3.2简单的三角恒等变换（三）
教学目标
知识与技能目标
熟练掌握三角公式及其变形公式．
过程与能力目标
抓住角、函数式得特点，灵活运用三角公式解决一些实际问题．
情感与态度目标
培养学生观察、分析、解决问题的能力．
教学重点
和、差、倍角公式的灵活应用．
教学难点
如何灵活应用和、差、倍角公式的进行三角式化简、求值、证明．
教学过程
例1：教材P141面例4
例1. 如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形.记∠COP＝(，求当角(取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积.
例2：把一段半径为R的圆木锯成横截面为矩形的木料，怎样锯法能使横截面的面积最大？（分别设边与角为自变量）
解：（1）如图，设矩形长为l，则面积，
所以当且仅当
即时，取得最大值，此时S取得最大值，矩形的宽为
即长、宽相等，矩形为圆内接正方形.
（2）设角为自变量，设对角线与一条边的夹角为，矩形长与宽分别为
、，所以面积.
而，所以，当且仅当时，S取最大值，所以当且仅当即时， S取最大值，此时矩形为内接正方形.
变式：已知半径为1的半圆，PQRS是半圆的内接矩形如图，问P点在什么位置时，矩形的面积最大，并求最大面积时的值．
解：设则
故S四边形PQRS
故为时，
课堂小结
建立函数模型利用三角恒等变换解决实际问题.
课后作业
1. 阅读教材P.139到P.142; 2. 《习案》作业三十五.
课件6张PPT。3.2 简单的三角
恒等变换(三)例1. 如图，已知OPQ是半径为1，圆心
角为讲解范例：的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形.
记∠COP＝?，求当角?
取何值时，矩形ABCD的
面积最大？并求出这个
最大面积.OABDCQP?讲解范例：例2. 把一段半径为R的圆木锯成横截面
为矩形的木料，怎样锯法能使横截面的
面积最大？（分别设边与角为自变量）?讲解范例：变式.已知半径为1的半圆，PQRS是半圆
的内接矩形如图，问P点在什么位置时，
矩形的面积最大，并求最大面积时的值．PQRSO课堂小结湖南省长沙市一中卫星远程学校 建立函数模型利用三角恒等
变换解决实际问题. 阅读教材P.139到P.142;
2. 《习案》作业三十五.课后作业湖南省长沙市一中卫星远程学校3.2简单的三角恒等变换（二）
一、教学目标
1、通过三角恒等变形，形如的函数转化为的函数；
2、灵活利用公式，通过三角恒等变形，解决函数的最值、周期、单调性等问题。
二、教学重点与难点
重点：三角恒等变形的应用。
难点：三角恒等变形。
三、教学过程
（一）复习：二倍角公式。
（二）典型例题分析
例1： ；．
解：（1）由得
（2）
例2．
解：
.
例３．已知函数
求的最小正周期，（2）当时，求的最小值及取得最小值时的集合．
点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数
的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．
例4．若函数上的最大值为6，求常数m的值及此函数当时的最小值及取得最小值时的集合。
（三）练习：教材P142面第4题。
（四）小结：(1) 二倍角公式：
(2)二倍角变式：
(3)三角变形技巧和代数变形技巧
常见的三角变形技巧有
①切割化弦；
②“1”的变用；
③统一角度，统一函数，统一形式等等．
（五）作业：《习案》作业三十四
课件16张PPT。3.2 简单的三角
恒等变换(二)复习引入三角函数的二倍角公式:例1.讲解范例：例2. 讲解范例：讲解范例：例3. 已知函数点评： 例3是三角恒等变换在数学中应
用的举例，它使三角函数中对函数
y＝Asin(?x+?)的性质研究得到延伸，
体现了三角变换在化简三角函数式
中的作用．讲解范例：例4. 若函数上的最大值为6，求常数m的值及此函数当x∈R时的最小值及
取得最小值时x的集合.讲解范例：例4. 若函数上的最大值为6，求常数m的值及此函数当x∈R时的最小值及
取得最小值时x的集合.练习. 教材P.142练习第4题. 课堂小结1. 二倍角公式湖南省长沙市一中卫星远程学校课堂小结1. 二倍角公式湖南省长沙市一中卫星远程学校课堂小结1. 二倍角公式湖南省长沙市一中卫星远程学校2. 二倍角变式课堂小结1. 二倍角公式湖南省长沙市一中卫星远程学校2. 二倍角变式课堂小结1. 二倍角公式2. 二倍角变式湖南省长沙市一中卫星远程学校课堂小结3. 三角变形技巧和代数变形技巧常见的三角变形技巧有
湖南省长沙市一中卫星远程学校课堂小结3. 三角变形技巧和代数变形技巧常见的三角变形技巧有
① 切割化弦；
② “1”的变用；
③ 统一角度，统一函数，
统一形式等等．湖南省长沙市一中卫星远程学校 阅读教材P.139到P.142;
2. 《习案》作业三十四.课后作业湖南省长沙市一中卫星远程学校3．2 《简单的三角恒等变换》导学案
【学习目标】
会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明；
会推导半角公式，积化和差、和差化积公式（公式不要求记忆），进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力。
【重点难点】
学习重点：以已有公式为依据，以推导半角公式，积化和差、和差化积公式作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力。
学习难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力。
【学法指导】
复习倍角公式、、，先让学生默写三个倍角公式，注意等号两边角的关系，特别注意。既然能用单角，表示倍角，那么能否用倍角表示单角呢？回顾复习两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式，预习简单的三角恒等变换。
【知识链接】：
1、回顾复习以下公式并填空：
Cos(α+β)= Cos(α-β)=
sin(α+β)= sin(α-β)=
tan(α+β)= tan(α-β)=
sin2α= tan2α=
cos2α=
2、阅看课本P139---141例1、2、3。
三、提出疑惑：
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
【学习过程】：
探究一：半角公式的推导（例1）
请同学们阅看例1，思考以下问题，并进行小组讨论。
1、2α与α有什么关系？α与α/2有什么关系？进一步体会二倍角公式和半角公式的应用。
2、半角公式中的符号如何确定？
3、二倍角公式和半角公式有什么联系？
4、代数变换与三角变换有什么不同？
探究二：半角公式的推导（例2）[来源:学|科|网Z|X|X|K]
请同学们阅看例2，思考以下问题，并进行小组讨论。
1、两角和与差的正弦、余弦公式两边有什么特点？它们与例2在结构形式上有什么联系？
2、在例2证明过程中，如果不用（1）的结果，如何证明（2）？
3、在例2证明过程中，体现了什么数学思想方法？
探究三：三角函数式的变换（例3），请同学们阅看例1，思考以下问题，并进行小组讨论。
1、例3的过程中应用了哪些公式？
[来源:Z.xx.k.Com]
2、如何将形如y=asinx+bcosx的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数？并求y=asinx+bcosx的周期，最大值和最小值．
【学习反思】
sinα/2= cosα/2= tanα/2=
sinαcosβ= cosαsinβ=
cosαcosβ= sinαsinβ=
sinθ+sinφ= sinθ-sinφ=
cosθ+cosφ= cosθ-cosφ=
【基础达标】：
课本p143 习题3.2 A组1、（3）（7）2、（1）B组2
【拓展提升】
一、选择题：
1．已知cos（α+β）cos（α－β）=，则cos2α－sin2β的值为（ ）
A．－ B．－ C． D．
2．在△ABC中，若sinAsinB=cos2，则△ABC是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．不等边三角形 D．直角三角形
3．sinα+sinβ=（cosβ－cosα），且α∈（0，π），β∈（0，π），则α－β等于（ ）
A．－ B．－ C． D．
二、填空题
4．sin20°cos70°+sin10°sin50°=_________．
5．已知α－β=，且cosα+cosβ=，则cos（α+β）等于_________．
三、解答题
6．已知f（x）=－+，x∈（0，π）．
（1）将f（x）表示成cosx的多项式；
（2）求f（x）的最小值．[来源:Z+xx+k.Com]
[来源:学科网ZXXK]
[来源:Z+xx+k.Com]
双基限时练(二十八)
1．已知cosα＝－，且α∈，则cos的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析 ∵π<α<，∴<<，∴cos<0.
由cosα＝2cos2－1＝－，得cos2＝，
∴cos＝－.
答案 B
2．设α∈(π，2π)，则 等于( )
A．sin B．cos
C．－sin D．－cos
解析 ∵α∈(π，2π)，∴∈，∴cos<0.
∴ ＝ ＝|cos|
＝－cos.
答案 D
3．函数y＝8sinxcosxcos2x的最小正周期为T，最大值为A，则( )
A．T＝π，A＝4 B．T＝，A＝4
C．T＝π，A＝2 D．T＝，A＝2
解析 y＝8sinxcosxcos2x＝4sin2xcos2x＝2sin4x，
∴最小正周期T＝＝，最大值A＝2.
答案 D
4．若3sinα＋cosα＝0，则的值为( )
A. B.
C. D．－2
解析 ∵3sinα＋cosα＝0，∴tanα＝－.
＝
＝＝＝＝.
故应选择A.
答案 A
5．若f(x)＝cos2x＋8sinx，则它的最大值和最小值分别是( )
A．最大值是9，最小值是－9
B．最大值不存在，最小值为7
C．最大值是7，最小值是－9
D．最大值是7，最小值不存在
解析 f(x)＝cos2x＋8sinx＝1－2sin2x＋8sinx
＝－2(sin2x－4sinx)＋1＝－2(sinx－2)2＋9.
∵x∈R，－1≤sinx≤1，
∴当sinx＝1时，f(x)有最大值7；
当sinx＝－1时，f(x)有最小值－9.
答案 C
6．使f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)为奇函数，且在区间上是减函数的θ的一个值是( )
A．－ B.
C.π D.π
解析 f(x)＝2sin，当θ取－时，为奇函数，但在上递增；θ取和π时为非奇非偶函数；当θ取时，f(x)＝－2sin2x符合题意．
答案 C
7.2＋2sin2的值等于__________．
解析 原式＝1＋sinα＋2·
＝1＋sinα＋1－sinα
＝2.
答案 2
8．函数y＝sinxcosx＋3cos2x－的最大值为________．
解析 y＝sin2x＋3×－
＝sin2x＋cos2x
＝sin≤ .
答案
9．化简：＝________.
解析 原式＝
＝＝tanA.
答案 tanA
10．若tanx＝，则＝________.
解析
＝＝
＝＝2－3.
答案 2－3
11．已知tan2θ＝－2，π<2θ<2π，求.
解 ＝＝，
∵tan2θ＝－2，∴＝－2.
∴tan2θ－tanθ－＝0.∴tan2θ－tanθ－1＝0.
∴tanθ＝或tanθ＝－.∵π<2θ<2π，
∴<θ<π，∴tanθ<0.
∴tanθ＝－.∴原式＝＝3＋2.
12.
如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝a，AD＝b，试求其外接矩形EFGH面积的最大值．
解 设∠CBF＝θ，则∠EAB＝θ，EB＝asinθ，BF＝bcosθ，AE＝acosθ，HA＝bsinθ，
所以S矩形EFGH＝(bsinθ＋acosθ)(bcosθ＋asinθ)＝b2sinθcosθ＋absin2θ＋abcos2θ＋a2sinθcosθ＝sin2θ＋ab.由|sin2θ|≤1，知当θ＝45°时，S矩形EFGH取得最大值为(a2＋b2)＋ab.
13．已知函数f(x)＝cos2－sincos－.
(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；
(2)若f(α)＝，求sin2α的值．
分析 (1)先利用余弦的二倍角公式和辅助角公式将f(x)化成f(x)＝Asin(ωx＋φ)形式．再求解．
(2)利用同角间三角函数关系与二倍角正弦公式求值．
解 (1)由已知f(x)＝cos2－sincos－＝(1＋cosx)－sinx－＝cos.
所以函数f(x)的最小正周期为2π，值域为.
(2)由(1)知，f(x)＝cos＝，
∴cos＝.
∴cosα－sinα＝，平方得1－sin2α＝.
∴sin2α＝.
