．B [f(x)＝(1＋tan x)cos x＝cos x＋sin x＝2(cos x＋sin x)＝2sin(x＋)，
∵0≤x<，
∴≤x＋<.
∴f(x)max＝2.]
6．C [∵sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝2cos Asin B
∴sin Acos B－cos Asin B＝0.即sin(A－B)＝0，∴A＝B.]
7．cos α
解析 原式＝sin cos α＋cos sin α＋cos cos α－sin sin α＝cos α.
8.
解析 f(x)＝sin x－cos x＝＝＝sin.
9.
解析
∴，
∴＝＝.
10.
解析 原式＝
＝
＝＝tan 60°＝.
11．解 因为<β<α<，
所以0<α－β<，
π<α＋β<.
又cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，
所以sin(α－β)＝＝＝，
cos(α＋β)＝－＝－＝－.
所以sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)
＝×＋×＝－.
12．证明 －2cos(α＋β)
＝
＝
＝
＝
＝.
13．－
解析 sin α＋cos
＝sin α＋cos αcos ＋sin αsin
＝sin α＋cos α
＝
＝
＝sin＝.
∴sin＝.
∴sin＝－sin＝－.
14．解 设sin x＋cos x＝t，
则t＝sin x＋cos x＝＝sin，
∴t∈[－，]，
∴sin x·cos x＝＝.
∴f(x)＝sin x＋cos x＋sin x·cos x
即g(t)＝t＋＝(t＋1)2－1，t∈[－，]．
当t＝－1，即sin x＋cos x＝－1时，f(x)min＝－1.
此时，由sin＝－，
解得x＝2kπ－π或x＝2kπ－，k∈Z.
当t＝，即sin x＋cos x＝时，f(x)max＝＋.
此时，由sin＝，sin＝1.
解得x＝2kπ＋，k∈Z.
综上，当x＝2kπ－π或x＝2kπ－，k∈Z时，f(x)取最小值且f(x)min＝－1；当x＝2kπ＋，k∈Z时，f(x)取得最大值，f(x)max＝＋.
课件23张PPT。课件31张PPT。3.1.2两角和与差的正弦、
余弦、正切公式复习引入1. 两角差的余弦公式：复习引入1. 两角差的余弦公式：2. 讲授新课问题：
由两角差的余弦公式，怎样得到
两角差的正弦公式呢？两角和与差的正弦公式：探究1：两角和与差的正弦公式：探究1：两角和与差的正弦公式：探究1：探究1：两角和与差的正弦公式：探究1：两角和与差的正弦公式：探究1：两角和与差的正弦公式：探究1：两角和与差的正弦公式：探究1：两角和与差的正弦公式：探究1：两角和与差的正弦公式：探究2：两角和的正切公式：探究2：两角和的正切公式：探究2：两角和的正切公式：探究3： 通过什么途径可以把上面的式子
化成只含有tan?、 tan ? 的形式呢？探究3： 通过什么途径可以把上面的式子
化成只含有tan?、 tan ? 的形式呢？两角差的正切公式：探究4：两角差的正切公式：探究4：探究4：两角差的正切公式：探究4：两角差的正切公式：和角公式、差角公式:和角公式.差角公式.讲解范例：例1.讲解范例：思考： 练习：教材P.131第1、2、3、4题. 讲解范例：例2.讲解范例：例3. 利用和(差)角公式计算下列各式的值.讲解范例：例3. 利用和(差)角公式计算下列各式的值.练习.教材P.131第5题. 课堂小结 本节我们学习了两角和与差正弦、
余弦和正切公式，我们要熟记公式，
学会灵活运用. 阅读教材P.128到P.131;
2. 《习案》作业三十.课后作业3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（一）
一、教学目标
理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用.
二、教学重、难点
1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；
2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.
三、教学设想：
（一）复习式导入：
（1）大家首先回顾一下两角差的余弦公式：．
（2）？
（二）新课讲授
问题：由两角差的余弦公式，怎样得到两角差的正弦公式呢？
探究1、让学生动手完成两角和与差正弦公式.
．
探究2、让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）
．
探究3、我们能否推倒出两角差的正切公式呢？
探究4、通过什么途径可以把上面的式子化成只含有、的形式呢？
（分式分子、分母同时除以，得到．
注意：
5、将、、称为和角公式，、、称为差角公式。
（三）例题讲解
例1、已知是第四象限角，求的值.
解：因为是第四象限角，得，
，
于是有：
思考：在本题中，，那么对任意角，此等式成立吗？若成立你能否证明？
练习：教材P131面1、2、3、4题
例2、已知求的值．（）
例3、利用和（差）角公式计算下列各式的值：
（1）、；（2）、；（3）、．
解：（1）、；
（2）、；
（3）、．
练习：教材P131面5题
（四）小结：本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，学会灵活运用.
（五）作业：《习案》作业三十。
3.1.2 《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》导学案
【学习目标】
1. 能从两角差的余弦公式导出两角和的余弦公式，以及两角和与差的正弦、正切公式，了解公式间的内在联系。
2.能应用公式解决比较简单的有关应用的问题。
【重点难点】
1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；
2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.
【学法指导】
1.理解并掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，初步运用公式求一些角的三角函数值；
2.经历两角和与差的三角公式的探究过程，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力；
【知识链接】
1、在一般情况下sin(α+β)≠sinα+sinβ,cos(α+β)≠cosα+cosβ.
2、
已知，那么( )
A、－ B、 C、 D、
3.在运用公式解题时，既要注意公式的正用，也要注意公式的反用和变式运用.如公式tan(α±β)= 可变形为：tanα±tanβ=tan(α±β)(1tanαtanβ);
±tanαtanβ=1-,
4、又如：asinα+bcosα= (sinαcosφ+cosαsinφ)= sin(α+φ),其中tanφ=等，有时能收到事半功倍之效.
=_____________.
[来源:学科网ZXXK]
提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
【学习过程】
（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：
动手完成两角和与差正弦和正切公式.
观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.
通过什么途径可以把上面的式子化成只含有、的形式呢？（分式分子、分母同时除以，得到．
注意：
以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角差的正切公式呢？
注意：．
（二）例题讲解
例1、已知是第四象限角，求的值.
[来源:Z.xx.k.Com]
例2、利用和（差）角公式计算下列各式的值：
（1）、；（2）、；（3）、．
例3、化简
[来源:学|科|网Z|X|X|K]
[来源:Z_xx_k.Com]
【学习反思】
【基础达标】
(A) (B)
(C) (D)
(A) (B)
(D)[来源:学科网ZXXK]
(A) (B)
(C) (D)
参考答案
1、 2、C 3、A 4、 5、1 6、
【拓展提升】
1. 已知求的值．（ ）
2. 若
3、函数的最小正周期是___________________.
4、为第二象限角，
双基限时练(二十五)
1．已知α，β都是锐角，下列不等式中不成立的是( )
A．sinα＋cosα>1
B．sinα－cosα<1
C．sin(α＋β)>sin(α－β)
D．cos(α＋β)>cos(α－β)
解析 令α＝β＝30°，则cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝1，故cos(α＋β)
答案 D
2．sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)cos(110°－x)的值为( )
A. B.
C. D.
解析 原式＝sin(65°－x)cos(x－20°)－cos(65°－x)·sin(20°－x)＝sin(65°－x)·cos(x－20°)＋cos(65°－x)·sin(x－20°)＝sin[(65°－x)＋(x－20°)]＝sin45°＝.
答案 B
3.在△ABC中，2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
解析 在△ABC中，C＝π－(A＋B)，
∴2cosBsinA＝sin[π－(A＋B)]
＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB.
∴－sinAcosB＋cosAsinB＝0.
即sin(B－A)＝0.
又∵0∴A＝B，故选A.
答案 A
4．sin15°＋cos15°的值是( )
A. B.
C. D．－
解析 sin15°＋cos15°＝sin(45°－30°)＋cos(45°－30°)
＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＋cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝×－×＋×＋×＝.
答案 C
5．已知sinα＝，α∈，则sin的值等于( )
A. B.
C. D．－
解析 ∵α∈，sinα＝，∴cosα＝，
sin＝×－×＝－.
答案 D
6.＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析 ∵sin47°＝sin(17°＋30°)＝sin17°cos30°＋cos17°sin30°，∴＝＝sin30°＝.
答案 C
7．在△ABC中，cosA＝，cosB＝，则cosC的值是____．
解析 ∵在△ABC中，cosA＝，cosB＝，
∴sinA＝，sinB＝.
∴cosC＝cos[π－(A＋B)]
＝－cos(A＋B)
＝－cosAcosB＋sinAsinB
＝－×＋×＝.
答案
8．化简：cos＋sin＝________.
解析 原式＝coscosα－sinsinα＋sincosα＋cossinα＝cosα－sinα＋cosα＋sinα＝cosα.
答案 cosα
9.cos15°＋sin15°＝________.
答案
10．函数f(x)＝sinx－cosx(x∈R)的最小正周期为________，最大值为________．
解析 f(x)＝2＝2sin.
∴最小正周期T＝2π，最大值为2.
答案 2π 2
11．已知sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝，β是第三象限的角，求sin的值．
解 sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα
＝sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα
＝sin[(α－β)－α]＝sin(－β)＝，
∴sinβ＝－.
又β是第三象限的角，
∴cosβ＝－.
∴sin＝sinβcos＋cosβsin
＝－×－×＝－.
12．若sin＝，cos＝，且0＜α＜＜β＜，求cos(α＋β)的值．
解 ∵0＜α＜＜β＜，
∴＜＋α＜π，－＜－β＜0.
又已知sin＝，cos＝，
∴cos＝－，sin＝－.
∴cos(α＋β)＝sin
＝sin
＝sincos－
cossin
＝×－×
＝－.
13．求证：－2cos(α＋β)＝.
证明 sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sinα
＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sinα
＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα－2cos(α＋β)sinα
＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα
＝sin[(α＋β)－α]＝sinβ.
由待证式知sinα≠0，故两边同除以sinα得
－2cos(α＋β)＝.
