(共16张PPT)
第一章
导数及其应用
1.7.1
定积分在几何中的应用
1、定积分的几何意义：
O
x
y
a
b
y f
(x)
x=a、x=b与
x轴所围成的曲边梯形的面积。
x
y
O
a
b
y f
(x)
=-S
当f(x) 0时，由y f
(x)、x a、x b
与
x
轴所围成的曲边梯形位于
x
轴的下方，
一、复习引入
如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，且F (x)=f(x)，那么:
2.微积分基本定理：
类型1：求由一条曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(a(2)
x
y
o
a
b
c
(3)
(1)
x
y
o
1.几种典型的平面图形面积的计算：
二、新课讲解
类型2：由两条曲线y=f(x)和y=g(x)，直线
x=a,x=b(ay
x
o
b
a
(2)
(1)
例题讲解
分析：首先画出草图.从图中可以看出，所求
图形的面积可以转化为两个曲边梯形面积的
差，进而可以用定积分求面积s.为了确定出
被积函数和积分的上、下限，我们需要求
出两条曲线的交点的横坐标.
解:作出y2=x,y=x2的图象如图所示:
即两曲线的交点为(0,0),(1,1)
o
x
y
A
B
C
D
O
(1)作出示意图;(弄清相对位置关系)
(2)求交点坐标，确定图形范围(积分的上限,下限)
(3)
写出平面图形的定积分表达式；
2.求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤:
(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出面积。
例2.计算由曲线
直线y=x-4以及x轴围成图形
的面积.
解:
作出y=x-4,
的图象如图所示:
解方程组：
得：直线y=x-4与
交点为(8，4)直线y=x-4与x轴的交点为(4，0)
因此，所求图形的面积为一个曲边梯形与一三角形面积之差：
本题还有其他解法吗？
另解1：将所求平面图形的面积分割成左右两个部分。
还需要把函数y=x-4变形为x=y+4，函数
变形为
S1
S2
另解2：将所求平面图形的面积看成位于y轴右边的一个梯形与一个曲边梯形的面积之差，因此取y为积分变量，
思考：将曲线沿x轴旋转，与直线相交于一点，求曲线与直线围成的面积。
A
B
S2
S1
S1
解法1：
A
B
解法2：
思考：将取y为积分变量，把函数y=x-4变形为x=y+4，函数
变形为
1.思想方法:
数形结合及转化.
2.求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤:
(1)作出示意图;(弄清相对位置关系)
(2)求交点坐标，确定图形范围(积分的上限,下限)
(3)写出平面图形的定积分表达式；
(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出面积。
课堂小结
练习1.
求抛物线y=x2-1，直线x=2，y=0所围
成的图形的面积。
y
x
解：如图：由x2-1=0得到抛物线与x轴的交点坐标是(-1,0)，(1,0).所求面积如图阴影所示：
所以：
课堂练习
x
y
练习2.
求抛物线y=x2+2与直线y=3x和x=0所围成的图形的面积。
解：(共15张PPT)
第一章
导数及其应用
1.7.2
定积分在物理中的应用
前面学习了定积分在几何中的应用，
现在学习定积分在物理中的应用？？
设物体运动的速度v=v(t)，则此物体在时
间区间[a,
b]内运动的距离s为
一、变速直线运动的路程
v/m/s
t/s
10
40
60
30
O
A
B
C
解：由速度-时间曲线可知：
V(t)=3t
0≤t≤10
V(t)=30
10≤t≤40
V(t)=-1.5t+90
40≤t≤60
因此汽车在这1分钟行驶的路程是
S=1
350（m）
答：汽车在这1分钟行驶的路程是1
350m.
二、物体所做的功
1)
恒力
2）变力所做的功
物体在变力Ｆ（x）的作用下做直线
运动，并且物体沿着与Ｆ（x）相同的
方向从x=a移动到x=b（a力Ｆ（x）所作的功
例2：如教材图所示，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离水平位置L
米处，求克服弹力所作的功．
解：在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力Ｆ（x）与弹簧拉伸（或压缩）的长度x成正比．
即：F(x)=kx
所以据变力作功公式有
解
所求功为
解：
建立坐标系如图
这一薄层水的重力为
(千焦)．
3
