1.1.2余弦定理（二）
一、教学目标
1．知识与技能:掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
2. 过程与方法:通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。
3.情态与价值：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。
二、教学重、难点
重点：在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
难点：正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。
四、教学设想
[复习引入] 余弦定理及基本作用
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边
②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
练习]1。教材P8面第2题
2．在ABC中，若，求角A（答案：A=120）
思考。解三角形问题可以分为几种类型？分别怎样求解的？求解三角形一定要知道一边吗？
（1）已知三角形的任意两边与其中一边的对角； 例如
（先由正弦定理求B，由三角形内角和求C，再由正、余弦定理求C边）
（2）已知三角形的任意两角及其一边； 例如
（先由三角形内角和求角C，正弦定理求a、b）
（3）已知三角形的任意两边及它们的夹角； 例如
（先由余弦定理求C边，再由正、余弦定理求角A、B）
（4）已知三角形的三条边。 例如
（先由余弦定理求最大边所对的角）
[探索研究]
例1．在中，已知下列条件解三角形
（1），，（一解） （2），，（一解）
（3），，（二解） （4），，（一解）
（5），，（无解）
分析：先由可进一步求出B；则 从而
归纳：（1）如果已知的A是直角或钝角，a＞b，只有一解；
（2）如果已知的A是锐角，a＞b，或a=b，只有一解；
（3）如果已知的A是锐角，a＜b，
1、，有二解；
2、，只有一解；
3、，无解。
评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且
时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。
[随堂练习1]
（1）在ABC中，已知，，，试判断此三角形的解的情况。
（2）在ABC中，若，，，则符合题意的b的值有_____个。
（3）在ABC中，，，，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。
（ 答案：（1）有两解；（2）0；（3））
例2．在ABC中，已知，，，判断ABC的类型。
分析：由余弦定理可知
解：，即， ∴。
[随堂练习2]
（1）在ABC中，已知，判断ABC的类型。
（2）已知ABC满足条件，判断ABC的类型。
（答案：（1）；（2）ABC是等腰或直角三角形）
例3．在ABC中，，，面积为，求的值
分析：可利用三角形面积定理以及正弦定理
解：由得， 则=3，即，
从而
[随堂练习3]
（1）在ABC中，若，，且此三角形的面积，求角C
（2）在ABC中，其三边分别为a、b、c，且三角形的面积，求角C
（答案：（1）或；（2））
[课堂小结]
（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
（2）三角形各种类型的判定方法；
（3）三角形面积定理的应用。
五、作业（课时作业）
（1）在ABC中，已知，，，试判断此三角形的解的情况。
（2）设x、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，求实数x的取值范围。
（3）在ABC中，，，，判断ABC的形状。
（4）三角形的两边分别为3cm，5cm,它们所夹的角的余弦为方程的根，
求这个三角形的面积。
课件28张PPT。1.1.2余弦定理(二)复习引入①已知三角形的任意两边及它们的夹角
就可以求出第三边.余弦定理及基本作用 复习引入余弦定理及基本作用 ①已知三角形的任意两边及它们的夹角
就可以求出第三边.复习引入余弦定理及基本作用 ②已知三角形的三条边就可以求出其它角.复习引入②已知三角形的三条边就可以求出其它角.余弦定理及基本作用 练习：1. 教材P. 8练习第2题.2. 在△ABC中，若a2＝b2 ＋c2 ＋bc，
求角A.思考: 解三角形问题可以分为几种类型？
分别怎样求解的？
思考: 解三角形问题可以分为几种类型？
分别怎样求解的？
(1)已知三角形的任意两边与其中一边的
对角，例如a＝12， b＝5， A＝120o； 思考:(2)已知三角形的任意两角及其一边，
例如A＝70o，B＝50o，a＝10； (1)已知三角形的任意两边与其中一边的
对角，例如a＝12， b＝5， A＝120o； 解三角形问题可以分为几种类型？
分别怎样求解的？
思考:(3)已知三角形的任意两边及它们的夹
角，例如a＝12， b＝13， C＝50o； 解三角形问题可以分为几种类型？
分别怎样求解的？
思考:(3)已知三角形的任意两边及它们的夹
角，例如a＝12， b＝13， C＝50o； (4)已知三角形的三条边，例如a＝10，
b＝12，c＝9. 解三角形问题可以分为几种类型？
分别怎样求解的？
思考: 解三角形问题可以分为几种类型？
分别怎样求解的？求解三角形一定要
知道一边吗？(3)已知三角形的任意两边及它们的夹
角，例如a＝12， b＝13， C＝50o； (4)已知三角形的三条边，例如a＝10，
b＝12，c＝9. 讲解范例：例1.在△ABC中，已知下列条件解三角形.(1) A＝30o，a＝10，b＝20；
(2) A＝30o，a＝10，b＝6；
(3) A＝30o，a＝10，b＝15；
(4) A＝120o，a＝10，b＝5；
(5) A＝120o，a＝10，b＝15.讲解范例：例1.在△ABC中，已知下列条件解三角形.(1) A＝30o，a＝10，b＝20；
(2) A＝30o，a＝10，b＝6；
(3) A＝30o，a＝10，b＝15；
(4) A＝120o，a＝10，b＝5；
(5) A＝120o，a＝10，b＝15.一解 讲解范例：例1.在△ABC中，已知下列条件解三角形.(1) A＝30o，a＝10，b＝20；
(2) A＝30o，a＝10，b＝6；
(3) A＝30o，a＝10，b＝15；
(4) A＝120o，a＝10，b＝5；
(5) A＝120o，a＝10，b＝15.一解 一解 讲解范例：例1.在△ABC中，已知下列条件解三角形.(1) A＝30o，a＝10，b＝20；
(2) A＝30o，a＝10，b＝6；
(3) A＝30o，a＝10，b＝15；
(4) A＝120o，a＝10，b＝5；
(5) A＝120o，a＝10，b＝15.一解 一解 二解 讲解范例：例1.在△ABC中，已知下列条件解三角形.(1) A＝30o，a＝10，b＝20；
(2) A＝30o，a＝10，b＝6；
(3) A＝30o，a＝10，b＝15；
(4) A＝120o，a＝10，b＝5；
(5) A＝120o，a＝10，b＝15.一解 一解 二解 一解 讲解范例：例1.在△ABC中，已知下列条件解三角形.(1) A＝30o，a＝10，b＝20；
(2) A＝30o，a＝10，b＝6；
(3) A＝30o，a＝10，b＝15；
(4) A＝120o，a＝10，b＝5；
(5) A＝120o，a＝10，b＝15.一解 一解 二解 一解 无解 归纳：1. 如果已知的A是直角或钝角，a＞b，
只有一解；
归纳：1. 如果已知的A是直角或钝角，a＞b，
只有一解；
2. 如果已知的A是锐角，a＞b，或a=b，
只有一解；
归纳：1. 如果已知的A是直角或钝角，a＞b，
只有一解；
2. 如果已知的A是锐角，a＞b，或a=b，
只有一解；
3. 如果已知的A是锐角，a＜b，(1) a＞bsinA，有二解；
(2) a＝bsinA，只有一解；
(3) a＜bsinA，无解.练习： 在△ABC中, a＝80, b＝100, ∠A＝45o,
试判断此三角形的解的情况.(2) 在△ABC中, 若a＝1, c＝ ∠C＝40o,
则符合题意的b的值有_____个.(3) 在△ABC中, a＝xcm,b＝2cm,∠B＝45o,
如果利用正弦定理解三角形有两解, 求x的
取值范围.讲解范例：例2.在△ABC中，已知a＝7，b＝5，c＝3，
判断△ABC的类型.练习：在△ABC中, 已知sinA:sinB:sinC＝1:2:3,
判断此△ABC的类型.(2)已知△ABC满足条件acosA＝bcosB, 判
断△ABC的类型.讲解范例：例3.在△ABC中，A＝60o，b＝1，面积
为练习： 在△ABC中，若a＝55，b＝16，且此三
角形的面积为S＝ , 求角C.(2) 在△ABC中，其三边分别为a、b、c，
且三角形的面积形S＝ 求角C.课堂小结1. 在已知三角形的两边及其中一边的对
角解三角形时，有两解或一解或无解
等情形；
2. 三角形各种类型的判定方法；
3. 三角形面积定理的应用.湖南省长沙市一中卫星远程学校课后作业：1. 在△ABC中, 已知b＝4, c＝10, B＝30o,
试判断此三角形的解的情况.2. 设x、x＋1、x＋2是钝角三角形的三边
长，求实数x的取值范围.3. 在△ABC中, A＝60o, a＝1, b＋c＝2, 判
断△ABC的形状.4. 三角形的两边分别为3cm，5cm,它们所
夹的角的余弦为方程5x2－7x－6＝0的根，
求这个三角形的面积.双基限时练(二)
1．在△ABC中，a2＋b2
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
解析 由a2＋b2又0答案 B
2．在△ABC中，已知a2＋b2－c2＝ab，则C＝( )
A．60° B．120°
C．30° D．45°或135°
解析 由cosC＝＝＝，
又0°答案 A
3．在△ABC中，a：b：c＝3：5：7，则△ABC的最大角是( )
A．30° B．60°
C．90° D．120°
解析 由a：b：c＝3：5：7，知最大边为c，
∴最大角为C，设a＝3k，b＝5k，c＝7k(k>0)，则cosC＝＝－，又0°答案 D
4．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则这个三角形是( )
A．不等边三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．直角三角形
解析 由b2＝ac及余弦定理，得
b2＝a2＋c2－2accos60°，
即ac＝a2＋c2－ac，
∴(a－c)2＝0，∴a＝c，又B＝60°，
∴△ABC为等边三角形．
答案 B
5．△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，CA＝6，则·的值为( )
A．19 B．14
C．－18 D．－19
解析 由余弦定理，得cosB＝
＝＝.
∴·＝||||cos〈，〉＝7×5×＝－19.
答案 D
6．在△ABC中，已知a，b是方程x2－5x＋2＝0的两根，C＝120°，则边c＝____________.
解析 由韦达定理，得a＋b＝5，ab＝2.
由(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab，
得a2＋b2＝52－2×2＝21.
∴c2＝a2＋b2－2abcos120°＝23.
∴c＝.
答案
7．在△ABC中，若a＝7，b＝8，cosC＝，则最大角的余弦值为____________．
解析 c2＝a2＋b2－2abcosC＝72＋82－2×7×8×＝9.
∴c＝3，因此最大角为B，由余弦定理，得
cosB＝＝－.
答案 －
8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝，c＝，则B＝__________.
解析 由余弦定理，得
cosB＝＝＝－，∴B＝.
答案
9．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(a＋b＋c)(a＋b－c)＝ab，则角C＝________.
解析 由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝ab，
得(a＋b)2－c2＝ab，即
a2＋b2－c2＝－ab.
由余弦定理，得
cosC＝＝－.∴c＝.
答案
10．在△ABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，判断△ABC的形状．
解 由余弦定理，知cosB＝＝＝－.
在△ABC中，0°∴△ABC为钝角三角形．
11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2b·cosA＝c·cosA＋a·cosC.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝，b＋c＝4，求bc的值．
解 (1)根据正弦定理及2b·cosA＝c·cosA＋a·cosC，
得2sinBcosA＝sinCcosA＋sinAcosC＝sin(A＋C)＝sinB.
∵sinB≠0，∴cosA＝.
∵0(2)根据余弦定理得
7＝a2＝b2＋c2－2bccos＝(b＋c)2－3bc，
∵b＋c＝4，∴bc＝3.
12．在△ABC中，m＝，
n＝，且m与n的夹角为.
(1)求C；
(2)已知c＝，三角形面积S＝，求a＋b.
解 (1)∵m＝(cos，sin)，
n＝(cos，－sin)，
∴m·n＝cos2－sin2＝cosC.
又m·n＝|m|·|n|cos＝，
∴cosC＝.又0∴C＝.
(2)∵c2＝a2＋b2－2abcosC，c＝，
∴＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab.
∵S＝absinC＝absin＝ab，
而S＝，∴ab＝6.
∴(a＋b)2＝＋3ab＝＋18＝.
∴a＋b＝.
1.1.2 余弦定理
1．了解余弦定理的推导过程，掌握余弦定理及其推论．
2．能利用余弦定理解三角形，并判断三角形的形状．
余弦定理
文字语言
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和______这两边与它们的夹角的余弦的积的____倍
图形语言
符号语言
在△ABC中，
a2＝b2＋c2－2bccos A，
b2＝c2＋a2－2accos B，
c2＝__________
推论
在△ABC中，
cos A＝，
cos B＝，
cos C＝____________
作用
解三角形、判断三角形的形状等
(1)余弦定理中包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，便可求得第四个量，即“知三求一”．
(2)余弦定理适用的题型：
①已知三边求三角，用余弦定理，有解时只有一解；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他的角，用余弦定理，必有一解．
(3)余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，是解三角形的重要工具．[来源:学科网]
【做一做1】 在△ABC中，a＝4，b＝4，C＝30°，则c2等于( )
A．32－16 B．32＋16
C．16 D．48
【做一做2】 在△ABC中，a＝2，b＝5，c＝6，则cos B等于( )．
A. B. C. D．－
答案：减去 两 a2＋b2－2abcos C
【做一做1】 A
【做一做2】 A cos B＝＝.
1．确定三角形中三个内角的范围
剖析：由余弦定理，可得在△ABC中，cos A＝.
若A为锐角，则cos A＞0，有b2＋c2－a2＞0，即b2＋c2＞a2；若A为直角，则cos A＝0，有b2＋c2－a2＝0，即b2＋c2＝a2；若A为钝角，则cos A＜0，有b2＋c2－a2＜0，即b2＋c2＜a2.由此可得到一个在解选择题和填空题时经常用到的结论：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角为直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．
2．利用正弦定理、余弦定理求角的区别[来源:学科网ZXXK]
剖析：如表所示．
[来源:学,科,网]
余弦定理
正弦定理
相同点
先求某种三角函数值再求角
不同点
条件
已知三边
已知两边一角[来源:Z#xx#k.Com]
依据
cos A＝等
sin A＝等
求角
解方程cos A＝m，A∈(0，π)
解方程sin A＝m，A∈(0，π)
检验
y＝cos x在(0，π)上为减函数，解方程所得的解唯一
y＝sin x在(0，π)上先增后减，解方程可能产生增根，需检验
题型一 已知两边及夹角，解三角形
【例题1】 在△ABC中，已知a＝2，b＝2，C＝15°，解三角形．
分析：思路一：可先用余弦定理求边c，再用正弦定理求角A.
思路二：可先用余弦定理求边c，再用余弦定理的推论求角A.
反思：已知两边及其夹角解三角形(此时有唯一解)的步骤：
方法一：
①利用余弦定理求出第三边；
②利用正弦定理求出另外一个角；
③利用三角形内角和定理求出第三个角．
方法二：
①利用余弦定理求出第三边；
②利用余弦定理的推论求出另外一个角；
③利用三角形内角和定理求出第三个角．
此时方法一中②通常需要分类讨论，因此建议应用方法二解三角形．
题型二 已知三边，解三角形
【例题2】 在△ABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，解三角形．(精确到1°)
分析：已知三边求三角，用余弦定理的推论，如用cos A＝求解．
反思：已知三边解三角形的步骤：
①分别用余弦定理的推论求出两个角；
②用三角形内角和定理求出第三个角．
题型三 已知两边及一边的对角，解三角形
【例题3】 在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，求边a的长．
反思：用正弦定理解三角形时要注意解的个数，往往需要讨论边角关系，而用余弦定理求角时，结果是钝角、直角还是锐角从余弦值的正负情况便可以判断出来；如果求边则类似于本题，一般可借助一元二次方程求解，它的正根的个数即是三角形解的个数．特别地，已知两边及一边的对角解三角形，往往利用余弦定理建立等量关系，利用方程解决较方便，如本题解法二．
题型四 判定三角形的形状
【例题4】 在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos Bcos C，试判断△ABC的形状．
分析：思路一，利用正弦定理将已知等式化为角的关系；思路二，利用余弦定理将已知等式化为边的关系．
反思：判定三角形的形状，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形等，要注意“等腰直角三角形”与“等腰或直角三角形”的区别．依据边角关系判断时，主要有两条途径：
①利用正弦定理转化为内角三角函数间的关系，通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，这时要注意使用A＋B＋C＝π这个结论．如本题解法一．
②利用余弦定理转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．如本题解法二．
在两种解法的等式变形中，一般两边不要随意约去公因式，应移项提取出公因式，以免漏解．
题型五 易错辨析
【例题5】 在钝角三角形ABC中，a＝1，b＝2，c＝t，且C是最大角，则t的取值范围是__________．
错解：∵△ABC是钝角三角形且C是最大角，∴C＞90°，
∴cos C＜0.∴cos C＝＜0，
∴a2＋b2－c2＜0，即1＋4－t2＜0.
∴t2＞5.又t＞0，∴t＞，
即t的取值范围为(，＋∞)．
错因分析：错解忽略了两边之和大于第三边，即a＋b＞c这个隐含条件，导致t的取值范围变大．
反思：解题时，容易忽略三角形的三边满足两边之和大于第三边，从而使某些字母的取值范围变大．
答案：【例题1】 解法一：cos 15°＝cos(45°－30°)＝，
sin 15°＝sin(45°－30°)＝.
由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝4＋8－2×(＋)＝8－4，∴c＝－.
由正弦定理，得sin A＝sin C＝×＝.
又0°＜A＜180°，∴A＝30°或150°.
又b＞a，∴B＞A，∴角A为锐角，
∴A＝30°.∴B＝180°－(A＋C)＝135°.
解法二：cos 15°＝cos(45°－30°)＝，
由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝4＋8－2×(＋)＝8－4，∴c＝－.
∴cos A＝＝.
又0°＜A＜180°，∴A＝30°.
∴B＝180°－(A＋C)＝135°.
【例题2】 解：cos A＝＝＝0.725，
∴A≈44°.
cos C＝＝≈0.807 1，
∴C≈36°.
∴B＝180°－(A＋C)≈180°－(44°＋36°)＝100°.
【例题3】 解法一：(利用正弦定理)
由正弦定理，可得sin C＝＝.
∵0°＜C＜180°，∴C＝60°或120°.
当C＝60°时，则有A＝180°－(B＋C)＝90°，
于是a＝＝6；
当C＝120°时，则有A＝180°－(B＋C)＝30°，
于是a＝＝3.
∴a＝6或3.
解法二：(利用余弦定理)
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B，
则32＝a2＋(3)2－2a·3·cos 30°，
即a2－9a＋18＝0，解得a＝6或3.
【例题4】 解法一：由正弦定理＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)，将原式化为
R2sin2Bsin2C＝R2sin Bsin Ccos Bcos C.
∵sin Bsin C≠0，∴sin Bsin C＝cos Bcos C，
∴cos Bcos C－sin Bsin C＝0，
即cos(B＋C)＝0.∴B＋C＝90°，∴A＝90°.
∴△ABC为直角三角形．
解法二：将已知等式变为
b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccos Bcos C.
由余弦定理，得
b2＋c2－b2·2－c2·2
＝2bc··，
即b2＋c2＝.
整理得b2＋c2＝a2.
故△ABC为直角三角形．
【例题5】 正解：∵a，b，c是三角形的三边，∴c＜a＋b，
∴t＜1＋2＝3.
又△ABC是钝角三角形，且C是最大角，
∴90°＜C＜180°.
∴cos C＜0，∴cos C＝＝＜0，
∴t2＞5.又t＞0，∴t＞.
∴t的取值范围是(，3)．
1已知△ABC满足B＝60°，AB＝3，AC＝，则BC的长等于( )
A．2 B．1 C．1或2 D．无解
2在△ABC中，bcos A＝acos B，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．锐角三角形
3在△ABC中，若a＝b＝1，c＝，则C＝__________.
4(2018·北京昌平高三一模)在△ABC中，＝cos2A－cos A.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝3，sin B＝2sin C，求S△ABC.
答案：1．C 2.B 3.120°
4．解：(1)由已知得，(2cos2A－1)＝cos2A－cos A，
∴cos A＝.
又0＜A＜π，∴A＝.
(2)由，可得，
∴b＝2c.
cos A＝.
解得c＝，b＝.
S△ABC＝bcsin A＝.
1.1.2 余弦定理
1．了解余弦定理的推导过程，掌握余弦定理及其推论．
2．能利用余弦定理解三角形，并判断三角形的形状．
余弦定理
文字语言
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和______这两边与它们的夹角的余弦的积的____倍
图形语言
符号语言
在△ABC中，
a2＝b2＋c2－2bccos A，
b2＝c2＋a2－2accos B，
c2＝__________
推论
在△ABC中，
cos A＝，
cos B＝，
cos C＝____________
作用
解三角形、判断三角形的形状等
(1)余弦定理中包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，便可求得第四个量，即“知三求一”．
(2)余弦定理适用的题型：
①已知三边求三角，用余弦定理，有解时只有一解；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他的角，用余弦定理，必有一解．
(3)余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，是解三角形的重要工具．[来源:学科网]
【做一做1】 在△ABC中，a＝4，b＝4，C＝30°，则c2等于( )
A．32－16 B．32＋16
C．16 D．48
【做一做2】 在△ABC中，a＝2，b＝5，c＝6，则cos B等于( )．
A. B. C. D．－
答案：减去 两 a2＋b2－2abcos C
【做一做1】 A
【做一做2】 A cos B＝＝.
1．确定三角形中三个内角的范围
剖析：由余弦定理，可得在△ABC中，cos A＝.
若A为锐角，则cos A＞0，有b2＋c2－a2＞0，即b2＋c2＞a2；若A为直角，则cos A＝0，有b2＋c2－a2＝0，即b2＋c2＝a2；若A为钝角，则cos A＜0，有b2＋c2－a2＜0，即b2＋c2＜a2.由此可得到一个在解选择题和填空题时经常用到的结论：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角为直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．
2．利用正弦定理、余弦定理求角的区别[来源:学科网ZXXK]
剖析：如表所示．
[来源:学,科,网]
余弦定理
正弦定理
相同点
先求某种三角函数值再求角
不同点
条件
已知三边
已知两边一角[来源:Z#xx#k.Com]
依据
cos A＝等
sin A＝等
求角
解方程cos A＝m，A∈(0，π)
解方程sin A＝m，A∈(0，π)
检验
y＝cos x在(0，π)上为减函数，解方程所得的解唯一
y＝sin x在(0，π)上先增后减，解方程可能产生增根，需检验
题型一 已知两边及夹角，解三角形
【例题1】 在△ABC中，已知a＝2，b＝2，C＝15°，解三角形．
分析：思路一：可先用余弦定理求边c，再用正弦定理求角A.
思路二：可先用余弦定理求边c，再用余弦定理的推论求角A.
反思：已知两边及其夹角解三角形(此时有唯一解)的步骤：
方法一：
①利用余弦定理求出第三边；
②利用正弦定理求出另外一个角；
③利用三角形内角和定理求出第三个角．
方法二：
①利用余弦定理求出第三边；
②利用余弦定理的推论求出另外一个角；
③利用三角形内角和定理求出第三个角．
此时方法一中②通常需要分类讨论，因此建议应用方法二解三角形．
题型二 已知三边，解三角形
【例题2】 在△ABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，解三角形．(精确到1°)
分析：已知三边求三角，用余弦定理的推论，如用cos A＝求解．
反思：已知三边解三角形的步骤：
①分别用余弦定理的推论求出两个角；
②用三角形内角和定理求出第三个角．
题型三 已知两边及一边的对角，解三角形
【例题3】 在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，求边a的长．
反思：用正弦定理解三角形时要注意解的个数，往往需要讨论边角关系，而用余弦定理求角时，结果是钝角、直角还是锐角从余弦值的正负情况便可以判断出来；如果求边则类似于本题，一般可借助一元二次方程求解，它的正根的个数即是三角形解的个数．特别地，已知两边及一边的对角解三角形，往往利用余弦定理建立等量关系，利用方程解决较方便，如本题解法二．
题型四 判定三角形的形状
【例题4】 在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos Bcos C，试判断△ABC的形状．
分析：思路一，利用正弦定理将已知等式化为角的关系；思路二，利用余弦定理将已知等式化为边的关系．
反思：判定三角形的形状，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形等，要注意“等腰直角三角形”与“等腰或直角三角形”的区别．依据边角关系判断时，主要有两条途径：
①利用正弦定理转化为内角三角函数间的关系，通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，这时要注意使用A＋B＋C＝π这个结论．如本题解法一．
②利用余弦定理转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．如本题解法二．
在两种解法的等式变形中，一般两边不要随意约去公因式，应移项提取出公因式，以免漏解．
题型五 易错辨析
【例题5】 在钝角三角形ABC中，a＝1，b＝2，c＝t，且C是最大角，则t的取值范围是__________．
错解：∵△ABC是钝角三角形且C是最大角，∴C＞90°，
∴cos C＜0.∴cos C＝＜0，
∴a2＋b2－c2＜0，即1＋4－t2＜0.
∴t2＞5.又t＞0，∴t＞，
即t的取值范围为(，＋∞)．
错因分析：错解忽略了两边之和大于第三边，即a＋b＞c这个隐含条件，导致t的取值范围变大．
反思：解题时，容易忽略三角形的三边满足两边之和大于第三边，从而使某些字母的取值范围变大．
答案：【例题1】 解法一：cos 15°＝cos(45°－30°)＝，
sin 15°＝sin(45°－30°)＝.
由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝4＋8－2×(＋)＝8－4，∴c＝－.
由正弦定理，得sin A＝sin C＝×＝.
又0°＜A＜180°，∴A＝30°或150°.
又b＞a，∴B＞A，∴角A为锐角，
∴A＝30°.∴B＝180°－(A＋C)＝135°.
解法二：cos 15°＝cos(45°－30°)＝，
由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝4＋8－2×(＋)＝8－4，∴c＝－.
∴cos A＝＝.
又0°＜A＜180°，∴A＝30°.
∴B＝180°－(A＋C)＝135°.
【例题2】 解：cos A＝＝＝0.725，
∴A≈44°.
cos C＝＝≈0.807 1，
∴C≈36°.
∴B＝180°－(A＋C)≈180°－(44°＋36°)＝100°.
【例题3】 解法一：(利用正弦定理)
由正弦定理，可得sin C＝＝.
∵0°＜C＜180°，∴C＝60°或120°.
当C＝60°时，则有A＝180°－(B＋C)＝90°，
于是a＝＝6；
当C＝120°时，则有A＝180°－(B＋C)＝30°，
于是a＝＝3.
∴a＝6或3.
解法二：(利用余弦定理)
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B，
则32＝a2＋(3)2－2a·3·cos 30°，
即a2－9a＋18＝0，解得a＝6或3.
【例题4】 解法一：由正弦定理＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)，将原式化为
R2sin2Bsin2C＝R2sin Bsin Ccos Bcos C.
∵sin Bsin C≠0，∴sin Bsin C＝cos Bcos C，
∴cos Bcos C－sin Bsin C＝0，
即cos(B＋C)＝0.∴B＋C＝90°，∴A＝90°.
∴△ABC为直角三角形．
解法二：将已知等式变为
b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccos Bcos C.
由余弦定理，得
b2＋c2－b2·2－c2·2
＝2bc··，
即b2＋c2＝.
整理得b2＋c2＝a2.
故△ABC为直角三角形．
【例题5】 正解：∵a，b，c是三角形的三边，∴c＜a＋b，
∴t＜1＋2＝3.
又△ABC是钝角三角形，且C是最大角，
∴90°＜C＜180°.
∴cos C＜0，∴cos C＝＝＜0，
∴t2＞5.又t＞0，∴t＞.
∴t的取值范围是(，3)．
1已知△ABC满足B＝60°，AB＝3，AC＝，则BC的长等于( )
A．2 B．1 C．1或2 D．无解
2在△ABC中，bcos A＝acos B，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．锐角三角形
3在△ABC中，若a＝b＝1，c＝，则C＝__________.
4(2018·北京昌平高三一模)在△ABC中，＝cos2A－cos A.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝3，sin B＝2sin C，求S△ABC.
答案：1．C 2.B 3.120°
4．解：(1)由已知得，(2cos2A－1)＝cos2A－cos A，
∴cos A＝.
又0＜A＜π，∴A＝.
(2)由，可得，
∴b＝2c.
cos A＝.
解得c＝，b＝.
S△ABC＝bcsin A＝.
1．1.2 余弦定理(二)
课时目标
1．熟练掌握正弦定理、余弦定理；
2．会用正、余弦定理解三角形的有关问题．
1．正弦定理及其变形
(1)＝＝＝2R.
(2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C.
(3)sin A＝，sin B＝，sin C＝.
(4)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c.
2．余弦定理及其推论
(1)a2＝b2＋c2－2bccos_A.
(2)cos A＝.
(3)在△ABC中，c2＝a2＋b2?C为直角；c2>a2＋b2?C为钝角；c23．在△ABC中，边a、b、c所对的角分别为A、B、C，则有：
(1)A＋B＋C＝π，＝－.
(2)sin(A＋B)＝sin_C，cos(A＋B)＝－cos_C，tan(A＋B)＝－tan_C.
(3)sin ＝cos ，cos ＝sin .
一、选择题
1．已知a、b、c为△ABC的三边长，若满足(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则∠C的大小为( )
A．60° B．90°
C．120° D．150°
答案 C
解析 ∵(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，
∴a2＋b2－c2＝－ab，
即＝－，
∴cos C＝－，∴∠C＝120°.
2．在△ABC中，若2cos Bsin A＝sin C，则△ABC的形状一定是 ( )
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
答案 C
解析 ∵2cos Bsin A＝sin C＝sin(A＋B)，
∴sin Acos B－cos Asin B＝0，
即sin(A－B)＝0，∴A＝B.
3.在△ABC中，已知sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7，则这个三角形的最小外角为 ( )
A．30° B．60°
C．90° D．120°
答案 B
解析 ∵a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7，
不妨设a＝3，b＝5，c＝7，C为最大内角，
则cos C＝＝－.
∴C＝120°.
∴最小外角为60°.
4．△ABC的三边分别为a，b，c且满足b2＝ac,2b＝a＋c，则此三角形是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
答案 D
解析 ∵2b＝a＋c，∴4b2＝(a＋c)2，即(a－c)2＝0.
∴a＝c.∴2b＝a＋c＝2a.∴b＝a，即a＝b＝c.
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若C＝120°，
c＝a，则( )
A．a>b B．aC．a＝b D．a与b的大小关系不能确定
答案 A
解析 在△ABC中，由余弦定理得，
c2＝a2＋b2－2abcos 120°
＝a2＋b2＋ab.
∵c＝a，∴2a2＝a2＋b2＋ab.
∴a2－b2＝ab>0，∴a2>b2，∴a>b.
6．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．由增加的长度确定
答案 A
解析 设直角三角形三边长为a，b，c，且a2＋b2＝c2，
则(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2
＝a2＋b2＋2x2＋2(a＋b)x－c2－2cx－x2＝2(a＋b－c)x＋x2>0，
∴c＋x所对的最大角变为锐角．
二、填空题
7．在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则边c＝________.
答案
解析 由题意：a＋b＝5，ab＝2.
由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcos C
＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，
∴c＝.
8．设2a＋1，a,2a－1为钝角三角形的三边，那么a的取值范围是________．
答案 2解析 ∵2a－1>0，∴a>，最大边为2a＋1.
∵三角形为钝角三角形，∴a2＋(2a－1)2<(2a＋1)2，
化简得：02a＋1，
∴a>2，∴29．已知△ABC的面积为2，BC＝5，A＝60°，则△ABC的周长是________．
答案 12
解析 S△ABC＝AB·AC·sin A
＝AB·AC·sin 60°＝2，
∴AB·AC＝8，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A
＝AB2＋AC2－AB·AC＝(AB＋AC)2－3AB·AC，
∴(AB＋AC)2＝BC2＋3AB·AC＝49，
∴AB＋AC＝7，∴△ABC的周长为12.
10．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则△ABC外接圆的面积是________．
答案
解析 S△ABC＝bcsin A＝c＝，
∴c＝4，
由余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos A
＝12＋42－2×1×4cos 60°＝13，
∴a＝.
∴2R＝＝＝，
∴R＝.∴S外接圆＝πR2＝.
三、解答题
11．在△ABC中，求证：＝.
证明 右边＝＝·cos B－·cos A
＝·－·＝－＝＝左边．
所以＝.
12.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边的长，cosB =，
且·＝－21.
(1)求△ABC的面积；
(2)若a＝7，求角C.
解 （1）∵?·＝－21，∴?·=21.?
∴· = ||·||·cosB = accosB = 21.?
∴ac=35，∵cosB = ，∴?sinB = .?
∴S△ABC = acsinB = ×35× = 14.?
(2)ac＝35，a＝7，∴c＝5.
由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accos B＝32，
∴b＝4.由正弦定理：＝.
∴sin C＝sin B＝×＝.
∵c∴C＝45°.
能力提升
13．已知△ABC中，AB＝1，BC＝2，则角C的取值范围是( )
A．0C.答案 A
解析 方法一 (应用正弦定理)
∵＝，∴＝
∴sin C＝sin A，∵0∴0∵AB∴0方法二 (应用数形结合)
如图所示，以B为圆心，以1为半径画圆，
则圆上除了直线BC上的点外，都可作为A点．从点C向圆B作切线，设切点为A1和A2，当A与A1、A2重合时，角C最大，易知此时：BC＝2，AB＝1，AC⊥AB，∴C＝，
∴014．△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b2＝ac且cos B＝.
(1)求＋的值；
（2）设· = ，求a+c的值.?
解 (1)由cos B＝，得sin B＝＝.
由b2＝ac及正弦定理得sin2 B＝sin Asin C.
于是＋＝＋
＝＝
＝＝＝.
(2)由· = 得ca·cosB =
由cos B＝，可得ca＝2，即b2＝2.
由余弦定理：b2＝a2＋c2－2ac·cos B，
得a2＋c2＝b2＋2ac·cos B＝5，
∴(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac＝5＋4＝9，∴a＋c＝3.
1．解斜三角形的常见类型及解法
在三角形的6个元素中要已知三个(至少有一边)才能求解，常见类型及其解法见下表：
已知条件
应用定理
一般解法
一边和两角
(如a，B，C)
正弦定理
由A＋B＋C＝180°，求角A；
由正弦定理求出b与c.在有
解时只有一解．
两边和夹角
(如a，b，C)
余弦定理
正弦定理
由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所对的角；再由A＋B＋C＝180°求出另一
角．在有解时只有一解．
三边
(a，b，c)
余弦定理
由余弦定理求出角A、B；再利用A＋B＋C＝180°，求出
角C.在有一解时只有一解.
两边和其中一边的对角如
(a，b，A)
余弦定理
正弦定理
由正弦定理求出角B；由A＋B＋C＝180°，求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求
c.可有两解、一解或无解.
2.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径
(1)化边为角；
(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．
课件36张PPT。余弦定理复习回顾正弦定理：可以解决两类有关三角形的问题?（1）已知两角和任一边。 AAS（2）已知两边和一边的对角。SSA变形：千岛湖 3.4km6km120°）情景问题?千岛湖 千岛湖 情景问题3.4km6km120°）?3.4km6km120°ABC 在△ABC中，已知AB=6km，BC=3.4km，∠B=120o，求 AC用正弦定理能否直接求出 AC？）余弦定理CBAabcc2 ＞ a2+b2c2 ＜ a2+b2看一看想一想 直角三角形中的边a、 b不变，角C进行变动勾股定理仍成立吗？c2 = a2+b2是寻找解题思路的最佳途径 c=? c2==???算一算试试！联想CBAcab﹚﹚探 究： 若△ABC为任意三角形，已知角C，
BC=a,CA=b,求AB 边 c.CBAcab﹚余弦定理探 究： 若△ABC为任意三角形，已知角C，
BC=a,CA=b,求AB 边 c.对余弦定理，还有其他证明方法吗?证明：以CB所在的直线为x轴，过C点垂直于CB的直线为y轴，建立如图所示的坐标系，则A、B、C三点的坐标分别为：解析法证明当角C为锐角时几何法
当角C为钝角时 余弦定理作为勾股定理的推广，考虑借助勾股定理来证明余弦定理。证明证明：在三角形ABC中，已知AB=c,AC=b和A, 作CD⊥AB，则CD=bsinA,BD=c-bcosA同理有： 当然，对于钝角三角形来说，证明类似，课后 自己完成。余弦定理 a2=b2+c2-2bc·cosA
b2=c2+a2-2ca·cosB
c2=a2+b2-2ab·cosC你能用文字说明吗？ 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。归纳变一变乐在其中 a2=b2+c2-2bc·cosA
b2=c2+a2-2ca·cosB
c2=a2+b2-2ab·cosC变形归纳想一想： 余弦定理在直角三角 形中是否仍然成立？ a2+b2=c2问题1：勾股定理与余弦定理有何关系？勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广.问题2：公式的结构特征怎样？（1）轮换对称，简洁优美;剖 析 定 理（2）每个等式中有同一个三角形中的四个元素，知三求一.（方程思想）
剖析思考： 已知两边及一边的对角时，我们知道可用正弦定理来解三角形，想一想能不能用余弦定理来解这个三角形？
如：已知b=4,c= ,C=60°求边a.（3）已知a、b、c（三边），可以求什么？剖 析 定 理剖析 在△ABC中，已知AB=6km，BC=3.4km，
∠B=120o，求 AC解决实际问题解：由余弦定理得答：岛屿A与岛屿C的距离为8.24 km.剖 析 定 理（4）能否把式子 转化为角的关系式？分析：剖析（1）已知三边
求三个角 SSS问题3：余弦定理在解三角形中的作用是什么？（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角. SAS剖 析 定 理剖析例题解析例题解析课堂提高练习1.C课堂提高练习2.课堂提高练习3. C会用才是真的掌握了 余弦定理在解三角形 中能解决哪些问题？角边角
角角边
边边角
边角边
边边边正弦定理余弦定理运用
2、在△ABC中,若a=4、b=5、c=6，判断△ABC的形状.ADCB)300)4503、如图所示，已知BD=3，DC=5，∠B=300，∠ADC=450，求AC的长。例题讲解1、在△ABC中,若a＝10，b＝12，c＝9，解这个三角形。练一练： 1、已知△ABC的三边为 、2、1，求它的最大内角。变一变：若已知三边的比是 :2:1,又怎么求？再练： 2、已知△ABC中AB=2、AC=3、A= ，求BC的长。解：由余弦定理可知
BC2=AB2+AC2-2AB×AC·cosA
=4+9-2×2×3×
=7
∴BC=3、以2、3、X为三条边，构成一个锐角三角形，
求X的范围。继续练思考：
（1）在三角形ABC中，已知a=7,b=10,c=6,判定三角形ABC的形状分析：三角形ABC的形状是由大边b所对的大角B决定的。（2）在三角形ABC中，已知a=7,b=10,c=6,求三角形ABC的面积分析：三角形的面积公式 S= absinC = bcsinA= acsinB, 只需先求出cosC(cosA或cosB),然后求出 sinC(sinA或 sinB）代入面积公式即可。2.余弦定理3.由余弦定理知1.证明定理:课堂小结向量法、解析法、几何法（1）已知三边求三个角；（SSS）（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角. (SAS)5.余弦定理的作用（3）判断三角形的形状，求三角形的面积4.余弦定理适用于任何三角形课后作业：1. 在△ABC中, 已知b＝4, c＝10, B＝30o,
解这个三角形。2. 设x、x＋1、x＋2是钝角三角形的三边
长，求实数x的取值范围.3. 在△ABC中, A＝60o, a＝1, b＋c＝2, 判
断△ABC的形状.4. 三角形的两边分别为3cm，5cm,它们所
夹的角的余弦为方程5x2－7x－6＝0的根，
求这个三角形的面积.