(共17张PPT)
第一章
导数及其应用
1.5.1
曲边梯形的面积
1.任何一个平面图形都有面积，其中矩形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等平面多边形的面积，可以利用相关公式进行计算.
2.如果函数y＝f(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线，则称函数f(x)为区间I上的连续函数.
3.如图所示的平面图形，是由直线
x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的，称之为曲边梯形，如何计算这个曲边梯形的面积呢？？
x
y
a
b
y＝f(x)
O
三角形面积的算法
设△ABC的底边AB＝a，AB边上的高CD＝h，将CD分成n等分，过每个分点按如图所示作n－1个矩形，则从下到上各矩形的长分别为多少？宽为多少？
A
B
C
D
第i个矩形的长为
，
每个矩形的宽为
.
这n－1个矩形的面积之和Sn－1等于多少？
A
B
C
D
随着n的增大，Sn－1与△ABC的面积愈接近，当n趋向于无穷大时，Sn－1的极限为多少？由此可得什么结论？
结论：三角形的面积等于各矩形面积之和的极限.
A
B
C
D
曲边梯形面积的算法
由抛物线y＝x2与直线x＝1，
y＝0所围成的平面图形是什么？它与我们熟悉的平面多边形的主要区别是什么？
x
y
1
y＝x2
O
直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的曲边梯形.多边形的每条边都是直线段，上图中有一边是曲线段.
设想用极限逼近思想求上面图形的面积，在该曲边梯形内作若干个小矩形.
具体操作：
将区间[0，1]分成n等分，按如图所示作n－1个矩形.
x
y
O
y＝x2
1
上述n－1个矩形，求出从左到右各矩形的高分别为多少，宽为多少.如下：
x
y
O
y＝x2
1
第i个矩形的高为
，
每个矩形的宽为
.
利用公式
计算，这n－1个小矩形的面积之和Sn－1.
x
y
O
y＝x2
1
利用各小矩形的面积之和求曲边梯形的面积S，所得的结果是：
x
y
O
y＝x2
1
上述用极限逼近思想求曲边梯形面积的过程的几个基本步骤：
分割→近似代替→求和→取极限.
若按如图所示作小矩形，那么这些小矩形的面积之和的极限等于曲边梯形的面积吗？
y＝x2
x
y
O
1
若分别以区间
内任意一点对应的函数值为高作矩形，那么这些小矩形的面积之和的极限等于曲边梯形的面积吗？
y＝x2
x
y
O
1
相等
理论迁移
例
求直线x＝0，x＝3，y＝0和曲线y＝－x2＋2x＋3所围成的曲边梯形的面积.
x
y
O
3
3
小结
2.求曲边梯形的面积的基本思路是：把曲边梯形分割成n个小曲边梯形→用小矩形近似替代小曲边梯形→求各小矩形的面积之和→求各小矩形面积之和的极限.
1.用极限逼近原理求曲边梯形的面积，是一种“以直代曲”的思想，它体现了对立统一，量变与质变的辨证关系.
3.
上述求曲边梯形面积的方法有一定的局限性，如果用一般方法不能求出各小矩形的面积之和，则得不到曲边梯形的面积.(共15张PPT)
第一章
导数及其应用
1.5.3
定积分的概念
定积分的定义
如果当n ∞时，S
的无限接近某个常数，
这个常数为函数f(x)在区间[a,
b]上的定积分，记作
从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四步曲”:
分割---近似代替----求和------取极限得到解决.
定积分的定义：
定积分的相关名称：
———叫做积分号，
f(x)
——叫做被积函数，
f(x)dx
—叫做被积表达式，
x
———叫做积分变量，
a
———叫做积分下限，
b
———叫做积分上限，
[a,
b]
—叫做积分区间。
被积函数
被积表达式
积分变量
积分下限
积分上限
按定积分的定义，有
(1)
由连续曲线y=f(x)
(f(x) 0)
，直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积为
(2)
设物体运动的速度v=v(t)，则此物体在时间区间[a,
b]内运动的距离s为
定积分的定义：
1
x
y
O
f(x)=x2
O
v
t
1
2
说明：
(1)
定积分是一个数值,
它只与被积函数及积分区间有关，
而与积分变量的记法无关，即
ò
b
a
f
(
x
)
dx
=
ò
b
a
f
(
x
)
dx
-
(3)
定积分的几何意义：
O
x
y
a
b
y f
(x)
x=a、x=b与
x轴所围成的曲边梯形的面积。
当f(x) 0时，由y f
(x)、x a、x b
与
x
轴所围成的曲边梯形位于
x
轴的下方，
x
y
O
=-
．
a
b
y f
(x)
y -f
(x)
=-S
上述曲边梯形面积的负值。
定积分的几何意义：
=-S
a
b
y f
(x)
O
x
y
探究:
根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的面积
a
b
y f
(x)
O
x
y
三:
定积分的基本性质
性质1.
性质2.
三:
定积分的基本性质
定积分关于积分区间具有可加性
性质3.
O
x
y
a
b
y f
(x)
Ｃ
性质
3
不论a，b，c的相对位置如何都有
a
b
y=f(x)
c
O
x
y
理论迁移
例1
利用定积分定义，计算
.
.
例2
计算
.(共15张PPT)
第一章
导数及其应用
1.5.2
汽车行驶的路程
复习回顾
1.用极限逼近思想求曲边梯形面积的基本步骤是什么？
，
分割→近似代替→求和→取极限.
2.若已知物体的运动路程s与时间t的函数关系：s＝f(t)，如何求物体在某时刻t0的瞬时速度？
v＝f
′(t0)
3.若已知物体的运动速度v与时间t的函数关系：v＝f(t)，那么f
′(t0)的含义是什么？
f
′(t0)表示加速度
思考：汽车行驶的路程
汽车以速度v作匀速直线运动，经过时间t所行驶的路程为多少？如果汽车作变速直线运动，那么在相同时间内所行驶的路程相等吗？
s＝vt
不相等
思考：已知汽车作变速直线运动，在时刻t(单位：h)的速度为v(t)＝－t2＋2
(单位：km/h)，那么它在0≤t≤1这段时间内行驶的路程s是多少？
为了计算汽车在0≤t≤1时段内行驶
的路程，将区间[0，1]等分成n个小
区间，那么各个小区间对应的时段
分别是：
当n很大时，在每个小区间上，由于v(t)的变化很小，可以认为汽车近似于以左端点时刻对应的速度作匀速直线运动，则汽车在上述各时段内行驶的路程的近似值分别为：
，
，
，
…，
计算汽车在0≤t≤1时段内行驶的路程的近似值结果是：
利用极限逼近思想，汽车在0≤t≤1时段内行驶的路程为：
若汽车在时刻t的速度为v(t)＝t2＋2，那么汽车在0≤t≤1时段内行驶的路程
为：
汽车行驶路程的拓展探究
思考1：在每个小区间上，如果认为汽车近似于以右端点时刻对应的速度作匀速直线运动，那么汽车在前述各时段内行驶的路程的近似值分别为多少？
思考2：汽车在0≤t≤1时段内行驶的路程如何计算？其结果是什么？
思考3：由直线t＝0，t＝1，v＝0和曲线v＝－t2＋2围成一个曲边梯形，那么图中各小矩形的面积有什么物理意义？
t
y
O
2
1
y＝－t2＋2
汽车在各时段内行驶的路程的近似值.
思考4：汽车在0≤t≤1时段内行驶的路程，在数值上与这个曲边梯形的面积有什么关系？
相等
理论迁移
例
一辆汽车作变速直线运动，在时
刻t(单位：h)的速度为v(t)＝
(单位：km/h)，求汽车在1≤t≤2时段内行驶的路程.
s＝3
t
y
O
2
1
小结作业
1.求变速直线运动的物体在某时段内所走过的路程，可以用“以匀代变”和“极限逼近”的数学思想求解，其操作步骤仍然是：分割→近似代替→求和→取极限.
2.在平面直角坐标系中，若横轴表示时间，纵轴表示速度，那么求变速直线运动的物体在某时段内所走过的路程，可转化为求曲边梯形的面积，二者对立统一.
