二倍角的正弦、余弦、正切公式
课时目标 1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用．
1．倍角公式
(1)S2α：sin 2α＝2sin αcos α，sin cos ＝sin α；
(2)C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1
＝1－2sin2α；
(3)T2α：tan 2α＝.
2．倍角公式常用变形
(1)＝__________，＝__________；
(2)(sin α±cos α)2＝__________；
(3)sin2α＝______________，cos2α＝______________.
一、选择题
1．计算1－2sin222.5°的结果等于( )
A. B. C. D.
2．函数y＝2cos2(x－)－1是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数
D．最小正周期为的偶函数
3．若sin(－α)＝，则cos(＋2α)的值为( )
A．－ B．－ C. D.
4．若＝1，则的值为( )
A．3 B．－3 C．－2 D．－
5．如果|cos θ|＝，<θ<3π，则sin 的值是( )
A．－ B. C．－ D.
6．已知角α在第一象限且cos α＝，则等于( )
A. B. C. D．－
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7.的值是________．
8．函数f(x)＝cos x－sin2x－cos 2x＋的最大值是______．
9．已知tan ＝3，则＝______.
10．已知sin22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，α∈(0，)，则α＝________.
三、解答题
11．求证：＝tan4 A.
12．若cos＝－，能力提升
13．求值：cos 20°cos 40°cos 80°.
14．求值：tan 70°·cos 10°·(tan 20°－1)．
1．对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：
8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是α的二倍；是的二倍；是的二倍；＝ (n∈N*)．
2．二倍角余弦公式的运用
在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛，二倍角的常用形式： ①1＋cos 2α＝2cos2α，②cos2α＝，③1－cos 2α＝2sin2α，④sin2α＝.
3．1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
答案
知识梳理
2．(1)cos α sin α (2)1±sin 2α (3)
作业设计
1．B 2.A
3．B [cos(＋2α)＝－cos(－2α)＝－cos[2(－α)]
＝－[1－2sin2(－α)]＝2sin2(－α)－1＝－.]
4．A [∵＝1，∴tan θ＝－.
∴＝＝＝＝＝3.]
5．C [∵<θ<3π，|cos θ|＝，
∴cos θ<0，cos θ＝－.
∵<<π，∴sin <0.
由sin2＝＝，
∴sin ＝－.]
6．C [∵cos α＝且α在第一象限，∴sin α＝.
∴cos 2α＝cos2α－sin2α＝－，
sin 2α＝2sin αcos α＝，
原式＝＝＝.]
7．2
解析 ＝＝＝2.
8．2
解析 f(x)＝cos x－(1－cos2x)－(2cos2x－1)＋＝－cos2x＋cos x＋＝－2＋2.
∴当cos x＝时，f(x)max＝2.
9．3
解析 ＝＝＝tan ＝3.
10.
解析 ∵sin22α＋sin 2αcos α－(cos 2α＋1)＝0.
∴4sin2αcos2α＋2sin αcos2α－2cos2α＝0.
∵α∈(0，)．∴2cos2α>0.
∴2sin2α＋sin α－1＝0.
∴sin α＝(sin α＝－1舍)．
∴α＝.
11．证明 ∵左边＝＝2＝2＝(tan2 A)2
＝tan4 A＝右边．
∴＝tan4 A.
12．解 ＝＝＝sin 2x＝sin 2xtan＝costan＝tan，
∵∴－<－x<－π.
又∵cos＝－，
∴sin＝，tan＝－.
∴原式＝×＝－.
13．解 原式＝＝＝
＝＝.
14．解 原式＝·cos 10°
＝·cos 10°·
＝·cos 10°·2
＝＝＝－1.
课件24张PPT。3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式
一、教学目标
以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用.
二、教学重、难点
教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；
教学难点：二倍角的理解及其灵活运用.
三、教学设想：
（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式，
练习：（1）在△ABC中，，则△ABC为（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形
（2） （ ）
A． 0 B．2 C． D．
思考：已知，，，求
我们由此能否得到的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中看成即可），
（二）公式推导：
；
；
思考：把上述关于的式子能否变成只含有或形式的式子呢？
；
．
．
注意：
（三）例题讲解
例1、已知求的值．
解：由得．
又因为．
于是；
；．
例2．在△ABC中，，
例3．已知求的值．
解：，由此得
解得或．
例4．已知
（四）练习：教材P135面1、2、3、4、5题
（五）小结：本节我们学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.
（六）作业：《习案》作业三十二。
课件32张PPT。3.1.3 两倍角的正弦、
余弦、正切公式复习引入基本公式：复习引入基本公式：复习引入基本公式：复习引入基本公式：复习引入基本公式：复习引入基本公式：复习引入基本公式：练习：在△ABC中，sinAsinB＜cosAcosB，
则△ABC为 ( )
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．等腰三角形练习：讲授新课思考：讲授新课思考： 由此我们能否得到sin2?，cos2?，
tan2?的公式呢？公式推导：公式推导：公式推导：公式推导：公式推导：公式推导：思考： 把上述关于cos2?的式子能否变成
只含有sin?或cos?形式的式子呢？思考： 把上述关于cos2?的式子能否变成
只含有sin?或cos?形式的式子呢？思考： 把上述关于cos2?的式子能否变成
只含有sin?或cos?形式的式子呢？公式推导：公式推导：公式推导：公式推导：注意：例1.讲解范例：例2. 在△ABC中,讲解范例：例3. 讲解范例：例4. 讲解范例：例4. 讲解范例：练习.
教材P.135练习第1、2、3、4、5题. 课堂小结 本节我们学习了二倍角的正弦、
余弦和正切公式，我们要熟记公式，
在解题过程中要善于发现规律，学
会灵活运用. 阅读教材P.132到P.134;
2. 《习案》作业三十二.课后作业3.1.3《二倍角的正弦、余弦和正切公式》导学案
【学习目标】
以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用.
【重点难点】
教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；
教学难点：二倍角的理解及其灵活运用.
【学法指导】
复习回顾两角和正弦、余弦和正切公式，为推到二倍角的正弦、余弦和正切公式做好铺垫。
【知识链接】
请大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式：
；
；
。
我们由此能否得到的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中看成即可）。[来源:Z。xx。k.Com]
【学习过程】
一、公式推导：
；[来源:学科网]
；
思考：把上述关于的式子能否变成只含有或形式的式子呢？；
．
．
注意：
二、例题讲解
例1、已知求的值．
例２、已知求的值．
[来源:学&科&网]
【基础达标】
1．sin22(30’cos22(30’=__________________;
2．_________________;
3．____________________;
4．__________________.
5．__________________;
6．____________________;
7．___________________;
8．______________________.
【拓展提升】
1、已知180°＜2α＜270°，化简=（ ）
A、-3cosα B、cosα C、-cosα D、sinα-cosα
2、已知，化简+= （ ）
A、-2cos B、2cos C、-2sin D、2sin
3、已知sin=，cos=－，则角是 （ ）
A、第一象限角 B、第二象限角 C、第三象限角 D、第四象限角
[来源:Zxxk.Com]
4、若tan ( = 3，求sin2( ( cos2( 的值。[来源:学#科#网]
5、已知，求sin2(，cos2(，tan2(的值。
6、已知求的值。
7、已知，，求的值。
双基限时练(二十七)
1．sin15°sin75°的值为( )
A. B.
C. D.
解析 sin15°sin75°＝sin15°cos15°＝×2sin15°cos15°＝sin30°＝.
答案 B
2．cos4－sin4等于( )
A．0 B.
C．1 D．－
解析 cos4－sin4
＝
＝cos＝.
答案 B
3．若sin＝，则cos2α的值等于( )
A．－ B.
C. D．－
解析 由sin＝，得cosα＝，
∴cos2α＝2cos2α－1＝2×2－1＝－.
答案 A
4．化简1－2cos2的结果为( )
A．2cos2θ B．－cos2θ
C．sin2θ D．－sin2θ
解析 1－2cos2＝1－
＝－cos＝－sin2θ.
答案 D
5．若sinx·tanx<0，则等于( )
A.cosx B．－cosx
C.sinx D．－sinx
解析 ∵sinx·tanx<0，∴x为第二或第三象限的角．
∴cosx<0，∴＝＝|cosx|
＝－cosx.
答案 B
6．若α∈，且sin2α＋cos2α＝，则tanα的值等于( )
A. B.
C. D.
解析 ∵sin2α＋cos2α＝，∴sin2α＋cos2α－sin2α＝cos2α＝.∴cosα＝±.又α∈，∴cosα＝，sinα＝.∴tanα＝.
答案 D
7．已知tan2α＝，则tanα的值为________．
解析 由tan2α＝＝，整理可得：tan2α＋4tanα－1＝0. 解得：tanα＝－2±.
答案 －2±
8．coscos＝________.
答案
9．已知tan＝2，则的值为________．
解析 ∵tan＝2，∴＝2，∴tanx＝.
∴＝＝＝＝.
答案
10．已知cos＝，则sin2x＝________.
解析 方法一：∵cos＝，
∴(cosx＋sinx)＝，
∴(1＋2sinxcosx)＝，∴sin2x＝－.
方法二：sin2x＝cos＝2cos2－1＝2×－1＝－.
答案 －
11．已知函数f(x)＝2sin(π－x)cosx.
(1)求f(x)的最小正周期．
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
解 (1)因为f(x)＝2sin(π－x)cosx＝2sinxcosx＝sin2x，
所以函数f(x)的最小正周期为π.
(2)由－≤x≤?－≤2x≤π，
所以－≤sin2x≤1，
所以f(x)在区间上的最大值为1，最小值为－.
12．已知α为锐角，且tan＝2.
(1)求tanα的值；(2)求的值．
解 (1)tan＝，
所以＝2,1＋tanα＝2－2tanα，
所以tanα＝.
(2)＝
＝
＝
＝sinα.
因为tanα＝，所以cosα＝3sinα，
又sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＝，
又α为锐角，所以sinα＝，
所以＝.
13．求证：＝sin2α
证明 方法一：左边＝
＝＝
＝
＝sincoscosα＝sinαcosα＝sin2α＝右边．
∴原式成立．
方法二：左边＝＝cos2α·＝
cos2α·tanα＝cosαsinα＝sin2α＝右边．
∴原式成立．
