1.2解三角形应用举例 第一课时
一、教学目标
1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语
2、激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力
二、教学重点、难点
教学重点：由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解
教学难点：根据题意建立数学模型，画出示意图
三、教学设想
1、复习旧知
复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？
2、设置情境
请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。
新课讲授
（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解
(2)例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，BAC=，ACB=。求A、B两点的距离(精确到0.1m)
提问1：ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？
提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。
分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边。
解：根据正弦定理，得 =
AB = = = = ≈ 65.7(m)
答:A、B两点间的距离为65.7米
变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30，灯塔B在观察站C南偏东60，则A、B之间的距离为多少？
老师指导学生画图，建立数学模型。 解略：a km
例2、如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法。
分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC和BC，再利用余弦定理可以计算出AB的距离。
解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a，并且在C、D两点分别测得BCA=，
ACD=，CDB=，BDA =，在ADC和BDC中，应用正弦定理得
AC = =
BC = =
计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离
AB =
分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析。
变式训练：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得BCA=60，ACD=30，CDB=45，BDA =60
略解：将题中各已知量代入例2推出的公式，得AB=20
评注：可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。
学生阅读课本4页，了解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例子。
课堂练习：课本第14页练习第1、2题
归纳总结
解斜三角形应用题的一般步骤：
（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图
（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解
（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解
四、课后作业
课本第22页第1、2、3题
思考题：某人在M汽车站的北偏西20的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶。公路的走向是M站的北偏东40。开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米。问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？
解：由题设，画出示意图，设汽车前进20千米后到达B处。在ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得
cosC==,
则sinC =1- cosC =,
sinC =,
所以 sinMAC = sin（120-C）= sin120cosC - cos120sinC =
在MAC中，由正弦定理得
MC ===35
从而有MB= MC-BC=15
答：汽车还需要行驶15千米才能到达M汽车站。
作业：《习案》作业三
课件18张PPT。1.2应用举例(一)复习引入1. 什么是正弦定理？复习引入1. 什么是正弦定理？ 在一个三角形中，各边和它所对
角的正弦的比相等，即 复习引入2. 运用正弦定理能解怎样的三角形？ 复习引入①已知三角形的任意两角及其一边；
②已知三角形的任意两边与其中一边
的对角. 2. 运用正弦定理能解怎样的三角形？ 复习引入3. 什么是余弦定理？复习引入3. 什么是余弦定理？ 三角形中任何一边的平方等于其他
两边的平方的和减去这两边与它们的夹
角的余弦的积的两倍.即：复习引入①已知三边求三角；
②已知两边及它们的夹角，求第三边.4. 运用余弦定理能解怎样的三角形？作业讲评《习案》作业三第2、3题讲授新课例1.如图，设A、B两点在河的两岸，要测
量两点之间的距离，测量者在A的同侧，
在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距
离是55m，∠BAC＝51o，∠ACB＝75o.
求A、B两点的距离(精确到0.1m)CAB1. 在△ABC中，根据已知的边和对应角，
运用哪个定理比较适当？思考：2. 运用该定理解题还需要哪些边和角呢？讲解范例例1.如图，设A、B两点在河的两岸，要测
量两点之间的距离，测量者在A的同侧，
在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距
离是55m，∠BAC＝51o，∠ACB＝75o.
求A、B两点的距离(精确到0.1m)CAB两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等
于a km，灯塔A在观察站C的北偏东30o，
灯塔B在观察站C南偏东60o，则A、B之
间的距离为多少？变式练习：讲解范例：例2. 如图，A、B两点都在河的对岸(不
可到达)，设计一种测量A、B两点间距
离的方法.AB评注： 可见，在研究三角形时，灵活根据
两个定理可以寻找到多种解决问题的方
案，但有些过程较繁复，如何找到最优
的方法，最主要的还是分析两个定理的
特点，结合题目条件来选择最佳的计算
方式.教材P.13练习第1、2题.练习：课堂小结解斜三角形应用题的一般步骤：
(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出
示意图.
(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知
量与求解量尽量集中在有关的三角
形中，建立一个解斜三角形的数学
模型.
(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解
出三角形，求得数学模型的解.
(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意
义，从而得出实际问题的解. 阅读必修5教材P.11到P.13;
2. 《习案》作业四.课后作业双基限时练(四)
1．在△ABC中，若sinB：sinC＝3：4，则边c?b等于( )
A．4：3，或16：9 B．3：4
C．16：9 D．4：3
解析 由正弦定理＝，得＝＝.
答案 D
2．在△ABC中，已知a＝32，b＝16，∠A＝2∠B，则边长c等于( )
A．32 B．16
C．4 D．16
解析 由正弦定理，可得＝＝＝2cosB.∴cosB＝，∴B＝45°，A＝90°，∴c＝b＝16.
答案 B
3．在△ABC中，若＝＝，则△ABC是( )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
解析 由正弦定理及题设条件，知＝＝.由＝，得sin(A－B)＝0.∵0
答案 B
4．在△ABC中，如果BC＝6，AB＝4，cosB＝，那么AC等于( )
A．6 B．2
C．3 D．4
解析 由余弦定理，得
AC2＝BC2＋AB2－2·AB·BC·cosB
＝62＋42－2×6×4×
＝36，∴AC＝6.
答案 A
5．有一长为10 m的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长的长度(单位：m)是( )
A．5 B．10
C．10 D．10
解析 如图，设将坡底加长到C时，倾斜角为30°，在△ABC中，AB＝10 m，∠C＝30°，∠BAC＝75°－30°＝45°.
由正弦定理得＝.
即BC＝＝＝10(m)．
答案 C
6．在△ABC中，已知AC＝2，BC＝3，cosA＝－，则sinB＝________.
解析 ∵cosA＝－，∴sinA＝.
由正弦定理，可得＝，
∴sinB＝＝×＝.
答案
7．一艘船以4 km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过 h，该船实际航程为________．
解析 如图所示，设O表示水流方向，O为船航行方向．则O为船实际航行方向．
由题意，知|A|＝4，|O|＝2，∠OAC＝60°，
在△OAC中，由余弦定理，
得OC2＝(4)2＋(2)2－2×4×2×＝36.
∴|OC|＝6.
答案 6 km
8．某人从A处出发，沿北偏东60°行走3 km到B处，再沿正东方向行走2 km到C处，则A，C两地距离为________ km.
解析 如图所示，由题意可知AB＝3，BC＝2，∠ABC＝150°.
由余弦定理，得
AC2＝27＋4－2×3×2×cos150°＝49，AC＝7.则A，C两地距离为7 km.
答案 7
9．一蜘蛛沿东北方向爬行x cm捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，那么x＝________.
解析 如图所示，设蜘蛛原来在O点，先爬行到A点，再爬行到B点，易知在△AOB中，AB＝10 cm，∠OAB＝75°，∠ABO＝45°，
则∠AOB＝60°，由正弦定理知：
x＝＝＝(cm)．
答案 cm
10．如图，某炮兵阵地位于A点，两观察所分别位于C，D两点．已知△ACD为正三角形，且DC＝ km，当目标出现在B点时，测得∠BCD＝75°，∠CDB＝45°，求炮兵阵地与目标的距离．
解 ∠CBD＝180°－∠CDB－∠BCD＝180°－45°－75°＝60°，
在△BCD中，由正弦定理，得
BD＝＝.
在△ABD中，∠ADB＝45°＋60°＝105°，
由余弦定理，得
AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos105°
＝3＋2－2×××＝5＋2.
∴AB＝.
∴炮兵阵地与目标的距离为km.
第1课时 距离问题
1．复习巩固正弦定理、余弦定理．
2．能够用正弦定理、余弦定理解决距离问题．[来源:学科网]
1．正弦定理
(1)定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝______＝＝2R(在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，R是△ABC的外接圆半径)．
(2)应用：利用正弦定理可以解决以下两类解三角形问题：
①已知两角与一边，解三角形；
②已知两边与其中一边的对角，解三角形．[来源:学科网ZXXK]
【做一做1】 在△ABC中，a＝4，b＝3，A＝30°，则sin B等于( )
A．1 B. C. D.
2．余弦定理
(1)定理：三角形中任何一边的______等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的____倍．即：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝____________，c2＝a2＋b2－2abcos C.
(2)推论：cos A＝，cos B＝______________，cos C＝.
(3)应用：利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题：
①已知三边，解三角形；
②已知两边及其夹角，解三角形．
【做一做2】 在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则A＝__________.
3．基线
在测量上，根据需要确定的适当线段叫做基线．在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．
答案：1．(1)
【做一做1】 C
2．(1)平方 两 c2＋a2－2cacos B (2)
【做一做2】 60°
距离问题的处理方法
剖析：(1)测量从一个可到达的点A到一个不可到达的点B之间的距离问题．如图所示．
这实际上就是已知三角形的两个角和一边解三角形的问题，用正弦定理就可解决．
(2) 测量两个不可到达的点A，B之间的距离问题．如图所示．
首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，然后把求B，C和A，C的距离问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
距离测量问题是基本的测量问题．在初中曾经学习过应用全等三角形、相似三角形和解直角三角形的知识进行距离测量，这里涉及的测量问题是不可到达点的测距问题，要注意问题的差异．
题型一 测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题
【例题1】 如图，在河岸边有一点A，河对岸有一点B，要测量A，B两点之间的距离，先在岸边取基线AC，测得AC＝120 m，∠BAC＝45°，∠BCA＝75°，求A，B两点间的距离．
分析：在△ABC中利用正弦定理求出AB即可．
反思：如图所示，设A(可到达)，B(不可到达)是地面上两点，要测量A，B两点之间的距离，步骤是：
(1)取基线AC(尽量长)，且使AB，AC不共线；
(2)测量AC，∠BAC，∠BCA；
(3)用正弦定理解△ABC，得
.
题型二 测量两个不可到达的点之间的距离问题
【例题2】 如图，隔河看到两个目标A，B，但不能到达，在岸边选取相距 km的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两个目标A，B之间的距离．
分析：要求出A，B之间的距离，把AB放在△ABC(或△ADB)中，但不管在哪个三角形中，AC，BC(或AD，BD)这些量都是未知的．再把AC，BC(或AD，BD)放在△ACD，△BCD中求出它们的值．
反思：如图所示，不可到达的A，B是地面上两点，要测量A，B两点之间的距离，步骤是：
(1)取基线CD；
(2)测量CD，∠ACB，∠BCD，∠ADC，∠BDA；
(3)在△ACD中，解三角形得AC；在△BCD中，解三角形得BC；
(4)在△ABC中，利用余弦定理得AB=.
答案：【例题1】 解：在△ABC中，AC＝120，A＝45°，C＝75°，
则B＝180°－(A＋C)＝60°，
由正弦定理，
得AB＝．
即A，B两点间的距离为.[来源:学|科|网Z|X|X|K]
【例题2】 解：在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，
∴∠CAD＝30°，[来源:学&科&网Z&X&X&K]
∴AC＝CD＝.
在△BDC中，∠CBD＝180°－(45°＋30°＋45°)＝60°.[来源:学.科.网]
在△BCD中，由正弦定理，
得BC＝＝.
则在△ABC中，由余弦定理，得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠BCA
＝()2＋2－2×cos 75°＝5.
∴AB＝.
∴两个目标A，B之间的距离为 km.
1已知A，B两地相距10 km，B，C两地相距20 km，且∠ABC＝120°，则A，C两地相距( )
A．10 km B． C． D．
2设A，B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出A，C的距离是100 m，∠BAC＝60°，∠ACB＝30°，则A，B两点的距离为__________ m.
3 (2018·北京朝阳二模)如图，一艘船上午8：00在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午8：30到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距 n mile，则此船的航行速度是__________n mile/h.
4 如图，为了开凿隧道，要测量隧道上D，E间的距离，为此在山的一侧选取适当点C，测得CA＝400 m，CB＝600 m，∠ACB＝60°，又测得A，B两点到隧道口的距离AD＝80 m，BE＝40 m(A，D，E，B在一条直线上)，计算隧道DE的长．(精确到1 m)
5在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距的军事基地C和D测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队的距离．
答案：1．D 2.50 3.16
4．解：在△ABC中，由余弦定理，得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB，
∴AB2＝4002＋6002－2×400×600cos 60°＝280 000.
∴AB＝．
∴DE＝AB－AD－BE＝－120≈409(m)．
∴隧道DE的长约为409 m.
5．解：∵∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝60°，∠ACD＝60°，
∴∠DAC＝60°.∴AD＝CD＝.
在△BCD中，∠DBC＝180°－30°－105°＝45°，
∵，
∴BD＝.
在△ADB中，∵AB2＝AD2＋BD2－2·AD·BD·cos∠ADB＝ ，∴AB＝.
∴蓝方这两支精锐部队的距离为.
第1课时 距离问题
1．复习巩固正弦定理、余弦定理．
2．能够用正弦定理、余弦定理解决距离问题．[来源:学科网]
1．正弦定理
(1)定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝______＝＝2R(在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，R是△ABC的外接圆半径)．
(2)应用：利用正弦定理可以解决以下两类解三角形问题：
①已知两角与一边，解三角形；
②已知两边与其中一边的对角，解三角形．[来源:学科网ZXXK]
【做一做1】 在△ABC中，a＝4，b＝3，A＝30°，则sin B等于( )
A．1 B. C. D.
2．余弦定理
(1)定理：三角形中任何一边的______等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的____倍．即：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝____________，c2＝a2＋b2－2abcos C.
(2)推论：cos A＝，cos B＝______________，cos C＝.
(3)应用：利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题：
①已知三边，解三角形；
②已知两边及其夹角，解三角形．
【做一做2】 在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则A＝__________.
3．基线
在测量上，根据需要确定的适当线段叫做基线．在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．
答案：1．(1)
【做一做1】 C
2．(1)平方 两 c2＋a2－2cacos B (2)
【做一做2】 60°
距离问题的处理方法
剖析：(1)测量从一个可到达的点A到一个不可到达的点B之间的距离问题．如图所示．
这实际上就是已知三角形的两个角和一边解三角形的问题，用正弦定理就可解决．
(2) 测量两个不可到达的点A，B之间的距离问题．如图所示．
首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，然后把求B，C和A，C的距离问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
距离测量问题是基本的测量问题．在初中曾经学习过应用全等三角形、相似三角形和解直角三角形的知识进行距离测量，这里涉及的测量问题是不可到达点的测距问题，要注意问题的差异．
题型一 测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题
【例题1】 如图，在河岸边有一点A，河对岸有一点B，要测量A，B两点之间的距离，先在岸边取基线AC，测得AC＝120 m，∠BAC＝45°，∠BCA＝75°，求A，B两点间的距离．
分析：在△ABC中利用正弦定理求出AB即可．
反思：如图所示，设A(可到达)，B(不可到达)是地面上两点，要测量A，B两点之间的距离，步骤是：
(1)取基线AC(尽量长)，且使AB，AC不共线；
(2)测量AC，∠BAC，∠BCA；
(3)用正弦定理解△ABC，得
.
题型二 测量两个不可到达的点之间的距离问题
【例题2】 如图，隔河看到两个目标A，B，但不能到达，在岸边选取相距 km的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两个目标A，B之间的距离．
分析：要求出A，B之间的距离，把AB放在△ABC(或△ADB)中，但不管在哪个三角形中，AC，BC(或AD，BD)这些量都是未知的．再把AC，BC(或AD，BD)放在△ACD，△BCD中求出它们的值．
反思：如图所示，不可到达的A，B是地面上两点，要测量A，B两点之间的距离，步骤是：
(1)取基线CD；
(2)测量CD，∠ACB，∠BCD，∠ADC，∠BDA；
(3)在△ACD中，解三角形得AC；在△BCD中，解三角形得BC；
(4)在△ABC中，利用余弦定理得AB=.
答案：【例题1】 解：在△ABC中，AC＝120，A＝45°，C＝75°，
则B＝180°－(A＋C)＝60°，
由正弦定理，
得AB＝．
即A，B两点间的距离为.[来源:学|科|网Z|X|X|K]
【例题2】 解：在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，
∴∠CAD＝30°，[来源:学&科&网Z&X&X&K]
∴AC＝CD＝.
在△BDC中，∠CBD＝180°－(45°＋30°＋45°)＝60°.[来源:学.科.网]
在△BCD中，由正弦定理，
得BC＝＝.
则在△ABC中，由余弦定理，得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠BCA
＝()2＋2－2×cos 75°＝5.
∴AB＝.
∴两个目标A，B之间的距离为 km.
1已知A，B两地相距10 km，B，C两地相距20 km，且∠ABC＝120°，则A，C两地相距( )
A．10 km B． C． D．
2设A，B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出A，C的距离是100 m，∠BAC＝60°，∠ACB＝30°，则A，B两点的距离为__________ m.
3 (2018·北京朝阳二模)如图，一艘船上午8：00在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午8：30到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距 n mile，则此船的航行速度是__________n mile/h.
4 如图，为了开凿隧道，要测量隧道上D，E间的距离，为此在山的一侧选取适当点C，测得CA＝400 m，CB＝600 m，∠ACB＝60°，又测得A，B两点到隧道口的距离AD＝80 m，BE＝40 m(A，D，E，B在一条直线上)，计算隧道DE的长．(精确到1 m)
5在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距的军事基地C和D测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队的距离．
答案：1．D 2.50 3.16
4．解：在△ABC中，由余弦定理，得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB，
∴AB2＝4002＋6002－2×400×600cos 60°＝280 000.
∴AB＝．
∴DE＝AB－AD－BE＝－120≈409(m)．
∴隧道DE的长约为409 m.
5．解：∵∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝60°，∠ACD＝60°，
∴∠DAC＝60°.∴AD＝CD＝.
在△BCD中，∠DBC＝180°－30°－105°＝45°，
∵，
∴BD＝.
在△ADB中，∵AB2＝AD2＋BD2－2·AD·BD·cos∠ADB＝ ，∴AB＝.
∴蓝方这两支精锐部队的距离为.
§1.2 应用举例(一)
课时目标
1．了解数学建模的思想；
2．利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离的问题．
1．基线的定义：在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．
2．方位角：指从正北方向线按顺时针方向旋转到目标方向线所成的水平角．如图中的A点的方位角为α.
3．计算不可直接测量的两点间的距离是正弦定理和余弦定理的重要应用之一．
一、选择题
1．若点P在点Q的北偏西45°10′方向上，则点Q在点P的( )
A．南偏西45°10′ B．南偏西44°50′
C．南偏东45°10′ D．南偏东44°50′
答案 C
2．已知两灯塔A和B与海洋观测站C的距离都等于a km，灯塔A在观测站C的北偏东20°方向上，灯塔B在观测站C的南偏东40°方向上，则灯塔A与灯塔B的距离为( )
A．a km B.a km
C.a km D．2a km
答案 B
解析 ∠ACB＝120°，AC＝BC＝a，
∴由余弦定理得AB＝a.
3．海上有A、B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是( )
A．10 n mile B. n mile
C．5 n mile D．5 n mile
答案 D
解析 在△ABC中，∠C＝180°－60°－75°＝45°.
由正弦定理得：＝
∴＝
解得BC＝5.
4．如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算A、B两点的距离为( )
A．50 m B．50 m
C．25 m D. m
答案 A
解析 由题意知∠ABC＝30°，由正弦定理＝，
∴AB＝＝＝50 (m)．
5．如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后到达N处，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )
A．20(＋) 海里/小时
B．20(－) 海里/小时
C．20(＋) 海里/小时
D．20(－) 海里/小时
答案 B
解析 由题意，
∠SMN＝45°，∠SNM＝105°，∠NSM＝30°.
由正弦定理得＝.
∴MN＝＝＝10(－)．
则v货＝20(－) 海里/小时．
6．甲船在岛B的正南A处，AB＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时，乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是( )
A. 分钟 B. 小时
C．21.5 分钟 D．2.15 分钟
答案 A
解析 设行驶x小时后甲到点C，乙到点D，两船相距y km，
则∠DBC＝180°－60°＝120°.
∴y2＝(10－4x)2＋(6x)2－2(10－4x)·6xcos 120°
＝28x2－20x＋100
＝28(x2－x)＋100＝282－＋100
∴当x＝(小时)＝(分钟)时，
y2有最小值．∴y最小．
二、填空题
7．如图，A、B两点间的距离为________．
答案 3
8．如图，A、N两点之间的距离为________．
答案 40
9．如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A、B，望对岸标记物C，测得
∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度为______．
答案 60 m
解析 在△ABC中，∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，
∴∠ACB＝75°.∠ACB＝∠ABC.∴AC＝AB＝120 m.
作CD⊥AB，垂足为D，则CD即为河的宽度．
由正弦定理得＝，
∴＝，
∴CD＝60(m)
∴河的宽度为60 m.
10．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________ km.
答案
解析
如图，∠CAB＝15°，∠CBA＝180°－75°＝105°，
∠ACB＝180°－105°－15°＝60°，AB＝1 km.
由正弦定理得
＝
∴BC＝·sin 15°＝ (km)．
设C到直线AB的距离为d，
则d＝BC·sin 75°＝·＝ (km)．
三、解答题
11．如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为12 n mile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8 n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°方向上，求：
(1)A处与D处的距离；
(2)灯塔C与D处的距离．
解 (1)在△ABD中，∠ADB＝60°，∠B＝45°，由正弦定理得AD＝＝＝24(n mile)．
(2)在△ADC中，由余弦定理得
CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos 30°，
解得CD＝8≈14(n mile)．
即A处与D处的距离为24 n mile，
灯塔C与D处的距离约为14 n mile.
12．如图，为测量河对岸A、B两点的距离，在河的这边测出CD的长为km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A、B两点间的距离．
解 在△BDC中，∠CBD＝180°－30°－105°＝45°，
由正弦定理得＝，
则BC＝＝(km)．
在△ACD中，∠CAD＝180°－60°－60°＝60°，
∴△ACD为正三角形．∴AC＝CD＝(km)．
在△ABC中，由余弦定理得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 45°
＝＋－2×××＝，
∴AB＝(km)．
答 河对岸A、B两点间距离为km.
能力提升
13．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的持续时间为( )
A．0.5小时 B．1小时
C．1.5小时 D．2小时
答案 B
解析 设t小时时，B市恰好处于危险区，则由余弦定理得：
(20t)2＋402－2×20t×40·cos 45°＝302.
化简得：4t2－8t＋7＝0，
∴t1＋t2＝2，t1·t2＝.
从而|t1－t2|＝＝1.
14．如图所示，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里．问乙船每小时航行多少海里？
解 如图所示，连结A1B2，
由已知A2B2＝10，
A1A2＝30×＝10，∴A1A2＝A2B2，
又∠A1A2B2＝180°－120°＝60°，
∴△A1A2B2是等边三角形，
∴A1B2＝A1A2＝10.
由已知，A1B1＝20，∠B1A1B2＝105°－60°＝45°，
在△A1B2B1中，由余弦定理，
B1B＝A1B＋A1B－2A1B1·A1B2·cos 45°
＝202＋(10)2－2×20×10×
＝200.
∴B1B2＝10.
因此，乙船速度的大小为
×60＝30(海里/小时)．
答 乙船每小时航行30海里．
1．解三角形应用问题的基本思路是：
实际问题数学问题数学问题的解实际问题的解．
2．测量距离问题：这类问题的情境一般属于“测量有障碍物相隔的两点间的距离”．在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，测量工具要有较高的精确度．
课件18张PPT。复习目标：1、进一步熟悉正余弦定理内容;2、能够应用正余弦定理进行边角关系的相互转化;3、能够利用正余弦定理判断三角形的形状;4、能够利用正余弦定理证明三角形中的三角恒等式。复习重点：利用正余弦定理进行边角互换难点：1、利用正余弦定理进行边角互换时的转化方向2、三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求。正、余弦定理复习回顾正弦定理：可以解决几类有关三角形的问题?（1）已知两角和任一边。 AAS（2）已知两边和一边的对角。SSA（1）已知三边求三个角；（SSS）（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角. (SAS)余弦定理的作用（3）判断三角形的形状，求三角形的面积解三角形中常用的关系式:角平分线性质圆内接四边形对角互补由余弦定理易得:三角形面积计算公式练习题A2、在△ABC中，bcosA=acosB,则三角形为
A、直角三角形 B、锐角三角形
C、等腰三角形 D、等边三角形C3、在△ABC中，若a=6,b=7,c=8,则△ABC的形状是
A、锐角三角形 B、钝角三角形
C、直角三角形 D、无法确定A5、在△ABC中，cosAcosB>sinAsinB,则△ABC为
A、等边三角形 B、直角三角形
C、等腰三角形 D、等腰三角形或直角三角形C（事实上，C为钝角，只有C项适合）D6、在△ABC中，sin2A=sin2B+sinBsinC+sin2C,则A等于
A、30o B、60o C、120o D、150oDC等腰三角形10、在△ABC中，A、B均为锐角，且cosA>sinB,则△ABC是_______________钝角三角形等腰三角形锐例2、已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积。解：连接BD（例1变式）（三维）（例1变式）三角形ABC是正三角形（三维）∴△ABC是等腰三角形或直角三角形tanA=tanB=tanC∴△ABC是等边三角形（例1变式）小结1、正弦定理和余弦定理的每一个等式中都包含三角形的四个元素，如果其中三个元素是已知的(其中至少有一边)，那么这个三角形一定可解。2、正弦定理和余弦定理的特殊功能是边角互换，即利用它们可以把边的关系转化为角的关系，也可以把角的关系转化为边的关系，从而使许多问题得以解决。3、判断三角形的形状，一般考虑从两个方向进行变形。一个方向是边，走代数变形之路，通常正、余弦定理结合使用;另一个方向是角，走三角变形之路，通常是运用正弦定理，要注意边角转化的桥梁----正、余弦定理。4、根据条件选用定理可使解题简便1)已知两角及其中一个角的对边，选用正弦定理，如已知A,B,a解三角形，则用正弦定理。2)已知三边a,b,c,一般选用余弦定理求角3)已知两边和它们的夹角，用余弦定理求第三边再用正弦定理求角。4)已知两边和一边的对角，用正弦定理求一个角，但需要进行讨论，有两解的可能。