第二章测试
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．有下列四个表达式：
①|a＋b|＝|a|＋|b|；
②|a－b|＝±(|a|－|b|)；
③a2>|a|2；
④|a·b|＝|a|·|b|.
其中正确的个数为( )
A．0 B．2
C．3 D．4
解析 对于①仅当a与b同向时成立．对于②左边|a－b|≥0，而右边可能≤0，∴不成立．对于③∵a2＝|a|2，∴a2>|a|2不成立．对于④当a⊥b时不成立，综上知，四个式子都是错误的．
答案 A
2．下列命题中，正确的是( )
A．a＝(－2,5)与b＝(4，－10)方向相同
B．a＝(4,10)与b＝(－2，－5)方向相反
C．a＝(－3,1)与b＝(－2，－5)方向相反
D．a＝(2,4)与b＝(－3,1)的夹角为锐角
解析 在B中，a＝(4,10)＝－2(－2，－5)＝－2b，
∴a与b方向相反．
答案 B
3．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝( )
A. B.
C. D．4
解析 ∵|a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋9b2＋6a·b＝1＋9＋6|a||b|cos60°＝13，∴|a＋3b|＝.
答案 C
4．已知向量a＝，b＝(x＋1,2)，其中x>0，若a∥b，则x的值为( )
A．8 B．4
C．2 D．0
解析 ∵a∥b，∴(8＋x)×2－x(x＋1)＝0，即x2＝16，又x>0，∴x＝4.
答案 B
5．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则·(＋)等于( )
A. B.
C．－ D．－
解析 M为BC的中点，得＋＝2＝，
∴·(＋)＝2.
又∵＝2，∴||＝||＝.
∴2＝||2＝.
答案 A
6．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝( )
A．6 B．5
C．4 D．3
解析 8a－b＝8(1,1)－(2,5)＝(6,3)，c＝(3，x)，
∴(8a－b)·c＝(6,3)·(3，x)＝18＋3x.
又(8a－b)·c＝30，∴18＋3x＝30，x＝4.
答案 C
7．向量a＝(－1,1)，且a与a＋2b方向相同，则a·b的取值范围是( )
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(－∞，1)
解析 依题意可设a＋2b＝λa(λ>0)，
则b＝(λ－1)a，
∴a·b＝(λ－1)a2＝(λ－1)×2＝λ－1>－1.
答案 B
8．设单位向量e1，e2的夹角为60°，则向量3e1＋4e2与向量e1的夹角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
解析 ∵(3e1＋4e2)·e1＝3e＋4e1·e2＝3×12＋4×1×1×cos60°＝5，|3e1＋4e2|2＝9e＋16e＋24e1·e2＝9×12＋16×12＋24×1×1×cos60°＝37.
∴|3e1＋4e2|＝.
设3e1＋4e2与e1的夹角为θ，则
cosθ＝＝.
答案 D
9．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E为线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则＝( )
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
解析 如图所示，＝＋，
由题意知，DE：BE＝DF：BA＝1：3.
∴＝.
∴＝a＋b＋(a－b)＝a＋b.
答案 B
10．已知点B为线段AC的中点，且A点坐标为(－3,1)，B点坐标为，则C点坐标为( )
A．(1，－3) B.
C．(4,2) D．(－2,4)
解析 设C(x，y)，则由＝，得
＝，
∴?∴C(4,2)．
答案 C
11．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b夹角的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析 设a与b的夹角为θ，
∵Δ＝|a|2－4a·b≥0，
∴a·b≤，∴cosθ＝≤＝.
∵θ∈[0，π]，∴θ∈.
答案 B
12．在△ABC所在平面内有一点P，如果＋＋＝，则△PAB与△ABC的面积之比是( )
A. B.
C. D.
解析 因为＋＋＝＝－，所以2＋＝0，＝－2＝2，所以点P是线段AC的三等分点(如图所示)．所以△PAB与△ABC的面积之比是.
答案 A
二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上)
13．已知a＝(2cosθ，2sinθ)，b＝(3，)，且a与b共线，θ∈[0,2π)，则θ＝________.
解析 由a∥b，得2cosθ＝6sinθ，∵cosθ≠0，
∴tanθ＝，又θ∈[0,2π)，∴θ＝或.
答案 或π
14．假设|a|＝2，b＝(－1,3)，若a⊥b，则a＝________.
解析 设a＝(x，y)，则有x2＋y2＝20.①
又a⊥b，∴a·b＝0，∴－x＋3y＝0.②
由①②解得x＝3，y＝，或x＝－3，
y＝－，
∴a＝(3，)，或a＝(－3，－)．
答案 (3，)或(－3，－)
15．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若·＝·＝2，那么c＝__________.
解析 由题知
·＋·＝2，
即·－·＝·(＋)＝2＝2?c＝||＝.
答案
16．关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：
①若a·b＝a·c，则b＝c；②若a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，则k＝－3；③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°.
其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)
解析
当a＝0时，①不成立；对于②，若a∥b，则－2k＝6，∴k＝－3，②成立；对于③，由于|a|＝|b|＝|a－b|，则以|a|，|b|为邻边的平行四边形为菱形，如图．∠BAD＝60°，＝a＋b，由菱形的性质可知，a与a＋b的夹角为∠BAC＝30°.
答案 ②
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b.
(1)当m为何值时，c与d垂直？
(2)当m为何值时，c与d共线？
解 (1)令c·d＝0，则(3a＋5b)·(ma－3b)＝0，
即3m|a|2－15|b|2＋(5m－9)a·b＝0，
解得m＝.
故当m＝时，c⊥d.
(2)令c＝λd，则3a＋5b＝λ(ma－3b)
即(3－λm)a＋(5＋3λ)b＝0，
∵a，b不共线，
∴解得
故当m＝－时，c与d共线．
18．(12分)如图所示，在△ABC中，∠C为直角，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的点，且AE＝2EB，求证：AD⊥CE.
证明 设此等腰直角三角形的直角边长为a，则
·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·
＝－a2＋0＋a·a·＋·a·
＝－a2＋a2＋a2＝0，
∴⊥，∴AD⊥CE.
19．(12分)已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求||与点D的坐标．
解 设D点坐标为(x，y)，则＝(x－2，y＋1)，
＝(－6，－3)，＝(x－3，y－2)，
∵D在直线BC上，即与共线，
∴存在实数λ，使＝λ，
即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)．
∴∴x－3＝2(y－2)，
即x－2y＋1＝0.①
又∵AD⊥BC，∴·＝0，
即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0.
∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0.②
由①②可得
∴||＝ ＝，
即||＝，D(1,1)．
20．(12分)在直角坐标系中，已知＝(4，－4)，＝(5,1)，在方向上的射影数量为||，求的坐标．
解 设点M的坐标为M(x，y)．
∵在方向上的射影数量为||，
∴⊥，∴·＝0.
又＝(x，y)，＝(5－x,1－y)，
∴x(5－x)＋y(1－y)＝0.
又点O，M，A三点共线，∴∥.
∴＝.
∴解得
∴＝－＝(5－2,1＋2)＝(3,3)．
21．(12分)
如图，在平面斜坐标系xOy中．∠xOy＝60°，平面上任一点P关于斜坐标系的坐标是这样定义的；若＝xe1＋ye2(其中e1，e2分别为与x轴，y轴同方向的单位向量)，则点P的斜坐标为(x，y)．
(1)若点P的斜坐标为(2，－2)，求点P到O的距离|OP|；
(2)求以O为圆心，以1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程．
解 (1)因为点P的斜坐标为(2，－2)，故＝2e1－2e2，||2＝(2e1－2e2)2＝8－8e1·e2＝8－8cos60°＝4，
∴||＝2，即|OP|＝2.
(2)设圆上动点M的坐标为(x，y)，则＝xe1＋ye2，
又||＝1.故(xe1＋ye2)2＝1.
∴x2＋y2＋2xye1·e2＝1.即x2＋y2＋xy＝1.
故所求方程为x2＋y2＋xy－1＝0.
22．(12分)如图，在四边形ABCD中，＝λ(λ∈R)，||＝||＝2，|－|＝2，且△BCD是以BC为斜边的直角三角形．
(1)求λ的值；
(2)求·的值．
解 (1)因为＝λ，
所以BC∥AD，
且||＝λ||.
因为||＝||＝2，
所以||＝2λ.
又|－|＝2，
所以||＝2.
作AH⊥BD交BD于H，
则H为BD的中点．
在Rt△AHB中，有
cos∠ABH＝＝，
于是∠ABH＝30°，
所以∠ADB＝∠DBC＝30°.
而∠BDC＝90°，
所以BD＝BC·cos30°，即2＝2λ·，
解得λ＝2.
(2)由(1)知，
∠ABC＝60°，||＝4，
所以与的夹角为120°，
故·＝||·||cos120°＝－4.
章末复习课
课时目标 1.掌握向量线性运算及其几何意义.2.理解共线向量的含义、几何表示及坐标表示的条件.3.掌握数量积的含义、坐标形式及其应用．
知识结构
一、选择题
1．若向量a＝(1,2)，b＝(－3,4)，则(a·b)(a＋b)等于( )
A．20 B．(－10,30)
C．54 D．(－8,24)
2．已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，λa＋b与a垂直，则λ等于( )
A．－1 B．1 C．－2 D．2
3．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2＋＋＝0，那么( )
A. ＝ B. ＝2
C. ＝3 D．2＝
4．在平行四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－3,2)，则·等于( )
A．－3 B．－2 C．2 D．3
5．若向量a与b不共线，a·b≠0，且c＝a－b，则向量a与c的夹角为( )
A．0 B. C. D.
6．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则·(＋)等于( )
A. B. C．－ D．－
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．过点A(2,3)且垂直于向量a＝(2,1)的直线方程是____________．
8．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b在a上的投影是______．
9．设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)．若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝________.
10．已知平面向量α、β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．
三、解答题
11．已知A(1，－2)、B(2,1)、C(3,2)和D(－2,3)，以、为一组基底来表示＋＋.
12．设a，b是两个不共线的非零向量，t∈R.
(1)若a与b起点相同，t为何值时a，tb，(a＋b)三向量的终点在一直线上？
(2)若|a|＝|b|且a与b夹角为60°，那么t为何值时，|a－tb|的值最小？
能力提升
13．已知点O为△ABC所在平面内一点，且2＋2＝2＋2＝2＋2，则O一定是△ABC的( )
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
14. 如图，平面内有三个向量、、，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，求实数λ、μ的值．
1．由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，它的运算也因为这两种不同的表示方法而有两种方式，因此向量问题的解决，理论上讲总共有两个途径即基于几何表示的几何法和基于坐标表示的代数法，在具体做题时要善于从不同的角度考虑问题．
2．向量是一个有“形”的几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．
章末复习课
答案
作业设计
1．B [a·b＝－3＋8＝5，a＋b＝(－2,6)，
∴(a·b)(a＋b)＝5×(－2,6)＝(－10,30)．故选B.]
2．A [(λa＋b)·a＝0，∴λa2＋a·b＝0.
∴10λ＋10＝0，∴λ＝－1.故选A.]
3．A [由题意D是BC边的中点，
所以有＋＝2，
所以2＋＋＝2＋2＝2(＋)＝0?＋＝0?＝.]
4．D [＝＋＝(1,2)，＝－＝(－3,2)，解得＝(－1,2)，∴·＝(－1,2)·(1,2)＝3.故选D.]
5．D [∵a·c＝a·＝a·a－·(a·b)＝0，∴〈a，c〉＝.]
6．A [易知P为△ABC的重心，则＋＝－＝，故·(＋)＝2＝，故选A.]
7．2x＋y－7＝0
解析 设直线上任一点P(x，y)，则＝(x－2，y－3)．
由·a＝2(x－2)＋(y－3)＝0，得2x＋y－7＝0.
8．1
解析 b在a上的投影为|b|cos θ＝2×cos 60°＝1.
9．2
解析 λa＋b＝(λ＋2,2λ＋3)与c＝(－4，－7)共线，
∴(λ＋2)(－7)－(2λ＋3)(－4)＝0，得λ＝2.
10.
解析 由α⊥(α－2β)得α·(α－2β)＝0，∴α2－2α·β＝0.又∵|α|＝1，∴α·β＝.又∵|β|＝2，
∴|2α＋β|＝＝＝＝.
11．解 ∵＝(1,3)，＝(2,4)，＝(－3,5)，
＝(－4,2)，＝(－5,1)，
∴＋＋＝(－3,5)＋(－4,2)＋(－5,1)＝(－12,8)．
根据平面向量基本定理，必存在唯一实数对m，n使得
＋＋＝m＋n，
∴(－12,8)＝m(1,3)＋n(2,4)．
∴，得m＝32，n＝－22.
∴＋＋＝32－22.
12．解 (1)设a－tb＝m[a－(a＋b)]，m∈R，
化简得(m－1)a＝(－t)b，
∵a与b不共线，
∴，
∴
∴t＝时，a，tb，(a＋b)的终点在一直线上．
(2)|a－tb|2＝(a－tb)2＝|a|2＋t2|b|2－2t|a||b|cos 60°＝(1＋t2－t)|a|2.
∴当t＝时，|a－tb|有最小值|a|.
13．C [由2＋2＝2＋2，得2＋(－)2＝2＋(－)2，得·＝·.∴·＝0，O在边AB的高线上．同理O在边AC的高线上，即O为△ABC的垂心．故选C.]
14．解 方法一
过点C分别作平行于OB的直线CE交直线OA于点E，平行于OA的直线CF交直线OB于点F.如图所示．
在Rt△OCE中，||＝＝＝4；
||＝||·tan 30°＝2×＝2，
由平行四边形法则知，＝＋＝4＋2，
∴λ＝4，μ＝2.
方法二
如图所示，以所在直线为x轴，过O垂直于OA的直线为y轴建立直角坐标系．设B点在x轴的射影为B′，C点在x轴的射影为C′.
易知，OC′＝2cos 30°＝3，CC′＝OCsin 30°＝，BB′＝OBsin 60°＝，
OB′＝OBcos 60°＝，
∴A点坐标为(1,0)，B点坐标为，
C点坐标为(3，)．
∵＝λ＋μ
∴∴.
方法三 ∵＝λ＋μ.
∴，
∴，解得λ＝4，μ＝2.
课件27张PPT。第二章 平面向量(A)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．与向量a＝(1，)的夹角为30°的单位向量是( )
A．(，)或(1，) B．(，)
C．(0,1) D．(0,1)或(，)
2．设向量a＝(1,0)，b＝(，)，则下列结论中正确的是( )
A．|a|＝|b| B．a·b＝
C．a－b与b垂直 D．a∥b
3．已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f4，则f4等于( )
A．(－1，－2) B．(1，－2)
C．(－1,2) D．(1,2)
4．已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c，则a＋b＋c的模等于( )
A．0 B．2＋ C. D．2
5．若a与b满足|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，则a·a＋a·b等于( )
A. B. C．1＋ D．2
6．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于( )
A．－a＋b B.a－b
C.a－b D．－a＋b
7．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝( )
A．6 B．5 C．4 D．3
8．向量＝(4，－3)，向量＝(2，－4)，则△ABC的形状为( )
A．等腰非直角三角形 B．等边三角形
C．直角非等腰三角形 D．等腰直角三角形
9．设点A(1,2)、B(3,5)，将向量按向量a＝(－1，－1)平移后得到为( )
A．(1,2) B．(2,3)
C．(3,4) D．(4,7)
10．若a＝(λ，2)，b＝(－3,5)，且a与b的夹角是钝角，则λ的取值范围是( )
A. B.
C. D.
11．在菱形ABCD中，若AC＝2，则·等于( )
A．2 B．－2
C．||cos A D．与菱形的边长有关
12．如图所示，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是( )
A.· B.·
C.· D.·
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.
14．已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝，则向量a和向量b的数量积a·b＝________.
15．已知非零向量a，b，若|a|＝|b|＝1，且a⊥b，又知(2a＋3b)⊥(ka－4b)，则实数k的值为________．
16. 如图所示，半圆的直径AB＝2，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知a，b，c在同一平面内，且a＝(1,2)．
(1)若|c|＝2，且c∥a，求c；
(2)若|b|＝，且(a＋2b)⊥(2a－b)，求a与b的夹角．
18．(12分)已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为60°，c＝5a＋3b，d＝3a＋kb，当实数k为何值时，
(1)c∥d；(2)c⊥d.
19．(12分)已知|a|＝1，a·b＝，(a－b)·(a＋b)＝，求：
(1)a与b的夹角；
(2)a－b与a＋b的夹角的余弦值．
20．(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．
21．(12分)已知正方形ABCD，E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF交于点P.求证：
(1)BE⊥CF；
(2)AP＝AB.
22．(12分)已知向量、、满足条件＋＋＝0，||＝||＝||＝1.
求证：△P1P2P3是正三角形．
第二章 平面向量(A)
答案
1．D 2.C
3．D [根据力的平衡原理有f1＋f2＋f3＋f4＝0，∴f4＝－(f1＋f2＋f3)＝(1,2)．]
4．D [|a＋b＋c|＝|＋＋|＝|2|＝2||＝2.]
5．B [由题意得a·a＋a·b＝|a|2＋|a||b|cos 60°＝1＋＝，故选B.]
6．B [令c＝λa＋μb，则 ∴∴c＝a－b.]
7．C [∵a＝(1,1)，b＝(2,5)，∴8a－b＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)．又∵(8a－b)·c＝30，∴(6,3)·(3，x)＝18＋3x＝30.∴x＝4.]
8．C [∵＝(4，－3)，＝(2，－4)，
∴＝－＝(－2，－1)，
∴·＝(2,1)·(－2,4)＝0，
∴∠C＝90°，且||＝，||＝2，||≠||.
∴△ABC是直角非等腰三角形．]
9．B [∵＝(3,5)－(1,2)＝(2,3)，平移向量后得，＝＝(2,3)．]
10．A [a·b＝－3λ＋10<0，∴λ>.当a与b共线时，＝，∴λ＝.此时，a与b同向，∴λ>.]
11．B [
如图，设对角线AC与BD交于点O，∴＝＋. ·＝·(＋)＝－2＋0＝－2，故选B.]
12．A [根据正六边形的几何性质．
〈，〉＝，〈，〉＝，
〈，〉＝，〈，〉＝.
∴·<0，·＝0，
·＝||·||cos ＝||2，
·＝||·2||·cos ＝||2.比较可知A正确．]
13．－1
解析 ∵a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，∴a＋b＝(1，m－1)．
∵(a＋b)∥c，c＝(－1,2)，∴2－(－1)·(m－1)＝0.∴m＝－1.
14．3
解析 a·b＝|a||b|cos 30°＝2··cos 30°＝3.
15．6
解析 由(2a＋3b)·(ka－4b)＝2ka2－12b2＝2k－12＝0，∴k＝6.
16．－
解析 因为点O是A，B的中点，所以＋＝2，设||＝x，则||＝1－x(0≤x≤1)．
所以(＋)·＝2·＝－2x(1－x)＝2(x－)2－.
∴当x＝时，(＋)·取到最小值－.
17．解 (1)∵c∥a，∴设c＝λa，则c＝(λ，2λ)．
又|c|＝2，∴λ＝±2，∴c＝(2,4)或(－2，－4)．
(2)∵⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0.
∵|a|＝，|b|＝，∴a·b＝－.
∴cos θ＝＝－1，∴θ＝180°.
18．解 由题意得a·b＝|a||b|cos 60°＝2×3×＝3.
(1)当c∥d，c＝λd，则5a＋3b＝λ(3a＋kb)．
∴3λ＝5，且kλ＝3，∴k＝.
(2)当c⊥d时，c·d＝0，则(5a＋3b)·(3a＋kb)＝0.
∴15a2＋3kb2＋(9＋5k)a·b＝0，∴k＝－.
19．解 (1)∵(a－b)·(a＋b)＝|a|2－|b|2＝1－|b|2＝，∴|b|2＝，∴|b|＝，
设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝.∴θ＝45°.
(2)∵|a|＝1，|b|＝，
∴|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×＋＝.∴|a－b|＝，
又|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×＋＝.∴|a＋b|＝，
设a－b与a＋b的夹角为α，则cos α＝＝＝.即a－b与a＋b的夹角的余弦值为.
20．解 (1)＝(3,5)，＝(－1,1)，
求两条对角线的长即求|＋|与|－|的大小．
由＋＝(2,6)，得|＋|＝2，
由－＝(4,4)，得|－|＝4.
(2)＝(－2，－1)，∵(－t)·＝·－t2，易求·＝－11，2＝5，
∴由(－t)·＝0得t＝－.
21．证明
如图建立直角坐标系xOy，其中A为原点，不妨设AB＝2，
则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，
E(1,2)，F(0,1)．
(1)＝－＝(1,2)－(2,0)＝(－1,2)，
＝－＝(0,1)－(2,2)＝(－2，－1)，
∵·＝－1×(－2)＋2×(－1)＝0，
∴⊥，即BE⊥CF.
(2)设P(x，y)，则＝(x，y－1)，＝(－2，－1)，
∵∥，∴－x＝－2(y－1)，即x＝2y－2.
同理由∥，得y＝－2x＋4，代入x＝2y－2.
解得x＝，∴y＝，即P.
∴2＝2＋2＝4＝2，
∴||＝||，即AP＝AB.
22．证明 ∵＋＋＝0，∴＋＝－，
∴(＋)2＝(－)2，
∴||2＋||2＋2·＝||2，
∴·＝－，
cos∠P1OP2＝＝－，
∴∠P1OP2＝120°.同理，∠P1OP3＝∠P2OP3＝120°，即、、中任意两个向量的夹角为120°，故△P1P2P3是正三角形．
第二章 平面向量(B)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．已知向量a＝(4,2)，b＝(x,3)，且a∥b，则x的值是( )
A．－6 B．6 C．9 D．12
2．下列命题正确的是( )
A．单位向量都相等
B．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
C．若|a＋b|＝|a－b|，则a·b＝0
D．若a与b都是单位向量，则a·b＝1.
3．设向量a＝(m－2，m＋3)，b＝(2m＋1，m－2)，若a与b的夹角大于90°，则实数m的取值范围是( )
A．(－，2)
B．(－∞，－)∪(2，＋∞)
C．(－2，)
D．(－∞，2)∪(，＋∞)
4．平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则·等于( )
A．8 B．6 C．－8 D．－6
5．已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与向量b的夹角是( )
A. B. C. D.
6．关于平面向量a，b，c，有下列四个命题：
①若a∥b，a≠0，则存在λ∈R，使得b＝λa；
②若a·b＝0，则a＝0或b＝0；
③存在不全为零的实数λ，μ使得c＝λa＋μb；
④若a·b＝a·c，则a⊥(b－c)．
其中正确的命题是( )
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
7．已知|a|＝5，|b|＝3，且a·b＝－12，则向量a在向量b上的投影等于( )
A．－4 B．4 C．－ D.
8．设O，A，M，B为平面上四点，＝λ＋(1－λ)·，且λ∈(1,2)，则( )
A．点M在线段AB上
B．点B在线段AM上
C．点A在线段BM上
D．O，A，B，M四点共线
9．P是△ABC内的一点，＝(＋)，则△ABC的面积与△ABP的面积之比为( )
A. B．2 C．3 D．6
10．在△ABC中，＝2，＝2，若＝m＋n，则m＋n等于( )
A. B. C. D．1
11．已知3a＋4b＋5c＝0，且|a|＝|b|＝|c|＝1，则a·(b＋c)等于( )
A．－ B．－ C．0 D.
12．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np.下面说法错误的是( )
A．若a与b共线，则a⊙b＝0
B．a⊙b＝b⊙a
C．对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b)
D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝________.
14．a，b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝________.
15．已知向量a＝(6,2)，b＝(－4，)，直线l过点A(3，－1)，且与向量a＋2b垂直，则直线l的方程为________．
16．已知向量＝(2,1)，＝(1,7)，＝(5,1)，设M是直线OP上任意一点(O为坐标原点)，则·的最小值为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)如图所示，以向量＝a，＝b为边作?AOBD，又＝，＝，用a，b表示、、.
18．(12分)已知a，b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，
求：(1)(a－2b)·(a＋b)；
(2)|a＋b|；
(3)|3a－4b|.
19．(12分)已知a＝(，－1)，b＝，且存在实数k和t，使得x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求的最小值．
20．(12分)设＝(2,5)，＝(3,1)，＝(6,3)．在线段OC上是否存在点M，使MA⊥MB？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
21．(12分)设两个向量e1、e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
22．(12分)已知线段PQ过△OAB的重心G，且P、Q分别在OA、OB上，设＝a，＝b，＝ma，＝nb.
求证：＋＝3.
第二章 平面向量(B)
答案
1．B [∵a∥b，∴4×3－2x＝0，∴x＝6.]
2．C [∵|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b |a－b|2＝a2＋b2－2a·b |a＋b|＝|a－b|.∴a·b＝0.]
3．A [∵a与b的夹角大于90°，∴a·b<0，∴(m－2)(2m＋1)＋(m＋3)(m－2)<0，即3m2－2m－8<0，∴－4．A [∵＝＝－＝(－1，－1)，∴＝－＝(－1，－1)－(2,4)＝(－3，－5)，
∴·＝(－1，－1)·(－3，－5)＝8.]
5．C [∵a(b－a)＝a·b－|a|2＝2，∴a·b＝3，∴cos〈a，b〉＝＝＝，∴〈a，b〉＝.]
6．B [由向量共线定理知①正确；若a·b＝0，则a＝0或b＝0或a⊥b，所以②错误；在a，b能够作为基底时，对平面上任意向量，存在实数λ，μ使得c＝λa＋μb，所以③错误；若a·b＝a·c，则a(b－c)＝0，所以a⊥(b－c)，所以④正确，即正确命题序号是①④.]
7．A [向量a在向量b上的投影为|a|cos〈a，b〉＝|a|·＝＝－＝－4.]
8．B [∵＝λ＋(1－λ)＝＋λ(－)∴＝λ，λ∈(1,2)，∴点B在线段AM上，故选B.]
9．C [设△ABC边BC的中点为D，则＝＝.
∵＝(＋)＝，∴＝，∴||＝||.∴＝3.]
10．B [＝＋＝＋＝＋(－)＝＋故有m＋n＝＋＝.]
11．B [由已知得4b＝－3a－5c，将等式两边平方得(4b)2＝(－3a－5c)2，化简得a·c＝－.同理由5c＝－3a－4b两边平方得a·b＝0，∴a·(b＋c)＝a·b＋a·c＝－.]
12．B [若a＝(m，n)与b＝(p，q)共线，则mq－np＝0，依运算“⊙”知a⊙b＝0，故A正确．由于a⊙b＝mq－np，又b⊙a＝np－mq，因此a⊙b＝－b⊙a，故B不正确．对于C，由于λa＝(λm，λn)，因此(λa)⊙b＝λmq－λnp，又λ(a⊙b)＝λ(mq－np)＝λmq－λnp，故C正确．对于D，(a⊙b)2＋(a·b)2＝m2q2－2mnpq＋n2p2＋(mp＋nq)2＝m2(p2＋q2)＋n2(p2＋q2)＝(m2＋n2)(p2＋q2)＝|a|2|b|2，故D正确．]
13．2
解析 ∵a＝(1,2)，b＝(2,3)，
∴λa＋b＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ＋3)．
∵向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，
∴－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0.
∴λ＝2.
14．7
解析 ∵|5a－b|2＝(5a－b)2＝25a2＋b2－10a·b＝25×12＋32－10×1×3×(－)＝49.
∴|5a－b|＝7.
15．2x－3y－9＝0
解析 设P(x，y)是直线上任意一点，根据题意，有·(a＋2b)＝(x－3，y＋1)·(－2,3)＝0，整理化简得2x－3y－9＝0.
16．－8
解析 设＝t＝(2t，t)，故有·＝(1－2t,7－t)·(5－2t,1－t)＝5t2－20t＋12＝5(t－2)2－8，故当t＝2时，·取得最小值－8.
17．解 ＝－＝a－b.∴＝＋＝＋＝＋＝a＋b.
又＝a＋b.＝＋＝＋＝＝a＋b，
∴＝－＝a＋b－a－b＝a－b.
18．解 a·b＝|a||b|cos 120°＝4×2×＝－4.
(1)(a－2b)·(a＋b)＝a2－2a·b＋a·b－2b2＝42－2×(－4)＋(－4)－2×22＝12.
(2)∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－4)＋4＝12.
∴|a＋b|＝2.
(3)|3a－4b|2＝9a2－24a·b＋16b2＝9×42－24×(－4)＋16×22＝16×19，
∴|3a－4b|＝4.
19．解 由题意有|a|＝＝2，|b|＝＝1.
∵a·b＝×－1×＝0，∴a⊥b.
∵x·y＝0，∴[a＋(t2－3)b](－ka＋tb)＝0.化简得k＝.
∴＝(t2＋4t－3)＝(t＋2)2－.即t＝－2时，有最小值为－.
20．解 设＝t，t∈[0,1]，则＝(6t,3t)，即M(6t,3t).＝－＝(2－6t,5－3t)，
＝－＝(3－6t,1－3t)．若MA⊥MB，则·＝(2－6t)(3－6t)＋(5－3t)(1－3t)＝0.即45t2－48t＋11＝0，t＝或t＝.∴存在点M，M点的坐标为(2,1)或.
21．解 由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，
得<0，
即(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0.
整理得：2te＋(2t2＋7)e1·e2＋7te<0.(*)
∵|e1|＝2，|e2|＝1，〈e1，e2〉＝60°.
∴e1·e2＝2×1×cos 60°＝1
∴(*)式化简得：2t2＋15t＋7<0.解得：－7当向量2te1＋7e2与e1＋te2夹角为180°时，设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2) (λ<0)．
对比系数得，∴
∴所求实数t的取值范围是∪.
22.
证明 如右图所示，
∵＝(＋)＝(a＋b)，
∴＝＝(a＋b)．
∴＝－＝(a＋b)－ma＝(－m)a＋b.
＝－＝nb－ma.
又P、G、Q三点共线，
所以存在一个实数λ，使得＝λ.
∴(－m)a＋b＝λnb－λma，
∴(－m＋λm)a＋(－λn)b＝0.
∵a与b不共线，
∴
由①②消去λ得：＋＝3.
第二章 平面向量复习课（一）
一、教学目标
1. 理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。
2. 了解平面向量基本定理.
3. 向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。
4. 了解向量形式的三角形不等式：|||-||≤|±|≤||+||(试问：取等号的条件是什么?)和向量形式的平行四边形定理：2(||+||)=|－|+|+|.
5. 了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）：
6. 向量的坐标概念和坐标表示法
7. 向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积）
8. 数量积（点乘或内积）的概念，·=||||cos=xx+yy注意区别“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”
二、知识与方法
向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直
三、教学过程
（一）重点知识：
1. 实数与向量的积的运算律：
2. 平面向量数量积的运算律:
3. 向量运算及平行与垂直的判定:
则
4. 两点间的距离:
5. 夹角公式:
6. 求模：
（二）习题讲解：《习案》P167 面2题，P168面6题，P169面1题，P170面5、6题，
P171面1、2、3题，P172面5题，P173面6题。
（三）典型例题
例1． 已知O为△ABC内部一点，∠AOB=150°，∠BOC=90°，设=，=，=，
且||=2，||=1，| |=3，用与表示
解：如图建立平面直角坐标系xoy，其中, 是单位正交基底向量, 则B（0，1），C（-3，0），
设A（x，y），则条件知x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°)，即A（1，-），也就是= －, =， =-3所以-3=3+|即=3－3
（四）基础练习：
《习案》P178面6题、P180面3题。
（五）、小结：掌握向量的相关知识。
（六）作业：《习案》作业二十七。
第二章 平面向量复习课（二）
一、教学过程
（一）习题讲解：《习案》P173面6题。
（二）典型例题
例1．已知圆C：及点A（1，1），M是圆上任意一点，点N在线段MA的延长线上，且，求点N的轨迹方程。
练习：1. 已知O为坐标原点，=（2，1），=（1，7），=（5，1），=x,y=· （x，y∈R） 求点P（x，y）的轨迹方程；
2. 已知常数a>0，向量，经过定点A（0，－a）以为方向向量的直线与经过定点B（0，a）以为方向向量的直线相交于点P，其中.求点P的轨迹C的方程；
例2.设平面内的向量, , ，点P是直线OM上的一个动点，求当取最小值时，的坐标及(APB的余弦值．
解 设．∵ 点P在直线OM上，
∴ 与共线，而，∴ x－2y=0即x=2y，
有．∵ ，，
∴
= 5y2－20y+12
= 5(y－2)2－8．
从而，当且仅当y=2，x=4时，取得最小值－8，
此时，，．
于是，，，
∴
小结：利用平面向量求点的轨迹及最值。
作业：〈习案〉作业二十八。
课件26张PPT。第二章复习(一)一、知识要点：1. 实数与向量的积的运算律：一、知识要点：1. 实数与向量的积的运算律：一、知识要点：1. 实数与向量的积的运算律：2. 平面向量数量积的运算律:一、知识要点：1. 实数与向量的积的运算律：2. 平面向量数量积的运算律:一、知识要点：3. 向量运算及平行与垂直的判定:则一、知识要点：3. 向量运算及平行与垂直的判定:则一、知识要点：3. 向量运算及平行与垂直的判定:则一、知识要点：3. 向量运算及平行与垂直的判定:则一、知识要点：3. 向量运算及平行与垂直的判定:则一、知识要点：3. 向量运算及平行与垂直的判定:则一、知识要点：4. 两点间的距离:一、知识要点：4. 两点间的距离:一、知识要点：4. 两点间的距离:5. 夹角公式:一、知识要点：4. 两点间的距离:5. 夹角公式:一、知识要点：6. 求模：一、知识要点：6. 求模：二、重要结论：二、重要结论：二、重要结论：二、重要结论：三、典型例题：例1.四、基础练习：MNABSyxO《习案》P.178第6题四、基础练习：FECDBANM《习案》P.180第3题课堂小结掌握向量的相关知识. 课后作业《习案》作业二十七. 课件8张PPT。第二章复习(二)一、习题讲解：《习案》P.173第6题.二、典型例题：例1.三、基础练习：三、基础练习：四、典型例题：例2.课堂小结利用平面向量求点的轨迹. 课后作业《习案》作业二十八.
