2.2等差数列（二）
一、教学目标
1、掌握＂判断数列是否为等差数列＂常用的方法；
2、进一步熟练掌握等差数列的通项公式、性质及应用．
3、进一步熟练掌握等差数列的通项公式、性质及应用．
二、教学重点、难点
重点：等差数列的通项公式、性质及应用．
难点：灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题．
三、教学过程
（一）、复习
1．等差数列的定义．
2．等差数列的通项公式：
(或 =pn+q (p、q是常数))
3．有几种方法可以计算公差d:
① d=－ ② d= ③ d=
4. {an}是首项a1=1, 公差d=3的等差数列, 若an =2005,则n =( ) A. 667 B. 668 C. 669 D. 670
5. 在3与27之间插入7个数, 使它们成为等差数列,则插入的7个数的第四个数是( )
A. 18 B. 9 C. 12 D. 15
二、新课
1．性质：在等差数列{an}中,若m + n=p + q, 则am + an = ap + aq
特别地,若m+n=2p, 则am+an=2ap
例1. 在等差数列{an}中
(1) 若a5=a, a10=b, 求a15;
(2) 若a3+a8=m, 求a5+a6;
(3) 若a5=6, a8=15, 求a14;
(4) 若a1+a2+…+a5=30, a6+a7+…+a10=80,求a11+a12+…+a15.
解: (1) 2a10=a5+a15,即2b=a+a15 , ∴a15=2b﹣a;
(2) ∵5+6=3+8=11,∴a5+a6=a3+a=m
(3) a8=a5+(8﹣3)d, 即15=6+3d, ∴d=3，从而a14=a5+(14-5)d=6+9×3=33
2．判断数列是否为等差数列的常用方法：
（1） 定义法: 证明an-an-1=d (常数)
例2. 已知数列{an}的前n项和为Sn=3n2-2n, 求证数列{an}成等差数列,并求其首项、公差、通项公式.
解: 当n=1时,a1=S1=3﹣2=1; 当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=3n2﹣2n﹣ [3(n﹣1)2﹣2(n﹣1)]=6n﹣5;
∵n=1时a1满足an=6n﹣5,∴an=6n﹣5
首项a1=1,an﹣an﹣1=6(常数)
∴数列{an}成等差数列且公差为6.
（2）中项法: 利用中项公式, 若2b=a+c,则a, b, c成等差数列.
（3）通项公式法: 等差数列的通项公式是关于n的一次函数.
例3. 已知数列的通项公式为其中p、q为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？
分析：判定是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看（n＞1）是不是一个与n无关的常数。
解：取数列中的任意相邻两项（n＞1），
求差得
它是一个与n无关的数.
所以是等差数列。
课本左边“旁注”：这个等差数列的首项与公差分别是多少？
这个数列的首项。由此我们可以知道对于通项公式是形如的数列，一定是等差数列，一次项系数p就是这个等差数列的公差，首项是p+q.
如果一个数列的通项公式是关于正整数n的一次型函数，那么这个数列必定是等差数列。
[探究]
引导学生动手画图研究完成以下探究：
⑴在直角坐标系中，画出通项公式为的数列的图象。这个图象有什么特点？
⑵在同一个直角坐标系中，画出函数y=3x-5的图象，你发现了什么？据此说一说等差数列与一次函数y=px+q的图象之间有什么关系。
分析：⑴n为正整数，当n取1，2，3，……时，对应的可以利用通项公式求出。经过描点知道该图象是均匀分布的一群孤立点；
⑵画出函数y=3x-5的图象一条直线后发现数列的图象（点）在直线上，数列的图象是改一次函数当x在正整数范围内取值时相应的点的集合。于是可以得出结论：等差数列的图象是一次函数y=px+q的图象的一个子集，是y=px+q定义在正整数集上对应的点的集合。
该处还可以引导学生从等差数列中的p的几何意义去探究。
三、课堂小结：
1. 等差数列的性质； 2. 判断数列是否为等差数列常用的方法．
四、课外作业
1.阅读教材第110～114页； 2.教材第39页练习第4、5题．
作业：《习案》作业十二
课件25张PPT。2.2 等差数列(二)复习引入1. 等差数列定义：
即an－an－1 ＝d (n≥2).复习引入1. 等差数列定义：
即an－an－1 ＝d (n≥2).2. 等差数列通项公式：
an＝a1＋(n－1)d (n≥1).复习引入1. 等差数列定义：
即an－an－1 ＝d (n≥2).2. 等差数列通项公式：
an＝a1＋(n－1)d (n≥1).推导出公式：an＝am＋(n－m)d .复习引入1. 等差数列定义：
即an－an－1 ＝d (n≥2).2. 等差数列通项公式：
an＝a1＋(n－1)d (n≥1).推导出公式：an＝am＋(n－m)d .或an＝pn＋q (p、q是常数)复习引入3. 有几种方法可以计算公差d: 复习引入3. 有几种方法可以计算公差d: 复习引入3. 有几种方法可以计算公差d: 4. {an}是首项a1＝1，公差d＝3的等差
数列，若an＝2005，则n＝( ) A. 667 B. 668 C. 669 D. 670练习4. {an}是首项a1＝1，公差d＝3的等差
数列，若an＝2005，则n＝( ) A. 667 B. 668 C. 669 D. 6705. 在3与27之间插入7个数，使它们成
为等差数列，则插入的7个数的第四
个数是( )
A. 18 B. 9 C. 12 D. 15 练习6. 三个数成等差数列，它们的和为18，
它们的平方和为116，求这三个数.7. 已知四个数成等差数列，它们的和为
28，中间两项的积为40，求这四个数.练习讲授新课在等差数列{an}中，
若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq. 特别地，
若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.1. 性质讲解范例:例1. 在等差数列{an}中
(1) 若a5＝a, a10＝b, 求a15；
(2) 若a3＋a8＝m, 求a5＋a6.(1) 定义法: 证明an－an－1＝d (常数)2. 判断数列是否为等差数列的常用方法：总结:(1) 定义法: 证明an－an－1＝d (常数)2. 判断数列是否为等差数列的常用方法：(2) 中项法: 利用中项公式，若2b＝a＋c,
则a, b, c成等差数列.
总结:讲解范例:例2. 已知数列{an}的前n项和为
Sn=3n2－2n，求证数列{an}成
等差数列，并求其首项、公差、
通项公式.(1) 定义法: 证明an－an－1＝d (常数)2. 判断数列是否为等差数列的常用方法：(2) 中项法: 利用中项公式，若2b＝a＋c,
则a, b, c成等差数列.
(3) 通项公式法: 等差数列的通项公式是
关于n的一次函数.总结:例3. 已知数列{an}的通项公式为
an＝pn＋q，其中p、q为常数，
且p≠0，那么这个数列一定是
等差数列吗？讲解范例:例3. 已知数列{an}的通项公式为
an＝pn＋q，其中p、q为常数，
且p≠0，那么这个数列一定是
等差数列吗？讲解范例: 这个等差数列的首项与公差分
别是多少？例3. 已知数列{an}的通项公式为
an＝pn＋q，其中p、q为常数，
且p≠0，那么这个数列一定是
等差数列吗？讲解范例: 这个等差数列的首项与公差分
别是多少？首项a1＝p＋q 公差d＝p. 如果一个数列的通项公式是关于
正整数n的一次型函数，那么这个
数列必定是等差数列.总结:探究:1. 在直角坐标系中，画出通项公式为
an＝3n－5的数列的图象.这个图象有
什么特点？探究:2. 在同一个直角坐标系中，画出函数
y＝3x－5的图象，你发现了什么？据
此说一说等差数列an＝pn＋q与一次
函数y＝px＋q的图象之间有什么关系.课堂小结1. 等差数列的性质；
2. 判断数列是否为等差数列
常用的方法． 阅读教材P.36到P.39；
2. 《习案》作业十二.课后作业双基限时练(九)
1．在等差数列{an}中，若a2＝1，a6＝－1，则a4＝( )
A．－1 B．1
C．0 D．－
解析 2a4＝a2＋a6＝1－1＝0，∴a4＝0.
答案 C
2．已知等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2＝( )
A．3 B．－3
C. D．－
答案 A
3．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6等于( )
A．40 B．42
C．43 D．45
解析 a2＋a3＝2a1＋3d＝13，
又a1＝2，∴d＝3，
∴a4＋a5＋a6＝3a5
＝3(a1＋4d)＝3(2＋12)＝42.
答案 B
4．在等差数列{an}中，已知a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝20，那么a3等于( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析 a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝5a3＝20，∴a3＝4.
答案 A
5．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有( )
A．a1＋a101>0 B．a2＋a100<0
C．a3＋a99＝0 D．a51＝51
解析 由已知，可得a51＝0，∴a3＋a99＝2a51＝0.
答案 C
6．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于( )
A．0 B．37
C．100 D．－37
解析 令cn＝an＋bn，则{cn}也为等差数列，c1＝a1＋b1＝100，∴c2＝a2＋b2＝100，∴cn＝100，∴c37＝a37＋b37＝100.
答案 C
7．等差数列{an}中，已知a3＝10，a8＝－20，则公差d＝________.
解析 a8＝a3＋5d，
∴d＝＝＝－6.
答案 －6
8．已知等差数列{an}中，a2＋a3＋a10＋a11＝36，则a5＋a8＝________.
解析 a5＋a8＝a2＋a11＝a3＋a10，又a2＋a3＋a10＋a11＝36，∴a5＋a8＝18.
答案 18
9．已知数列{an}满足a1＝1，若点在直线x－y＋1＝0上，则an＝________.
解析 依题意得－＋1＝0，即－＝1，
∴数列为等差数列，且公差d＝1.又＝1，∴＝1＋(n－1)×1＝n，an＝n2.
答案 n2
10．已知{an}是等差数列，a1＝15，an＝17－2n，则过(3，a2)、(4，a4)两点的直线的斜率为________．
解析 ∵a1＝15，an＝17－2n，
∴a2＝17－4＝13，a4＝17－8＝9.
∴过点(3,13)、(4,9)两点的直线的斜率为k＝＝－4.
答案 －4
11．已知数列{an}，an＝2n－1，bn＝a2n－1.
(1)求{bn}的通项公式；
(2)数列{bn}是否为等差数列？说明理由．
解 (1)∵an＝2n－1，bn＝a2n－1，
∴b1＝a1＝1，b2＝a3＝5，
b3＝a5＝9，…，
bn＝a2n－1＝2(2n－1)－1＝4n－3.
(2)由bn＝4n－3，知bn－1＝4(n－1)－3＝4n－7.
∵bn－bn－1＝(4n－3)－(4n－7)＝4，
∴{bn}是首项b1＝1，公差为4的等差数列．
12．已知f(x)＝x2－2x－3，等差数列{an}中，a1＝f(x－1)，a2＝－，a3＝f(x)．求：
(1)x的值；
(2)通项an.
解 (1)由f(x)＝x2－2x－3，
得a1＝f(x－1)＝(x－1)2－2(x－1)－3
＝x2－4x，
a3＝x2－2x－3，又因为a1，a2，a3成等差数列，
所以2a2＝a1＋a3，
即－3＝x2－4x＋x2－2x－3，
解得x＝0，或x＝3.
(2)当x＝0时， a1＝0，d＝a2－a1＝－，
此时an＝a1＋(n－1)d＝－(n－1)；
当x＝3时，a1＝－3，d＝a2－a1＝，
此时an＝a1＋(n－1)d＝(n－3)．
第2课时 等差数列的性质
1．复习巩固等差数列的概念及其通项公式．
2．掌握等差中项的应用．
3．掌握等差数列的性质，并能解决有关问题．
1．等差数列
(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于__________，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的______，公差通常用字母d表示．
定义还可以叙述为：
在数列{an}中，若an＋1－an＝d(n∈N*)，d为常数，则数列{an}是等差数列．常数d称为等差数列的公差．
(2)通项公式：an＝____________，a1为首项，d为公差．
【做一做1－1】 等差数列{an}的公差d＝2，a1＝2，则an等于( )
A．2 B．2n－2 C．2n D．2n＋2
【做一做1－2】 在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝__________.
2．等差中项
如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的______．
由a，A，b成等差数列，得A－a＝b－A，所以A＝.反过来，如果A＝，那么2A＝a＋b，A－a＝b－A，即a，A，b成等差数列．
【做一做2】 x＋1与y－1的等差中项为10，则x＋y等于( )[来源:Zxxk.Com]
A．0 B．10 C．20 D．不确定
答案：1．(1)同一个常数 公差 (2)a1＋(n－1)d
【做一做1－1】 C
【做一做1－2】 13
2．等差中项
【做一做2】 C
1．等差数列的性质
剖析：若数列{an}是公差为d的等差数列，则
(1)当d＝0时，数列为常数列；当d＞0时，数列为递增数列；当d＜0时，数列为递减数列．
(2)d＝＝(m，n，k∈N*)．
(3)an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)．
(4)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.
(5)若＝k，则am＋an＝2ak(m，n，k∈N*)．
(6)若数列{an}是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ai＋1＋an－i＝…(n，i∈N*)．
(7)数列{λan＋b}(λ，b是常数)是公差为λd的等差数列．
(8)下标成等差数列且公差为m的项ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)组成公差为md的等差数列．
(9)若数列{bn}也为等差数列，则{kan＋mbn＋b}(k，m，b为常数)是等差数列．
由等差数列的定义及通项公式易证明性质(1)(2)(3)(4)(6)(8)(9)，下面证明其他两个
证明性质(5)：∵an＝a1＋(n－1)d，
∴am＝a1＋(m－1)d，ak＝a1＋(k－1)d，
∴am＋an＝2a1＋(m＋n－2)d
＝2a1＋(2k－2)d＝2a1＋2(k－1)d
＝2[a1＋(k－1)d]＝2ak.
证明性质(7)：∵an＝a1＋(n－1)d，且λ，b为常数，
∴λan＋b＝λ[a1＋(n－1)d]＋b＝(λa1＋b)＋(n－1)λd，
λan－1＋b＝λ[a1＋(n－2)d]＋b
＝(λa1＋b)＋(n－2)λd，
∴(λan＋b)－(λan－1＋b)＝λd(常数)，
∴数列{λan＋b}也是等差数列，公差为λd.
2．对问题“等差数列{an}中，若m＝p＋q(m，p，q∈N*)，则am＝ap＋aq不成立”的理解
剖析：要解决这个问题，我们还是回到性质“等差数列{an}中，当m，n，p，q∈N*，m＋n＝p＋q时，am＋an＝ap＋aq”的推导中．
事实上，由于an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d＝kn＋b(k，b为常数)，所以我们有am＝km＋b，ap＝kp＋b，aq＝kq＋b，则ap＋aq＝k(p＋q)＋2b，令km＋b＝k(p＋q)＋2b，注意到m＝p＋q，所以b＝0.这告诉我们，当且仅当b＝0，即a1＝d时，上述结论才成立，而对于一般等差数列而言，a1≠d.
因此等差数列{an}中，若m＝p＋q，则am＝ap＋aq不一定成立．这个事实告诉我们，在学习中遇到一些似是而非的问题时，要加以推理论证，而不要随意地类比迁移．
题型一 等差数列性质的应用
【例题1】 设{an}为等差数列，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，求a2＋a8.
分析：方法一：依性质“若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq”求解即可．
方法二：将a3＋a4＋a5＋a6＋a7用a1，d表示，再将a2＋a8用a1，d表示，从中寻找关系来解决．
反思：(1)比较方法一和方法二，显然方法一要优于方法二，因此要注意灵活运用性质解题．
(2)等差数列的性质实质上是数列的定义、通项、等差中项的综合应用，因此应用得法可为解题带来极大的方便，如本题方法一．
题型二 等差中项的应用
【例题2】 已知三个数成等差数列并且是递增数列，它们的和为18，平方和为116，求这三个数．
分析：充分利用等差中项的定义求解未知量．
反思：当三个数或四个数成等差数列时，可设出这几个数，由已知条件列方程组求解，如本题解法一；也可采用对称的设法，三个数时，设a－d，a，a＋d.四个数时，设a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，利用已知条件列方程(组)先求出其中的a与d，再进一步解题，如本题解法二．
题型三 等差数列的综合问题
【例题3】 一个等差数列的首项为，公差d＞0，从第10项起每一项都大于1，求公差d的范围．
分析：从第10项起每一项都大于1是指转化为解不等式组．
反思：等差数列是关于n的一次函数(d＝0时为常数函数)，对于有关单调性、取值范围的问题，可先结合已知条件利用通项公式，得到一个以a1和d为未知数的方程或不等式，再利用函数、不等式的有关方法来解决．
题型四 易错辨析
【例题4】 设数列{an}是等差数列，ap＝q，aq＝p(p≠q)，试求ap＋q.
错解：∵数列{an}是等差数列，
∴ap＋q＝ap＋aq＝p＋q.
错因分析：性质am＋an＝ap＋aq中必须是两项相加等于两项相加，如a7＋a8＝a6＋a9，并不是下标和相等即相等，如a15＝a7＋8≠a7＋a8.
反思：利用等差数列的性质解决问题时，所用的性质必须是经过证明成立的，才能应用，否则不能应用．
答案：【例题1】 解：方法一：∵a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝a2＋a8，
∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，
∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180.
方法二：∵{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d，
∴a3＋a4＋…＋a7＝a1＋2d＋a1＋3d＋…＋a1＋6d＝5a1＋20d，即5a1＋20d＝450，
∴a1＋4d＝90.
∴a2＋a8＝a1＋d＋a1＋7d＝2a1＋8d＝180.
【例题2】 解法一：设这三个数为a，b，c，
则由题意，得
解得a＝4，b＝6，c＝8
故这三个数是4,6,8.
解法二：设这三个数为a－d，a，a＋d，
由已知，得
由①，得a＝6.代入②，得d＝±2.
∵该数列是递增的，∴d＝－2舍去．
∴这三个数为4,6,8.
【例题3】 解：设等差数列为{an}，
由d＞0，知a1＜a2＜…＜a9＜a10＜a11…，
依题意，有
即
解得＜d≤，即公差d的取值范围是.
【例题4】 正解：设数列{an}的公差为d，
∵ap＝aq＋(p－q)d，
∴d＝＝＝－1.
从而ap＋q＝ap＋qd＝q＋q×(－1)＝0，
∴ap＋q＝0.
1已知等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝20，则a3＝__________.
2已知数列{an}是等差数列，若a1－a5＋a9－a13＋a17＝117，则a3＋a15＝__________.
3在数列{an}中，a1，a12是方程＝0的两根，若{an}是等差数列，则a5＋a8＝__________.
4在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＞31，求公差d的取值范围．
5已知三个数成等差数列，其和为15，首末两项的积为9，求这三个数．
答案：1．4 2.234 3.
4．解：由题意，可知
解得d＞3.所以d的取值范围是(3，＋∞)．
5．解：由题意，可设这三个数分别为a－d，a，a＋d，
则
解得或
所以，当d＝4时，这三个数为1,5,9；
当d＝－4时，这三个数为9,5,1
所以这三个数为1,5,9或9,5,1.
§2.2 等差数列(二)
课时目标
1．进一步熟练掌握等差数列的通项公式．
2．熟练运用等差数列的常用性质．
1．等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，an是关于n的常函数；当d≠0时，an是关于n的一次函数；点(n，an)分布在以d为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．
2．已知在公差为d的等差数列{an}中的第m项am和第n项an(m≠n)，则＝d.
3．对于任意的正整数m、n、p、q，若m＋n＝p＋q.则在等差数列{an}中，am＋an与
ap＋aq之间的关系为am＋an＝ap＋aq.
一、选择题
1．在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－a8的值为( )
A．4 B．6
C．8 D．10
答案 C
解析 由a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，
∴a6＝16，∴a7－a8＝(2a7－a8)
＝(a6＋a8－a8)＝a6＝8.
2．已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为( )
A. B．±
C．－ D．－
答案 D
解析 由等差数列的性质得a1＋a7＋a13＝3a7＝4π，
∴a7＝.
∴tan(a2＋a12)＝tan(2a7)＝tan
＝tan＝－.
3．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m为( )
A．12 B．8
C．6 D．4
答案 B
解析 由等差数列性质a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32，
∴a8＝8，又d≠0，
∴m＝8.
4．如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7等于( )
A．14 B．21
C．28 D．35
答案 C
解析 ∵a3＋a4＋a5＝3a4＝12，
∴a4＝4.∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝(a1＋a7)＋(a2＋a6)＋(a3＋a5)＋a4＝7a4＝28.
5．设公差为－2的等差数列{an}，如果a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，那么a3＋a6＋a9＋…＋a99等于( )
A．－182 B．－78
C．－148 D．－82
答案 D
解析 a3＋a6＋a9＋…＋a99
＝(a1＋2d)＋(a4＋2d)＋(a7＋2d)＋…＋(a97＋2d)
＝(a1＋a4＋…＋a97)＋2d×33
＝50＋2×(－2)×33
＝－82.
6．若数列{an}为等差数列，ap＝q，aq＝p(p≠q)，则ap＋q为( )
A．p＋q B．0
C．－(p＋q) D.
答案 B
解析 ∵d＝＝＝－1，
∴ap＋q＝ap＋qd＝q＋q×(－1)＝0.
二、填空题
7．若{an}是等差数列，a15＝8，a60＝20，则a75＝________.
答案 24
解析 ∵a60＝a15＋45d，∴d＝，
∴a75＝a60＋15d＝20＋4＝24.
8．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20＝________.
答案 1
解析 ∵a1＋a3＋a5＝105，∴3a3＝105，a3＝35.
∴a2＋a4＋a6＝3a4＝99.
∴a4＝33，∴d＝a4－a3＝－2.
∴a20＝a4＋16d＝33＋16×(－2)＝1.
9．已知是等差数列，且a4＝6，a6＝4，则a10＝______.
答案
解析 －＝－＝2d，即d＝.
所以＝＋4d＝＋＝，所以a10＝.
10．已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则
|m－n|＝________.
答案
解析 由题意设这4个根为，＋d，＋2d，＋3d.
则＋＝2，∴d＝，∴这4个根依次为，，，，
∴n＝×＝，
m＝×＝或n＝，m＝，
∴|m－n|＝.
三、解答题
11．等差数列{an}的公差d≠0，试比较a4a9与a6a7的大小．
解 设an＝a1＋(n－1)d，
则a4a9－a6a7＝(a1＋3d)(a1＋8d)－(a1＋5d)(a1＋6d)
＝(a＋11a1d＋24d2)－(a＋11a1d＋30d2)
＝－6d2<0，所以a4a9
12．已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式．
解 ∵a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，
∴a4＝5.
又∵a2a4a6＝45，∴a2a6＝9，
即(a4－2d)(a4＋2d)＝9，(5－2d)(5＋2d)＝9，解得d＝±2.
若d＝2，an＝a4＋(n－4)d＝2n－3；
若d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝13－2n.
能力提升
13．在3与27之间插入7个数，使这9个数成等差数列，则插入这7个数中的第4个数值为( )
A．18 B．9
C．12 D．15
答案 D
解析 设这7个数分别为a1，a2，…，a7，
公差为d，则27＝3＋8d，d＝3.
故a4＝3＋4×3＝15.
14．已知两个等差数列{an}：5,8,11，…，{bn}：3,7,11，…，都有100项，试问它们有多少个共同的项？
解 在数列{an}中，a1＝5，公差d1＝8－5＝3.
∴an＝a1＋(n－1)d1＝3n＋2.
在数列{bn}中，b1＝3，公差d2＝7－3＝4，
∴bn＝b1＋(n－1)d2＝4n－1.
令an＝bm，则3n＋2＝4m－1，∴n＝－1.
∵m、n∈N*，∴m＝3k(k∈N*)，
又，解得0∴0<3k≤75，∴0∴k＝1,2,3，…，25
∴两个数列共有25个公共项．
1．在等差数列{an}中，当m≠n时，d＝为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为am＝an＋(m－n)d.
2．等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．
3．等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)，特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.
课件27张PPT。2.2 等差数列(二)复习引入1. 等差数列定义：
即an－an－1 ＝d (n≥2).复习引入1. 等差数列定义：
即an－an－1 ＝d (n≥2).2. 等差数列通项公式：
an＝a1＋(n－1)d (n≥1).复习引入1. 等差数列定义：
即an－an－1 ＝d (n≥2).2. 等差数列通项公式：
an＝a1＋(n－1)d (n≥1).推导出公式：an＝am＋(n－m)d .复习引入1. 等差数列定义：
即an－an－1 ＝d (n≥2).2. 等差数列通项公式：
an＝a1＋(n－1)d (n≥1).推导出公式：an＝am＋(n－m)d .或an＝pn＋q (p、q是常数)复习引入3. 有几种方法可以计算公差d: 复习引入3. 有几种方法可以计算公差d: 复习引入3. 有几种方法可以计算公差d: 例1：在等差数列｛an｝中已知a3 =10, a9=28, 求an an=am+(n－m)d (n、m∈N*, n>m)∴an=a3+（n-3）·3解法2：∵ a9=a3+(9－3)d∴28=10+6d
∴d=3=10+（n-3）·3
=3n+1
4. {an}是首项a1＝1，公差d＝3的等差
数列，若an＝2005，则n＝( ) A. 667 B. 668 C. 669 D. 6705. 在3与27之间插入7个数，使它们成
为等差数列，则插入的7个数的第四
个数是( )
A. 18 B. 9 C. 12 D. 15 练习6. 三个数成等差数列，它们的和为18，
它们的平方和为116，求这三个数.7. 已知四个数成等差数列，它们的和为
28，中间两项的积为40，求这四个数.练习讲授新课在等差数列{an}中，
若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq. 特别地，
若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.1. 性质讲解范例:例2、在等差数列{an}中
(1) 若a5＝a, a10＝b, 求a15；
(2) 若a3＋a8＝m, 求a5＋a6.例3、在等差数列{an}中，
若a3+a4+a5+a6+a7=450，则a2+a8 =？
课堂练习：2. 求等差数列2，9，16…的第10项,1000是不是这个数列 的项。如果是，是第几项？1. 等差数列-5，-1，3…的公差是（ ）A. 4 B. - 4 C. 8 D. -83. 等差数列中，已知a3=9, a9=3, 则a12 =_____4. 数列{an}中,a1= , an+1=an- (n∈N*), 则通项an=（ ）5. 已知等差数列的前三项依次为：a-1, a+1, a+3, 则此数列的通项为（ ）A. an=2n-5 B.an=a+2n-3C. an=a+2n-1 D. an=2n-3A0BA.B.D. 不能确定C.C(1) 定义法: 证明an－an－1＝d (常数)2. 判断数列是否为等差数列的常用方法：(2) 中项法: 利用中项公式，若2b＝a＋c,
则a, b, c成等差数列.
总结:讲解范例:例4. 已知数列{an}的前n项和为
Sn=3n2－2n，求证数列{an}成
等差数列，并求其首项、公差、
通项公式.(1) 定义法: 证明an－an－1＝d (常数)2. 判断数列是否为等差数列的常用方法：(2) 中项法: 利用中项公式，若2b＝a＋c,
则a, b, c成等差数列.
(3) 通项公式法: 等差数列的通项公式是
关于n的一次函数.总结:例5. 已知数列{an}的通项公式为
an＝pn＋q，其中p、q为常数，
且p≠0，那么这个数列一定是
等差数列吗？讲解范例:例5. 已知数列{an}的通项公式为
an＝pn＋q，其中p、q为常数，
且p≠0，那么这个数列一定是
等差数列吗？讲解范例: 这个等差数列的首项与公差分
别是多少？例5. 已知数列{an}的通项公式为
an＝pn＋q，其中p、q为常数，
且p≠0，那么这个数列一定是
等差数列吗？讲解范例: 这个等差数列的首项与公差分
别是多少？首项a1＝p＋q 公差d＝p.应用延伸 例6.一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是多少？解：由题意得，
a6=a1+5d＞0 a7=a1+6d＜0 例7.已知等差数列{an}的首项为30，这个数列从第12项起为负数，求公差d的范围。解：a12=30+11d＜0
a11=30+10d≥0∵d∈Z ∴d=-4∴-23/5＜d＜-23/6 ∴ -3≤d＜-30/11
即公差d的范围为：-3≤d＜-30/11 如果一个数列的通项公式是关于
正整数n的一次型函数，那么这个
数列必定是等差数列.总结:探究:1. 在直角坐标系中，画出通项公式为
an＝3n－5的数列的图象.这个图象有
什么特点？探究:2. 在同一个直角坐标系中，画出函数
y＝3x－5的图象，你发现了什么？据
此说一说等差数列an＝pn＋q与一次
函数y＝px＋q的图象之间有什么关系.课堂小结湖南省长沙市一中卫星远程学校1. 等差数列的性质；
2. 判断数列是否为等差数列
常用的方法．课后作业