(共15张PPT)
第一章
导数及其应用
1.3.3
函数的最大（小）值与导数
复习与引入
1.当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的方
法是:
①如果在x0附近的左侧
右侧
,那么,f(x0)
是极大值;
②如果在x0附近的左侧
右侧
,那么,f(x0)
是极小值.
2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充
分条件.极值只能在函数不可导的点或导数为零的点
取到.
极值反映的是函数在某一点附近的局部
性质,而不是函数在整个定义域内的性质。
但是我们往往更关心函数在某个区间上
哪个值最大，哪个值最小。
观察区间[a,b]上函数y=f
(x)的图象，
你能找出它的极大值点，极小值点吗？
极大值点
，
极小值点
你能说出函数的最大值点和最小值点吗？
最大值点
：a
，
最小值点：d
函数最值的概念
定义：可导函数
在闭区间[a,b]上所有点处的函数值中最大（或最小）值，叫做函数
的最大（或最小）值。
一般地，在闭区间上连续的函数
在[a,b]上必有最大值与最小值。
举例说明
最小值是f
(b).
单调函数的最大值和最小值容易被找到。
函数y=f(x)在区间[a,b]上
最大值是f
(a),
图1
最大值是f
(x3),
图2
函数y=f
(x)在区间[a,b]上
最小值是f
(x4).
函数最值的概念
定义：可导函数
在闭区间[a,b]上所有点处的函数值中最大（或最小）值，叫做函数
的最大（或最小）值。
一般地，在闭区间上连续的函数
在[a,b]上必有最大值与最小值。
若改为
(a,b)
举例说明
函数
在
(0,∞)内连续。
怎样求函数y=f
(x)在区间[a
,b]内的最大值
和最小值？
思考
只要把函数y=f
(x)的所有极值连同端点
的函数值进行比较即可。
例、求函数f(x)=x3-12x+12在[0,3]上的
最大值，最小值。
解：由
函数单调性知，在[0,3]上，
当x=2时，
f(x)=x3-12x+12有极小值，
并且极小值为f
(2)=-4.
又由于f
(0)=12,f
(3)=3,
因此，函数
f(x)=x3-12x+12在[0,
3]上的
最大值为12，最小值为-4。
①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值
(极大值与极小值);
②将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)（即端点的函数值）作比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.
求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下
求函数的最值时,应注意以下几点:
(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论问题,是一个整体性的概念.
(2)闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值.
(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个,
而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值).(共16张PPT)
1.3.2
函数的极值与导数
第一章
导数及其应用
问题：如图表示高台跳水运动员的高度
随时间
变化的函数
的图象
单调递增
单调递减
归纳:
函数
在点
处
,在
的附近,
当
时,函数h(t)单调递增，
;
当
时,函数h(t)单调递减,
。
探究
（3）在点
附近,
的导数的符号有什么规律
（1）函数
在点
的函数值与这些点附近的
函数值有什么关系
（2）函数
在点
的导数值是多少
(图一)
问题：
(图二)
探究
(图一)
(图二)
极大值f(b)
点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.
点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.
极小值点、极大值点统称极值点，极大值和极小值统称为极值.
极小值f(a)
思考：极大值一定大于极小值吗？
极值反映了函数在某一点附近的大小情况，
刻画的是函数的局部性质.
下面分两种情况讨论:
（1）当
，即x＞2,或x＜-2时;
（2）当
，即-2
＜
x＜2时。
例1：求函数
的极值.
解:∵
∴
当x变化时，
的变化情况如下表：
∴当x=-2时,
f(x)的极大值为
令
解得x=2,或x=-2.
当x=2时,
f(x)的极小值为
（1）如图是函数
的图象,试找出函数
的
极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点？
（2）如果把函数图象改为导函数
的图象
答：
1、x1,x3,x5,x6是函数y=f(x)的极值点，其中x1,x5是函
数y=f(x)的极大值点，x3,x6函数y=f(x)的极小值点。
2、x2,x4是函数y=f(x)的极值点,其中x2是函数y=f(x)
的极大值点，x4是函数y=f(x)的极小值点。
随堂练习1
导数值为0的点不一定是函数的极值点.
思考：导数值为0的点一定是函数的极值点吗？？
（2）如果在
附近的左侧
，右侧
，
那么
是极小值
归纳：求函数y=f(x)极值的方法是:
（1）如果在
附近的左侧
，右侧
，
那么
是极大值；
解方程
，当
时：
下列结论中正确的是（
）。
A、导数为零的点一定是极值点。
B、如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么
f(x0)是极大值。
C、如果在x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,那么
f(x0)是极大值。
Ｄ、极大值一定大于极小值。
B
0
x
y
随堂练习2
求函数
的极值
解:∵
∴
令
，得
，或
下面分两种情况讨论：
（1）当
，即
时；
（2）当
，即
，或
时。
当
变化时，
的变化情况如下表：
∴当
时,
有极小值，并且极小值为
当
时,
有极大值，并且极大值为
随堂练习3
思考：已知函数
在
处取得极值。
（1）求函数
的解析式
（2）求函数
的单调区间
解：（1）
∵
在
取得极值，
∴
即
解得
∴
（2）
∵
，
由
得
∴
的单调增区间为
由
得
的单调减区间为
随堂练习4
求下列函数的极值:
解:
解得
列表:
x
(–∞,
–3)
–3
(–3,
3)
3
(
3,
+∞)
0
0
f
(x)
–
+
+
单调递增
单调递减
单调递增
所以,
当
x
=
–3
时,
f
(x)有极大值
54
;
当
x
=
3
时,
f
(x)有极小值
–
54
.
求下列函数的极值:
解:
解得
所以,
当
x
=
–2
时,
f
(x)有极小值
–
10
;
当
x
=
2
时,
f
(x)有极大值
22
.
解得
所以,
当
x
=
–1
时,
f
(x)有极小值
–
2
;
当
x
=
1
时,
f
(x)有极大值
2
.
随堂练习4
课堂小结:
一、方法:
(1)确定函数的定义域
(2)求导数f'(x)
(3)求方程f'(x)
=0的全部解
(4)检查f'(x)在f'(x)
=0的根左.右两边值的符号,如果左正右负
(或左负右正),那么f(x)在这个根取得极大值或极小值
二、通过本节课使我们学会了应用数形结合法去求函数的极
值，并能应用函数的极值解决函数的一些问题
今天我们学习函数的极值,并利用导数求函数的极值(共16张PPT)
1.3.1
函数的单调性与导数
第一章
导数及其应用
（4）.对数函数的导数:
（5）.指数函数的导数:
（3）.三角函数
：
（1）.常函数：(C)/
0,
(c为常数)；
（2）.幂函数
：
(xn)/
nxn 1
一、复习回顾：基本初等函数的导数公式
函数
y
=
f
(x)
在给定区间
G
上，当
x
1、x
2
∈G
且
x
1＜
x
2
时
函数单调性判定
单调函数的图象特征
y
x
o
a
b
y
x
o
a
b
1）都有
f
(
x
1
)
＜
f
(
x
2
)，
则
f
(
x
)
在G
上是增函数；
2）都有
f
(
x
1
)
＞
f
(
x
2
)，
则
f
(
x
)
在G
上是减函数；
若
f(x)
在G上是增函数或减函数，
增函数
减函数
则
f(x)
在G上具有严格的单调性。
G
称为单调区间
G
=
(
a
,
b
)
二、复习引入:
o
y
x
y
o
x
1
o
y
x
1
在（－
∞
，0）和（0,
＋∞）
上分别是减函数。但在定义域上不是减函数。
在（－
∞
，1）上是减函数，在（1,
＋∞）上是增函数。
在(－
∞,＋∞)上是增函数
概念回顾
画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间
(1)函数的单调性也叫函数的增减性；
(2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概
念。这个区间是定义域的子集。
(3)单调区间：针对自变量x而言的。
若函数在此区间上是增函数，则为单调递增区间；
若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。
以前,我们用定义来判断函数的单调性.在假设x1观
察:
下图(1)表示高台跳水运动员的高度
h
随时间
t
变化的函数
的图象,
图(2)表示高台跳水运动员的速度
v
随时间
t
变化的函数
的图象.
运动员从起跳到最高点,
以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别
a
a
b
b
t
t
v
h
O
O
①运动员从起跳到最高点,离水面的高度h随时间t
的增加而增加,即h(t)是增函数.相应地,
②从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少,即h(t)是减函数.相应地,
(1)
(2)
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
y
=
x
y
=
x2
y
=
x3
观察下面一些函数的图象,
探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.
在某个区间(a,b)内,如果
,那么函数
在这个区间内单调递增;
如果
,那么函数
在这个区间内单调递减.
如果恒有
，则
是常数。
例1
已知导函数
的下列信息:
当1
<
x
<
4
时,
当
x
>
4
,
或
x
<
1时,
当
x
=
4
,
或
x
=
1时,
试画出函数
的图象的大致形状.
解:
当1
<
x
<
4
时,
可知
在此区间内单调递增;
当
x
>
4
,
或
x
<
1时,
可知
在此区间内单调递减;
当
x
=
4
,
或
x
=
1时,
综上,
函数
图象的大致形状如右图所示.
x
y
O
1
4
例2
判断下列函数的单调性,
并求出单调区间:
解:
(1)
因为
,
所以
因此,
函数
在
上单调递增.
(2)
因为
,
所以
当
,
即
时,
函数
单调递增;
当
,
即
时,
函数
单调递减.
例2
判断下列函数的单调性,
并求出单调区间:
解:
(3)
因为
,
所以
因此,
函数
在
上单调递减.
(4)
因为
,
所以
当
,
即
时,
函数
单调递增;
当
,
即
时,
函数
单调递减.
1、求可导函数f(x)单调区间的步骤：
(1)求f’(x)
(2)解不等式f’(x)>0(或f’(x)<0)
(3)确认并指出递增区间（或递减区间）
2、证明可导函数f(x)在(a,b)内的单调性的方法：
(1)求f’(x)
(2)确认f’(x)在(a,b)内的符号
(3)作出结论
练习
求证:
函数
在
内是减函数.
解:
由
,
解得
,
所以函数
的递减区间是
,
即函数
在
内是减函数.
例3
如图,
水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,
请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.
(A)
(B)
(C)
(D)
h
t
O
h
t
O
h
t
O
h
t
O
解：（1）B，（2）A,（3）D,（4）C.
一般地,
如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,
那么函数在这个范围内变化得快,
这时,
函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);
反之,
函数的图象就“平缓”一些.
如图,函数
在
或
内的图象“陡峭”,在
或
内的图象平缓.
练习
3.讨论二次函数
的单调区间.
解:
由
,
得
,
即函数
的递增区间是
;
相应地,
函数的递减区间是
由
,
得
,
即函数
的递增区间是
;
相应地,
函数的递减区间是
