2.3 等差数列的前项和（二）
教学要求：进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前 项和的公式研究 的最值.
如果An，Bn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，则．
教学重点：熟练掌握等差数列的求和公式.
教学难点：灵活应用求和公式解决问题.
教学过程：
复习准备：
1、等差数列求和公式：，
2、在等差数列{an}中 (1) 若a5=a, a10=b, 求a15; (2) 若a3+a8=m, 求a5+a6; (3) 若a5=6, a8=15, 求a14; (4) 若a1+a2+…+a5=30, a6+a7+…+a10=80,求a11+a12+…+a15.
二、讲授新课：
1、探究：等差数列的前项和公式是一个常数项为零的二次式.
例1、已知数列的前项和为，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？
【结论】数列的前项和与的关系：
由的定义可知，当n=1时，=；当n≥2时，=-，即=.
练习：已知数列的前项和，求该数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？
探究：一般地，如果一个数列的前n项和为，其中p、q、r为常数，且，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？
（是，，）.
由此，等差数列的前项和公式可化成式子：，当d≠0，是一个常数项为零的二次式.
2. 教学等差数列前项和的最值问题：
① 例题讲解：
例2、数列是等差数列，. （1）从第几项开始有；（2）求此数列的前 项和的最大值.
结论：等差数列前项和的最值问题有两种方法：
当>0，d<0，前n项和有最大值可由≥0，且≤0，求得n的值；
当<0，d>0，前n项和有最小值可由≤0，且≥0，求得n的值.
（2）由利用二次函数配方法求得最值时n的值.
练习：在等差数列{}中, ＝－15, 公差d＝3, 求数列{}的前n项和的最小值.
例3、已知等差数列的前n项的和为，求使得最大的序号n的值。
归纳：（1）当等差数列{an}首项为正数，公差小于零时，它的前n项的和为有最大值，可以通过
求得n
（2）当等差数列{an}首项不大于零，公差大于零时，它的前n项的和为有最小值，可以通过
求得n
三、课堂小结：
求＂等差数列前n项和的最值问题＂常用的方法有：
（1）满足的n值；
（2）由利用二次函数的性质求n的值；
（3）利用等差数列的性质求．
四、课外作业：
作业：《习案》作业十四。
补充题：（依情况而定）
1．(1)已知等差数列{an}的an＝24－3n，则前多少项和最大？
(2)已知等差数列{bn}的通项bn＝2n-17,则前多少项和最小?
解：(1)由an＝24－3n知当时，，当时，，前8项或前7项的和取最大值.
(2)由bn＝2n－17n知当时，，当时，， 前8项的和取最小值.
2. 数列{an}是首项为正数a1的等差数列,又S9= S17.问数列的前几项和最大?
解:由S9= S17得9a5=17 a9,
说明:．
3．首项为正数的等差数列{an},它的前3项之和与前11项之和相等,问此数列前多少项之和最大?
解法一:由S3=S11 得: 解之得
故当n=7时, Sn 最大,即前7项之和最大.
解法二:由
解得:，所以n=7,即前7项之和最大.
解法三:由知: {an}是递减的等差数列.
又S3=S11,
必有，前7项之和最大．
4．已知等差数列{an},满足an =40-4n ,求前多少项的和最大?最大值是多少?
解法一:由
解法二:
令
．
5．已知等差数列{an}，3 a5 =8 a12， a1<0，设前n项和为Sn,求Sn取最小值时n的值．
[分析]求等差数列前n项的和最小,可以用函数的方式去求,亦可以用数列单调性,也可以由完成.
解法一:
点(n,Sn)是开口向上抛物线上一些孤立的点,即在函数的图象上,其对称轴距离x=15.7最近的整数点(16,S16),
解法二:
课件27张PPT。2.3 等差数列的
前n项和 (二)复习引入等差数列的前n项和公式：复习引入等差数列的前n项和公式：复习引入等差数列的前n项和公式：练习在等差数列{an}中，
若a1＋a2＋…＋a5＝30，
a6＋a7＋…＋a10＝80，
求a11＋a12＋…＋a15 .讲授新课探究: 等差数列的前n项和公式是一个
常数项为零的二次式.讲解范例:例1. 已知数列{an}的前n项和为求这个数列的通项公式. 这个数列
是等差数列吗?如果是，它的首项
与公差分别是什么?练习: 已知数列{an}的前n项和为求该数列的通项公式.
这个数列是等差数列吗? 一般地，如果一个数列{an}的前n项
和为Sn＝pn2＋qn＋r，其中p、q、r为常
数，且p≠0，那么这个数列一定是等差
数列吗?如果是，它的首项与公差分别
是多少?探究: 一般地，如果一个数列{an}的前n项
和为Sn＝pn2＋qn＋r，其中p、q、r为常
数，且p≠0，那么这个数列一定是等差
数列吗?如果是，它的首项与公差分别
是多少?探究:这个数列一定是等差数列.首项a1＝p＋q公差d＝2p可化成结论:当d≠0时，是一个常数项为零的二次式.例2. 已知数列{an}是等差数列，a1＝50，
d＝－0.6.
(1)从第几项开始有an＜0；
(1)求此数列的前n项和的最大值.讲解范例:结论：等差数列前n项和的最值问题有两种方法：结论：(1) 当a1＞0，d＜0，前n项和有最大值.
可由an≥0，且an＋1 ≤0，求得n的值；
等差数列前n项和的最值问题有两种方法：结论：(1) 当a1＞0，d＜0，前n项和有最大值.
可由an≥0，且an＋1 ≤0，求得n的值；
当a1＜0，d＞0，前n项和有最小值.
可由an≤0，且an＋1≥0，求得n的值. 等差数列前n项和的最值问题有两种方法：结论：等差数列前n项和的最值问题有两种方法：(2) 由 数配方法求得最值时n的值.利用二次函(1) 当a1＞0，d＜0，前n项和有最大值.
可由an≥0，且an＋1 ≤0，求得n的值；
当a1＜0，d＞0，前n项和有最小值.
可由an≤0，且an＋1≥0，求得n的值. 练习:在等差数列{an}中，a4＝－15, 公差d＝3,
求数列{an}的前n项和Sn的最小值.例3. 已知等差数列讲解范例:的前n项的和为Sn，求使得Sn最大
的序号n的值.归纳: (1) 当等差数列{an}首项为正数，
公差小于零时，它的前n项的和Sn
有最大值，可以通过求得n.归纳: (2)当等差数列{an}首项不大于零，
公差大于零时，它的前n项的和Sn有
最小值，可以通过求得n.课堂小结求“等差数列前n项和的最值问题”常用
的方法有：课堂小结(1) 满足an＞0，且an＋1＜0的n值；求“等差数列前n项和的最值问题”常用
的方法有：课堂小结(1) 满足an＞0，且an＋1＜0的n值；求“等差数列前n项和的最值问题”常用
的方法有：(2) 由 利用二次函数的性质求n的值.课堂小结(1) 满足an＞0，且an＋1＜0的n值；求“等差数列前n项和的最值问题”常用
的方法有：(2) 由 利用二次函数的性质求n的值.(3) 利用等差数列的性质求． 阅读教材P.42到P.44；
2. 《习案》作业十四.课后作业补充题:1．(1)已知等差数列{an}的an＝24－3n，则
前多少项和最大？
(2)已知等差数列{bn}的通项bn＝2n－17,
则前多少项和最小?2. 数列{an}是首项为正数a1的等差数列,又
S9= S17.问数列的前几项和最大?补充题:4．已知等差数列{an},满足an=40－4n ,
求前多少项的和最大?最大值是多少?5．已知等差数列{an},3a5=8a12, a1<0，
设前n项和为Sn,求Sn取最小值时n的值．3．首项为正数的等差数列{an},它的前3
项之和与前11项之和相等,问此数列前多
少项之和最大?双基限时练(十一)
1．等差数列{an}中，a1＝1，d＝1，则Sn等于( )
A．n B．n(n＋1)
C．n(n－1) D.
答案 D
2．设Sn是等差数列{an}的前n项和且a3＝－6，a7＝6，则( )
A．S4＝S5 B．S5＝S6
C．S4>S6 D．S5>S6
解析 ∵a3＋a7＝2a5＝0，
∴a5＝0，∴S4＝S5.
答案 A
3．数列{an}的通项公式an＝3n2－28n，则数列{an}各项中最小项是( )
A．第4项 B．第5项
C．第6项 D．第7项
解析 an＝3n2－28n＝3(n2－n)
＝32－3×2.
∵n∈N*，∴当n＝5时，an有最小值．
答案 B
4．已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是( )
A．求数列的前10项和(n∈N*)
B．求数列的前10项和(n∈N*)
C．求数列的前11项和(n∈N*)
D．求数列的前11项和(n∈N*)
解析 要理解循环体的含义，当第一次执行k＝1时，S＝；当第二次执行k＝2时，S＝＋.可见，该程序是求前10项的偶数的倒数和．
答案 B
5．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n＝1,2,3，…)，则数列的通项公式为__________；数列{nan}中数值最小的项是第__________项．
解析 当n＝1时，a1＝S1＝－9，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝n2－10n－[(n－1)2－10(n－1)]
＝2n－11，当n＝1时，也成立，
∴an＝2n－11，
nan＝2n2－11n＝22－.
∵n∈N*，∴当n＝3时，nan有最小值．
答案 2n－11 3
6．若x≠y，数列x，a1，a2，y和x，b1，b2，b3，y各自成等差数列，则＝________.
解析 由于a1－a2＝，b1－b2＝，则＝.
答案
7．有两个等差数列{an}，{bn}，其前n项和分别为Sn，Tn，若＝，则＝________.
解析 ＝＝＝＝＝＝.
答案
8．在等差数列{an}中，a2＋a9＝2，则它的前10项和S10＝________.
解析 S10＝×10＝5(a2＋a9)＝10.
答案 10
9．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝(an＋1)2，且an>0.
(1)求a1，a2；
(2)求{an}的通项公式；
(3)令bn＝20－an，求数列{bn}的前n项和Tn的最大值．
解 (1)a1＝S1＝(a1＋1)2?a1＝1.
a1＋a2＝(a2＋1)2?a2＝3.
(2)当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝[(an＋1)2－(an－1＋1)2]
＝(a－a)＋(an－an－1)，
由此得(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0.
∵an＋an－1≠0，∴an－an－1＝2.
∴{an}是首项为1，公差为2的等差数列．
∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
(3)∵bn＝20－an＝21－2n，
∴bn－bn－1＝－2，b1＝19.
∴{bn}是以19为首项，－2为公差的等差数列．
∴ Tn＝19n＋×(－2)＝－n2＋20n.
故当n＝10时，Tn的最大值为100.
10．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a3·a4＝117，a2＋a5＝22.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)若数列{bn}是等差数列，且bn＝(c≠0)，求常数c的值；
(3)对(2)中的bn，cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.
解 (1)由等差数列的性质知，
a3＋a4＝a2＋a5＝22，又a3·a4＝117，
∴a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的两个根．
又公差d>0，∴a3
∴a3＝9，a4＝13.
∴d＝a4－a3＝4，
a1＝a3－2d＝9－8＝1，
∴an＝4n－3.
(2)由(1)知，
Sn＝n×1＋×4＝2n2－n，
∴bn＝＝，
∴b1＝，b2＝，b3＝.
∵{bn}是等差数列．
∴2b2＝b1＋b3，∴2c2＋c＝0.
又∵c≠0，∴c＝－.
(3)由(2)知b n＝2n，
∴cn＝＝，
∴Tn＝＝.
第2课时 等差数列的综合应用
1．复习巩固等差数列的定义、通项公式和前n项和公式．
2．掌握等差数列前n项和的性质及其应用．
3．能够利用等差数列的前n项和公式解决实际应用问题．
等差数列
(1)定义：一般地，如果一个数列从第__项起，每一项与它的前一项的__都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的____，公差通常用字母d表示．
(2)公式：数列{an}是公差为d的等差数列，则有an＝a1＋______，Sn＝na1＋________＝________.
【做一做1－1】 等差数列{an}的公差d＝2，a1＝1，则( )
A．an＝2n，Sn＝n2 B．an＝n，Sn＝n2＋n
C．an＝2n－1，Sn＝n2 D．an＝2n－1，Sn＝n2－n
【做一做1－2】 等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a1＝4，则公差d等于( )
A．1 B. C．－2 D．3
答案：(1)2 差 公差 (2)(n－1)d d
【做一做1－1】 C
【做一做1－2】 C
[来源:
等差数列前n项和的性质
剖析：数列{an}是公差为d的等差数列，其前n项和具有下列性质：
(1)Sn＝a1＋a2＋…＋an，
S2n－Sn＝an＋1＋an＋2＋…＋a2n，
S3n－S2n＝a2n＋1＋a2n＋2＋…＋a3n，
则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n是公差为n2d的等差数列，且有Sn＋S3n－S2n＝2(S2n－Sn)．
Sn，S2n，S3n不一定成等差数列，这一点要切记！
(2)若项数为2n，则
S偶－S奇＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n－a1－a3－a5－…－a2n－1＝d＋d＋…＋d＝nd，
＝＝＝.
(3)若项数为2n－1，则
S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n－2＝(a2＋a2n－2)＝×2an＝(n－1)an，
S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝×2an＝nan，
S奇－S偶＝nan－(n－1)an＝an(这里an＝a中)，
＝＝.
(4)如果等差数列{bn}的前n项和为Tn，则有
＝＝＝＝.[来
题型一 等差数列前n项和的性质应用
【例题1】 一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求其前110项之和．
分析：本题基本解法是求a1，d或令Sn＝an2＋bn，先求Sn，再求S110，或利用性质．
反思：(1)利用已知求出a1，d，然后再求所求的量，是基本解法，有时运算量大些，如本题解法一．
(2)我们也可以利用等差数列前n项和的性质，或利用等差数列通项公式的性质，这两种解法可简化运算，为最优解法，如本题解法三和解法四．
题型二 实际应用问题
【例题2】 某长江抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达．为确保安全，指挥部决定在洪峰来临前筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的部队指战员和当地干部群众连续奋战外，还需用20台同型号的翻斗车，平均每辆车要工作24小时才能完成任务．但目前只有一辆车投入施工，其余的需从附近高速公路上抽调，每隔20分能有一辆车到达，且指挥部最多还可调集24辆车，那么在24时内能否构筑成第二道防线？
分析：这25辆车分别完成的工作量按从小到大排起来，组成一个等差数列，计算出这25辆车可以完成的工作量，即这个等差数列的前25项和，如果大于或等于总共需要完成的工作量，就能构筑成第二道防线，否则不能．
反思：有关数列的应用问题，应首先通过对实际问题的研究建立数列的数学模型，最后求出符合实际的答案，可分以下几步考虑：
(1)问题中所涉及的数列{an}有何特征？
(2)是求数列{an}的通项还是求其前n项和？
(3)列出等式(或方程)求解．
(4)怎样求解？
(5)答案是怎样的？
题型三 易错辨析[来
【例题3】 已知两个等差数列{an}，{bn}，它们的前n项和分别记为Sn，Tn，若＝，求.
错解：＝＝＝.
错因分析：事实上≠，应是＝.
反思：两个等差数列第n项的比等于它们前2n－1项和的比，不等于它们前n项和的比．
答案：【例题1】 解法一：设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，
则Sn＝na1＋d.
由已知，得
解得d＝－.
代入①，得a1＝，
则S110＝110a1＋d
＝110×＋×
＝110×＝－110.
故此数列的前110项之和为－110.
解法二：设此等差数列的前n项和为Sn＝an2＋bn.
∵S10＝100，S100＝10，
∴解得
∴Sn＝－n2＋n.
∴S110＝－×1102＋×110＝－110.[来源:Zxxk.Com]
解法三：数列S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100成等差数列．
设其公差为D，则前10项的和为
10S10＋·D＝S100＝10，解得D＝－22，
∴S110－S100＝S10＋(11－1)D＝100＋10×(－22)＝－120.
∴S110＝－120＋S100＝－110.
解法四：∵S100－S10＝a11＋a12＋…＋a100
＝＝，
又S100－S10＝10－100＝－90，∴a1＋a110＝－2.
∴S110＝＝－110.
【例题2】 解：设第n辆车工作的时间是an小时，
则有an－an＋1＝＝(小时)，
所以数列{an}是等差数列，公差d＝－，a1＝24.
如果把所有的25辆车全部抽调到位，所用的时间是×24＝8(小时)＜24小时，
则这25辆车可以完成的工作量为
S25＝a1＋a2＋…＋a25
＝25a1＋d
＝25×24＋×
＝500(小时)．
总共需要完成的工作量为24×20＝480(小时)．[来源:Zxxk.Com]
由于500＞480，
所以，在24小时内能构筑成第二道防线．
【例题3】 正解：＝＝
＝＝＝＝.
1在等差数列{an}中，已知a5＋a7＝10，Sn是数列{an}的前n项和，则S11＝( )
A．45 B．50 C．55 D．60
2一个等差数列共有10项，其偶数项之和是15，奇数项之和是12.5，则它的首项与公差分别是( )
A.， B. ，1 C.，2 D．1，
3现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )
A．9 B．10 C．19 D．20
4等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，且，则＝__________.
5等差数列{an}的前m项和为3，前2m项和为10，求它的前3m项和．
答案：1．C 2.A 3.B 4.
5．解：Sm＝3，S2m＝10，
又2(S2m－Sm)＝Sm＋(S3m－S2m)，
∴2×(10－3)＝3＋(S3m－10)．∴S3m＝21.
§2.3 等差数列的前n项和(二)
课时目标
1．熟练掌握等差数列前n项和的性质，并能灵活运用．
2．掌握等差数列前n项和的最值问题．
3．理解an与Sn的关系，能根据Sn求an.
1．前n项和Sn与an之间的关系
对任意数列{an}，Sn是前n项和，Sn与an的关系可以表示为an＝
2．等差数列前n项和公式
Sn＝＝na1＋d.
3．等差数列前n项和的最值
(1)在等差数列{an}中
当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定；
当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定．
(2)因为Sn＝n2＋n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值；且n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值．
一个有用的结论：
若Sn＝an2＋bn，则数列{an}是等差数列．反之亦然．
一、选择题
1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，则an等于( )
A．n B．n2
C．2n＋1 D．2n－1
答案 D
2．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是( )
A．－2 B．－1 C．0 D．1
答案 B
解析 等差数列前n项和Sn的形式为：Sn＝an2＋bn，
∴λ＝－1.
3．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5A．9 B．8 C．7 D．6
答案 B
解析 由an＝，∴an＝2n－10.
由5<2k－10<8，得7.54．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 方法一 ＝＝?a1＝2d，
＝＝＝.
方法二 由＝，得S6＝3S3.S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9仍然是等差数列，公差为(S6－S3)－S3＝S3，从而S9－S6＝S3＋2S3＝3S3?S9＝6S3，
S12－S9＝S3＋3S3＝4S3?S12＝10S3，所以＝.
5．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于( )
A．1 B．－1
C．2 D.
答案 A
解析 由等差数列的性质，＝＝＝，
∴＝＝×＝1.
6．设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5S8，则下列结论错误的是( )
A．d<0 B．a7＝0
C．S9>S5 D．S6与S7均为Sn的最大值
答案 C
解析 由S50.又S6＝S7?a7＝0，所以d<0.
由S7>S8?a8<0，因此，S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9
＝2(a7＋a8)<0即S9二、填空题
7．数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2－n，(n∈N*)，则通项an＝________.
答案 2n－2
8．在等差数列{an}中，a1＝25，S9＝S17，则前n项和Sn的最大值是________．
答案 169
解析 方法一 利用前n项和公式和二次函数性质．
由S17＝S9，得25×17＋×(17－1)d＝25×9＋×(9－1)d，解得d＝－2，
所以Sn＝25n＋(n－1)×(－2)
＝－(n－13)2＋169，
由二次函数性质可知，当n＝13时，Sn有最大值169.
方法二 先求出d＝－2，因为a1＝25>0，
由 得
所以当n＝13时，Sn有最大值．
S13＝25×13＋×(－2)＝169.
因此Sn的最大值为169.
方法三 由S17＝S9，得a10＋a11＋…＋a17＝0，
而a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14，
故a13＋a14＝0.由方法一知d＝－2<0，
又因为a1>0，所以a13>0，a14<0，
故当n＝13时，Sn有最大值．
S13＝25×13＋×(－2)＝169.
因此Sn的最大值为169.
9．在等差数列{an}中，已知前三项和为15，最后三项和为78，所有项和为155，则项数n＝________.
答案 10
解析 由已知，a1＋a2＋a3＝15，an＋an－1＋an－2＝78，两式相加，得
(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋(a3＋an－2)＝93，即a1＋an＝31.
由Sn＝＝＝155，得n＝10.
10．等差数列{an}中，a1<0，S9＝S12，该数列在n＝k时，前n项和Sn取到最小值，则k的值是________．
答案 10或11
解析 方法一 由S9＝S12，得d＝－a1，由，得
，
解得10≤n≤11.∴当n为10或11时，Sn取最小值，
∴该数列前10项或前11项的和最小．
方法二 由S9＝S12，得d＝－a1，
由Sn＝na1＋d＝n2＋n，
得Sn＝·n2＋·n＝－2＋a1 (a1<0)，
由二次函数性质可知n＝＝10.5时，Sn最小．
但n∈N*，故n＝10或11时Sn取得最小值．
三、解答题
11．设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值．
解 (1)由an＝a1＋(n－1)d及a3＝5，a10＝－9得
可解得
所以数列{an}的通项公式为an＝11－2n.
(2)由(1)知，Sn＝na1＋d＝10n－n2.
因为Sn＝－(n－5)2＋25，
所以当n＝5时，Sn取得最大值．
12．已知等差数列{an}中，记Sn是它的前n项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{|an|}的前n项和Tn.
解 由S2＝16，S4＝24，得
即 解得
所以等差数列{an}的通项公式为an＝11－2n (n∈N*)．
(1)当n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋10n.
(2)当n≥6时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－…－an＝2S5－Sn
＝2×(－52＋10×5)－(－n2＋10n)＝n2－10n＋50，
故Tn＝
能力提升
13．数列{an}的前n项和Sn＝3n－2n2 (n∈N*)，则当n≥2时，下列不等式成立的是( )
A．Sn>na1>nan B．Sn>nan>na1
C．na1>Sn>nan D．nan>Sn>na1
答案 C
解析 方法一 由an＝，
解得an＝5－4n.
∴a1＝5－4×1＝1，∴na1＝n，
∴nan＝5n－4n2，
∵na1－Sn＝n－(3n－2n2)＝2n2－2n＝2n(n－1)>0.
Sn－nan＝3n－2n2－(5n－4n2)＝2n2－2n>0.
∴na1>Sn>nan.
方法二 ∵an＝5－4n，
∴当n＝2时，Sn＝－2，
na1＝2，nan＝－6，
∴na1>Sn>nan.
14．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，且S12>0，S13<0.
(1)求公差d的范围；
(2)问前几项的和最大，并说明理由．
解 (1)根据题意，有： 整理得：
解之得：－(2)∵d<0，
而S13＝＝13a7<0，∴a7<0.
又S12＝＝6(a1＋a12)＝6(a6＋a7)>0，
∴a6>0.
∴数列{an}的前6项和S6最大．
1．公式an＝Sn－Sn－1并非对所有的n∈N*都成立，而只对n≥2的正整数才成立．由Sn求通项公式an＝f(n)时，要分n＝1和n≥2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示．
2．求等差数列前n项和的最值
(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观．
(2)通项法：当a1>0，d<0，时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，时，Sn取得最小值．
3．求等差数列{an}前n项的绝对值之和，关键是找到数列{an}的正负项的分界点．
