§3.2 简单的三角恒等变换
课时目标 1.了解半角公式及推导过程.2.能利用两角和与差的公式进行简单的三角恒等变换.3.了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的规律．
1．半角公式
(1)S：sin ＝____________________；
(2)C：cos ＝____________________________；
(3)T：tan ＝______________(无理形式)＝________________＝______________(有理形式)．
2．辅助角公式
使asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)成立时，cos φ＝__________________，sin φ＝______，其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由__________决定．
一、选择题
1．已知180°<α<360°，则cos 的值等于( )
A．－ B.
C．－ D.
2．函数y＝sin＋sin的最大值是( )
A．2 B．1 C. D.
3．函数f(x)＝sin x－cos x，x∈的最小值为( )
A．－2 B．－ C．－ D．－1
4．使函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)为奇函数的θ的一个值是( )
A. B. C. D.
5．函数f(x)＝sin x－cos x(x∈[－π，0])的单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
6．若cos α＝－，α是第三象限的角，则等于( )
A．－ B. C．2 D．－2
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．函数f(x)＝sin(2x－)－2sin2x的最小正周期是______．
8．已知等腰三角形底角的余弦值为，则顶角的正弦值是________．
9．已知等腰三角形顶角的余弦值为，则底角的正切值为________．
10.
2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于____．
三、解答题
11．已知函数f(x)＝sin＋2sin2 (x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．
12．已知向量m＝(cos θ，sin θ)和n＝(－sin θ，cos θ)，θ∈(π，2π)，且|m＋n|＝，求cos的值．
能力提升
13．当y＝2cos x－3sin x取得最大值时，tan x的值是( )
A. B．－ C. D．4
14．求函数f(x)＝3sin(x＋20°)＋5sin(x＋80°)的最大值．
1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式．
2．辅助角公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中φ满足： ①φ与点(a，b)同象限；②tan φ＝(或sin φ＝，cos φ＝)．
3．研究形如f(x)＝asin x＋bcos x的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一．对一些特殊的系数a、b应熟练掌握．例如sin x±cos x＝sin；sin x±cos x＝2sin等．
§3.2 简单的三角恒等变换
知识梳理
1．(1)± (2)± (3)±
2. 点(a，b)
作业设计
1．C
2．B [y＝2sin xcos ＝sin x．]
3．D [f(x)＝sin，x∈.
∵－≤x－≤，
∴f(x)min＝sin＝－1.]
4．D [f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2sin.
当θ＝π时，f(x)＝2sin(2x＋π)＝－2sin 2x.]
5．D [f(x)＝2sin，f(x)的单调递增区间为 (k∈Z)，
令k＝0得增区间为.]
6．A [∵α是第三象限角，cos α＝－，
∴sin α＝－.
∴＝＝＝·＝＝＝－.]
7．π
解析 f(x)＝sin 2x－cos 2x－(1－cos 2x)＝sin 2x＋cos 2x－
＝sin(2x＋)－，∴T＝＝π.
8.
解析 设α为该等腰三角形的一底角，
则cos α＝，顶角为180°－2α.
∴sin(180°－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝2·＝.
9．3
解析 设该等腰三角形的顶角为α，则cos α＝，
底角大小为(180°－α)．
∴tan＝tan＝＝＝＝3.
10.
解析 由题意，5cos θ－5sin θ＝1，θ∈.
∴cos θ－sin θ＝.
由(cos θ＋sin θ)2＋(cos θ－sin θ)2＝2.
∴cos θ＋sin θ＝.
∴cos 2θ＝cos2 θ－sin2 θ＝(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)＝.
11．解 (1)∵f(x)＝sin2＋1－cos2
＝2＋1
＝2sin＋1
＝2sin＋1，∴T＝＝π.
(2)当f(x)取得最大值时，sin＝1，
有2x－＝2kπ＋，
即x＝kπ＋ (k∈Z)，
∴所求x的集合为{x|x＝kπ＋，k∈Z}．
12．解 m＋n＝(cos θ－sin θ＋，cos θ＋sin θ)，
|m＋n|＝
＝＝
＝2.
由已知|m＋n|＝，得cos＝.
又cos＝2cos2－1，
所以cos2＝.
∵π<θ<2π，
∴<＋<.
∴cos<0.
∴cos＝－.
13．B [y＝2cos x－3sin x＝＝(sin φcos x－cos φsin x)
＝sin(φ－x)，当sin(φ－x)＝1，φ－x＝2kπ＋时，y取到最大值．
∴φ＝2kπ＋＋x，(k∈Z)
∴sin φ＝cos x，cos φ＝－sin x，
∴cos x＝sin φ＝，sin x＝－cos φ＝－.
∴tan x＝－.]
14．解 3sin(x＋20°)＋5sin(x＋80°)＝3sin(x＋20°)＋5sin(x＋20°)cos 60°＋5cos(x＋20°)sin 60°
＝sin(x＋20°)＋cos(x＋20°)＝sin(x＋20°＋φ)＝7sin
其中cos φ＝，sin φ＝.所以f(x)max＝7.
课件22张PPT。3.2简单的三角恒等变换（一）
一．教学目标
1、通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力。
2、理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变形在数学中的应用。
3、通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．
二、教学重点与难点
教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．
教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．
三、教学设想：
（一）复习：三角函数的和（差）公式，倍角公式
（二）新课讲授：
1、由二倍角公式引导学生思考：有什么样的关系？
学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台．
例1、试以表示．
解：我们可以通过二倍角和来做此题．
因为，可以得到；
因为，可以得到．
又因为．
思考：代数式变换与三角变换有什么不同？
代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．
例2．已知，且在第二象限，求的值。
例3、求证：
（１）、；
（２）、．
证明：（１）因为和是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．
；．
两式相加得；
即；
（２）由（１）得①；设，
那么．
把的值代入①式中得．
思考：在例3证明中用到哪些数学思想？
例3证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，
（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．
三．练习：P142面1、2、3题。
四．小结：要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．
五．作业：《习案》三十三。
课件15张PPT。3.2 简单的三角
恒等变换(一)复习引入1. 三角函数的和(差)公式:复习引入1. 三角函数的和(差)公式:复习引入2. 三角函数的倍角公式:讲授新课思考：例1.讲解范例：思考： 代数式变换往往着眼于式子结构形式
的变换．对于三角变换，由于不同的三角
函数式不仅会有结构形式方面的差异，而
且还会有所包含的角，以及这些角的三角
函数种类方面的差异，因此三角恒等变换
常常首先寻找式子所包含的各个角之间的
联系，这是三角式恒等变换的重要特点．代数式变换与三角变换有什么不同？例2. 讲解范例：讲解范例：例3. 求证：讲解范例：思考：在例3证明中用到哪些数学思想？例3. 求证：讲解范例：(1)式是积化和差的形式;
例3. 求证：讲解范例：(1)式是积化和差的形式;
(2)式是和差化积的形式，在后面的练
习当中还有六个关于积化和差、和差
化积的公式．例3. 求证：练习：教材P.142练习第1、2、3题. 课堂小结 要对变换过程中体现的换元、
逆向使用公式等数学思想方法加
深认识，学会灵活运用． 阅读教材P.139到P.142;
2. 《习案》作业三十三.课后作业3．2 《简单的三角恒等变换》导学案
【学习目标】
会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明；
会推导半角公式，积化和差、和差化积公式（公式不要求记忆），进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力。
【重点难点】
学习重点：以已有公式为依据，以推导半角公式，积化和差、和差化积公式作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力。
学习难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力。
【学法指导】
复习倍角公式、、，先让学生默写三个倍角公式，注意等号两边角的关系，特别注意。既然能用单角，表示倍角，那么能否用倍角表示单角呢？回顾复习两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式，预习简单的三角恒等变换。
【知识链接】：
1、回顾复习以下公式并填空：
Cos(α+β)= Cos(α-β)=
sin(α+β)= sin(α-β)=
tan(α+β)= tan(α-β)=
sin2α= tan2α=
cos2α=
2、阅看课本P139---141例1、2、3。
三、提出疑惑：
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
【学习过程】：
探究一：半角公式的推导（例1）
请同学们阅看例1，思考以下问题，并进行小组讨论。
1、2α与α有什么关系？α与α/2有什么关系？进一步体会二倍角公式和半角公式的应用。
2、半角公式中的符号如何确定？
3、二倍角公式和半角公式有什么联系？
4、代数变换与三角变换有什么不同？
探究二：半角公式的推导（例2）[来源:学|科|网Z|X|X|K]
请同学们阅看例2，思考以下问题，并进行小组讨论。
1、两角和与差的正弦、余弦公式两边有什么特点？它们与例2在结构形式上有什么联系？
2、在例2证明过程中，如果不用（1）的结果，如何证明（2）？
3、在例2证明过程中，体现了什么数学思想方法？
探究三：三角函数式的变换（例3），请同学们阅看例1，思考以下问题，并进行小组讨论。
1、例3的过程中应用了哪些公式？
[来源:Z.xx.k.Com]
2、如何将形如y=asinx+bcosx的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数？并求y=asinx+bcosx的周期，最大值和最小值．
【学习反思】
sinα/2= cosα/2= tanα/2=
sinαcosβ= cosαsinβ=
cosαcosβ= sinαsinβ=
sinθ+sinφ= sinθ-sinφ=
cosθ+cosφ= cosθ-cosφ=
【基础达标】：
课本p143 习题3.2 A组1、（3）（7）2、（1）B组2
【拓展提升】
一、选择题：
1．已知cos（α+β）cos（α－β）=，则cos2α－sin2β的值为（ ）
A．－ B．－ C． D．
2．在△ABC中，若sinAsinB=cos2，则△ABC是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．不等边三角形 D．直角三角形
3．sinα+sinβ=（cosβ－cosα），且α∈（0，π），β∈（0，π），则α－β等于（ ）
A．－ B．－ C． D．
二、填空题
4．sin20°cos70°+sin10°sin50°=_________．
5．已知α－β=，且cosα+cosβ=，则cos（α+β）等于_________．
三、解答题
6．已知f（x）=－+，x∈（0，π）．
（1）将f（x）表示成cosx的多项式；
（2）求f（x）的最小值．[来源:Z+xx+k.Com]
[来源:学科网ZXXK]
[来源:Z+xx+k.Com]
双基限时练(二十八)
1．已知cosα＝－，且α∈，则cos的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析 ∵π<α<，∴<<，∴cos<0.
由cosα＝2cos2－1＝－，得cos2＝，
∴cos＝－.
答案 B
2．设α∈(π，2π)，则 等于( )
A．sin B．cos
C．－sin D．－cos
解析 ∵α∈(π，2π)，∴∈，∴cos<0.
∴ ＝ ＝|cos|
＝－cos.
答案 D
3．函数y＝8sinxcosxcos2x的最小正周期为T，最大值为A，则( )
A．T＝π，A＝4 B．T＝，A＝4
C．T＝π，A＝2 D．T＝，A＝2
解析 y＝8sinxcosxcos2x＝4sin2xcos2x＝2sin4x，
∴最小正周期T＝＝，最大值A＝2.
答案 D
4．若3sinα＋cosα＝0，则的值为( )
A. B.
C. D．－2
解析 ∵3sinα＋cosα＝0，∴tanα＝－.
＝
＝＝＝＝.
故应选择A.
答案 A
5．若f(x)＝cos2x＋8sinx，则它的最大值和最小值分别是( )
A．最大值是9，最小值是－9
B．最大值不存在，最小值为7
C．最大值是7，最小值是－9
D．最大值是7，最小值不存在
解析 f(x)＝cos2x＋8sinx＝1－2sin2x＋8sinx
＝－2(sin2x－4sinx)＋1＝－2(sinx－2)2＋9.
∵x∈R，－1≤sinx≤1，
∴当sinx＝1时，f(x)有最大值7；
当sinx＝－1时，f(x)有最小值－9.
答案 C
6．使f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)为奇函数，且在区间上是减函数的θ的一个值是( )
A．－ B.
C.π D.π
解析 f(x)＝2sin，当θ取－时，为奇函数，但在上递增；θ取和π时为非奇非偶函数；当θ取时，f(x)＝－2sin2x符合题意．
答案 C
7.2＋2sin2的值等于__________．
解析 原式＝1＋sinα＋2·
＝1＋sinα＋1－sinα
＝2.
答案 2
8．函数y＝sinxcosx＋3cos2x－的最大值为________．
解析 y＝sin2x＋3×－
＝sin2x＋cos2x
＝sin≤ .
答案
9．化简：＝________.
解析 原式＝
＝＝tanA.
答案 tanA
10．若tanx＝，则＝________.
解析
＝＝
＝＝2－3.
答案 2－3
11．已知tan2θ＝－2，π<2θ<2π，求.
解 ＝＝，
∵tan2θ＝－2，∴＝－2.
∴tan2θ－tanθ－＝0.∴tan2θ－tanθ－1＝0.
∴tanθ＝或tanθ＝－.∵π<2θ<2π，
∴<θ<π，∴tanθ<0.
∴tanθ＝－.∴原式＝＝3＋2.
12.
如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝a，AD＝b，试求其外接矩形EFGH面积的最大值．
解 设∠CBF＝θ，则∠EAB＝θ，EB＝asinθ，BF＝bcosθ，AE＝acosθ，HA＝bsinθ，
所以S矩形EFGH＝(bsinθ＋acosθ)(bcosθ＋asinθ)＝b2sinθcosθ＋absin2θ＋abcos2θ＋a2sinθcosθ＝sin2θ＋ab.由|sin2θ|≤1，知当θ＝45°时，S矩形EFGH取得最大值为(a2＋b2)＋ab.
13．已知函数f(x)＝cos2－sincos－.
(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；
(2)若f(α)＝，求sin2α的值．
分析 (1)先利用余弦的二倍角公式和辅助角公式将f(x)化成f(x)＝Asin(ωx＋φ)形式．再求解．
(2)利用同角间三角函数关系与二倍角正弦公式求值．
解 (1)由已知f(x)＝cos2－sincos－＝(1＋cosx)－sinx－＝cos.
所以函数f(x)的最小正周期为2π，值域为.
(2)由(1)知，f(x)＝cos＝，
∴cos＝.
∴cosα－sinα＝，平方得1－sin2α＝.
∴sin2α＝.
