(共15张PPT)
第一章
导数及其应用
1.1.1
变化率问题
问题1
气球膨胀率
在吹气球的过程中,
可发现,随着气球内空气容量的增加,
气球的半径增加得越来越慢.
从数学的角度,
如何描述这种现象呢
气球的体积V(单位:L)与半径r
(单位:dm)之间的函数关系是
若将半径
r
表示为体积V的函数,
那么
当空气容量V从0L增加到1L
,
气球半径增加了
气球的平均膨胀率为
当空气容量V从1L增加到2
L
,
气球半径增加了
气球的平均膨胀率为
随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小
思考
当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少
问题2
高台跳水
在高台跳水运动中,
运动员相对于水面的高度
h
(单位:m)与起跳后的时间
t
(单位:s)
存在函数关系
如果用运动员在某段时间内的平均速度
描述其运动状态,
那么:
在0
≤
t
≤0.5这段时间里,
在1≤
t
≤2这段时间里,
平均速度不能反映他在这段时间里运动状，
需要用瞬时速度描述运动状态。
计算运动员在
这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:
(1)
运动员在这段时间里是静止的吗
(2)
你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗
探
究:
时间
3月18日
4月18日
4月20日
日最高气温
3.5℃
18.6℃
33.4℃
现有南京市某年3月和4月某天日最高气温记载.
观察：3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度
变化，用曲线图表示为：
t(d)
20
30
34
2
10
20
30
A
(1,
3.5)
B
(32,
18.6)
0
C
(34,
33.4)
T
(℃)
2
10
（注：
3月18日为第一天）
问题3：
t(d)
20
30
34
2
10
20
30
A
(1,
3.5)
B
(32,
18.6)
0
C
(34,
33.4)
T
(℃)
2
10
问题1：“气温陡增”是一句生活用语，它的数学意义
是什么？（形与数两方面）
问题2：如何量化（数学化）曲线上升的陡峭程度？
（1
）曲线上BC之间一段几乎成了“直线”，由此联想如何量化直线的倾斜程度。
t(d)
20
30
34
2
10
20
30
A
(1,
3.5)
B
(32,
18.6)
0
C
(34,
33.4)
T
(℃)
2
10
（2）由点B上升到C点，必须考察yC—yB的大小，但仅仅注意
yC—yB的大小能否精确量化BC段陡峭程度，为什么？
在考察yC—yB的同时必须考察xC—xB，函数的本质在于一个
量的改变本身就隐含着这种改变必定相对于另一个量的改变。
t(d)
20
30
34
2
10
20
30
A
(1,
3.5)
B
(32,
18.6)
0
C
(34,
33.4)
T
(℃)
2
10
(3)我们用比值
近似地量化B、C这一段曲线的陡峭程度，并称该比值为【32，34】上的平均变化率
(4)分别计算气温在区间【1，32】
【32，34】的平均变化率
现在回答问题1：“气温陡增”是一句生活用语，它的
数学意义是什么？（形与数两方面）
定义:
平均变化率:
式子
称为函数
f
(x)从x1到
x2的平均变化率.
令△x
=
x2
–
x1
,
△
y
=
f
(x2)
–
f
(x1)
,则
理解：
1，式子中△x
、△
y
的值可正、可负，但
的△x值不能为0，
△
y
的值可以为0
2，若函数f
(x)为常函数时，
△
y
=0
3,
变式
思考:
观察函数f(x)的图象
平均变化率
表示什么
O
A
B
x
y
Y=f(x)
x1
x2
f(x1)
f(x2)
x2-x1
f(x2)-f(x1)
直线AB的斜率
做两个题吧!
1
、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则Δy/Δx=(
)
A
、
3
B、
3Δx-(Δx)2
C
、
3-(Δx)2
D
、3-Δx
D
2、求y=x2在x=x0附近的平均变化率.
2x0+Δx
小结：
1.函数的平均变化率
2.求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的增量Δf=Δy=f(x2)-f(x1);
(2)计算平均变化率(共15张PPT)
第一章
导数及其应用
1.1.2
导数的概念
一．创设情景
（一）平均变化率
（二）探究：
在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.
又如何求
瞬时速度呢
二．新课讲授
1．瞬时速度
△t<0时,
在[
2+△t,
2
]这段时
间内
△t>0时,
在[2,
2
+△t
]这段时间内
当△t
=
–
0.01时,
当△t
=
0.01时,
当△t
=
–
0.001时,
当△t
=0.001时,
当△t
=
–0.0001时,
当△t
=0.0001时,
△t
=
–
0.00001,
△t
=
0.00001,
△t
=
–
0.000001,
△t
=0.000001,
……
……
平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.
如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢
当Δt趋近于0时,平均速度有什么变化趋势
定义:
函数
y
=
f
(x)
在
x
=
x0
处的瞬时变化率是
称为函数
y
=
f
(x)
在
x
=
x0
处的导数,
记作
或
,
即
由导数的定义可知,
求函数
y
=
f
(x)的导数的一般方法:
求函数的改变量
2.
求平均变化率
3.
求值
一差、二比、三极限
例2
物体作自由落体运动,运动方程为：
其中位移单位是m,时间单位是s,g=10m/s2.求：
(1)
物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度；
(2)
物体在时间区间[2,2.01]上的平均速度；
(3)
物体在t=2(s)时的瞬时速度.
分析：
解:
(1)将
Δt=0.1代入上式，得:
(2)将
Δt=0.01代入上式，得:
小结：
1求物体运动的瞬时速度：
（1）求位移增量Δs=s(t+Δt)-s(t)
(2)求平均速度
（3）求极限
2由导数的定义可得求导数的一般步骤：
（1）求函数的增量Δy=f(x0+Δt)-f(x0)
(2)
求平均变化率
（3）求极限(共17张PPT)
第一章
导数及其应用
1.1.3
导数的几何意义
定义：函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是
我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作:
回顾
由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:
下面来看导数的几何意义:
β
y=f(x)
P
Q
M
Δx
Δy
O
x
y
β
P
y=f(x)
Q
M
Δx
Δy
O
x
y
如图,曲线C是函数y=f(x)
的图象,P(x0,y0)是曲线C上的
任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy)
为P邻近一点,PQ为C的割线,
PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的
倾斜角.
斜率!
P
Q
o
x
y
y=f(x)
割线
切线
T
请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.
我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ有一个确定位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.
设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.
即:
这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.
导数的几何意义
函数
y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线
y=f(x)在点P(x0
,f(x0))处的切线的斜率.
即:
故曲线y=f(x)在点P(x0
,f(x0))处的切线方程是:
例2:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
Q
P
y
=
x
2
+1
x
y
-
1
1
1
O
j
M
D
y
D
x
因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.
（1）求出函数在点x0处的变化率
，
得到曲线在点(x0,f(x0))的切线的斜率。
（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，
即
求切线方程的步骤：
即点P处的切线的斜率等于4.
(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.
在不致发生混淆时，导函数也简称导数．
什么是导函数
从求函数f(x)在x=x0处导数的过程可以看到,当x=x0时,f’(x0)
是一个确定的数.那么,当x变化时,
f’(x0)便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:
（1）求出函数在点x0处的变化率
，得到曲线
在点(x0,f(x0))的切线的斜率。
（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
求切线方程的步骤：
小结:
无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导数定义求
函数的导数的基本思想，丢掉极限思想就无法理解导
数概念。
