第2课时 高度问题
1．复习巩固正弦定理、余弦定理．
2．能够用正弦定理、余弦定理解决高度问题．
1．正弦定理
(1)定理：在△ABC中，若角A，B，C的对边分别是a，b，c，则各边和它所对角的正弦的比______，即＝＝________.[]
(2)应用：正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题：
①已知______和任意一边，求另两边和另一角；
②已知______和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求其他的边和角．
【做一做1】
在△ABC中，A＝30°，B＝45°，a＝，则b＝__________.
2．余弦定理
(1)定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的______的积的两倍，即a2＝b2＋c2－2bccos
A，b2＝a2＋c2－2accos
B，c2＝________.
(2)推论：cos
A＝，cos
B＝，cos
C＝__________________.[]
(3)应用：余弦定理可以用来解决两类解三角形的问题：
①已知三角形的三边，求三角形的三个角；
②已知三角形的两边和它们的夹角，求三角形的第三边和其他两个角．[]
【做一做2】
在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝，c＝，则B＝__________.
3．测量中的有关概念
(1)坡角：坡面与________的夹角，如图所示，α为坡角．
(2)坡比：坡面的铅直高度与________之比，即i==tan
α，如图所示．
(3)仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和________视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图所示)．
(4)铅直平面：铅直平面是指与海平面______的平面．
(5)基线：在测量上，根据测量需要适当确定的线段．
答案：1．(1)相等 (2)①两角 ②两边
【做一做1】
2
2．(1)余弦 a2＋b2－2abcos
C (2)
【做一做2】
3．(1)水平面 (2)水平宽度 (3)目标 (4)垂直
1．高度问题
剖析：测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理或余弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
在测量底部不可到达的建筑物的高度时，可以借助正弦定理或余弦定理，构造两角(两个仰角或两个俯角)和一边或三角(两个方向角和仰角)和一边，如下图．
2．利用解三角形解决实际问题
剖析：解斜三角形知识在生产实践中有着广泛的应用，解与斜三角形有关的实际问题的过程，贯穿了数学建模的思想．这种思想就是从实际出发，经过抽象概括，把它转化为具体问题中的数学模型，然后通过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实际问题的解．上述思维过程可以用下图表示．[]
解斜三角形应用题的一般步骤是：
(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图，化实际问题为数学问题．
(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型．
(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解．
(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．
题型一
测量能看到底部但不可到达的物体的高度
【例题1】
如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测量点C和D.现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.
分析：先利用三角形内角和定理求出∠CBD的度数，再利用正弦定理求出BC的长，最后在△ABC中求出AB即为塔高．
题型二
测量不能看到底部且不可到达的物体的高度
【例题2】
如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得点A的俯角为β，已知铁塔BC部分的高为h，求山高CD.
分析：根据已知条件，应该先设法计算出AB的值，再在Rt△ABD中解得BD.
答案：【例题1】
解：在△BCD中，∠BCD＝α，∠BDC＝β，
∴∠CBD＝180°－(α＋β)，
∴＝，
即＝.∴BC＝·s.
在△ABC中，由于∠ABC＝90°，∴＝tan
θ.
∴AB＝BC·tan
θ＝·s.
【例题2】
解：在△ABC中，
∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，∠BAC＝α－β，∠BAD＝α，
则＝，
∴AB＝.
在Rt△ABD中，BD＝ABsin∠BAD
＝＝，
∴CD＝BD－BC＝h.
1如图，从山顶A望地面上C，D两点，测得它们的俯角分别为45°和30°，已知CD＝100米，点C位于BD上，则山高AB等于( )
A．100米
B．米
C．米
D．米
2如图，线段AB，CD分别表示甲、乙两楼，AB⊥BD，CD⊥BD，从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C的仰角为α＝30°，测得乙楼底部D的俯角β＝60°，已知甲楼高AB＝24米，则乙楼高CD＝__________米．
3如图，A，B是海平面上的两个点，相距800
m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D是点C到水平面的射影，求山高CD.
4如图所示，在高出地面30
m的小山顶上建造一座电视塔CD，在距离B点60
m的地面上取一点A，若测得∠CAD＝45°，求此电视塔的高度．
5如图，为了测量某塔的高度，测量人员站在A处测得塔尖C的仰角为75.5°，前进38.5
m后，在B处测得塔尖的仰角为80°，试计算塔的高度．
答案：1．D 2.32
3．解：在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°.
由，
得AD＝＝800(＋1)(m)．
∵CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，
∴CD＝AD＝800(＋1)(m)．
∴山高CD为800(＋1)
m.
4．解：设CD＝x
m，∠BAC＝α，则tan
α＝.
又∠DAB＝45°＋α，
∴tan∠DAB＝tan(45°＋α)＝＝3.
又tan∠DAB＝，
∴＝3，∴x＝150.[]
∴电视塔的高度为150
m.
5．解：∵∠CAD＝75.5°，∠CBD＝80°，
∴∠ACB＝4.5°.
在△ABC中，由正弦定理，得，
∴BC＝≈475.
∴CD＝BC·sin
80°≈468.
∴塔的高度约为468
m.第4课时 几何计算问题
1．复习巩固正弦定理、余弦定理．
2．能用正弦定理、余弦定理计算三角形的面积等．
1．正弦定理
【做一做1】
在△ABC中，a＝，A＝45°，则△ABC外接圆的半径R等于( )[]
A．1
B．2
C．4
D．无法确定
2．余弦定理
【做一做2】
边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是( )
A．90°
B．120°
C．135°
D．150°
3．几何计算问题
在△ABC中，边BC，CA，AB上的高分别记为ha，hb，hc，则
(1)ha＝bsin
C＝______；
(2)hb＝csin
A＝______；
(3)hc＝asin
B＝______；
(4)S＝________.
三角形中的计算、证明问题除正弦定理、余弦定理外，常见的公式还有：
(1)P＝a＋b＋c(P为三角形的周长)；
(2)A＋B＋C＝π；
(3)S＝aha(ha表示a边上的高)；
(4)S＝(可用正弦定理推得)；
(5)S＝2R2sin
A·sin
B·sin
C(R是三角形外接圆的半径)；
(6)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆的半径)；
(7)海伦公式：S＝，其中p＝(a＋b＋c)．
【做一做3－1】
在△ABC中，已知C＝60°，b＝4，则BC边上的高等于( )
A.
B．2
C．4
D．6
【做一做3－2】
在△ABC中，a＝4，b＝2，C＝45°，则△ABC的面积S＝__________.
答案：【做一做1】
A
【做一做2】
B
3．(1)csin
B (2)asin
C (3)bsin
A (4)bcsin
A[]
【做一做3－1】
D
【做一做3－2】
2
1．三角形中的常用结论
剖析：在△ABC中，边、角之间的关系有以下常用结论：
①a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b.
②a－b＜c，b－c＜a，a－c＜b.
③A＋B＋C＝π.
④a＞bA＞Bsin
A＞sin
B.
⑤a＝bA＝B.
⑥A为锐角cos
A＞0a2＜b2＋c2；
A为钝角cos
A＜0a2＞b2＋c2；
A为直角cos
A＝0a2＝b2＋c2.
⑦sin(A＋B)＝sin
C，cos(A＋B)＝－cos
C.
⑧sin
＝cos
，cos
＝sin
.
2．解三角形
剖析：解三角形有四种情况，如下表所示：
已知条件
应用定理
一般解法
一边和两角(如a，B，C)
正弦定理
由A＋B＋C＝180°，求角A；由正弦定理求出b与c；S△ABC＝acsin
B；在有解时只有一解
两边和夹角(如a，b，C)
余弦定理正弦定理
由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所对的角；再由A＋B＋C＝180°求出另一角；S△ABC＝absin
C；在有解时只有一解
三边(a，b，c)
余弦定理
由余弦定理求出角A，B；再利用A＋B＋C＝180°，求出角C；S△ABC＝absin
C；在有解时只有一解
两边和其中一边的对角(如a，b，A)
正弦定理
由正弦定理求出角B；由A＋B＋C＝180°，求出角C；再利用正弦定理求出第三边c；S△ABC＝absin
C；可有一解、两解或无解
题型一
求三角形的面积
【例题1】
在△ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S.
(1)已知a＝3
cm，c＝4
cm，B＝30°；
(2)已知A＝75°，C＝45°，b＝4
cm.[]
分析：(1)可根据面积公式S＝acsin
B直接求解；
(2)要求三角形的面积，需知道三角形的两边及其夹角．
反思：求三角形面积，常结合正弦定理、余弦定理，只要求得三角形中的两边及其夹角即可求出面积．
题型二
证明三角恒等式
【例题2】
在△ABC中，求证：＝.
分析：从左边证右边，化角为边或化边为角．
题型三
实际应用问题
【例题3】
一块四边形土地ABCD的形状如图所示，∠ADB＝60°，∠BDC＝40°，∠BCD＝125°，AD＝10
m，AB＝14
m，求四边形土地的面积(精确到0.01
m2)．
分析：把四边形ABCD分割成△ABD和△BCD，分别求出这两个三角形的面积，其和即为所求．
反思：实际问题中，在求不规则图形的面积时，常利用割补法，转化为求规则图形的面积．如本题分割成三角形．
题型四
易错辨析
【例题4】
已知△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，△ABC的面积为S，若a＝4，b＝5，S＝5，求c的长．
错解：由S＝absin
C，得5＝×4×5sin
C，
解得sin
C＝，则C＝60°.
由c2＝a2＋b2－2abcos
C，得c2＝a2＋b2－ab＝21，
故c的长为.
错因分析：由sin
C＝求C时，忽视了C的范围，导致漏解．
答案：【例题1】
解：(1)依题意，由三角形的面积S＝acsin
B，
得S＝×3×4×sin
30°＝3(cm2)．
(2)根据正弦定理＝，得c＝，
则S＝bcsin
A＝b2.
又B＝180°－(A＋C)＝180°－(75°＋45°)＝60°，
故S＝×42×＝(cm2)．
【例题2】
证法一：化角为边
左边＝
＝·
＝＝＝＝右边．
证法二：化边为角
左边＝
＝
＝＝＝右边
.
【例题3】
解：在△ABD中，由余弦定理，得
AB2＝AD2＋BD2－2·AD·BD·cos∠ADB，
设BD＝x，有142＝x2＋102－2·10xcos
60°，
x2－10x－96＝0，∴x1＝16，x2＝－6(舍去)，
即BD＝16.
∴S△ABD＝AD·BDsin∠ADB
＝×10×16sin
60°≈69.282(m2)．
在△BCD中，∠BCD＝125°，∠BDC＝40°，BD＝16，
∴∠CBD＝180°－∠BCD－∠BDC＝15°.
由正弦定理，
得CD＝＝≈5.055.[]
∴S△BCD＝BD·CDsin∠BDC
＝×16×5.055sin
40°≈25.996(m2)．
∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD
≈69.282＋25.996≈95.28(m2)．
即这个四边形土地面积约是95.28
m2.
【例题4】
正解：由S＝absin
C，得5＝×4×5sin
C，
解得sin
C＝，
∴C＝60°或C＝120°.
当C＝60°时，c2＝a2＋b2－ab＝21；
当C＝120°时，c2＝a2＋b2＋ab＝61.
∴c的长为或.
1在△ABC中，c＝2，A＝30°，B＝120°，则△ABC的面积为( )
A.
B.
C．
D．3
2
(2011·北京海淀二模)已知△ABC的面积S＝，A＝，则＝__________.
3在△ABC中，若∠A＝120°，AB＝5，BC＝7，则△ABC的面积S＝__________.
4如图所示，一块四边形土地ABCD的三边AD＝40
m，DC＝30
m，CB＝30
m，∠ADC＝150°，∠DCB＝120°，则该土地的面积约为__________
m2(精确到0.01
m2)．
5在△ABC中，求证：a(sin
B－sin
C)＋b(sin
C－sin
A)＋c(sin
A－sin
B)＝0.
答案：1．B 2.2 3. 4.909.33
5．证明：由正弦定理，
则asin
B＝bsin
A，asin
C＝csin
A，bsin
C＝csin
B，
所以左边＝asin
B－asin
C＋bsin
C－bsin
A＋csin
A－csin
B＝(asin
B－bsin
A)＋(bsin
C－csin
B)＋(csin
A－asin
C)＝0＋0＋0＝0＝右边，
所以原式成立．1.2
解三角形应用举例
第二课时
(?http:?/??/?www.?)
一、教学目标
(?http:?/??/?www.?)
1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题
(?http:?/??/?www.?)
2、巩固深化解三角形实际问题的一般方法，养成良好的研究、探索习惯。
(?http:?/??/?www.?)
3、进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力
(?http:?/??/?www.?)
二、教学重点、难点
(?http:?/??/?www.?)
重点：结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题
(?http:?/??/?www.?)
难点：能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件
(?http:?/??/?www.?)
三、教学过程
(?http:?/??/?www.?)
Ⅰ.课题导入
(?http:?/??/?www.?)
提问：现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题
(?http:?/??/?www.?)
Ⅱ.讲授新课
(?http:?/??/?www.?)
[范例讲解]
(?http:?/??/?www.?)
例1、AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法。
(?http:?/??/?www.?)
(?http:?/??/?www.?)
分析：求AB长的关键是先求AE，在ACE中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA，再测出由C点观察A的仰角，就可以计算出AE的长。
(?http:?/??/?www.?)
解：选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上。由在H、G两点用测角仪器测得A的仰角分别是、，CD
=
a，测角仪器的高是h，那么，在ACD中，根据正弦定理可得
(?http:?/??/?www.?)
AC
=
AB
=
AE
+
h=AC+
h=
+
h
(?http:?/??/?www.?)
例2、如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角=54，在塔底C处测得A处的俯角=50。已知铁塔BC部分的高为27.3
m,求出山高CD(精确到1
m)
(?http:?/??/?www.?)
师:根据已知条件,大家能设计出解题方案吗？
(?http:?/??/?www.?)
若在ABD中求CD，则关键需要求出哪条边呢？
生：需求出BD边。
师：那如何求BD边呢？
生：可首先求出AB边，再根据BAD=求得。
解:在ABC中,
BCA=90+,ABC
=90-,
BAC=-
,BAD
=.根据正弦定理,
=
所以
AB
==
在RtABD中,得
BD
=ABsinBAD=
将测量数据代入上式,得BD
=
=≈177
(m)
CD
=BD
-BC≈177-27.3=150(m)
答:山的高度约为150米.
思考：有没有别的解法呢？若在ACD中求CD，可先求出AC。思考如何求出AC？
例3、如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在东偏南25的方向上,仰角为8,求此山的高度CD.
思考1：欲求出CD，大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢？
（在BCD中）
思考2：在BCD中，已知BD或BC都可求出CD,根据条件,易计算出哪条边的长？
（BC边）
解:在ABC中,
A=15,C=
25-15=10,根据正弦定理,
=
,
BC
=≈
7.4524(km)
CD=BCtanDBC≈BCtan8≈1047(m)
答:山的高度约为1047米
Ⅲ.课堂练习：课本第17页练习第1、2、3题
Ⅳ.课时小结
利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化。
Ⅴ.课后作业
1、
作业：《习案》作业五§1.2 应用举例(二)
课时目标
1．利用正、余弦定理解决生产实践中的有关高度的问题．
2．利用正、余弦定理及三角形面积公式解决三角形中的几何度量问题．
1．仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平线上方时叫仰角，目标视线在水平线下方时叫俯角．(如图所示)
2．已知△ABC的两边a、b及其夹角C，则△ABC的面积为absin
C.
一、选择题
1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α与β的关系为( )
A．α>β
B．α＝β
C．α<β
D．α＋β＝90°
答案 B
2．设甲、乙两楼相距20
m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是( )
A．20
m，
m
B．10
m,20
m
C．10(－)
m,20
m
D.
m，
m
答案 A
解析 h甲＝20tan
60°＝20(m)．
h乙＝20tan
60°－20tan
30°＝(m)．
3．如图，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得望树尖的仰角为30°，45°，且A、B两点之间的距离为60
m，则树的高度为( )
A．30＋30
m
B．30＋15m
C．15＋30m
D．15＋3m
答案 A
解析 在△PAB中，由正弦定理可得
＝，
PB＝＝，
h＝PBsin
45°＝(30＋30)m.
4．从高出海平面h米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为( )
A．2h米
B.h米
C.h米
D．2h米
答案 A
解析 如图所示，
BC＝h，AC＝h，
∴AB＝＝2h.
5．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在平行地面上前进600
m后测仰角为原来的2倍，继续在平行地面上前进200
m后，测得山峰的仰角为原来的4倍，则该山峰的高度是( )
A．200
m
B．300
m
C．400
m
D．100
m
答案 B
解析 如图所示，600·sin
2θ＝200·sin
4θ，
∴cos
2θ＝，∴θ＝15°，
∴h＝200·sin
4θ＝300
(m)．
6．平行四边形中，AC＝，BD＝，周长为18，则平行四边形面积是( )
A．16
B．17.5
C．18
D．18.53
答案 A
解析 设两邻边AD＝b，AB＝a，∠BAD＝α，
则a＋b＝9，a2＋b2－2abcos
α＝17，
a2＋b2－2abcos(180°－α)＝65.
解得：a＝5，b＝4，cos
α＝或a＝4，b＝5，cos
α＝，
∴S?ABCD＝ab
sin
α＝16.
二、填空题
7．甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的倍，则甲船应取方向__________才能追上乙船；追上时甲船行驶了________海里．
答案 北偏东30° a
解析
如图所示，设到C点甲船追上乙船，
乙到C地用的时间为t，乙船速度为v，
则BC＝tv，AC＝tv，B＝120°，
由正弦定理知＝，
∴＝，
∴sin∠CAB＝，∴∠CAB＝30°，∴∠ACB＝30°，
∴BC＝AB＝a，
∴AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos
120°
＝a2＋a2－2a2·＝3a2，∴AC＝a.
8．△ABC中，已知A＝60°，AB∶AC＝8∶5，面积为10，则其周长为________．
答案 20
解析 设AB＝8k，AC＝5k，k>0，则
S＝AB·AC·sin
A＝10k2＝10.
∴k＝1，AB＝8，AC＝5，由余弦定理：
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos
A
＝82＋52－2×8×5×＝49.
∴BC＝7，∴周长为：AB＋BC＋CA＝20.
9．已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的内切圆面积为________．
答案
解析 不妨设三角形三边为a，b，c且a＝6，b＝c＝12，
由余弦定理得：
cos
A＝＝＝，
∴sin
A＝
＝.
由(a＋b＋c)·r＝bcsin
A得r＝.
∴S内切圆＝πr2＝.
10．某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45°，距离为10
n
mile的C处，此时得知，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时9
n
mile的速度向一小岛靠近，舰艇时速21
n
mile，则舰艇到达渔船的最短时间是______小时．
答案
解析 设舰艇和渔船在B处相遇，则在△ABC中，由已知可得：∠ACB＝120°，设舰艇到达渔船的最短时间为t，则AB＝21t，BC＝9t，AC＝10，则(21t)2＝(9t)2＋100－2×10×9tcos
120°，
解得t＝或t＝－(舍)．
三、解答题
11．如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为h，求山高CD.
解 在△ABC中，∠BCA＝90°＋β，
∠ABC＝90°－α，
∠BAC＝α－β，∠CAD＝β.
根据正弦定理得：＝，
即＝，
∴AC＝
＝.
在Rt△ACD中，CD＝ACsin∠CAD＝ACsin
β
＝.
即山高CD为.
12．已知圆内接四边形ABCD的边长AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求圆内接四边形ABCD的面积．
解
连接BD，则四边形面积
S＝S△ABD＋S△CBD＝AB·AD·sin
A＋BC·CD·sin
C.
∵A＋C＝180°，∴sin
A＝sin
C.
∴S＝(AB·AD＋BC·CD)·sin
A＝16sin
A.
由余弦定理：在△ABD中，BD2＝22＋42－2×2×4cos
A＝20－16cos
A，
在△CDB中，BD2＝42＋62－2×4×6cos
C＝52－48cos
C，
∴20－16cos
A＝52－48cos
C.
又cos
C＝－cos
A，∴cos
A＝－.∴A＝120°.
∴四边形ABCD的面积S＝16sin
A＝8.
能力提升
13．如图所示，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A、B、C三点进行测量．已知AB＝50
m，BC＝120
m，于A处测得水深AD＝80
m，于B处测得水深BE＝200
m，于C处测得水深CF＝110
m，求∠DEF的余弦值．
解 作DM∥AC交BE于N，交CF于M.
DF＝＝＝10(m)，
DE＝＝＝130(m)，
EF＝＝＝150(m)．
在△DEF中，由余弦定理的变形公式，得
cos∠DEF＝＝＝.
即∠DEF的余弦值为.
14．江岸边有一炮台高30
m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连成30°角，求两条船之间的距离．
解 如图所示：
∠CBD＝30°，∠ADB＝30°，∠ACB＝45°
∵AB＝30，∴BC＝30，BD＝＝30.
在△BCD中，
CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos
30°＝900，
∴CD＝30，即两船相距30
m.
1．测量底部不可到达的建筑物的高度问题．由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
2．测量角度就是在三角形内利用正弦定理和余弦定理求角的正弦值或余弦值，再根据需要求出所求的角．(共12张PPT)
1.2应用举例(二)
课题导入
现实生活中，人们是怎样测量底部
不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水
平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海
拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方
面的问题.
讲授新课
例1.
AB是底部B不可到达的一个建筑物，
A为建筑物的最高点，设计一种测量建
筑物高度AB的方法.
讲授新课
例1.
AB是底部B不可到达的一个建筑物，
A为建筑物的最高点，设计一种测量建
筑物高度AB的方法.
A
B
例2.
如图，在山顶铁塔上B处测得地面上
一点A的俯角?＝54o40'，在塔底C处测得
A处的俯角?
=50o1'
.
已知铁塔BC部分
的高为27.3
m，
求出山高CD(精
确到1m).
讲解范例：
思考：
有没有别的解法呢？若在△ACD中
求CD，可先求出AC.思考如何求出AC？
D
A
B
C
?
?
讲授新课
例3.如图，一辆汽车在一条水平的公路上
向正东行驶，到A处时测得公路南侧远处
一山顶D在东偏南15o的方向上，行驶5km
后到达B处，测得此山顶在东偏南25o的方
向上，仰角为8o，求此山的高度CD.
思考：
1.
欲求出CD，大家思考在哪个三角形
中研究比较适合呢？
思考：
1.
欲求出CD，大家思考在哪个三角形
中研究比较适合呢？
2.
在△BCD中，已知BD或BC都可求出
CD，根据条件，易计算出哪条边的长？
教材P.15练习第1、2、3题.
练习：
课堂小结
利用正弦定理和余弦定理来解题时，
要学会审题及根据题意画方位图，要懂
得从所给的背景资料中进行加工、抽取
主要因素，进行适当的简化.
阅读必修5教材P.13到P.16;
2.
《习案》作业五.
课后作业(共23张PPT)
复习目标：
1、进一步熟悉正余弦定理内容;
2、能够应用正余弦定理进行边角关系的相互转化;
3、能够利用正余弦定理判断三角形的形状;
4、能够利用正余弦定理证明三角形中的三角恒等式。
复习重点：利用正余弦定理进行边角互换
难点：
1、利用正余弦定理进行边角互换时的转化方向
2、三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系
的寻求。
正、余弦定理
复习回顾
正弦定理：
可以解决几类有关三角形的问题?
（1）已知两角和任一边。
AAS
（2）已知两边和一边的对角。SSA
（1）已知三边求三个角；（SSS）
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.
(SAS)
余弦定理的作用
（3）判断三角形的形状，求三角形的面积
解三角形中常用的关系式:
角平分线性质
圆内接四边形对角互补
由余弦定理易得:
三角形面积计算公式
练习题
A
2、在△ABC中，bcosA=acosB,则三角形为
A、直角三角形
B、锐角三角形
C、等腰三角形
D、等边三角形
C
3、在△ABC中，若a=6,b=7,c=8,则△ABC的形状是
A、锐角三角形
B、钝角三角形
C、直角三角形
D、无法确定
A
5、在△ABC中，cosAcosB>sinAsinB,则△ABC为
A、等边三角形
B、直角三角形
C、等腰三角形
D、等腰三角形或直角三角形
C
（事实上，C为钝角，只有C项适合）
D
6、在△ABC中，sin2A=sin2B+sinBsinC+sin2C,则A等于
A、30o
B、60o
C、120o
D、150o
D
C
等腰三角形
10、在△ABC中，A、B均为锐角，且cosA>sinB,则△ABC是_______________
钝角三角形
等腰三角形
锐
例2、已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积。
解：连接BD
（例1变式）
（三维）
（例1变式）
三角形ABC是正三角形
（三维）
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形
tanA=tanB=tanC
∴△ABC是等边三角形
（例1变式）
小结
1、正弦定理和余弦定理的每一个等式中都包含三角形
的四个元素，如果其中三个元素是已知的(其中至少有
一边)，那么这个三角形一定可解。
2、正弦定理和余弦定理的特殊功能是边角互换，即
利用它们可以把边的关系转化为角的关系，也可以把角
的关系转化为边的关系，从而使许多问题得以解决。
3、判断三角形的形状，一般考虑从两个方向进行变
形。一个方向是边，走代数变形之路，通常正、余弦
定理结合使用;另一个方向是角，走三角变形之路，
通常是运用正弦定理，要注意边角转化的桥梁----
正、余弦定理。
4、根据条件选用定理可使解题简便
1)已知两角及其中一个角的对边，选用正弦定理，
如已知A,B,a解三角形，则用正弦定理。
2)已知三边a,b,c,一般选用余弦定理求角
3)已知两边和它们的夹角，用余弦定理求第三边
再用正弦定理求角。
4)已知两边和一边的对角，用正弦定理求一个角，
但需要进行讨论，有两解的可能。双基限时练(五)
1．如图，B，C，D三点在地面同一直线上，CD＝a，从C，D两点测得A点仰角分别为β，α(β＞α)，则点A离地面的高度等于( )
A.
B.
C.
D.
解析 在△ACD中，由正弦定理，
得＝，∴AC＝.
在Rt△ABC中，AB＝ACsinβ＝.
答案 D
2．在一幢20
m高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°，塔基的俯角为45°，那么这座塔吊的高度为( )
A．20(1＋)
m
B．20
m
C．20(＋)
m
D．10(＋)
m
解析 如图所示，易知AD＝CD＝AB＝20(m)，
在Rt△ADE中，DE＝ADtan60°＝20
(m)．
∴塔吊的高度为CE＝CD＋DE＝20(1＋)(m)．
答案 A
3．在200
m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为( )
A.
m
B.
m
C.
m
D.
m
解析 由山顶看塔底的俯角为60°，可知山脚与塔底的水平距离为，又山顶看塔顶的俯角为30°，设塔高为x
m，则200－x＝×，∴x＝
m.
答案 A
4．如图，一船从C处向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔A，B恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后到达D处，看见灯塔B在船的南偏西60°，灯塔A在船的南偏西75°，则这只船的速度是每小时( )
A．5海里
B．5海里
C．10海里
D．10海里
解析 由题意知AB＝BD＝10，所以CD＝BD＝5.
故这只船的速度是10海里/小时．
答案 C
5．如图，CD是一座铁塔，线段AB和塔底D同在水平地面上，在A，B两点测得塔顶C的仰角分别为60°，45°，又测得AB＝24
m，∠ADB＝30°，则此铁塔的高度为( )
A．18
m
B．20
m
C．32
m
D．24
m
解析 在Rt△ACD中，∠DAC＝60°，∴CD＝ADtan60°＝AD.
在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，
∴CD＝BD＝AD.
在△ABD中，由余弦定理得
AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB，
即242＝AD2＋3AD2－2×AD2×，
∴AD＝24.
故CD＝24(m)．
答案 D
6．某人向正东方向走x
km后，向右转150°，然后朝旋转后的方向走3
km后他离最开始的出发点恰好为
km，那么x的值为________．
解析 如图所示，在△ABC中，AB＝x，BC＝3，AC＝，∠ABC＝30°.
由余弦定理，得()2＝32＋x2－2×3×xcos30°，
即x2－3x＋6＝0，解得x1＝，x2＝2，经检验都适合题意．
答案 或2
7．某海岛周围38海里有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30海里后测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船________触礁的危险(填“有”或“无”)．
解析 由题意在三角形ABC中，AB＝30，∠BAC＝30°，
∠ABC＝135°，∴∠ACB＝15°.
由正弦定理BC＝·sin∠BAC＝·sin30°＝＝15(＋)．
在Rt△BDC中，CD＝BC＝15(＋1)>38.
答案 无
8．如图，线段AB，CD分别表示甲、乙两楼，AB⊥BD，CD⊥BD，从甲梯顶部A处测得乙楼顶部C处的仰角α＝30°，测得乙楼底部D的俯角β＝60°，已知甲楼高AB＝24米，则乙楼高CD＝________米．
解析 在Rt△ABD中，AB＝24，∠BAD＝30°，∴BD＝ABtan30°＝8.
在△ACE中，CE＝AE·tanα＝BDtan30°＝8.
∴CD＝CE＋DE＝24＋8＝32(米)．
答案 32
9．甲船自某港出发时，乙船在离港7海里的海上驶向该港，已知两船的航向成120°角，甲、乙两船航速之比为2：1，求两船间距离最短时，各离该海港多远？
解 如图所示，甲船由A港沿AE方
向行驶，乙船由D处向A港行驶，显然∠EAD＝60°.设乙船航行到B处行驶了s海里，此时A船行驶到C处，则AB＝7－s，AC＝2s，而∠EAD＝60°，由余弦定理，得BC2＝4s2＋(7－s)2－4s(7－s)cos60°＝7(s－2)2＋21(0≤s<7)．
∴s＝2时，BC最小为，此时AB＝5，AC＝4.
即甲船离港4海里，乙船离港5海里．
故两船间距离最短时，甲船离港4海里，乙船离港5海里．
10.
如图，甲船在A处观察到乙船，在它的北偏东60°的方向，两船相距10海里，乙船正向北行驶．若乙船速度不变，甲船是乙船速度的倍，则甲船应朝什么方向航行才能遇上乙船？此时甲船行驶了多少海里？
解 设到C点甲船遇上乙船，
则AC＝BC，B＝120°，
由正弦定理，知＝，
即＝，sin∠CAB＝.又∠CAB为锐角，
∴∠CAB＝30°.
又C＝60°－30°＝30°，∴BC＝AB＝10，
又AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos120°，
∴AC＝10(海里)，
因此甲船应取北偏东30°方向航行才能遇上乙船，遇上乙船时甲船行驶了10海里．
PAGE
7
