人教A版选修2-2 2.3 数学归纳法 （共28ppt）
文档属性
| 名称 | 人教A版选修2-2 2.3 数学归纳法 （共28ppt） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 694.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-08-31 15:25:48 | ||
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文档简介
课件28张PPT。2.3 数学归纳法 我是一毛我是二毛我是三毛我是谁？我不是四毛！我是小明！不完全归纳猜：四毛！完全归纳？1.了解数学归纳法的原理.
2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
（重点、难点）探究点 数学归纳法的原理与定义问题1:口袋中有4个吃的东西，如何证明它们都是糖？ 把研究对象一一都考察到，而推出结论的归纳法.完全归纳法（1）求出数列前4项,你能得到什么猜想？（2）你的猜想一定是正确的吗？猜想数列的通项公式为：解:不完全归纳法从一类对象中的部分对
象都具有某种性质推出
这类对象全体都具有这
种性质的归纳推理方法验证:逐一验证，不可能！！！能否通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立？数学归纳法与多米诺骨牌有怎样的相似之处呢？多米诺骨牌数学归纳法的第一步：先证明n取第一个值时命题成立.
相当于多米诺骨牌开始倒的第一张.
数学归纳法的第二步：假设当n=k时命题成立，
并证明当n=k+1时命题也成立.
相当于多米诺骨牌第k张倒后第k+1张是否也会跟着倒.1.第几块骨牌，数列第几项都是与正整数有关的问题.2.共同点是任意前一个的情况都可以推出后一个的情况. 多米诺骨牌与我们要解决的问题2有相似性吗？相似性体现在哪些方面呢？ 上述2，事实上给出了一个递推关系，换言之就是假设第k块倒下，则相邻的第k+1块也倒下. 你能类比多米诺骨牌游戏牌全倒条件，证明上述问题2猜想的结论吗？猜想数列的通项公式为证明:(1)当猜想成立.(2)那么,当根据(1)和(2)，猜想对于任何 都成立. 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：1.（归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0?N*)时命题成立.2.（归纳递推）假设当n=k(k≥n0，k?N*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫做数学归纳法.若n = k ( k ≥ n0) 时命题成立，证明n=k+1时命题也成立. 验证n=n0时命题成立.命题对从n0开始所有的正整数n 都成立.归纳奠基归纳递推数学归纳法：两个步骤
一个结论
缺一不可例1 用数学归纳法证明证明：（1）当n=1时，左边=12=1,等式成立(2)假设当n=k( )时等式成立,即那么,当n=k+1时即当n=k+1时等式也成立.即n=k+1时等式成立.
所以等式对一切自然数 均成立.【总结提升】证明：假设n=k时等式成立，即那么上述证法是正确的吗？为什么？结论1：第一步是递推的基础，缺少了第一步就失去了保证，不要误认为第一步是一个简单的验证，可有可无.结论2：在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到n=k命题成立这一归纳假设,否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑严密关系,造成推理无效. 计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明.…，，解： 可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n+1,于是可以猜想 下面我们用数学归纳法证明这个猜想.(1)当n=1时，猜想成立.(2)假设n=k 时,猜想成立，即那么所以，当n=k+1时,猜想也成立.例3 求证:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n? 1? 3?… ?(2n-1)1.已知三角形内角和为180°，四边形的内角和为
360°，五边形的内角和为540°，于是有：凸n边
形的内角和为(n-2)·180°，若用数学归纳法证
明，第一步验证n取第一个正整数时命题成立，则
第一个正整数取值为__________32.用数学归纳法证明
（a≠1），在验证n=1等式成立时 ，左边应取的项
是__________.3.用数学归纳法证明:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n? 1?
3?…?(2n-1)时，在证明n=k+1时：左边代数式
为 ，
共有 项，从k到k+1左边需要增乘的代
数式为_______________. [(k+1)+1]?[(k+1)+2]…[(k+1)+(k+1)]k+1(2)假设n=k(k∈N*)时原等式成立 ，即此时，原等式成立. 那么n=k+1时,这就是说，当n=k+1时,命题也成立.由 (1)(2)知,对一切正整数n,原等式均正确. 点拨:对这种类型的题目,一般先利用n的特殊值,探求出待定系数,然后用数学归纳法证明它对一切正整数n都成立.则当n=k+1时,故当n=k+1时,结论也正确.根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论正确.(1)当n=1时,由上面解法知结论正确.1.数学归纳法的一般步骤：若n = k ( k ≥ n0) 时命题成立，证明n=k+1时命题也成立. 验证n=n0时命题成立.命题对从n0开始所有的正整数n 都成立.归纳奠基归纳递推两个步骤
一个结论
缺一不可2.应用数学归纳法要注意以下几点：
（1）第一步是基础，没有第一步，只有第二步就如空中楼阁，是不可靠的.
（2）第二步是证明传递性，只有第一步，没有第二步，只能是不完全归纳法.
（3）n0是使命题成立的最小正整数，n0不一定取1，也可取其他一些正整数.
（4）第二步的证明必须利用归纳假设，否则不能称作数学归纳法. 如果我们有着快乐的思想，我们就会快乐；如果我们有着凄惨的思想，我们就会凄惨.
2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
（重点、难点）探究点 数学归纳法的原理与定义问题1:口袋中有4个吃的东西，如何证明它们都是糖？ 把研究对象一一都考察到，而推出结论的归纳法.完全归纳法（1）求出数列前4项,你能得到什么猜想？（2）你的猜想一定是正确的吗？猜想数列的通项公式为：解:不完全归纳法从一类对象中的部分对
象都具有某种性质推出
这类对象全体都具有这
种性质的归纳推理方法验证:逐一验证，不可能！！！能否通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立？数学归纳法与多米诺骨牌有怎样的相似之处呢？多米诺骨牌数学归纳法的第一步：先证明n取第一个值时命题成立.
相当于多米诺骨牌开始倒的第一张.
数学归纳法的第二步：假设当n=k时命题成立，
并证明当n=k+1时命题也成立.
相当于多米诺骨牌第k张倒后第k+1张是否也会跟着倒.1.第几块骨牌，数列第几项都是与正整数有关的问题.2.共同点是任意前一个的情况都可以推出后一个的情况. 多米诺骨牌与我们要解决的问题2有相似性吗？相似性体现在哪些方面呢？ 上述2，事实上给出了一个递推关系，换言之就是假设第k块倒下，则相邻的第k+1块也倒下. 你能类比多米诺骨牌游戏牌全倒条件，证明上述问题2猜想的结论吗？猜想数列的通项公式为证明:(1)当猜想成立.(2)那么,当根据(1)和(2)，猜想对于任何 都成立. 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：1.（归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0?N*)时命题成立.2.（归纳递推）假设当n=k(k≥n0，k?N*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫做数学归纳法.若n = k ( k ≥ n0) 时命题成立，证明n=k+1时命题也成立. 验证n=n0时命题成立.命题对从n0开始所有的正整数n 都成立.归纳奠基归纳递推数学归纳法：两个步骤
一个结论
缺一不可例1 用数学归纳法证明证明：（1）当n=1时，左边=12=1,等式成立(2)假设当n=k( )时等式成立,即那么,当n=k+1时即当n=k+1时等式也成立.即n=k+1时等式成立.
所以等式对一切自然数 均成立.【总结提升】证明：假设n=k时等式成立，即那么上述证法是正确的吗？为什么？结论1：第一步是递推的基础，缺少了第一步就失去了保证，不要误认为第一步是一个简单的验证，可有可无.结论2：在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到n=k命题成立这一归纳假设,否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑严密关系,造成推理无效. 计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明.…，，解： 可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n+1,于是可以猜想 下面我们用数学归纳法证明这个猜想.(1)当n=1时，猜想成立.(2)假设n=k 时,猜想成立，即那么所以，当n=k+1时,猜想也成立.例3 求证:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n? 1? 3?… ?(2n-1)1.已知三角形内角和为180°，四边形的内角和为
360°，五边形的内角和为540°，于是有：凸n边
形的内角和为(n-2)·180°，若用数学归纳法证
明，第一步验证n取第一个正整数时命题成立，则
第一个正整数取值为__________32.用数学归纳法证明
（a≠1），在验证n=1等式成立时 ，左边应取的项
是__________.3.用数学归纳法证明:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n? 1?
3?…?(2n-1)时，在证明n=k+1时：左边代数式
为 ，
共有 项，从k到k+1左边需要增乘的代
数式为_______________. [(k+1)+1]?[(k+1)+2]…[(k+1)+(k+1)]k+1(2)假设n=k(k∈N*)时原等式成立 ，即此时，原等式成立. 那么n=k+1时,这就是说，当n=k+1时,命题也成立.由 (1)(2)知,对一切正整数n,原等式均正确. 点拨:对这种类型的题目,一般先利用n的特殊值,探求出待定系数,然后用数学归纳法证明它对一切正整数n都成立.则当n=k+1时,故当n=k+1时,结论也正确.根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论正确.(1)当n=1时,由上面解法知结论正确.1.数学归纳法的一般步骤：若n = k ( k ≥ n0) 时命题成立，证明n=k+1时命题也成立. 验证n=n0时命题成立.命题对从n0开始所有的正整数n 都成立.归纳奠基归纳递推两个步骤
一个结论
缺一不可2.应用数学归纳法要注意以下几点：
（1）第一步是基础，没有第一步，只有第二步就如空中楼阁，是不可靠的.
（2）第二步是证明传递性，只有第一步，没有第二步，只能是不完全归纳法.
（3）n0是使命题成立的最小正整数，n0不一定取1，也可取其他一些正整数.
（4）第二步的证明必须利用归纳假设，否则不能称作数学归纳法. 如果我们有着快乐的思想，我们就会快乐；如果我们有着凄惨的思想，我们就会凄惨.