1.2解三角形应用举例
第三课时
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一、教学目标
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1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题
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2、通过综合训练强化学生的相应能力，让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三。
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3、培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并激发学生的探索精神。
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二、教学重点、难点
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重点：能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系
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难点：灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题
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三、教学过程
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Ⅰ.课题导入
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[创设情境]
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提问：前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题。然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我们接着探讨这方面的测量问题。
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Ⅱ.讲授新课
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[范例讲解]
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例1、如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航行67.5
n
mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32的方向航行54.0
n
mile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1,距离精确到0.01n
mile)
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学生看图思考并讲述解题思路
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分析：首先根据三角形的内角和定理求出AC边所对的角ABC，即可用余弦定理算出AC边，再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角CAB。
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解：在ABC中，ABC=180-
75+
32=137，根据余弦定理，
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AC=
=
≈113.15
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根据正弦定理,
=
sinCAB
=
=
≈0.3255,
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所以
CAB
=19.0,
75-
CAB
=56.0
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答:此船应该沿北偏东56.1的方向航行,需要航行113.15n
mile
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例2、在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2，再继续前进10m至D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物AE的高。
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解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在ACD中，
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AC=BC=30，
AD=DC=10，
ADC
=180-4，
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=
。
因为
sin4=2sin2cos2
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cos2=,得
2=30
=15，
在RtADE中，AE=ADsin60=15
答：所求角为15，建筑物高度为15m
解法二：（设方程来求解）设DE=
x，AE=h
在
RtACE中,(10+
x)
+
h=30
在
RtADE中,x+h=(10)
两式相减，得x=5,h=15
在
RtACE中,tan2==
2=30,=15
答：所求角为15，建筑物高度为15m
解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为AE=8，由题意，得
BAC=，
CAD=2，
AC
=
BC
=30m
,
AD
=
CD
=10m
在RtACE中，sin2=------
①
在RtADE中，sin4=,
----
②
②①
得
cos2=,2=30,=15，AE=ADsin60=15
答：所求角为15，建筑物高度为15m
例3、某巡逻艇在A处发现北偏东45相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？
师：你能根据题意画出方位图？教师启发学生做图建立数学模型
分析：这道题的关键是计算出三角形的各边，即需要引入时间这个参变量。
解：如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，则CB=10x,
AB=14x,AC=9,
ACB=+=
(14x)
=
9+
(10x)
-2910xcos
化简得32x-30x-27=0，即x=,或x=-(舍去)
所以BC
=
10x
=15,AB
=14x
=21,
又因为sinBAC
===
BAC
=38,或BAC
=141（钝角不合题意，舍去），
38+=83
答：巡逻艇应该沿北偏东83方向去追，经过1.4小时才追赶上该走私船.
评注：在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解
Ⅲ.课堂练习
课本第16页练习
Ⅳ.课时小结
解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：
（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。
（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解。
Ⅴ.课后作业
《习案》作业六双基限时练(六)
1．在△ABC中，已知BC＝6，A＝30°，B＝120°，则△ABC的面积等于( )
A．9
B．18
C．9
D．18
解析 由正弦定理得＝，
∴AC＝＝＝6.
又∠ACB＝180°－120°－30°＝30°，
∴S△ABC＝×6×6×＝9.
答案 C
2．在△ABC中，若a2＋b2＋abA．钝角三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．形状无法判定
解析 由a2＋b2＋ab又cosC＝<－.
又cos120°＝－，∴C>120°，故△ABC为钝角三角形．
答案 A
3．在△ABC中，BC＝2，B＝，若△ABC的面积为，则tanC为( )
A.
B．1
C.
D.
解析 由S△ABC＝BC·BAsinB＝，得BA＝1，
由余弦定理，得
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB.
∴AC＝，∴AC2＋BA2＝BC2.
∴△ABC为直角三角形，其中A为直角．
∴tanC＝＝.
答案 C
4．三角形的两边长为3和5，其夹角的余弦值是方程5x2－7x－6＝0的根，则该三角形的面积是( )
A．6
B.
C．8
D．10
解析 由5x2－7x－6＝0，得x＝－，或x＝2(舍去)．∴cosα＝－，sinα＝，∴S△＝×3×5×＝6.
答案 A
5．△ABC中，A＝60°，b＝16，此三角形的面积S＝220，则a的值为( )
A．7
B．25
C．55
D．49
解析 由S＝220
，得bcsinA＝220
.
即×16×c×＝220
，∴c＝55.
∴a2＝b2＋c2－2bccos60°
＝162＋552－2×16×55×＝2401.
∴a＝49.
答案 D
6．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知a＝，b＝3，C＝30°，则A＝________.
解析 c2＝a2＋b2－2abcosC＝3＋9－2××3×＝3，
∴c＝.
又＝，∴sinA＝＝＝，
∴a答案 30°
7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(b－c)cosA＝acosC，则cosA＝______.
解析 ∵(b－c)cosA＝acosC，
∴由正弦定理，得
(sinB－sinC)cosA＝sinAcosC.
∴sinBcosA＝sin(A＋C)＝sinB.∴cosA＝.
答案
8．在△ABC中，a2－b2＋bc·cosA－ac·cosB＝________.
解析 由余弦定理cosA＝，得bc·cosA＝(b2＋c2－a2)，同理ac·cosB＝(a2＋c2－b2)．
∴a2－b2＋bc·cosA－ac·cosB
＝a2－b2＋(b2＋c2－a2)－(a2＋c2－b2)
＝a2－b2＋b2－a2＝0.
答案 0
9．在△ABC中，A＝60°，b＝1，c＝4，则的值为________．
解析 在△ABC中，由正弦定理得＝＝＝2R，得a＋b＋c＝2R(sinA＋sinB＋sinC)．
又a2＝b2＋c2－2bccosA＝1＋16－2×1×4×＝13，
∴a＝，
∴＝2R＝＝＝.
答案
10．在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，又c＝，b＝4，且BC边上的高h＝2.
(1)求角C；
(2)求边a的长．
解 (1)由于△ABC为锐角三角形，过A作AD⊥BC于D点，
sinC＝＝，则C＝60°.
(2)由余弦定理，可知
c2＝a2＋b2－2abcosC，
则()2＝42＋a2－2×4×a×，即a2－4a－5＝0.
所以a＝5，或a＝－1(舍)．
因此所求角C＝60°，边a长为5.
11．在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝.
(1)若△ABC的面积等于，求a，b；
(2)若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ABC的面积．
解 (1)由余弦定理及已知条件，得
a2＋b2－ab＝4.
又因为△ABC的面积等于，
所以absinC＝得ab＝4，
联立方程组解得a＝2，b＝2.
(2)由题意，得sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sinAcosA，
即sinBcosA＝2sinAcosA.
当cosA＝0时，A＝，B＝，
∴a＝，b＝.
∴△ABC的面积S＝··b＝.
当cosA≠0时，sinB＝2sinA，
由正弦定理，知b＝2a，
联立方程组解得
∴△ABC的面积S＝absinC＝.
12．△ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cosA＝.
(1)求·；
(2)若c－b＝1，求a的值．
解 (1)在△ABC中，∵cosA＝，∴sinA＝.
又S△ABC＝bcsinA＝30，∴bc＝12×13.
∴·＝||||cosA＝bccosA＝144.
(2)由(1)知bc＝12×13，又c－b＝1，
∴b＝12，c＝13.
在△ABC中，由余弦定理，得
a2＝b2＋c2－2bccosA
＝122＋132－2×12×13×＝25，
∴a＝5.
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6第2课时 高度问题
1．复习巩固正弦定理、余弦定理．
2．能够用正弦定理、余弦定理解决高度问题．
1．正弦定理
(1)定理：在△ABC中，若角A，B，C的对边分别是a，b，c，则各边和它所对角的正弦的比______，即＝＝________.[]
(2)应用：正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题：
①已知______和任意一边，求另两边和另一角；
②已知______和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求其他的边和角．
【做一做1】
在△ABC中，A＝30°，B＝45°，a＝，则b＝__________.
2．余弦定理
(1)定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的______的积的两倍，即a2＝b2＋c2－2bccos
A，b2＝a2＋c2－2accos
B，c2＝________.
(2)推论：cos
A＝，cos
B＝，cos
C＝__________________.[]
(3)应用：余弦定理可以用来解决两类解三角形的问题：
①已知三角形的三边，求三角形的三个角；
②已知三角形的两边和它们的夹角，求三角形的第三边和其他两个角．[]
【做一做2】
在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝，c＝，则B＝__________.
3．测量中的有关概念
(1)坡角：坡面与________的夹角，如图所示，α为坡角．
(2)坡比：坡面的铅直高度与________之比，即i==tan
α，如图所示．
(3)仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和________视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图所示)．
(4)铅直平面：铅直平面是指与海平面______的平面．
(5)基线：在测量上，根据测量需要适当确定的线段．
答案：1．(1)相等 (2)①两角 ②两边
【做一做1】
2
2．(1)余弦 a2＋b2－2abcos
C (2)
【做一做2】
3．(1)水平面 (2)水平宽度 (3)目标 (4)垂直
1．高度问题
剖析：测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理或余弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
在测量底部不可到达的建筑物的高度时，可以借助正弦定理或余弦定理，构造两角(两个仰角或两个俯角)和一边或三角(两个方向角和仰角)和一边，如下图．
2．利用解三角形解决实际问题
剖析：解斜三角形知识在生产实践中有着广泛的应用，解与斜三角形有关的实际问题的过程，贯穿了数学建模的思想．这种思想就是从实际出发，经过抽象概括，把它转化为具体问题中的数学模型，然后通过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实际问题的解．上述思维过程可以用下图表示．[]
解斜三角形应用题的一般步骤是：
(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图，化实际问题为数学问题．
(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型．
(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解．
(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．
题型一
测量能看到底部但不可到达的物体的高度
【例题1】
如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测量点C和D.现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.
分析：先利用三角形内角和定理求出∠CBD的度数，再利用正弦定理求出BC的长，最后在△ABC中求出AB即为塔高．
题型二
测量不能看到底部且不可到达的物体的高度
【例题2】
如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得点A的俯角为β，已知铁塔BC部分的高为h，求山高CD.
分析：根据已知条件，应该先设法计算出AB的值，再在Rt△ABD中解得BD.
答案：【例题1】
解：在△BCD中，∠BCD＝α，∠BDC＝β，
∴∠CBD＝180°－(α＋β)，
∴＝，
即＝.∴BC＝·s.
在△ABC中，由于∠ABC＝90°，∴＝tan
θ.
∴AB＝BC·tan
θ＝·s.
【例题2】
解：在△ABC中，
∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，∠BAC＝α－β，∠BAD＝α，
则＝，
∴AB＝.
在Rt△ABD中，BD＝ABsin∠BAD
＝＝，
∴CD＝BD－BC＝h.
1如图，从山顶A望地面上C，D两点，测得它们的俯角分别为45°和30°，已知CD＝100米，点C位于BD上，则山高AB等于( )
A．100米
B．米
C．米
D．米
2如图，线段AB，CD分别表示甲、乙两楼，AB⊥BD，CD⊥BD，从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C的仰角为α＝30°，测得乙楼底部D的俯角β＝60°，已知甲楼高AB＝24米，则乙楼高CD＝__________米．
3如图，A，B是海平面上的两个点，相距800
m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D是点C到水平面的射影，求山高CD.
4如图所示，在高出地面30
m的小山顶上建造一座电视塔CD，在距离B点60
m的地面上取一点A，若测得∠CAD＝45°，求此电视塔的高度．
5如图，为了测量某塔的高度，测量人员站在A处测得塔尖C的仰角为75.5°，前进38.5
m后，在B处测得塔尖的仰角为80°，试计算塔的高度．
答案：1．D 2.32
3．解：在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°.
由，
得AD＝＝800(＋1)(m)．
∵CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，
∴CD＝AD＝800(＋1)(m)．
∴山高CD为800(＋1)
m.
4．解：设CD＝x
m，∠BAC＝α，则tan
α＝.
又∠DAB＝45°＋α，
∴tan∠DAB＝tan(45°＋α)＝＝3.
又tan∠DAB＝，
∴＝3，∴x＝150.[]
∴电视塔的高度为150
m.
5．解：∵∠CAD＝75.5°，∠CBD＝80°，
∴∠ACB＝4.5°.
在△ABC中，由正弦定理，得，
∴BC＝≈475.
∴CD＝BC·sin
80°≈468.
∴塔的高度约为468
m.(共9张PPT)
1.2应用举例(三)
课题导入
前面我们学习了如何测量距离和高
度，这些实际上都可转化已知三角形的
一些边和角求其余边的问题.然而在实际
的航海生活中，人们又会遇到新的问题，
在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷
失方向，保持一定的航速和航向呢？今
天我们接着探讨这方面的测量问题.
讲授新课
例1.
如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75o的
方向航行67.5
n
mile后到达海岛B，然后从B出
发，沿北偏东32o的方向航行54.0
n
mile后达到
海岛C.
如果下次航行直接从A出发到达C，此
船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?
(角度精确到0.1o，距离精确到0.01n
mile)
C
A
B
32o
75o
北
西
东
南
讲解范例：
A
E
B
C
D
?
2?
4?
?
2?
例3.某巡逻艇在A处发现北偏东45o相距9海里
的C处有一艘走私船，正沿南偏东75o的方向
以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇
立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，
问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时
间才追赶上该走私船？
北
C
A
B
讲解范例：
评注：
在求解三角形中，我们可以根据
正弦函数的定义得到两个解，但作为
有关现实生活的应用题，必须检验上
述所求的解是否符合实际意义，从而
得出实际问题的解.
教材P.16练习.
练习：
课堂小结
解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：
(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，
依次利用正弦定理或余弦定理解之.
(2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形，
这时需要选择条件足够的三角形优先研究，
再逐步在其余的三角形中求出问题的解.
阅读必修5教材P.16到P.18;
2.
《习案》作业六.
课后作业1.3 实习作业
测量问题
距离问题或高度问题：如测量从一个可到达点到另一个不可到达点的距离，或两个不可到达点间的距离；求有关底部不可到达的建筑物高度问题等．
学习目的
1．学会利用测量工具进行实地测量，能够按照要求写出实习报告，以提高动手能力及合作精神．
2．学会对信息进行收集、加工、整理，提高运用所学知识分析问题和解决问题的能力，从而增强数学应用意识．
3．培养严谨的科学态度，学会认真测量、计算；掌握一般测量要进行多次，并取其平均值，以尽可能减小误差的方法．
4．学会运用所学知识，总结出学科知识来自于实践又用于指导实践的规律，以巩固所学知识，并培养正确的学习观、科学观．
测量工具
钢卷尺或皮尺、测角仪、经纬仪等测量仪器．
方法步骤
1．设计测量方案；
2．明确计算原理(正弦定理、余弦定理)；
3．根据地形选取测量点，测量所需数据；
4．计算结果；
5．填写实习报告．
案例探究
测量项目：A，B两点间有小山和小河，求A，B两点间的距离．
测量方案：选择一点D，使AD可以直接测量，且B，D两点可以通视，再在AD上选一点C，使B，C两点也可通视，测得下列数据：AC＝m，CD＝n，∠ADB＝α，∠ACB＝β，求AB.[]
计算原理：如图所示，在△BCD中，CD＝n，∠CDB＝α，则∠DBC＝β－α.
在△BCD中，由正弦定理，可得
BC＝＝.
在△ABC中，由余弦定理，得
AB2＝BC2＋AC2－2BC·AC·cos∠ACB，
其中BC已求，AC＝m，∠ACB＝β，故AB可求．
实习报告
____年____月____日
测量问题
测量不可到达的两点A，B间的距离
附图
测量工具[]
测角仪、皮尺
测得数据
AC＝342.6
m，CD＝305.4
m，α＝98°36′，β＝116°10′
计算
1.计算原理：∠DBC＝β－α，BC＝＝，AB2＝BC2＋AC2－2BC·AC·cos∠ACB2．计算结果：约为1
191.9
m
负责人及参加者
负责人：胡圆圆参加者：王国涛，王志文，李海清，张贵丽[]
计算者及复核者
计算者：宋亚东复核者：汪培形，郝晨光
指导教师审核意见
1.测量的数据精度还不够高，可以再准确些．如在测量时，尽可能取角α为直角，使角β为等腰△ABC的顶角；2．尽量加长CD以减小误差；3．测量的方案比较单一，可设计更多的测量方案.
领悟反思
实习作业要求先收集信息，再用数学建模的方法解决实际问题．测量中需注意：
1．测量时要正确使用测量仪器，先设计好方案后，再去采集数据，做到有的放矢；
2．测量时所选地面应保持水平，使测量数据相对准确，另外，一般采用多次测量取其平均值的方法；
3．要有创新意识，创造性地设计不同的测量方案，并用不同的方法收集数据，整理信息；
4．要亲身参与实习作业的整个过程，切实提高运用所学的知识分析问题、解决问题的能力．[]
