1.2解三角形应用举例 第四课时
一、教学目标
1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用
2、本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型。另外本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用，教师要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解。只要学生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点。
3、让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验
二、教学重点、难点
重点：推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目
难点：利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题
三、教学过程
Ⅰ.课题导入
[创设情境]
师：以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式。在
ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为h、h、h，那么它们如何用已知边和角表示？
生：h=bsinC=csinB h=csinA=asinC h=asinB=bsinaA
师：根据以前学过的三角形面积公式S=ah,应用以上求出的高的公式如h=bsinC代入，可以推导出下面的三角形面积公式，S=absinC，大家能推出其它的几个公式吗？
生：同理可得，S=bcsinA, S=acsinB
Ⅱ.讲授新课
[范例讲解]
例1、在ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm）
（1）已知a=14 cm, c=24 cm, B=150;
（2）已知B=60, C=45, b=4 cm;
（3）已知三边的长分别为a=3 cm,b=4 cm, c=6 cm
分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积。
解：略
例2、如图,在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm）？
思考：你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？
本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解。
解：设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论，
cosB= =≈0.7532
sinB=0.6578 应用S=acsinB
S ≈681270.6578≈2840.38(m)
答：这个区域的面积是2840.38m。
变式练习1：已知在ABC中，B=30,b=6,c=6,求a及ABC的面积S
提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。
答案：a=6,S=9;a=12,S=18
例3、在ABC中，求证：
（1）
（2）++=2（bccosA+cacosB+abcosC）
分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，用正弦定理来证明
证明：（1）根据正弦定理，可设
= = = k 显然 k0，所以
左边===右边
（2）根据余弦定理的推论，
右边=2(bc+ca+ab)
=(b+c- a)+(c+a-b)+(a+b-c) =a+b+c=左边
变式练习2：判断满足sinC =条件的三角形形状
提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边” （解略）直角三角形
Ⅲ.课堂练习 课本第18页练习第1、2、3题
Ⅳ.课时小结
利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状。特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用。
Ⅴ.课后作业
《习案》作业七
课件17张PPT。1.2应用举例(四)课题导入 在△ABC中，边BC、CA、AB上的
高分别记为ha、hb、hc，那么它们如何
用已知边和角表示？课题导入 在△ABC中，边BC、CA、AB上的
高分别记为ha、hb、hc，那么它们如何
用已知边和角表示？ha＝bsinC＝csinB
hb=csinA＝asinC
hc=asinB＝bsinA讲授新课根据以前学过的三角形面积公式
可以推导出下面的三角形面积公式：讲授新课根据以前学过的三角形面积公式
可以推导出下面的三角形面积公式：讲授新课根据以前学过的三角形面积公式
可以推导出下面的三角形面积公式：讲授新课根据以前学过的三角形面积公式
可以推导出下面的三角形面积公式：例1. 在ABC中，根据下列条件，求三角
形的面积S（精确到0.1cm）
(1) 已知a＝14cm, c＝24cm, B＝150o;
(2) 已知B＝60o, C＝45o, b＝4cm;
(3) 已知三边的长分别为a＝3cm, b＝4cm,
c＝6cm.讲解范例：例2. 如图，在某市进行城市环境建设中，要
把一个三角形的区域改造成室内公园，经过
测量得到这个三角形区域的三条边长分别为
68m，88m，127m，这个区域的面积是多少？
（精确到0.1m2）讲解范例：思考： 你能把这一实际问题化归为一道
数学题目吗？本题可转化为已知三角
形的三边，求角的问题，再利用三角
形的面积公式求解.变式练习1：已知在△ABC中，B＝30o，b＝6，
c＝6 求a及△ABC的面积S.例3.在 △ABC中，求证：讲解范例：变式练习2：判断满足
的三角形形状.条件变式练习2：判断满足
的三角形形状.条件 利用正弦定理或余弦定理，“化
边为角”或“化角为边” (解略)直角
三角形.提示：教材P.18练习第1、2、3题.练习：课堂小结 利用正弦定理或余弦定理将已知
条件转化为只含边的式子或只含角的
三角函数式，然后化简并考察边或角
的关系，从而确定三角形的形状.特别
是有些条件既可用正弦定理也可用余
弦定理甚至可以两者混用. 阅读必修5教材P.16到P.18;
2. 《习案》作业七.课后作业第4课时 几何计算问题
1．复习巩固正弦定理、余弦定理．
2．能用正弦定理、余弦定理计算三角形的面积等．
1．正弦定理
【做一做1】 在△ABC中，a＝，A＝45°，则△ABC外接圆的半径R等于( )[来源:Zxxk.Com]
A．1 B．2 C．4 D．无法确定
2．余弦定理
【做一做2】 边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是( )
A．90° B．120° C．135° D．150°
3．几何计算问题
在△ABC中，边BC，CA，AB上的高分别记为ha，hb，hc，则
(1)ha＝bsin C＝______；
(2)hb＝csin A＝______；
(3)hc＝asin B＝______；
(4)S＝________.
三角形中的计算、证明问题除正弦定理、余弦定理外，常见的公式还有：
(1)P＝a＋b＋c(P为三角形的周长)；
(2)A＋B＋C＝π；
(3)S＝aha(ha表示a边上的高)；
(4)S＝(可用正弦定理推得)；
(5)S＝2R2sin A·sin B·sin C(R是三角形外接圆的半径)；
(6)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆的半径)；
(7)海伦公式：S＝，其中p＝(a＋b＋c)．
【做一做3－1】 在△ABC中，已知C＝60°，b＝4，则BC边上的高等于( )
A. B．2 C．4 D．6
【做一做3－2】 在△ABC中，a＝4，b＝2，C＝45°，则△ABC的面积S＝__________.
答案：【做一做1】 A
【做一做2】 B
3．(1)csin B (2)asin C (3)bsin A (4)bcsin A[来源:Zxxk.Com]
【做一做3－1】 D
【做一做3－2】 2
1．三角形中的常用结论
剖析：在△ABC中，边、角之间的关系有以下常用结论：
①a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b.
②a－b＜c，b－c＜a，a－c＜b.
③A＋B＋C＝π.
④a＞bA＞Bsin A＞sin B.
⑤a＝bA＝B.
⑥A为锐角cos A＞0a2＜b2＋c2；
A为钝角cos A＜0a2＞b2＋c2；
A为直角cos A＝0a2＝b2＋c2.
⑦sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C.
⑧sin ＝cos ，cos ＝sin .
2．解三角形
剖析：解三角形有四种情况，如下表所示：
已知条件
应用定理
一般解法
一边和两角(如a，B，C)
正弦定理
由A＋B＋C＝180°，求角A；由正弦定理求出b与c；S△ABC＝acsin B；在有解时只有一解
两边和夹角(如a，b，C)
余弦定理
正弦定理
由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所对的角；再由A＋B＋C＝180°求出另一角；S△ABC＝absin C；在有解时只有一解
三边(a，b，c)
余弦定理
由余弦定理求出角A，B；再利用A＋B＋C＝180°，求出角C；S△ABC＝absin C；在有解时只有一解
两边和其中一边的对角(如a，b，A)
正弦定理
由正弦定理求出角B；由A＋B＋C＝180°，求出角C；再利用正弦定理求出第三边c；S△ABC＝absin C；可有一解、两解或无解
题型一 求三角形的面积
【例题1】 在△ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S.
(1)已知a＝3 cm，c＝4 cm，B＝30°；
(2)已知A＝75°，C＝45°，b＝4 cm.[来源:学科网ZXXK]
分析：(1)可根据面积公式S＝acsin B直接求解；
(2)要求三角形的面积，需知道三角形的两边及其夹角．
反思：求三角形面积，常结合正弦定理、余弦定理，只要求得三角形中的两边及其夹角即可求出面积．
题型二 证明三角恒等式
【例题2】 在△ABC中，求证：＝.
分析：从左边证右边，化角为边或化边为角．
题型三 实际应用问题
【例题3】 一块四边形土地ABCD的形状如图所示，∠ADB＝60°，∠BDC＝40°，∠BCD＝125°，AD＝10 m，AB＝14 m，求四边形土地的面积(精确到0.01 m2)．
分析：把四边形ABCD分割成△ABD和△BCD，分别求出这两个三角形的面积，其和即为所求．
反思：实际问题中，在求不规则图形的面积时，常利用割补法，转化为求规则图形的面积．如本题分割成三角形．
题型四 易错辨析
【例题4】 已知△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，△ABC的面积为S，若a＝4，b＝5，S＝5，求c的长．
错解：由S＝absin C，得5＝×4×5sin C，
解得sin C＝，则C＝60°.
由c2＝a2＋b2－2abcos C，得c2＝a2＋b2－ab＝21，
故c的长为.
错因分析：由sin C＝求C时，忽视了C的范围，导致漏解．
答案：【例题1】 解：(1)依题意，由三角形的面积S＝acsin B，
得S＝×3×4×sin 30°＝3(cm2)．
(2)根据正弦定理＝，得c＝，
则S＝bcsin A＝b2.
又B＝180°－(A＋C)＝180°－(75°＋45°)＝60°，
故S＝×42×＝(cm2)．
【例题2】 证法一：化角为边
左边＝
＝·
＝＝＝＝右边．
证法二：化边为角
左边＝
＝
＝＝＝右边 .
【例题3】 解：在△ABD中，由余弦定理，得
AB2＝AD2＋BD2－2·AD·BD·cos∠ADB，
设BD＝x，有142＝x2＋102－2·10xcos 60°，
x2－10x－96＝0，∴x1＝16，x2＝－6(舍去)，
即BD＝16.
∴S△ABD＝AD·BDsin∠ADB
＝×10×16sin 60°≈69.282(m2)．
在△BCD中，∠BCD＝125°，∠BDC＝40°，BD＝16，
∴∠CBD＝180°－∠BCD－∠BDC＝15°.
由正弦定理，
得CD＝＝≈5.055.[来源:学|科|网]
∴S△BCD＝BD·CDsin∠BDC
＝×16×5.055sin 40°≈25.996(m2)．
∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD
≈69.282＋25.996≈95.28(m2)．
即这个四边形土地面积约是95.28 m2.
【例题4】 正解：由S＝absin C，得5＝×4×5sin C，
解得sin C＝，
∴C＝60°或C＝120°.
当C＝60°时，c2＝a2＋b2－ab＝21；
当C＝120°时，c2＝a2＋b2＋ab＝61.
∴c的长为或.
1在△ABC中，c＝2，A＝30°，B＝120°，则△ABC的面积为( )
A. B. C． D．3
2 (2011·北京海淀二模)已知△ABC的面积S＝，A＝，则＝__________.
3在△ABC中，若∠A＝120°，AB＝5，BC＝7，则△ABC的面积S＝__________.
4如图所示，一块四边形土地ABCD的三边AD＝40 m，DC＝30 m，CB＝30 m，∠ADC＝150°，∠DCB＝120°，则该土地的面积约为__________ m2(精确到0.01 m2)．
5在△ABC中，求证：a(sin B－sin C)＋b(sin C－sin A)＋c(sin A－sin B)＝0.
答案：1．B 2.2 3. 4.909.33
5．证明：由正弦定理，
则asin B＝bsin A，asin C＝csin A，bsin C＝csin B，
所以左边＝asin B－asin C＋bsin C－bsin A＋csin A－csin B＝(asin B－bsin A)＋(bsin C－csin B)＋(csin A－asin C)＝0＋0＋0＝0＝右边，
所以原式成立．
1.3 实习作业
测量问题
距离问题或高度问题：如测量从一个可到达点到另一个不可到达点的距离，或两个不可到达点间的距离；求有关底部不可到达的建筑物高度问题等．
学习目的
1．学会利用测量工具进行实地测量，能够按照要求写出实习报告，以提高动手能力及合作精神．
2．学会对信息进行收集、加工、整理，提高运用所学知识分析问题和解决问题的能力，从而增强数学应用意识．
3．培养严谨的科学态度，学会认真测量、计算；掌握一般测量要进行多次，并取其平均值，以尽可能减小误差的方法．
4．学会运用所学知识，总结出学科知识来自于实践又用于指导实践的规律，以巩固所学知识，并培养正确的学习观、科学观．
测量工具
钢卷尺或皮尺、测角仪、经纬仪等测量仪器．
方法步骤
1．设计测量方案；
2．明确计算原理(正弦定理、余弦定理)；
3．根据地形选取测量点，测量所需数据；
4．计算结果；
5．填写实习报告．
案例探究
测量项目：A，B两点间有小山和小河，求A，B两点间的距离．
测量方案：选择一点D，使AD可以直接测量，且B，D两点可以通视，再在AD上选一点C，使B，C两点也可通视，测得下列数据：AC＝m，CD＝n，∠ADB＝α，∠ACB＝β，求AB.[来源:学科网ZXXK]
计算原理：如图所示，在△BCD中，CD＝n，∠CDB＝α，则∠DBC＝β－α.
在△BCD中，由正弦定理，可得
BC＝＝.
在△ABC中，由余弦定理，得
AB2＝BC2＋AC2－2BC·AC·cos∠ACB，
其中BC已求，AC＝m，∠ACB＝β，故AB可求．
实习报告
____年____月____日
测量问题
测量不可到达的两点A，B间的距离
附图
测量工具[来源:Zxxk.Com]
测角仪、皮尺
测得数据
AC＝342.6 m，CD＝305.4 m，α＝98°36′，β＝116°10′
计算
1.计算原理：∠DBC＝β－α，
BC＝＝，
AB2＝BC2＋AC2－2BC·AC·cos∠ACB
2．计算结果：约为1 191.9 m
负责人及
参加者
负责人：胡圆圆
参加者：王国涛，王志文，李海清，张贵丽[来源:学。科。网Z。X。X。K]
计算者及
复核者
计算者：宋亚东
复核者：汪培形，郝晨光
指导教师
审核意见
1.测量的数据精度还不够高，可以再准确些．如在测量时，尽可能取角α为直角，使角β为等腰△ABC的顶角；
2．尽量加长CD以减小误差；
3．测量的方案比较单一，可设计更多的测量方案.
领悟反思
实习作业要求先收集信息，再用数学建模的方法解决实际问题．测量中需注意：
1．测量时要正确使用测量仪器，先设计好方案后，再去采集数据，做到有的放矢；
2．测量时所选地面应保持水平，使测量数据相对准确，另外，一般采用多次测量取其平均值的方法；
3．要有创新意识，创造性地设计不同的测量方案，并用不同的方法收集数据，整理信息；
4．要亲身参与实习作业的整个过程，切实提高运用所学的知识分析问题、解决问题的能力．[来源:学科网]
