1．1．1正弦定理
●教学目标
知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
●教学重点
正弦定理的探索和证明及其基本应用。
●教学难点
已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
●教学过程
一.课题导入
如图1．1-1，固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动。
思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？
显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大。
能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？
二.讲授新课
[探索研究]
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，
有，，又,
则
从而在直角三角形ABC中，
思考1：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
如图1．1-3，（1）当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，
有CD=,则， C
同理可得， b a
从而 A c B
（2）当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）
思考2：还有其方法吗？
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这问题。
（证法二）：过点A作单位向量， 由向量的加法可得
则
∴
∴，即
同理，过点C作，可得 从而
从上面的研探过程，可得以下定理
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
[理解定理]
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，
即存在正数k使，，；
（2）等价于，，
思考：正弦定理的基本作用是什么？
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如。
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
[例题分析]
例1．在中，已知，，cm，解三角形。
解：根据三角形内角和定理，
；
根据正弦定理， ；
根据正弦定理，
评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。
练习：在中，已知下列条件解三角形。
（1），，， （2），，
例2． 在中，已知cm，cm，，解三角形（角度精确到，边长精确到1cm）。
解：根据正弦定理，
因为＜＜，所以，或
⑴ 当时， ，
⑵ 当时，，
应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。
课堂练习
第4页练习第2题。
思考题：在ABC中，，这个k与ABC有什么关系？
三.课时小结（由学生归纳总结）
（1）定理的表示形式：；
或，，
（2）正弦定理的应用范围：
①已知两角和任一边，求其它两边及一角；
②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。
四.课后作业：P10面1、2题。
课件24张PPT。1.1.1正弦定理复习引入 如图，固定△ABC的边CB及∠B，
使边AC绕着顶点C转动.
复习引入 如图，固定△ABC的边CB及∠B，
使边AC绕着顶点C转动.
思考：
∠C的大小与它的对边AB的长度
之间有怎样的数量关系？
复习引入 如图，固定△ABC的边CB及∠B，
使边AC绕着顶点C转动.
思考：
∠C的大小与它的对边AB的长度
之间有怎样的数量关系？
显然，边AB的长度随着其对角
∠C的大小的增大而增大.
复习引入 如图，固定△ABC的边CB及∠B，
使边AC绕着顶点C转动.
思考：
∠C的大小与它的对边AB的长度
之间有怎样的数量关系？
显然，边AB的长度随着其对角
∠C的大小的增大而增大.
能否用一个等式把
这种关系精确地表示出
来？ 讲授新课思考1： 那么对于任意的三角形，以上关
系式是否仍然成立？讲授新课思考1： 可分为锐角三角形和钝角三角形
两种情况. 那么对于任意的三角形，以上关
系式是否仍然成立？讲授新课还有其方法吗？ 思考2：讲授新课还有其方法吗？ 用向量来研究这问题. 思考2：正弦定理：正弦定理： 在一个三角形中，各边和它所对
角的正弦的比相等，即 正弦定理： 在一个三角形中，各边和它所对
角的正弦的比相等，即 思考：正弦定理的基本作用是什么？思考：①已知三角形的任意两角及其一边可
以求其他边，如 正弦定理的基本作用是什么？思考：①已知三角形的任意两角及其一边可
以求其他边，如 正弦定理的基本作用是什么？②已知三角形的任意两边与其中一边
的对角可以求其他角的正弦值，如解三角形： 一般地，已知三角形的某些边
和角，求其他的边和角的过程叫作
解三角形.讲解范例：例1. 在△ABC中，已知A＝32.0o，
B＝81.8o，a＝42.9cm，解三角形.练习：在△ABC中，已知下列条件，解三角
形(角度精确到1o, 边长精确到1cm):(1) A＝45o，C＝30o，c＝10cm；
(2) A＝60o，C＝45o，c＝20cm.讲解范例：例2. 在△ABC中，已知a＝20cm，
b＝28cm，A＝40o，解三角形(角
度精确到1o, 边长精确到1cm).练习：(1) a＝20cm，b＝11cm，B＝30o；
(2) c＝54cm，b＝39cm，C＝115o.在△ABC中，已知下列条件，解三角
形(角度精确到1o, 边长精确到1cm):思考：在△ABC中，这个k与△ABC有什么关系？课堂小结 定理的表示形式：2. 正弦定理的应用范围：
①已知两角和任一边，求其它两边及
一角；
②已知两边和其中一边对角，求另一
边的对角.课堂小结 阅读必修5教材P.2到P.4;
2. 教材P.10习题1.1A组第1、2题.课后作业双基限时练(一)
1．有关正弦定理的叙述：
①正弦定理仅适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三角形；③正弦定理仅适用于钝角三角形；④在给定三角形中，各边与它的对角的正弦的比为定值；⑤在△ABC中，sinA?sinB?sinC＝a?b?c.
其中正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 ①②③不正确，④⑤正确．
答案 B
2．在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3，则AC＝( )
A．4 B．2
C. D.
解析 由正弦定理，得＝，即AC＝＝＝2.
答案 B
3．在△ABC中，已知b＝，c＝1，B＝45°，则a等于( )
A. B.
C.＋1 D．3－
解析 由正弦定理，得sinC＝＝＝，又b>c，
∴C＝30°，从而A＝180°－(B＋C)＝105°，∴a＝，得a＝.
答案 B
4．在△ABC中，已知3b＝2asinB，cosB＝cosC，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
解析 利用正弦定理及第一个等式，可得sinA＝，A＝，或，但由第二个等式及B与C的范围，知B＝C，故△ABC必为等腰三角形．
答案 B
5．在△ABC中，若a＝2bsinA，则B等于( )
A．30° B．60°
C．30°或150° D．60°或120°
解析 ∵a＝2bsinA，
∴sinA＝2sinBsinA.
∵sinA≠0，∴sinB＝，
又0°
答案 D
6．在△ABC中，已知a：b：c＝4：3：5，则＝________.
解析 设a＝4k，b＝3k，c＝5k(k>0)，由正弦定理，得
＝＝1.
答案 1
7．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则边c＝________.
解析 由A＋B＋C＝180°，知C＝30°，
由＝，得c＝＝＝2.
答案 2
8．在△ABC中，若tanA＝，C＝150°，BC＝1，则AB＝________.
解析 ∵tanA＝，∴sinA＝ .
在△ABC中，＝，
∴AB＝·sinC＝×＝.
答案
9．在△ABC中，若A：B：C＝1：2：3，则a?b?c＝________.
解析 由A＋B＋C＝180°及A：B：C＝1:2:3，知A＝180°×＝30°，B＝180°×＝60°，C＝180°×＝90°.
∴a?：b：c＝sin30°：sin60°：sin90°＝：?：1＝1：：2.
答案 1：：2
10．如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，BD交AC于E，AB＝2.
(1)求cos∠CBE的值；
(2)求AE.
解 (1)∵∠BCD＝90°＋60°＝150°，CB＝AC＝CD，
∴∠CBE＝15°.
∴cos∠CBE＝cos15°＝cos(45°－30°)＝.
(2)在△ABE中，AB＝2，
由正弦定理，得
＝，
故AE＝＝＝－.
11．△ABC三边各不相等，角A，B，C的对边分别为a，b，c且acosA＝bcosB，求的取值范围．
解 ∵acosA＝bcosB，∴sinAcosA＝sinBcosB，
∴sin2A＝sin2B.
∵2A,2B∈(0,2π)，∴2A＝2B，或2A＋2B＝π，
∴A＝B，或A＋B＝.
如果A＝B，那么a＝b不合题意，∴A＋B＝.
∴＝＝sinA＋sinB＝sinA＋cosA
＝sin.
∵a≠b，C＝，∴A∈，且A≠，
∴∈(1，)．
12．在△ABC中，sin(C－A)＝1，sinB＝.
(1)求sinA；
(2)设AC＝，求△ABC的面积．
解 (1)∵sin(C－A)＝1，－π∴C－A＝.
∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＋A＋＝π，
∴B＝－2A，∴sinB＝sin＝cos2A＝.
∴1－2sin2A＝.
∴sin2A＝，∴sinA＝.
(2)由(1)知，A为锐角，∴cosA＝，
sinC＝sin＝cosA＝，
由正弦定理得AB＝＝＝6.
S△ABC＝AB·AC·sinA＝×6××＝3.
1．1.1 正弦定理
1．了解正弦定理的推导过程，掌握正弦定理及其变形．
2．能用正弦定理解三角形，并能判断三角形的形状．
1．正弦定理
文字语言[来源:学.科.网]
在一个三角形中，各边和它所对角的______的比相等
图形语言[来源:学。科。网Z。X。X。K]
符号语言
在△ABC中，＝＝______
作用
解三角形、判断三角形的形状等
设△ABC的外接圆的半径为R，则有
＝＝＝2R.
由此还可以推出以下结论：
①a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
②＝，＝，＝；
③＝＝＝；
④a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
⑤sin A＝，sin B＝，sin C＝；
⑥A＜Ba＜b2Rsin A＜2Rsin Bsin A＜sin B.
正弦定理是三角形中的边与角联系的纽带和桥梁，也就是说，能够将三角形中边的关系转化为角之间的关系，也能将角的关系转化为边之间的关系．这是正弦定理的“灵魂”．[来源:学科网]
【做一做1】 在△ABC中，a＝2，b＝3，则＝( )
A. B. C. D．不确定
2．解三角形
一般地，把三角形的三个角和它们的______叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求________的过程叫做解三角形．
利用正弦定理可以解两类三角形：
①已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边和另一角；
②已知三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边的对角的正弦，有解时，进而求出其他的边和角．
【做一做2－1】 在△ABC中，c＝3，A＝45°，C＝60°，则a＝__________.
【做一做2－2】 在△ABC中，a＝2，b＝1，sin A＝，则sin B＝__________.
答案：1．正弦
【做一做1】 B
2．对边 其他元素
【做一做2－1】
【做一做2－2】
确定三角形解的个数
剖析：(1)已知两角与一边，根据正弦定理，有解时，只有一解．
(2)已知两边及其中一边的对角，根据正弦定理，可能有两解、一解或无解．在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况如下：
角A为锐角
角A为钝角或直角
图形
关系式
①a＝bsin A[来源:学科网]
②a≥b
bsin A＜a＜b
a＜bsin A
a＞b
a≤b
解的情况
一解
两解
无解
一解
无解
具体解题时，作出已知角A，边AC，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，与射线AB的公共点(除去顶点A)的个数即为三角形解的个数．
也可以根据三角函数的性质来判断．
由正弦定理，得sin B＝.
当＞1时，则无解；
当＝1时，则有一解；
当0＜＜1时，如果a≥b，即A≥B，则B一定为锐角，则有一解；如果a＜b，即A＜B，则有两解．
题型一 已知两角和一边解三角形
【例题1】 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A＝30°，C＝100°，a＝10，求b，c，B(边长精确到0.01)．
反思：已知三角形的两角和一边时，解三角形的步骤如下：①利用三角形内角和定理求出第三个角；②用正弦定理求出另外两边．
题型二 已知两边和其中一边的对角解三角形
【例题2】 在△ABC中，已知下列条件，解三角形：
(1)a＝10，b＝20，A＝80°；
(2)b＝10，c＝5，C＝60°；
(3)a＝，b＝，B＝45°.
反思：已知两边和其中一边的对角解三角形的步骤：①利用正弦定理求出另一角的正弦值m，若m＞1，则此三角形无解(如本题(1))，若0＜m≤1，则执行下一步；②借助于三角形的内角范围和m来确定该内角的大小；③分类讨论该内角的大小，先用三角形的内角和定理求出第三个角，再用正弦定理求出第三边，此时可能无解，或仅有一解(如本题(2))，或有两解(如本题(3))．
此类题目也可先确定三角形解的个数，再解三角形．
题型三 判断三角形的形状
【例题3】 已知△ABC中，bsin B＝csin C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断三角形的形状．
分析：设＝＝＝2R，再利用sin A＝，sin B＝，sin C＝将角的关系化为边之间的关系．
反思：(1)要判断三角形的形状，必须深入研究边与边的大小关系：是否两边相等？是否三边相等？是否符合勾股定理？还要研究角与角的大小关系：是否两个角相等？是否三个角相等？有无直角或钝角？
(2)解此类题的思想方法是：从条件出发，利用正弦定理等进行代换、转化、化简、运算，发现边与边的关系或角与角的关系，从而作出正确判断．
(3)一般有两种转化方向：①角转化为边，②边转化为角．
答案：【例题1】 解：∵A＋B＋C＝180°，
∴B＝180°－A－C＝50°.
由正弦定理，可知b＝＝≈15.32，
c＝＝≈19.70.
【例题2】 解：(1)由正弦定理，得sin B＝＝＝2sin 80°＞1，故此三角形无解．
(2)由正弦定理，得sin B＝＝＝.
∵0°＜B＜180°，∴B＝45°或135°.
当B＝45°时，A＝180°－(B＋C)＝180°－(45°＋60°)＝75°，
∴a＝＝＝＝5(＋1)．
当B＝135°时，A＝180°－(B＋C)＝－15°＜0°，
∴此时无解．
故B＝45°，A＝75°，a＝5(＋1)．
(3)由正弦定理，
得sin A＝＝＝.
又∵0°＜A＜180°，
∴A＝60°或120°.
当A＝60°时，C＝75°，
∴c＝＝＝；
当A＝120°时，C＝15°，
∴c＝＝＝.
∴A＝60°，C＝75°，c＝或A＝120°，C＝15°，c＝.
【例题3】 解：由正弦定理，设＝＝＝2R，
从而得sin A＝，sin B＝，sin C＝.
∵bsin B＝csin C，sin2A＝sin2B＋sin2C，
∴b·＝c·，2＝2＋2，
∴b2＝c2，a2＝b2＋c2，
∴b＝c，A＝90°.
∴△ABC为等腰直角三角形．
1在△ABC中，A＝60°，a＝，b＝，则B等于( )
A．45°或135° B．135°
C．45° D．以上答案都不对
2已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝，A＋C＝2B，则sin A＝__________.
3在△ABC中，a，b分别是△ABC的内角A，B所对的边．若B＝45°，b＝，则C＝__________.
4在△ABC中，a＝5，B＝45°，C＝105°，求边c.
5在△ABC中，若，判断△ABC的形状．
答案：1．C 2. 3.105°
4．解：由三角形内角和定理，知A＋B＋C＝180°，
∴A＝180°－(B＋C)＝180°－(45°＋105°)＝30°.
由正弦定理，
得c＝
＝
＝
＝．
5．解：设a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，则有[来源:学科网ZXXK]
，
得，
即tan A＝tan B＝tan C.
又A，B，C∈(0，π)，
则A＝B＝C.故△ABC是等边三角形．
1．1.1 正弦定理
1．了解正弦定理的推导过程，掌握正弦定理及其变形．
2．能用正弦定理解三角形，并能判断三角形的形状．
1．正弦定理
文字语言[来源:学.科.网]
在一个三角形中，各边和它所对角的______的比相等
图形语言[来源:学。科。网Z。X。X。K]
符号语言
在△ABC中，＝＝______
作用
解三角形、判断三角形的形状等
设△ABC的外接圆的半径为R，则有
＝＝＝2R.
由此还可以推出以下结论：
①a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
②＝，＝，＝；
③＝＝＝；
④a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
⑤sin A＝，sin B＝，sin C＝；
⑥A＜Ba＜b2Rsin A＜2Rsin Bsin A＜sin B.
正弦定理是三角形中的边与角联系的纽带和桥梁，也就是说，能够将三角形中边的关系转化为角之间的关系，也能将角的关系转化为边之间的关系．这是正弦定理的“灵魂”．[来源:学科网]
【做一做1】 在△ABC中，a＝2，b＝3，则＝( )
A. B. C. D．不确定
2．解三角形
一般地，把三角形的三个角和它们的______叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求________的过程叫做解三角形．
利用正弦定理可以解两类三角形：
①已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边和另一角；
②已知三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边的对角的正弦，有解时，进而求出其他的边和角．
【做一做2－1】 在△ABC中，c＝3，A＝45°，C＝60°，则a＝__________.
【做一做2－2】 在△ABC中，a＝2，b＝1，sin A＝，则sin B＝__________.
答案：1．正弦
【做一做1】 B
2．对边 其他元素
【做一做2－1】
【做一做2－2】
确定三角形解的个数
剖析：(1)已知两角与一边，根据正弦定理，有解时，只有一解．
(2)已知两边及其中一边的对角，根据正弦定理，可能有两解、一解或无解．在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况如下：
角A为锐角
角A为钝角或直角
图形
关系式
①a＝bsin A[来源:学科网]
②a≥b
bsin A＜a＜b
a＜bsin A
a＞b
a≤b
解的情况
一解
两解
无解
一解
无解
具体解题时，作出已知角A，边AC，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，与射线AB的公共点(除去顶点A)的个数即为三角形解的个数．
也可以根据三角函数的性质来判断．
由正弦定理，得sin B＝.
当＞1时，则无解；
当＝1时，则有一解；
当0＜＜1时，如果a≥b，即A≥B，则B一定为锐角，则有一解；如果a＜b，即A＜B，则有两解．
题型一 已知两角和一边解三角形
【例题1】 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A＝30°，C＝100°，a＝10，求b，c，B(边长精确到0.01)．
反思：已知三角形的两角和一边时，解三角形的步骤如下：①利用三角形内角和定理求出第三个角；②用正弦定理求出另外两边．
题型二 已知两边和其中一边的对角解三角形
【例题2】 在△ABC中，已知下列条件，解三角形：
(1)a＝10，b＝20，A＝80°；
(2)b＝10，c＝5，C＝60°；
(3)a＝，b＝，B＝45°.
反思：已知两边和其中一边的对角解三角形的步骤：①利用正弦定理求出另一角的正弦值m，若m＞1，则此三角形无解(如本题(1))，若0＜m≤1，则执行下一步；②借助于三角形的内角范围和m来确定该内角的大小；③分类讨论该内角的大小，先用三角形的内角和定理求出第三个角，再用正弦定理求出第三边，此时可能无解，或仅有一解(如本题(2))，或有两解(如本题(3))．
此类题目也可先确定三角形解的个数，再解三角形．
题型三 判断三角形的形状
【例题3】 已知△ABC中，bsin B＝csin C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断三角形的形状．
分析：设＝＝＝2R，再利用sin A＝，sin B＝，sin C＝将角的关系化为边之间的关系．
反思：(1)要判断三角形的形状，必须深入研究边与边的大小关系：是否两边相等？是否三边相等？是否符合勾股定理？还要研究角与角的大小关系：是否两个角相等？是否三个角相等？有无直角或钝角？
(2)解此类题的思想方法是：从条件出发，利用正弦定理等进行代换、转化、化简、运算，发现边与边的关系或角与角的关系，从而作出正确判断．
(3)一般有两种转化方向：①角转化为边，②边转化为角．
答案：【例题1】 解：∵A＋B＋C＝180°，
∴B＝180°－A－C＝50°.
由正弦定理，可知b＝＝≈15.32，
c＝＝≈19.70.
【例题2】 解：(1)由正弦定理，得sin B＝＝＝2sin 80°＞1，故此三角形无解．
(2)由正弦定理，得sin B＝＝＝.
∵0°＜B＜180°，∴B＝45°或135°.
当B＝45°时，A＝180°－(B＋C)＝180°－(45°＋60°)＝75°，
∴a＝＝＝＝5(＋1)．
当B＝135°时，A＝180°－(B＋C)＝－15°＜0°，
∴此时无解．
故B＝45°，A＝75°，a＝5(＋1)．
(3)由正弦定理，
得sin A＝＝＝.
又∵0°＜A＜180°，
∴A＝60°或120°.
当A＝60°时，C＝75°，
∴c＝＝＝；
当A＝120°时，C＝15°，
∴c＝＝＝.
∴A＝60°，C＝75°，c＝或A＝120°，C＝15°，c＝.
【例题3】 解：由正弦定理，设＝＝＝2R，
从而得sin A＝，sin B＝，sin C＝.
∵bsin B＝csin C，sin2A＝sin2B＋sin2C，
∴b·＝c·，2＝2＋2，
∴b2＝c2，a2＝b2＋c2，
∴b＝c，A＝90°.
∴△ABC为等腰直角三角形．
1在△ABC中，A＝60°，a＝，b＝，则B等于( )
A．45°或135° B．135°
C．45° D．以上答案都不对
2已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝，A＋C＝2B，则sin A＝__________.
3在△ABC中，a，b分别是△ABC的内角A，B所对的边．若B＝45°，b＝，则C＝__________.
4在△ABC中，a＝5，B＝45°，C＝105°，求边c.
5在△ABC中，若，判断△ABC的形状．
答案：1．C 2. 3.105°
4．解：由三角形内角和定理，知A＋B＋C＝180°，
∴A＝180°－(B＋C)＝180°－(45°＋105°)＝30°.
由正弦定理，
得c＝
＝
＝
＝．
5．解：设a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，则有[来源:学科网ZXXK]
，
得，
即tan A＝tan B＝tan C.
又A，B，C∈(0，π)，
则A＝B＝C.故△ABC是等边三角形．
第一章 解三角形
§1.1 正弦定理和余弦定理
1．1.1 正弦定理(一)
课时目标
1．熟记正弦定理的内容；
2．能够初步运用正弦定理解斜三角形．
1．在△ABC中，A＋B＋C＝π，＋＋＝.
2．在Rt△ABC中，C＝，则＝sin_A，＝sin_B.
3．一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．
4．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝＝，这个比值是三角形外接圆的直径2R.
一、选择题
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若A∶B∶C＝1∶2∶3，则
a∶b∶c等于( )
A．1∶2∶3 B．2∶3∶4
C．3∶4∶5 D．1∶∶2
答案 D
2．若△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，则边b的值为( )
A.＋1 B．2＋1
C．2 D．2＋2
答案 C
解析 由正弦定理＝，
得＝，∴b＝2.
3．在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin2C，则△ABC为( )
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等边三角形 D．等腰三角形
答案 A
解析 sin2A＝sin2B＋sin2C?(2R)2sin2A＝(2R)2sin2B＋(2R)2sin2C，即a2＝b2＋c2，由勾股定理的逆定理得△ABC为直角三角形．
4．在△ABC中，若sin A>sin B，则角A与角B的大小关系为( )
A．A>B B．AC．A≥B D．A，B的大小关系不能确定
答案 A
解析 由sin A>sin B?2Rsin A>2Rsin B?a>b?A>B.
5．在△ABC中，A＝60°，a＝，b＝，则B等于( )
A．45°或135° B．60°
C．45° D．135°
答案 C
解析 由＝得sin B＝
＝＝.
∵a>b，∴A>B，B<60°
∴B＝45°.
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果c＝a，B＝30°，那么角C等于( )
A．120° B．105° C．90° D．75°
答案 A
解析 ∵c＝a，∴sin C＝sin A＝sin(180°－30°－C)
＝sin(30°＋C)＝，
即sin C＝－cos C.
∴tan C＝－.
又C∈(0°，180°)，∴C＝120°.
二、填空题
7．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则C＝_________.
答案 75°
解析 由正弦定理得＝，∴sin A＝.
∵BC＝2∴C＝75°.
8．在△ABC中，若tan A＝，C＝150°，BC＝1，则AB＝________.
答案
解析 ∵tan A＝，A∈(0°，180°)，∴sin A＝.
由正弦定理知＝，
∴AB＝＝＝.
9．在△ABC中，b＝1，c＝，C＝，则a＝________.
答案 1
解析 由正弦定理，得
＝，
∴sin B＝.∵C为钝角，
∴B必为锐角，∴B＝，
∴A＝.
∴a＝b＝1.
10．在△ABC中，已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若b＝2a，B＝A＋60°，则A＝______.
答案 30°
解析 ∵b＝2a∴sin B＝2sin A，又∵B＝A＋60°，
∴sin(A＋60°)＝2sin A
即sin Acos 60°＋cos Asin 60°＝2sin A，
化简得：sin A＝cos A，∴tan A＝，∴A＝30°.
三、解答题
11．在△ABC中，已知a＝2，A＝30°，B＝45°，解三角形．
解 ∵＝＝，
∴b＝＝＝＝4.
∵C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋45°)＝105°，
∴c＝＝＝＝2＋2.
12．在△ABC中，已知a＝2，b＝6，A＝30°，解三角形．
解 a＝2，b＝6，a又因为bsin A＝6sin 30°＝3，a>bsin A，
所以本题有两解，由正弦定理得：
sin B＝＝＝，故B＝60°或120°.
当B＝60°时，C＝90°，c＝＝4；
当B＝120°时，C＝30°，c＝a＝2.
所以B＝60°，C＝90°，c＝4或B＝120°，C＝30°，c＝2.
能力提升
13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若a＝，b＝2，sin B＋cos B＝，则角A的大小为________．
答案
解析 ∵sin B＋cos B＝sin(＋B)＝.
∴sin(＋B)＝1.
又0由正弦定理，得sin A＝＝＝.
又a14．在锐角三角形ABC中，A＝2B，a，b，c所对的角分别为A，B，C，求的取值范围．
解 在锐角三角形ABC中，A，B，C<90°，
即∴30°由正弦定理知：＝＝＝2cos B∈(，)，
故的取值范围是(，)．
1．利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题：
(1)已知两角和任一边，求其它两边和一角．
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．
2．已知两边和其中一边的对角，求第三边和其它两个角，这时三角形解的情况比较复杂，可能无解，可能一解或两解．例如：已知a、b和A，用正弦定理求B时的各种情况.
A为锐角
aa＝bsin A
bsin A
a≥b
无解
一解(直角)
两解(一锐角，
一钝角)
一解(锐角)
A为直角
或钝角
a≤b
a>b
无解
一解(锐角)
1.1.1 正弦定理(二)
课时目标
1．熟记正弦定理的有关变形公式；
2．能够运用正弦定理进行简单的推理与证明．
1．正弦定理：＝＝＝2R的常见变形：
(1)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；
(2)＝＝＝＝2R；
(3)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
(4)sin A＝，sin B＝，sin C＝.
2．三角形面积公式：S＝absin C＝bcsin A＝casin B.
一、选择题
1．在△ABC中，sin A＝sin B，则△ABC是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
答案 D
2．在△ABC中，若＝＝，则△ABC是( )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
答案 B
解析 由正弦定理知：＝＝，
∴tan A＝tan B＝tan C，∴A＝B＝C.
3．在△ABC中，sin A＝，a＝10，则边长c的取值范围是( )
A. B．(10，＋∞)
C．(0,10) D.
答案 D
解析 ∵＝＝，∴c＝sin C.
∴04．在△ABC中，a＝2bcos C，则这个三角形一定是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
答案 A
解析 由a＝2bcos C得，sin A＝2sin Bcos C，
∴sin(B＋C)＝2sin Bcos C，
∴sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C，
∴sin(B－C)＝0，∴B＝C.
5．在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则sin A∶sin B∶sin C等于( )
A．6∶5∶4 B．7∶5∶3
C．3∶5∶7 D．4∶5∶6
答案 B
解析 ∵(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，
∴＝＝.
令＝＝＝k (k>0)，
则，解得.
∴sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝7∶5∶3.
6．已知三角形面积为，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为( )
A．1 B．2
C. D．4
答案 A
解析 设三角形外接圆半径为R，则由πR2＝π，
得R＝1，由S△＝absin C＝＝＝，∴abc＝1.
二、填空题
7．在△ABC中，已知a＝3，cos C＝，S△ABC＝4，则b＝________.
答案 2
解析 ∵cos C＝，∴sin C＝，
∴absin C＝4，∴b＝2.
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝60°，a＝，b＝1，则c＝________.
答案 2
解析 由正弦定理＝，得＝，
∴sin B＝，故B＝30°或150°.由a>b，
得A>B，∴B＝30°，故C＝90°，
由勾股定理得c＝2.
9．在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则＋＋＝________.
答案 7
解析 ∵△ABC的外接圆直径为2R＝2，
∴＝＝＝2R＝2，
∴＋＋＝2＋1＋4＝7.
10．在△ABC中，A＝60°，a＝6，b＝12，S△ABC＝18，则＝________，c＝________.
答案 12 6
解析 ＝＝＝12.
∵S△ABC＝absin C＝×6×12sin C＝18，
∴sin C＝，∴＝＝12，∴c＝6.
三、解答题
11．在△ABC中，求证：＝.
证明 因为在△ABC中，＝＝＝2R，
所以左边＝
＝＝＝＝右边．
所以等式成立，即＝.
12．在△ABC中，已知a2tan B＝b2tan A，试判断△ABC的形状．
解 设三角形外接圆半径为R，则a2tan B＝b2tan A
?＝
?＝
?sin Acos A＝sin Bcos B
?sin 2A＝sin 2B
?2A＝2B或2A＋2B＝π
?A＝B或A＋B＝.
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
能力提升
13．在△ABC中，B＝60°，最大边与最小边之比为(＋1)∶2，则最大角为( )
A．45° B．60° C．75° D．90°
答案 C
解析 设C为最大角，则A为最小角，则A＋C＝120°，
∴＝
＝
＝＋＝＝＋，
∴tan A＝1，A＝45°，C＝75°.
14．在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若a＝2，C＝，
cos ＝，求△ABC的面积S.
解 cos B＝2cos2 －1＝，
故B为锐角，sin B＝.
所以sin A＝sin(π－B－C)＝sin＝.
由正弦定理得c＝＝，
所以S△ABC＝acsin B＝×2××＝.
1．在△ABC中，有以下结论：
(1)A＋B＋C＝π；
(2)sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C；
(3)＋＝；
(4)sin ＝cos ，cos ＝sin ，tan ＝.
2．借助正弦定理可以进行三角形中边角关系的互化，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明．
课件27张PPT。正弦定理复习三角形中的边角关系1、角的关系
2、边的关系
3、边角关系大角对大边，小边对小角（一）三角形中的边角关系（二）直角三角形中的边角关系 （角C为直角） 1、角的关系
2、边的关系
3、边角关系探索：直角三角形的边角关系式对任意三角形是否成立？正弦定理及其应用1、正弦定理形式的提出正弦定理的推导： 证明：如图，圆⊙O为△ABC的外接圆，
BD为直径, 则 ∠A=∠D,证明：类似可推出，三角形为钝角三角形时，以上关系式仍然成立．2、正弦定理的向量证明想一想：如何用向量法证明正弦定理？BA在Y轴上的投影为CA在Y轴上的投影为公式变形式：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinCa:b:c=sinA:sinB:sinC利用正弦定理可以实现边角互化，可以解决以下两类问题：1、已知两角和任一边，求其它两边和一角。AAS2、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。SSA(从而进一步求出其他的边和角，包括解的个数的讨论问题)例1. 在△ABC中，已知c=10，A=45o ，C=30o，求a , b和B.随堂练习DCA解：由正弦定理：为什么有两解的情况？A是锐角时知识归纳①已知两角及一边解三角形一定只有一解。 ②已知两边及一边的对角解三角形，可能无解、absinA时若b>a时两解，b≦a时一解A为直角或钝角时a>b时有一解，一解或两解。a≦b时无解。4、在△ABC中，“A=B”是“sinA=sinB”的___条件。
A、充分不必要 B、必要不充分
C、充分必要 D、不充分也不必要C5、在△ABC中，a=18,b=20,A=150o,则满足此条件的三角形的个数是
A、0 B、1 C、2 D、无数个AB例4 在三角形ABC中已知
试判断三角形ABC的形状．C3或6课堂小结：作用：1）已知两角和任一边，求其他两边和一角。2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角3）可以进行边角之间的互化。注意：已知两边和其中一边的对角，求解三角形时,要注意解的取舍。又A=30o, B=45o,所以C=105o例3、已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，先判断三角形是否有解？有解的作出解答。B=60o或120o, 当B=60o时，C=90o.当B=120o时，C=30o.∵b>a,∴B>A=45o,∴有两解B=60o或120o（例2变式）所以此三角形为等腰直角三角形形状。所以三角形ABC是等腰三角形或直角三角形。练习：CD正弦定理练习：∴ 等式成立正弦定理课后作业（2）在 中，若 ，则 的形状．