13.1.2 线段的垂直平分线的性质第1课时——线段垂直平分线的性质和判定学案(要点讲解+当堂检测+答案)
文档属性
| 名称 | 13.1.2 线段的垂直平分线的性质第1课时——线段垂直平分线的性质和判定学案(要点讲解+当堂检测+答案) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-09-08 22:03:47 | ||
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文档简介
人教版数学八年级上册同步学案
第十三章 轴对称
13.1 轴对称
13.1.2 线段的垂直平分线的性质
第1课时 线段垂直平分线的性质和判定
要 点 讲 解
要点一 线段垂直平分线的性质
1. 线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.
2. 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
经典例题1 如图所示，已知AB比AC长2cm，BC的垂直平分线交AB于D，交BC于E，△ACD的周长是14cm，求AB和AC的长.
解析：此题用代数方法解较好.可设AB，AC的长分别为xcm，ycm，已知AB比AC长2cm，只需再找到AB与AC的另一个等量关系即可列出二元一次方程组.
解：∵DE垂直平分BC，
∴DB＝DC.
∵AC＋AD＋DC＝14cm，
∴AC＋AD＋DB＝14cm，即AC＋AB＝14cm.
设AB＝xcm，AC＝ycm，
则解得
∴AB长8cm，AC长6cm.
点拨：此题还可以设AC长为xcm，用其来表示AB的长，列一元一次方程.
要点二 线段垂直平分线的判定
判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
经典例题2 如图所示，AD为△ABC的角平分线，AE＝AF，请判断线段AD所在的直线是否为线段EF的垂直平分线.如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.
解：线段AD所在的直线是线段EF的垂直平分线.证明如下：
方法一(定义法)：设AD与EF的交点为O.
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD.
在△AOE和△AOF中，
∴△AOE≌△AOF(SAS)，
∴OE＝OF，∠AOE＝∠AOF.
又∵∠AOE＋∠AOF＝180°，
∴∠AOE＝∠AOF＝90°，即AO⊥EF.
∴线段AD所在的直线是线段EF的垂直平分线.
方法二(判定定理法)：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD.
在△AED和△AFD中，
∴△AED≌△AFD(SAS)，
∴DE＝DF.
∴点D在线段EF的垂直平分线上.
又∵AE＝AF，
∴点A在线段EF的垂直平分线上.
∴线段AD所在的直线是线段EF的垂直平分线.
当 堂 检 测
1. 如图，已知线段AB，BC的垂直平分线l1，l2交于点M，则线段AM，CM的大小关系是( )
A. AM>CM B. AM＝CM C. AM
第1题 第2题
2. 如图，AB是CD的垂直平分线，若BD＝1.6cm，AC＝2.3cm，则四边形ACBD的周长是( )
A. 3.9cm B. 7.8cm C. 4cm D. 4.6cm
3. 到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的( )
A. 三条高的交点 B. 三条角平分线的交点
C. 三条中线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点
4. 如图，CD是线段AB的垂直平分线，垂足为D，下列结论：①AD＝BD；②AC＝BC；③∠A＝∠B；④∠ACD＝∠BCD；⑤∠ADC＝∠BDC＝90°.其中正确的有( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
第4题 第5题
5. 如图，已知直线PO与AB交于O点，PA＝PB，则下列结论中正确的是( )
A. AO＝BO B. PO⊥AB
C. PO是AB的垂直平分线 D. P点在AB的垂直平分线上
6. 小明做了一个如图所示的风筝，其中EH＝FH，ED＝FD，小明说不用测量就知道DH是EF的垂直平分线.其中蕴含的道理是 .
第6题 第7题
7. 如图，点D在△ABC的BC边上，且BC＝BD＋AD，则点D在 的垂直平分线上.
8. 如图，AD⊥BC，BD＝CD，点C在AE的垂直平分线上.若AB＝5cm，BD＝3cm，求BE的长.
9. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，交AC于点G，△ADF的周长为14.
(1)求BC的长；
(2)若∠B＋∠C＝70°，求∠DAF的度数.
当堂检测参考答案
1. B 2. B 3. D 4. D 5. D
6. 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
7. AC
8. 解：∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AB＝AC.∵点C在AE的垂直平分线上，∴AC＝CE.∵AB＝5cm，BD＝3cm，∴CE＝5cm，CD＝3cm.∴BE＝BD＋DC＋CE＝11cm.
9. 解：(1)∵DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，∴BD＝AD，AF＝CF，∴BC＝BD＋DF＋FC＝AD＋DF＋AF＝14.
(2)∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，AE＝BE，∠AED＝∠BED＝90°，∴△AED≌△BED，∴∠B＝∠BAD，同理∠C＝∠CAF.∵∠B＋∠C＝70°，∴∠BAC＝180°－70°＝110°，∠BAD＋∠CAF＝70°，∴∠DAF＝110°－70°＝40°.
第十三章 轴对称
13.1 轴对称
13.1.2 线段的垂直平分线的性质
第1课时 线段垂直平分线的性质和判定
要 点 讲 解
要点一 线段垂直平分线的性质
1. 线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.
2. 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
经典例题1 如图所示，已知AB比AC长2cm，BC的垂直平分线交AB于D，交BC于E，△ACD的周长是14cm，求AB和AC的长.
解析：此题用代数方法解较好.可设AB，AC的长分别为xcm，ycm，已知AB比AC长2cm，只需再找到AB与AC的另一个等量关系即可列出二元一次方程组.
解：∵DE垂直平分BC，
∴DB＝DC.
∵AC＋AD＋DC＝14cm，
∴AC＋AD＋DB＝14cm，即AC＋AB＝14cm.
设AB＝xcm，AC＝ycm，
则解得
∴AB长8cm，AC长6cm.
点拨：此题还可以设AC长为xcm，用其来表示AB的长，列一元一次方程.
要点二 线段垂直平分线的判定
判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
经典例题2 如图所示，AD为△ABC的角平分线，AE＝AF，请判断线段AD所在的直线是否为线段EF的垂直平分线.如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.
解：线段AD所在的直线是线段EF的垂直平分线.证明如下：
方法一(定义法)：设AD与EF的交点为O.
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD.
在△AOE和△AOF中，
∴△AOE≌△AOF(SAS)，
∴OE＝OF，∠AOE＝∠AOF.
又∵∠AOE＋∠AOF＝180°，
∴∠AOE＝∠AOF＝90°，即AO⊥EF.
∴线段AD所在的直线是线段EF的垂直平分线.
方法二(判定定理法)：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD.
在△AED和△AFD中，
∴△AED≌△AFD(SAS)，
∴DE＝DF.
∴点D在线段EF的垂直平分线上.
又∵AE＝AF，
∴点A在线段EF的垂直平分线上.
∴线段AD所在的直线是线段EF的垂直平分线.
当 堂 检 测
1. 如图，已知线段AB，BC的垂直平分线l1，l2交于点M，则线段AM，CM的大小关系是( )
A. AM>CM B. AM＝CM C. AM
第1题 第2题
2. 如图，AB是CD的垂直平分线，若BD＝1.6cm，AC＝2.3cm，则四边形ACBD的周长是( )
A. 3.9cm B. 7.8cm C. 4cm D. 4.6cm
3. 到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的( )
A. 三条高的交点 B. 三条角平分线的交点
C. 三条中线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点
4. 如图，CD是线段AB的垂直平分线，垂足为D，下列结论：①AD＝BD；②AC＝BC；③∠A＝∠B；④∠ACD＝∠BCD；⑤∠ADC＝∠BDC＝90°.其中正确的有( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
第4题 第5题
5. 如图，已知直线PO与AB交于O点，PA＝PB，则下列结论中正确的是( )
A. AO＝BO B. PO⊥AB
C. PO是AB的垂直平分线 D. P点在AB的垂直平分线上
6. 小明做了一个如图所示的风筝，其中EH＝FH，ED＝FD，小明说不用测量就知道DH是EF的垂直平分线.其中蕴含的道理是 .
第6题 第7题
7. 如图，点D在△ABC的BC边上，且BC＝BD＋AD，则点D在 的垂直平分线上.
8. 如图，AD⊥BC，BD＝CD，点C在AE的垂直平分线上.若AB＝5cm，BD＝3cm，求BE的长.
9. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，交AC于点G，△ADF的周长为14.
(1)求BC的长；
(2)若∠B＋∠C＝70°，求∠DAF的度数.
当堂检测参考答案
1. B 2. B 3. D 4. D 5. D
6. 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
7. AC
8. 解：∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AB＝AC.∵点C在AE的垂直平分线上，∴AC＝CE.∵AB＝5cm，BD＝3cm，∴CE＝5cm，CD＝3cm.∴BE＝BD＋DC＋CE＝11cm.
9. 解：(1)∵DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，∴BD＝AD，AF＝CF，∴BC＝BD＋DF＋FC＝AD＋DF＋AF＝14.
(2)∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，AE＝BE，∠AED＝∠BED＝90°，∴△AED≌△BED，∴∠B＝∠BAD，同理∠C＝∠CAF.∵∠B＋∠C＝70°，∴∠BAC＝180°－70°＝110°，∠BAD＋∠CAF＝70°，∴∠DAF＝110°－70°＝40°.