课件15张PPT。 第二章 推理与证明
2.2.1 综合法和分析法复习
演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程.数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理.复习例1:已知a>0,b>0,
求证 a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc因为b2+c2 ≥2bc,a>0
所以a(b2+c2)≥2abc.又因为c2+b2 ≥2bc,b>0
所以b(c2+a2)≥ 2abc.因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.证明:利用已知条件和某些数学定义、公理、
定理等,经过一系列的推理论证,最后推
导出所要证明的结论成立,这种证明方
法叫做综合法用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理
等,Q表示所要证明的结论.则综合法用框图表示为:…综合法又叫“顺推证法”或“由因导果”，
其基本思想是：由已知推可知，逐步推出未
知.证明数学命题时，还经常从要证的结论
出发，反推回去，寻求保证结论成立的条
件，即使结论成立的充分条件. 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法．
特点：执果索因.用框图表示分析法的思考过程、特点.例:如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F,求证 AF⊥SC证明:要证AF⊥SC只需证:SC⊥平面AEF只需证:AE⊥SC只需证:AE⊥平面SBC只需证:AE⊥BC只需证:BC⊥平面SAB只需证:BC⊥SA只需证:SA⊥平面ABC因为:SA⊥平面ABC成立所以. AF⊥SC成立也可以是经过证明的结论具体详解参照教材p88思考题:甲、乙、丙三箱共有小球384个,先由甲箱取出若干放进乙、丙两箱内,所放个数分别为乙、丙箱内原有个数,继而由乙箱取出若干个球放进甲、丙两箱内,最后由丙箱取出若干个球放进甲、乙两箱内,方法同前.结果三箱内的小球数恰好相等.求甲、乙、丙三箱原有小球数甲:208个,乙:112个,丙:64个小结 1.在数学证明中，综合法和分析法是两种最常用的数学方法，若从已知入手能找到证明的途径，则用综合法，否则用分析法. 2.综合法的每步推理都是寻找必要条件，分析法的每步推理都是寻找充分条件，在解题表述中要注意语言的规范性和逻辑性. 3.综合法和分析法是两种互逆的思维模式，在证明某些较复杂的问题时，常采用分析综合法，用综合法拓展条件，用分析法转化结论，找出已知与结论的连结点.课件20张PPT。第二章 推理与证明
2.2.2 反证法温故迎新1.直接证明的两种基本证法：综合法和分析法2.这两种基本证法的推证过程和特点：由因导果执果索因3、在实际解题时，两种方法如何运用？ 通常用分析法寻求思路，
再由综合法书写过程.综合法:已知条件结论分析法:结论 已知条件 路
边
苦
李 王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.伙伴问他为什么不去摘？小故事:王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下,果然是苦李. 王戎是怎么知
道李子是苦的呢?
他运用了怎样的
推理方法? 王戎的推理方法是:
假设李子不苦,
则因树在“道”边,李子早就被别
人采摘而没有了,
这与“多李”产生矛盾.
所以假设不成立,李为苦李.证明：在一个三角形中至少
有一个角不小于60°.引例已知：∠A， ∠ B， ∠ C是△ABC的内角.
求证： ∠ A， ∠ B， ∠ C中至少有一个
不小于60°已知：∠A， ∠ B， ∠ C是△ABC的内角.
求证： ∠ A， ∠ B， ∠ C中至少有一个不小于60°证明：所以∠ A 60°，∠B 60°， ∠C 60°<<<∴ ∠A+∠B+∠C<180° 先假设结论的反面是正确的，然后通过逻辑推理，推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾，
说明假设不成立，从而得到原结论正确。 这种证明方法就是-----反证法 把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明注：反证法是最常见的间接证法。 一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾。因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。否定结论——推出矛盾——肯定结论
即分三个步骤：反设—归谬—存真反设——假设命题的结论不成立；存真——由矛盾结果，断定反设不成立，从而肯定原结论成立。 归谬——从假设出发，经过一系列正确的推理，得出矛盾；归缪矛盾：
（1）与已知条件矛盾；
（2）与假设矛盾或自相矛盾;
（3）与已有公理、定理、定义、事实矛盾.反证法的思维方法：正难则反ab注：否定型命题(命题的结论是“不可能……”，
“不能表示为……”，“不是……”，“不存在……” ，“不等于……”，“不具有某种性质”等) 常用反证法证明:两边平方得:化简得:两边平方得:此式显然不成立，所以假设错误例3 求证： 是无理数。练习： 已知a≠0，证明：关于x的方程ax=b有且只有一个根。注：唯一性命题(命题的结论是“有且只有”，“只有一个，“唯一存在”等) 常用反证法。（1）直接证明有困难
正难则反!归纳总结：哪些命题适宜用反证法加以证明？牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一” （3）唯一性命题（2）否定性命题（4）至多，至少型命题反证法的一般步骤 先假设命题的结论不成立从假设出发，经过推理 得出矛盾 否定假设 肯定原命题 分清条件和结论假设互补的两个角都大于90°.假设△ABC中,至少有两个钝角（3） “若a2≠ b2,则a ≠ b”
。
假设a=b1.求证:若一个整数的平方是偶数,则这个数也是偶数.假设这个数是奇数,可以设为2k+1,证:则有而不是偶数这与原命题条件矛盾.所以原命题成立1、知识小结：
反证法证明的思路：假设命题的结论不成立→正确的推理,得出矛盾→否定假设，肯定待证明的命题2、难点提示:
利用反证法证明命题时,一定要准确而全面的找出命题结论的反面。“至少”的反面是“没有”，“最多”的反面是“不止”。准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面是一些常见的结论的否定形式. ?不是不都是不大于不小于一个也没有至少有两个至多有（n-1)个至少有（n+1)个存在某个x，不成立存在某个x,
成立不等于某个
