2．2 等差数列(一)
一、教学目标
1．知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；
2. 过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导，归纳抽象出等差数列的概念；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中
二、教学重、难点
重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；
难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。
三、教学设想
[创设情景]
上节课我们学习了数列。在日常生活中，人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决。今天我们先学习一类特殊的数列。
[探索研究]
由学生观察分析并得出答案：
（放投影片）1、在现实生活中，我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：0，5，____,____,____,____,……
2、2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目。该项目共设置了7个级别。其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：kg）：48，53，58，63。
3、水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼。如果一个水库的水位为18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）：18，15.5，13，10.5，8，5.5
4、我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是：本利和=本金×（1+利率×寸期）.例如，按活期存入10 000元钱，年利率是0.72%。那么按照单利，5年内各年末的本利和分别是：
时间
年初本金（元）
年末本利和（元）
第1年
10 000
10 072
第2年
10 000
10 144
第3年
10 000
10 216
第4年
10 000
10 288
第5年
10 000
10 360
各年末的本利和（单位：元）组成了数列：10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360。
思考：同学们观察一下上面的这四个数列：0，5，10，15，20，…… ①
48，53，58，63 ②
18，15.5，13，10.5，8，5.5 ③
10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360 ④
看这些数列有什么共同特点呢？引导学生观察相邻两项间的关系，
由学生归纳和概括出，以上四个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数（即：每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点）。
[等差数列的概念]
等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。那么对于以上四组等差数列，它们的公差依次是5，5，-2.5，72。
注意：⑴公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；
⑵对于数列{ },若 － =d (d是与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N ，则此数列是等差数列，d 为公差；
(3)若d=0, 则该数列为常数列．
提问：（1）你能举一些生活中的等差数列的例子吗？
（2）如果在与中间插入一个数A，使，A，成等差数列数列，那么A应满足什么条件？
由学生回答：因为a，A，b组成了一个等差数列，那么由定义可以知道：
A-a=b-A 所以就有
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A叫做a与b的等差中项。
不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项。
如数列：1，3，5，7，9，11，13…中 ，5是3和7的等差中项，1和9的等差中项。
9是7和11的等差中项，5和13的等差中项。
看来，
从而可得在一等差数列中，若m+n=p+q 则
[等差数列的通项公式]
提问：对于以上的等差数列，我们能不能用通项公式将它们表示出来呢？
⑴、我们是通过研究数列的第n项与序号n之间的关系去写出数列的通项公式的。下面由同学们根据通项公式的定义，写出这四组等差数列的通项公式。
由学生经过分析写出通项公式：
猜想得到这个数列的通项公式是
② 猜想得到这个数列的通项公式是
③ 猜想得到这个数列的通项公式是
④ 猜想得到这个数列的通项公式是
⑵、那么，如果任意给了一个等差数列的首项和公差d，它的通项公式是什么呢？
引导学生根据等差数列的定义进行归纳：
…
所以
……
思考：那么通项公式到底如何表达呢？
得出通项公式：以为首项，d为公差的等差数列的通项公式为：
也就是说，只要我们知道了等差数列的首项和公差d，那么这个等差数列的通项就可以表示出来了。
选讲：除此之外，还可以用迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式：
（迭加法）： 是等差数列， （迭代法）：是等差数列，则有
所以
……
……
两边分别相加得
所以 所以
[例题分析]
例1、⑴求等差数列8，5，2，…的第20项.
⑵-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？
解：⑴由=8，d=5-8=-3，n=20，得
⑵由=-5，d=-9-（-5）=-4，得这个数列的通项公式为由题意知，本题是要回答是否存在正整数n,使得-401=-4n-1成立。
解这个关于n的方程，得n=100，即-401是这个数列的第100项。
例2：（1）在等差数列中，已知，求首项与公差d；
（2）已知数列为等差数列，求的值.
解：(1)解法一：∵，，则
所以，这个等差数列的首项是－2，公差是3．
解法二：∵,
由 得
所以，这个等差数列的首项是－2，公差是3．
例3：梯子最高一级宽33cm，最低一级宽为110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度．
解：设表示梯子自上而上各级宽度所成的等差数列，
由已知条件，可知：=33, =110，n=12
∴,即10=33+11 解得：
因此，
答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm，89cm，96cm，103cm.
例4：三个数成等差数列,它们的和为18,它们的平方和为116,求这三个数.
解：设这三个数为a-d,a,a+d
则
解得这三个数依次为4，6，8或8，6，4
[注]（1）设未知数时尽量减少未知数的个数.（2）结果应给出由大到小和由小到大两种情况.
例5：已知四个数成等差数列,它们的和为28,中间两项的积为40,求这四个数.
解：设这个数为a-3d, a-d, a+d,a+3d
则
解得: 或
这四个数依次为-2,4,10,16或16,10,4,-2.
例6．某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km（不含4千米）计费10元。如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？
解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客需要支付1.2元.所以，我们可以建立一个等差数列来计算车费.
令=11.2，表示4km处的车费，公差d=1.2。那么当出租车行至14km处时，n=11，此时需要支付车费
答：需要支付车费23.2元。
[随堂练习] 课本39页“练习”第1、2题；
[课堂小结]
①等差数列定义：即(n≥2)
②等差数列通项公式：(n≥1)
推导出公式：
四、作业《习案》作业十一。
课件41张PPT。2.2 等差数列(一)课题导入1. 在现实生活中，我们经常这样数数，
从0开始，每隔5数一次，可以得到数
列：0, 5,____,____,____,____,….2. 2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥
运会上，女子举重被正式列为比赛项
目.该项目共设置了7个级别.其中较轻
的4个级别体重组成数列(单位：kg)：
48，53，58，63.课题导入3. 水库的管理人员为了保证优质鱼类有
良好的生活环境，用定期放水清理水库
的杂鱼.如果一个水库的水位为18cm，
自然放水每天水位降低2.5m，最低降至
5m.那么从开始放水算起，到可以进行
清理工作的那天，水库每天的水位组成
数列(单位：m)：
18，15.5，13，10.5，8，5.5.课题导入4. 我国现行储蓄制度规定银行支付存款
利息的方式为单利，即不把利息加入本
金计算下一期的利息. 按照单利计算本
利和的公式是：
本利和=本金×(1+利率×寸期).
例如，按活期存入10 000元钱，年利率
是0.72%.那么按照单利，5年内各年末
的本利和分别是：课题导入各年末的本利和(单位：元)组成了数列：
10 072，10 144，10 216，10 288，10 360.思考:0, 5, 10, 15, 20 ……48, 53, 58, 6318, 15.5, 13, 10.5, 8, 5.510 072, 10 144, 10 216, 10 288, 10 360观察一下上面的这四个数列： ①
②
③
④这些数列有什么共同特点呢？ 思考:0, 5, 10, 15, 20 ……48, 53, 58, 6318, 15.5, 13, 10.5, 8, 5.510 072, 10 144, 10 216, 10 288, 10 360观察一下上面的这四个数列： ①
②
③
④这些数列有什么共同特点呢？ 以上四个数列从第2项起，每一项与
前一项的差都等于同一个常数(即：每个
都具有相邻两项差为同一个常数的特点).讲授新课等差数列讲授新课 一般地，如果一个数列从第2项起，
每一项与它的前一项的差等于同一个常
数，那么这个数列就叫做等差数列. 这
个常数叫做等差数列的公差，公差通常
用字母d表示. 等差数列注意(1)公差d一定是由后项减前项所得，而不
能用前项减后项来求；注意(1)公差d一定是由后项减前项所得，而不
能用前项减后项来求；
(2)对于数列{an}，若an－an－1 ＝d(d是与n
无关的数或字母)，n≥2，则此数列是
等差数列，d 为公差；
注意(1)公差d一定是由后项减前项所得，而不
能用前项减后项来求；
(2)对于数列{an}，若an－an－1 ＝d(d是与n
无关的数或字母)，n≥2，则此数列是
等差数列，d 为公差；
(3)若d＝0，则该数列为常数列． 思考1. 你能举一些生活中的等差数列的例子
吗？思考2. 如果在a与b的中间插入一个数A，使
a, A, b成等差数列，那么A应该满足什
么条件？思考2. 如果在a与b的中间插入一个数A，使
a, A, b成等差数列，那么A应该满足什
么条件？分析：由a, A, b成等差数列得： 思考2. 如果在a与b的中间插入一个数A，使
a, A, b成等差数列，那么A应该满足什
么条件？分析：由a, A, b成等差数列得： 思考2. 如果在a与b的中间插入一个数A，使
a, A, b成等差数列，那么A应该满足什
么条件？分析：由a, A, b成等差数列得： 反之，若思考2. 如果在a与b的中间插入一个数A，使
a, A, b成等差数列，那么A应该满足什
么条件？分析：由a, A, b成等差数列得： 反之，若思考2. 如果在a与b的中间插入一个数A，使
a, A, b成等差数列，那么A应该满足什
么条件？分析：由a, A, b成等差数列得： 反之，若即a, A, b成等差数列.思考2. 如果在a与b的中间插入一个数A，使
a, A, b成等差数列，那么A应该满足什
么条件？分析：由a, A, b成等差数列得： 成等差数列. 反之，若即a, A, b成等差数列.等差中项： 由三个数a，A，b组成的等差数列可
以看成最简单的等差数列，这时，A叫做
a与b的等差中项.
等差中项： 由三个数a，A，b组成的等差数列可
以看成最简单的等差数列，这时，A叫做
a与b的等差中项.
不难发现，在一个等差数列中，从第
2项起，每一项（有穷数列的末项除外）
都是它的前一项与后一项的等差中项.等差中项：等差中项：数列：1，3，5，7，9，11，13…等差中项：数列：1，3，5，7，9，11，13…5是3和7的等差中项，1和9的等差中项；
等差中项：数列：1，3，5，7，9，11，13…5是3和7的等差中项，1和9的等差中项；
9是7和11的等差中项，5和13的等差中项.等差中项：数列：1，3，5，7，9，11，13…a2＋a4＝a1＋a55是3和7的等差中项，1和9的等差中项；
9是7和11的等差中项，5和13的等差中项.等差中项：数列：1，3，5，7，9，11，13…a2＋a4＝a1＋a5a4＋a6＝a3＋a75是3和7的等差中项，1和9的等差中项；
9是7和11的等差中项，5和13的等差中项.在等差数列{an}中，
若m＋n＝p＋q, 则am＋an＝ap＋aq. 等差中项：数列：1，3，5，7，9，11，13…a2＋a4＝a1＋a5a4＋a6＝a3＋a75是3和7的等差中项，1和9的等差中项；
9是7和11的等差中项，5和13的等差中项.思考： 对于以上的等差数列，我们能不能用
通项公式将它们表示出来呢？思考： 对于以上的等差数列，我们能不能用
通项公式将它们表示出来呢？ 以a1为首项，d为公差的等差数列{an}
的通项公式为：思考： 对于以上的等差数列，我们能不能用
通项公式将它们表示出来呢？ 以a1为首项，d为公差的等差数列{an}
的通项公式为：an＝a1＋(n－1)d.讲解范例:例1. (1)求等差数列8，5，2，…的第20项.
(2)－401是不是等差数列－5，－9，
－13，…的项？如果是，是第几项？讲解范例:例2. (1)在等差数列{an}中，已知a5＝10，
a12＝31，求首项a1与d；
(2)已知数列{an}为等差数列，求a15的值.讲解范例:例3. 梯子最高一级宽33cm，最低一级宽
为110cm，中间还有10级，各级的宽度
成等差数列，计算中间各级的宽度． 例4. 三个数成等差数列，它们的和为18，
它们的平方和为116，求这三个数.讲解范例:例5. 已知四个数成等差数列，它们的和
为28，中间两项的积为40，求这四个数.讲解范例:讲解范例:例6. 某市出租车的计价标准为1.2元/km，
起步价为10元，即最初的4km(不含4千
米)计费10元.如果某人乘坐该市的出租车
去往14km处的目的地，且一路畅通，等
候时间为0，需要支付多少车费？教材P.39练习第1、2题.练习：课堂小结1. 等差数列定义：
即an－an－1 ＝d (n≥2).2.等差数列通项公式：
an＝a1＋(n－1)d (n≥1).推导出公式： an＝am＋(n－m)d . 阅读教材P.36到P.38；
2. 《习案》作业十一.课后作业双基限时练(八)
1．下列数列不是等差数列的是( )
A．0,0,0，…，0，…
B．－2，－1,0，…，n－3，…
C．1,3,5，…，2n－1，…
D．0,1,3，…，，…
答案 D
2．已知等差数列{an}的通项公式为an＝2009－7n，则使an<0的最小n的值为( )
A．286 B．287
C．288 D．289
答案 C
3．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是( )
A．15 B．30
C．31 D．64
解析 ??
∴a12＝－＋11×＝15.
答案 A
4．等差数列{an}的前三项依次为x,2x＋1,4x＋2，则它的第5项为( )
A．5x＋5 B．2x＋1
C．5 D．4
解析 由等差中项，得2(2x＋1)＝x＋4x＋2
∴x＝0，∴a1＝0，a2＝1，a3＝2，a4＝3，a5＝4.
答案 D
5．若{an}为等差数列，ap＝q，aq＝p(p≠q)，则ap＋q为( )
A．p＋q B．0
C．－(p＋q) D.
解析 依题意，得ap＝a1＋(p－1)d＝q，
aq＝a1＋(q－1)d＝p，
∴p－q＝(q－p)d，∴d＝－1，∴a1＝p＋q－1.
∴ap＋q＝a1＋(p＋q－1)(－1)＝0.
答案 B
6．已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是( )
A．2 B．3
C．6 D．9
解析 依题意，得m＋2n＝8,2m＋n＝10，
两式相加m＋n＝6，∴m和n的等差中项为3.
答案 B
7．在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，则首项a1＝________，公差d＝________.
解析 由??
答案 －2 3
8．已知f(n＋1)＝f(n)－(n∈N*)，且f(2)＝2，则f(101)＝________.
解析 令an＋1＝f(n＋1)，则
an＋1＝an－，且a2＝2，
∴a2＝a1－，∴a1＝.
∴an＝＋(n－1)＝－n.
∴f(101)＝a101＝－×101＝－.
答案 －
9．已知数列{an}满足an－1＋an＋1＝2an(n∈N*，n≥2)且a1＝1，a2＝3，则数列{an}的通项公式为________．
解析 由an－1＋an＋1＝2an，得
an＋1－an＝an－an－1(n≥2)．
∴数列{an}是等差数列．
又a1＝1，a2＝3，∴d＝2，an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.
答案 an＝2n－1
10．在等差数列{an}中，已知a5＝10，a15＝25，求a25.
解 设数列{an}的首项为a1，公差为d，则根据题意，得
解得a1＝4，d＝.
∴an＝4＋(n－1)＝n＋.
∴a25＝×25＋＝40.
11．(1)求等差数列3,7,11，…的第4项与第10项．
(2)100是不是等差数列2,9,16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由．
解 (1)由a1＝3，d＝7－3＝4，
n＝4，得a4＝3＋(4－1)×4＝15；
n＝10时，得a10＝3＋(10－1)×4＝39.
(2)由a1＝2，d＝9－2＝7，得这个数列的通项公式为an＝2＋(n－1)×7＝7n－5.
令7n－5＝100，
解得n＝15∈N*，
∴100是这个数列的第15项．
12．假设某市2008年新建住房400万平方米，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增加50万平方米．那么从哪一年年底开始，该市每年新建住房的面积开始大于820万平方米？
解 设从2007年年底开始，n年后该市每年新建的住房面积为an万平方米．
由题意，得{an}是等差数列，首项a1＝400，公差d＝50.
所以an＝a1＋(n－1)d＝350＋50n.
令350＋50n>820，解得n>.
由于n∈N*，则n≥10.
所以从2017年年底开始，该市每年新建住房的面积开始大于820万平方米．
第1课时 等差数列
1．理解等差数列的概念，明确“同一个常数”的含义．
2．掌握等差数列的通项公式及其应用．
3．会判定或证明等差数列；了解等差数列与一次函数的关系．
1．等差数列
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于__________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的______，通常用字母d表示．
(1)定义中“每一项与它的前一项的差”的含义有两个：其一是强调作差的顺序，即后面的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻．
(2)公差d∈R，当d＝0时，数列为常数列；当d＞0时，数列为递增数列；当d＜0时，数列为递减数列．[来源:Z#xx#k.Com]
【做一做1】 等差数列4,7,10,13,16的公差等于__________．
2．通项公式[来源:学_
等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则通项公式是an＝________.
(1)如果数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(p，q是常数)，那么数列{an}是等差数列．
(2)如果数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n＞1，n∈N*)，那么数列{an}是等差数列．
【做一做2】 已知等差数列{an}中，首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an等于( )
A．4－2n B．2n－4
C．6－2n D．2n－6
3．等差中项
如果三个数a，A，b成等差数列，那么____叫做______的等差中项．
等差中项的性质：[来
①A是a与b的等差中项，则
A＝或2A＝a＋b，即两个数的等差中项有且只有一个．
②当2A＝a＋b时，A是a与b的等差中项．
【做一做3】 13与－11的等差中项m＝__________.
答案：1．(1)同一个常数 公差
【做一做1】 3
2．a1＋(n－1)d
【做一做2】 C
3．A a与b
【做一做3】 1
1．对等差数列定义的理解[来源:学
剖析：(1)等差数列定义中的关键词是：“从第2项起”与“同一个常数”．
①如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．
②如果一个数列，从第2项起，每一项与前一项的差，尽管是常数，但这个数列也不一定是等差数列．这是因为这些常数可能不相同，必须是同一个常数，才是等差数列．
(2)也可以用数学符号语言叙述等差数列的定义：
在数列{an}中，如果an＋1－an＝d(常数)对任意n∈N*都成立，则称数列{an}为等差数列，常数d称为等差数列的公差．
(3)公差是数列中的某一项(除第一项外)与其前一项的差，不可颠倒，即d＝an＋1－an＝an－an－1＝…＝a3－a2＝a2－a1.
(4)切忌只通过计算数列中特殊几项的差后，发现它们是同一个常数，就断言此数列为等差数列．
2．对等差数列通项公式的理解
剖析：(1)从函数的角度看等差数列的通项公式．
由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可得an＝dn＋(a1－d)，如果设p＝d，q＝a1－d，那么an＝pn＋q，其中p，q是常数．当p≠0时，an是关于n的一次函数，即(n，an)在一次函数y＝px＋q的图象上，因此从图象上看，表示等差数列的各点均在一次函数y＝px＋q的图象上．
所以公差不为零的等差数列的图象是直线y＝px＋q上的均匀排开的一群孤立的点．
当p＝0时，an＝q，等差数列为常数列，此时数列的图象是平行于x轴的直线(或x轴)上的均匀分布的一群孤立的点．
(2)由两点确定一条直线的性质可以得出，已知等差数列的任意两项可以确定这个等差数列．若已知等差数列的通项公式，可以写出数列中的任意一项．
(3)等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个变数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程我们通常称之为“知三求一”．
题型一 求等差数列的通项公式
【例题1】 若{an}是等差数列，a15＝8，a60＝20，求an.
分析：先求出a1，d，然后求an.
反思：一般地，可由am＝a，an＝b，得求出a1和d，从而确定通项公式．
题型二 等差数列的判定与证明
【例题2】 已知数列{an}的通项公式为an＝4－2n，求证：数列{an}是等差数列．
分析：只需证明an＋1－an＝常数或an－an－1＝常数(n≥2)．
反思：已知数列{an}的通项公式an＝f(n)，用定义判断或证明{an}是等差数列的步骤：
(1)利用通项公式an＝f(n)写出an＋1＝f(n＋1)(或an－1＝f(n－1))；
(2)作差an＋1－an(或an－an－1)，将差变形；
(3)当差an＋1－an(或an－an－1)是一个与n无关的常数时，数列{an}是等差数列；当差an＋1－an(或an－an－1)不是常数，是与n有关的代数式时，数列{an}不是等差数列．
题型三 实际应用问题
【例题3】 梯子的最高一级宽33 cm，最低一级宽110 cm，中间还有10级，各级宽度依次成等差数列，计算中间各级的宽度．
分析：要求梯子中间各级的宽度，必须知道各级宽度组成的等差数列的公差．又梯子的级数是12，因此，该问题相当于已知等差数列的首项、末项及项数求公差．
反思：解决实际应用问题的关键是建立数学模型，本题中的数学模型是已知等差数列的首项和末项及项数，求各项．
题型四 易错辨析
【例题4】 若数列{an}的通项公式为an＝10＋lg 2n，求证数列{an}为等差数列．
错解：因为an＝10＋lg 2n＝10＋nlg 2，
所以a1＝10＋lg 2，a2＝10＋2lg 2，a3＝10＋3lg 2，
所以a2－a1＝lg 2，a3－a2＝lg 2，
则a2－a1＝a3－a2，故数列{an}为等差数列．
错因分析：a3－a2＝a2－a1＝常数，不能满足等差数列的定义中“从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数”的要求．
反思：要说明一个数列为等差数列，必须说明从第二项起所有的项与其前一项之差为同一常数，即an－an－1＝d(n≥2)恒成立，而不能只验证有限个相邻两项之差相等．
答案：【例题1】 解：由题意，知解得
故an＝a1＋(n－1)d＝＋(n－1)×＝n＋4.
【例题2】 证明：∵an＝4－2n，∴an＋1＝4－2(n＋1)＝2－2n.
∴an＋1－an＝(2－2n)－(4－2n)＝－2.
∴{an}是等差数列．
【例题3】 解：设梯子的第n级的宽为an cm，其中最高一级宽为a1 cm，则数列{an}是等差数列．
由题意，得a1＝33，a12＝110，n＝12，
则a12＝a1＋11d.
所以110＝33＋11d，解得d＝7.
所以a2＝33＋7＝40，a3＝40＋7＝47，…，a11＝96＋7＝103，
即梯子中间各级的宽度从上到下依次是40 cm，47 cm，54 cm，61 cm,68 cm,75 cm,82 cm,89 cm，96 cm，103 cm.[来源:Zxxk.Com]
【例题4】 正解：因为an＝10＋lg 2n＝10＋nlg 2，
所以an＋1＝10＋(n＋1)lg 2.
所以an＋1－an＝[10＋(n＋1)lg 2]－(10＋nlg 2)＝lg 2(n∈N*)．
所以数列{an}为等差数列．
1 (2019·吉林长春高三调研)在等差数列{an}中，a1·a3＝8，a2＝3，则公差d＝( )
A．1 B．－1 C．±1 D．±2
2等差数列－3,1,5，…的第15项为( )
A．40 B．53 C．63 D．76
3等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是( )
A．92 B．47 C．46 D．45
4已知数列{an}的通项公式是an＝7n＋2，求证：数列{lg an}是等差数列．
5有一正四棱台形楼顶，其中一个侧面中最上面一行铺瓦30块，总共需要铺瓦15行，并且下一行比其上一行多铺3块瓦，求该侧面最下面一行需铺瓦多少块？
答案：1．C 由题意解得d＝±1.
2．B a1＝－3，d＝1－(－3)＝4，
故a15＝a1＋(15－1)d＝－3＋14×4＝53.
3．C a1＝1，d＝(－1)－1＝－2，
故an＝a1＋(n－1)d＝3－2n，
令－89＝3－2n，解得n＝46.
4．分析：转化为证明lg an＋1－lg an是一个与n无关的常数．
证明：设bn＝lg an＝lg 7n＋2＝(n＋2)lg 7，
则bn＋1＝[(n＋1)＋2]lg 7＝(n＋3)lg 7，
则bn＋1－bn＝(n＋3)lg 7－(n＋2)lg 7＝lg 7＝常数．
所以数列{bn}是等差数列，
即数列{lg an}是等差数列．
5．分析：转化为求等差数列的第15项．
解：设从上面开始第n行铺瓦an块，则数列{an}是首项为30，公差为3的等差数列．
则a15＝a1＋14d＝30＋14×3＝72，
即该侧面最下面一行应铺瓦72块．
§2.2 等差数列(一)
课时目标
1．理解等差数列的概念．
2．掌握等差数列的通项公式．
1．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．
2．若三个数a，A，b构成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，并且A＝.
3．若等差数列的首项为a1，公差为d，则其通项an＝a1＋(n－1)d.
4．等差数列{an}中，若公差d>0，则数列{an}为递增数列；若公差d<0，则数列{an}为递减数列．
一、选择题
1．已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差d为( )
A．2 B．3
C．－2 D．－3
答案 C
2．△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则角B等于( )
A．30° B．60°
C．90° D．120°
答案 B
3．在数列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋1(n∈N*)，则a101的值为( )
A．49 B．50
C．51 D．52
答案 D
4．一个等差数列的前4项是a，x，b,2x，则等于( )
A. B.
C. D.
答案C
解析 ∴a＝，b＝x.
∴＝.
5．设{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是( )
A．1 B．2 C．4 D．6
答案 B
解析 设前三项分别为a－d，a，a＋d，则a－d＋a＋a＋d＝12且a(a－d)(a＋d)＝48，解得a＝4且d＝±2，又{an}递增，∴d>0，即d＝2，∴a1＝2.
6．等差数列{an}的公差d<0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，则数列{an}的通项公式是( )
A．an＝2n－2 (n∈N*)
B．an＝2n＋4 (n∈N*)
C．an＝－2n＋12 (n∈N*)
D．an＝－2n＋10 (n∈N*)
答案 D
解析 由??
所以an＝a1＋(n－1)d，即an＝8＋(n－1)×(－2)，
得an＝－2n＋10.
二、填空题
7．已知a＝，b＝，则a、b的等差中项是
________________________________________________________________________．
答案
8．一个等差数列的前三项为：a,2a－1,3－a.则这个数列的通项公式为________．
答案 an＝n＋1
解析 ∵a＋(3－a)＝2(2a－1)，∴a＝.
∴这个等差数列的前三项依次为，，.
∴d＝，an＝＋(n－1)×＝＋1.
9．若m≠n，两个等差数列m、a1、a2、n与m、b1、b2、b3、n的公差为d1和d2，则的值为________．
答案
解析 n－m＝3d1，d1＝(n－m)．
又n－m＝4d2，d2＝(n－m)．
∴＝＝.
10．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是________．
答案 解析 设an＝－24＋(n－1)d，
由解得：三、解答题
11．已知成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数．
解 设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则由题设得
∴ 解得或所以这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.
12．已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－ (n≥2)，令bn＝.
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
(1)证明 ∵an＝4－ (n≥2)，
∴an＋1＝4－ (n∈N*)．
∴bn＋1－bn＝－＝－＝－＝＝.
∴bn＋1－bn＝，n∈N*.
∴{bn}是等差数列，首项为，公差为.
(2)解 b1＝＝，d＝.
∴bn＝b1＋(n－1)d＝＋(n－1)＝.
∴＝，∴an＝2＋.
能力提升
13．一个等差数列的首项为a1＝1，末项an＝41 (n≥3)且公差为整数，那么项数n的取值个数是( )
A．6 B．7 C．8 D．不确定
答案 B
解析 由an＝a1＋(n－1)d，得41＝1＋(n－1)d，
d＝为整数，且n≥3.
则n＝3,5,6,9,11,21,41共7个．
14．已知数列{an}满足a1＝，且当n>1，n∈N*时，有＝，设bn＝，
n∈N*.
(1)求证：数列{bn}为等差数列．
(2)试问a1a2是否是数列{an}中的项？如果是，是第几项； 如果不是，请说明理由．
(1)证明 当n>1，n∈N*时，＝?＝
?－2＝2＋?－＝4?bn－bn－1＝4，且b1＝＝5.
∴{bn}是等差数列，且公差为4，首项为5.
(2)解 由(1)知bn＝b1＋(n－1)d＝5＋4(n－1)＝4n＋1.
∴an＝＝，n∈N*.
∴a1＝，a2＝，∴a1a2＝.令an＝＝，
∴n＝11.
即a1a2＝a11，∴a1a2是数列{an}中的项，是第11项．
1．判断一个数列{an}是否是等差数列，关键是看an＋1－an是否是一个与n无关的常数．
2．由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1、d、n、an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量．
3．三个数成等差数列可设为：a－d，a，a＋d或a，a＋d，a＋2d；四个数成等差数列可设为：a－3d，a－d，a＋d，a＋3d或a，a＋d，a＋2d，a＋3d.
课件31张PPT。等差数列同学们好教学目标及重点难点教学目标
1.理解等差数列的概念，理解并掌握等差数列的通项公式，能运用公式解决简单的问题。
2.培养学生的观察能力，进一步提高学生的推理归纳能力。
重点难点
1.等差数列概念的理解与掌握
2.等差数列通项公式的推导及应用
3.等差数列“等差”特点的理解、把握及应用 复习导入请看以下几例：
4，5，6，7，8，9，10，······
3，0，-3，-6，-9，-12，······
1/10,2/10,3/10,4/10,5/10······
3，3，3，3，3，3，3，······你还记得吗？数列的定义
给出数列的两种方法
创设问题情境，引入新课得到数列：
6000，6500，7000，7500，
8000，8500，9000
等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。公差通常用字母d表示。返回等差数列的公差 公差d
1.an-an-1=d (n≥2)（数学表达式）
3.d的范围 d∈R2.常数 如2，3，5，9，11就不是等差数列 如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。例:已知三个数2，x，98成等差数列，求x等差数列的通项公式 如果等差数列｛an｝的首项是a，公差是d，那么根据等差数列的定义得到：
a2-a1=da2=a1+d 由此得到 an=a1+(n-1)d返回an-a1=(n-1)dan-an-1=da4-a3=da3-a2=dan=a1+(n-1)da4=a1+3da3=a1+2d (题型一)求通项an
例1：①a1=1, d=2, 则 an= ?
解：an=1+(n－1)·2=2n－1②已知等差数列8，5，2，…求 an及a20解 : 由题 a1=8, d=5－8=－3∴a20=－49∴an=8+(n－1)·(－3)=－3n+11练习1：已知等差数列3，7，11，…
则 an=___________ a4=_________
a10=__________
4n-11539an=a1+(n－1)d (n∈N*)(题型二)求首项a1例2 ：已知等差数列{an}中，a20=－49,
d=－3， 求首项a1解：由a20=a1+(20－1)·(－3)得a1=8练习2：a4=15 d=3 则a1=_________6an=a1+(n－1)d (n∈N*)例3：判断－400是不是等差数列－5，－9， －13，… 的项？如果是，是第几项？ 解：a1=－5, d=－4，an=－5+(n－1)·(－4),假设-400是该等差数列中的第n项，
则 －400=－5+(n－1)·(－4)所以－400不是这个数列的项an=a1+(n－1)d (n∈N*)(题型三)求项数n 练习3：100是不是等差数列2，9，16，…的项？如果是，是第几项？ 如果不是，说明理由.
an=a1+(n－1)d (n∈N*) (题型四)求公差d 例4： 一张梯子最高一级宽33cm，最低一级宽110cm,
中间还有10级，各级的宽度成等差数列。
求公差d及中间各级的宽度。分析：用｛an｝表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列。解：由题意知 a1=33, a12=110, n=12
由 an=a1+(n-1)d 得 110=33+(12-1)d
解得 d=7
从而可求出 a2=33+7=40 (cm)
a3=40+7=47(cm) a4=54(cm) …。an=a1+(n－1)d (n∈N*)总结：
在 an=a1+(n－1)d，n∈N* 中，有an,a1,n,d 四个量,
已知其中任意3个量即可求出第四个量。那么如果已知一个等差数列的任意两项，能否求出an呢？an=a1+(n－1)d (n∈N*)例5：在等差数列｛an｝中已知a3 =10, a9=28,
求a1、d及an
（题型五）综合 ∴an=4+(n－1)·3=3n+1an=a1+(n－1)d (n∈N*)解法1：由an=a1+(n－1)d
猜想：任意两项an和am(n>m)之间的关系：证明: ∵ am=a1+(m－1)d an=a1+(n－1)d (n∈N*)∴ an =a1+(n－1)d∴ a1=am-(m－1)d= am-(m－1)d +(n－1)d =am+(n-m)dan=am+(n-m)d例5：在等差数列｛an｝中已知a3 =10, a9=28, 求an an=am+(n－m)d (n、m∈N*, n>m)∴an=a3+（n-3）·3解法2：∵ a9=a3+(9－3)d (n∈N*)
∴28=10+6d
∴d=3=10+（n-3）·3
=3n+1
等差数列的应用 例1. 1）等差数列8，5，2,······的第20项是几？
2）-401是不是等差数列-5,-9,-13······的项？如果是，是第几项？解： 1）由题意得，a1=8,d=-3 2）由题意得,a1=-5,d=-4,an=-401an=a1+(n-1)d∴n=100
∴-401是这个数列的第100项。∴a20=a1+19d=8+19×(-3)=-49-401=-5+(n-1)×(-4)课堂练习（二）1）求等差数列3，7，11······的第4项与第10项。答案：a4=15 a10=39 2)100是不是等差数列2，9，16······的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由。答案：是第15项。 3)-20是不是等差数列0,-3.5,-7···的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由。解：a1=0,d=-3.5∴-20不是这个数列中的项。n=47/7-20=0+(n-1)×(-3.5)等差数列的应用 例2.在等差数列｛an}中，已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d。解：由题意，a5=a1+4d
a12=a1+11d解之得 a1=-2 d=3若让求a7，怎样求？即 10=a1+4d
31=a1+11d课堂练习（三） 1.在等差数列｛an｝中，已知a3=9,a9=3,求a12答案：a12=0 2.在等差数列｛an｝中，已知a2=3,a4=7,求a6、a8解：由题意得，a1+d=3, a1+3d=7∴a6=a1+5d=1+5×2=11
a8=a1+7d=1+7×2=15∴ a1=1, d=2课 堂 练 习在等差数列｛an｝中，
1）已知a1=2,d=3,n=10,求an解：a10=a1+9d=2+9×3=292）已知a1=3,an=21,d=2,求n解：21=3+(n-1)×2 n=103）已知a1=12,a6=27,求d解：a6=a1+5d,即27=12+5d d=34）已知d=-1/3,a7=8,求a1解：a7=a1+6d 8=a1+6×(-1/3)
∴a1=10课堂练习：2. 求等差数列2，9，16…的第10项,100是不是这个数列 的项。如果是，是第几项？1. 等差数列-5，-1，3…的公差是（ ）A. 4 B. - 4 C. 8 D. -83. 等差数列中，已知a3=9, a9=3, 则a12 =_____4. 数列{an}中,a1= , an+1=an- (n∈N*), 则通项an=（ ）5. 已知等差数列的前三项依次为：a-1, a+1, a+3, 则此数列的通项为（ ）A. an=2n-5 B.an=a+2n-3C. an=a+2n-1 D. an=2n-3A0DA.B.D. 不能确定C.C1.求出下列等差数列中的未知项: (1) 2，a ，6
(2) 8，b ，c，-4 (3) 8，b ，-4，c
2.已知 a , b , c 成等差数列，
求证：b +c , c +a , a +b成等差数列．例1：在等差数列｛an｝中已知a3 =10, a9=28, 求an an=am+(n－m)d (n、m∈N*, n>m)∴an=a3+（n-3）·3解法2：∵ a9=a3+(9－3)d (n∈N*)
∴28=10+6d
∴d=3=10+（n-3）·3
=3n+1
思考:等差数列｛ an ｝中 ,（m 、 n、ｐ、ｑ ∈ N+）,
若 m+n=p+q 则 am+an=ap+aq ? 【说明】上面的命题中的等式两边有相同数目的项， 如a1+a2=a3 吗？例2、在等差数列{an}中，若a3+a4+a5+a6+a7=450，
则a2+a8 =？
（一）等差数列的基本性质：3、项数成等差数列的项也构成等差数列。
4、等差数列的前m项和，后m项和，再m项和……也
构成等差数列。
5、两个等差数列的和、差还是等差数列即{an}，{bn}
是等差数列，{an±bn}也是等差数列， {pan}、{an±c}
也是等差数列（p，c为常数）。2、等差中项：
如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。1、在等差数列{an}中，若m+n=p+q，则 .am+an=ap+aq（二）等差数列的证明：例3、已知数列的通项公式为an=pn+q，其中，p，q 是
常数，且p≠0，那么这个数列是否一定是等差数
列？如果是，其首项与公差是什么？应用延伸 例3.一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是多少？解：由题意得，
a6=a1+5d＞0 a7=a1+6d＜0 例4.已知等差数列{an}的首项为30，这个数列从第12项起为负数，求公差d的范围。解：a12=30+11d＜0
a11=30+10d≥0∵d∈Z ∴d=-4∴-23/5＜d＜-23/6 ∴ -3≤d＜-30/11
即公差d的范围为：-3≤d＜-30/11四、小结： ①等差数列的定义：②通项公式：an=a1+(n－1)d （ n∈N*）更一般的形式：an=am+(n－m)d （ n∈N*）一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一常数，那么这个数列就叫做等差数列（叠加法证明）作 业课本P40
A组 第1题好好学习
天天向上
