2.3等差数列的前n项和（一）
一、教学目标
1、等差数列前n项和公式．
2、等差数列前n项和公式及其获取思路；
3、会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题．
二、教学重点：等差数列前n项和公式的理解、推导及应用．
教学难点：灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题．
三、教学过程
（一）、复习引入：
1．等差数列的定义： －=d ，（n≥2，n∈N）
2．等差数列的通项公式：
（1） （2） （3） =pn+q (p、q是常数)
3．几种计算公差d的方法：① － ② ③
4．等差中项：成等差数列
5．等差数列的性质： m+n=p+q (m, n, p, q ∈N )
6．数列的前n项和：数列中，称为数列的前n项和，记为.
“小故事”1、2、3
高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家出道题目: 1+2+…100=?”
过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：
“1+2+3+…+100=5050．”
教师问：“你是如何算出答案的？”
高斯回答说：“因为1+100=101；
2+99=101；…50+51=101，所以 101×50=5050”
这个故事告诉我们：
（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西．
（2）该故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法．
二、讲解新课：
1．等差数列的前项和公式1：
证明： ①
②
①+②：
∵
∴ 由此得：．
2． 等差数列的前项和公式2： ．
用上述公式要求必须具备三个条件：．
但 代入公式1即得：
此公式要求必须已知三个条件：
总之：两个公式都表明要求必须已知中三个．
公式二又可化成式子： ，当d≠0，是一个常数项为零的二次式．
三、例题讲解
例1、(1)已知等差数列{an}中, a1 =4, S8 =172,求a8和d ;
(2)等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？
解：(1)
(2)设题中的等差数列为，前n项为 则
由公式可得 . 解之得：（舍去）
∴等差数列-10，-6，-2，2…前9项的和是54．
例2、教材P43面的例1
解：
例3．求集合的元素个数，并求这些元素的和．
解：由得
∴正整数共有14个即中共有14个元素
即：7，14，21，…，98 是等差数列．
∴ 答：略．
例4、等差数列的前项和为，若，求.
（学生练学生板书教师点评及规范）
练习：⑴在等差数列中，已知，求.
⑵在等差数列中，已知，求.
例4．已知等差数列{an}前四项和为21,最后四项的和为67,所有项的和为286,求项数n.
解：依题意，得
两式相加得
又所以
又，所以n=26．
例5．已知一个等差数列{an}前10项和为310,前20项的和为1220,由这些条件能确定这个等差数
列的前n项的和吗？.
思考：（1）等差数列中，成等差数列吗？
（2）等差数列前m项和为,则、.、是等差数列吗？
练习：教材第118页练习第1、3题．
三、课堂小结：
1.等差数列的前n项和公式1： ；
2.等差数列的前n项和公式2：．
四、课外作业：
1.阅读教材第42～44页；
2.《习案》作业十三．
课件29张PPT。2.3 等差数列的
前n项和 (一)复习引入1. 等差数列定义：
即an－an－1 ＝d (n≥2).复习引入1. 等差数列定义：
即an－an－1 ＝d (n≥2).2. 等差数列通项公式： (2) an＝am＋(n－m)d .(3) an＝pn＋q (p、q是常数)(1) an＝a1＋(n－1)d (n≥1).复习引入3. 几种计算公差d的方法: 复习引入3. 几种计算公差d的方法: 复习引入4. 等差中项复习引入4. 等差中项成等差数列. 复习引入5. 等差数列的性质复习引入m＋n＝p＋q ? am＋an＝ap＋aq. (m，n，p，q∈N)5. 等差数列的性质复习引入6. 数列的前n项和：复习引入6. 数列的前n项和：称为数列{an}的前n项和，记为Sn.数列{an}中，复习引入 高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时，
有一次老师出了一道题目，老师说: “现在给大家
出道题目: 1+2+…100=?”过了两分钟，正当大家
在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，
高斯站起来回答说：“1+2+3+…+100=5050．”教师问：“你是如何算出答案的？”
高斯回答说：“因为1+100=101；2+99=101；…
50+51=101，所以101×50=5050”.小故事”1、2、3复习引入 高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时，
有一次老师出了一道题目，老师说: “现在给大家
出道题目: 1+2+…100=?”过了两分钟，正当大家
在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，
高斯站起来回答说：“1+2+3+…+100=5050．”教师问：“你是如何算出答案的？”
高斯回答说：“因为1+100=101；2+99=101；…
50+51=101，所以101×50=5050”.小故事”1、2、3“倒序相加”法 讲授新课1. 等差数列的前n项和公式一讲授新课1. 等差数列的前n项和公式一讲授新课2. 等差数列的前n项和公式二讲授新课2. 等差数列的前n项和公式二讲授新课2. 等差数列的前n项和公式二还可化成讲解范例:例1. (1)已知等差数列{an}中，a1＝4，
S8＝172，求a8和d;
(2)等差数列－10，－6，－2，2，
…前多少项的和是54？讲解范例:例3. 求集合
的元素个数，并求这些元素的和． 讲解范例:例4. 等差数列{an}的前n项和为Sn，若
S12＝84，S20＝460，求S28.讲解范例:练习:1. 在等差数列{an}中，已知a3＋a99＝200，
求S101.2. 在等差数列{an}中，已知a15＋a12＋a9
＋a6 ＝20，求S20.例5. 已知等差数列{an}前四项和为21，
最后四项的和为67，所有项的和为
286，求项数n.讲解范例:例6. 已知一个等差数列{an}前10项和为
310，前20项的和为1220，由这些条件
能确定这个等差数列的前n项的和吗？讲解范例:思考:1. 等差数列中，S10，S20－S10，S30－S20
成等差数列吗？2. 等差数列前m项和为Sm，则Sm，
S2m－Sm，S3m－S2m是等差数列吗？练习:教材P.45练习第1、3题.课堂小结1. 等差数列的前n项和公式一：2. 等差数列的前n项和公式二： 阅读教材P.42到P.44；
2. 《习案》作业十三.课后作业双基限时练(十)
1．等差数列{an}中，a1＝1，a3＋a5＝14，其前n项和Sn＝100，则n＝( )
A．9 B．10
C．11 D．12
解析 a1＝1，a3＋a5＝2a1＋6d＝14，
∴d＝2，∴Sn＝n＋×2＝100.
∴n＝10.
答案 B
2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S7＝35，则a4＝( )
A．8 B．7
C．6 D．5
解析 S7＝×7＝35，
∴a1＋a7＝10，∴a4＝＝5.
答案 D
3．设数列{an}是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是( )
A．1 B．2
C．4 D．8
解析 依题意
∵a1＋a3＝2a2，∴a2＝4.
∴解得或
∵{an}是递增数列，∴a1＝2.
答案 B
4．若数列{an}为等差数列，公差为，且S100＝145，则a2＋a4＋…＋a100的值为( )
A．60 B．85
C. D．其他值
解析 设a1＋a3＋…＋a99＝S1，
则a2＋a4＋…＋a100＝S1＋50d.
依题意，有S1＋S1＋50d＝145.
又d＝，∴S1＝60.
∴a2＋a4＋…＋a100＝60＋25＝85.
答案 B
5．记等差数列的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d等于( )
A．2 B．3
C．6 D．7
解析 由题意，有a1＋a2＝4，a1＋a2＋a3＋a4＝20，
∴a3＋a4＝16.
∴a1＋2d＋a2＋2d＝16.
∴4d＝12，d＝3.
答案 B
6．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( )
A．765 B．665
C．763 D．663
解析 被7除余2的自然数，构成等差数列，其首项a1＝2，公差d＝7.最大的an＝93，由2＋(n－1)×7＝93得n＝14.∴这些数的和为S＝×14＝665.
答案 B
7．在数列{an}中，an＝4n－，a1＋a2＋…＋an＝an2＋bn，(n∈N*)，其中a，b为常数，则ab＝________.
解析 ∵an＝4n－，∴a1＝.
又知{an}为等差数列，且d＝4，
∴an2＋bn＝a1＋a2＋…＋an
＝n＋×4＝2n2－n.
∴a＝2，b＝－，∴ab＝－1.
答案 －1
8．在等差数列{an}中，S4＝6，S8＝20，则S16＝________.
解析 S4＝6，S8＝S4＋a5＋a6＋a7＋a8＝20，
∴a1＋…＋a4＝6，a5＋…＋a8＝14.
∴a9＋a10＋a11＋a12＝22，
a13＋…＋a16＝30，∴S16＝72.
答案 72
9．在数列{an}中，an＋1＝(n∈N*)，且a5＝，则a3＝________.
解析 由an＋1＝，得＝＝＋，即－＝，所以数列是公差为的等差数列，故＝－2d＝2－2×＝1，即a3＝1.
答案 1
10．等差数列{an}的前n项和记为Sn，已知a10＝30，a20＝50.
(1)求通项an；
(2)若Sn＝242，求n.
解 (1)设{an}的首项为a1，公差为d，
则∴
∴通项an＝a1＋(n－1)d＝10＋2n.
(2)由Sn＝na1＋d，Sn＝242，可得方程
12n＋×2＝242.
解得n＝11或n＝－22(舍去)，∴n＝11.
11．已知{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－5.
(1)求{an}的通项an；
(2)求{an}的前n项和Sn的最大值．
解 (1)设{an}的公差为d，由已知条件
解得
∴an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋5.
(2)Sn＝na1＋d
＝－n2＋4n
＝－(n－2)2＋4，
所以，当n＝2时，Sn取得最大值4.
12．已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.
(1)求an及Sn；
(2)令bn＝(n∈N＋)，求数列{bn}的前n项和Tn.
解 (1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
∵a3＝7，a5＋a7＝26，∴
解得
∴an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，Sn＝3n＋×2＝n2＋2n.即an＝2n＋1，Sn＝n2＋2n.
(2)由(1)知an＝2n＋1，
∴bn＝＝＝×＝×.
∴Tn＝×＝×＝，
即数列{bn}的前n项和Tn＝.
第1课时 等差数列的前n项和
1．理解等差数列前n项和公式的推导过程．
2．掌握等差数列前n项和公式及其应用．
1．数列的前n项和
对于数列{an}，一般地，我们称a1＋a2＋a3＋…＋an为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝______________.
数列的前n项和必须从第1项开始，逐项相加到第n项，不能是其中几项的和．
【做一做1】 数列9，－2，－10,3的前3项和S3＝__________.
2．等差数列{an}的前n项和
设等差数列{an}的公差是d，则Sn＝＝na1＋__________.
[来源
等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d，前n项和公式Sn＝＝na1＋d.
①上述两个公式共涉及到a1，an，Sn，n，d五个量，通常已知其中三个，可求另外两个，即“知三求二”，而且方法就是解方程组，这也是解决等差数列问题的策略．
②当已知首项a1，末项an，项数n时，常用公式Sn＝；当已知首项a1，公差d，项数n时，常用公式Sn＝na1＋d.
【做一做2－1】 等差数列{an}中，a1＝1，d＝1，则Sn等于( )
A．n B．n(n＋1)
C．n(n－1) D.
【做一做2－2】 等差数列{an}中，an＝2n－1，则其前n项和Sn＝__________.
答案：1．a1＋a2＋a3＋…＋an
【做一做1】 －3
2.d
【做一做2－1】 D
【做一做2－2】 n2
1．等差数列前n项和公式与函数的关系
剖析：等差数列的前n项和公式Sn＝na1＋d可以写为Sn＝n2＋n.
若令＝A，a1－＝B，则上式可以写成Sn＝An2＋Bn，即Sn是关于项数n的函数．
当A＝0，B＝0时(此时a1＝0，d＝0)，Sn＝0是关于n的常数函数； _K]
当A＝0，B≠0时(此时a1≠0，d＝0)，Sn＝Bn是关于n的一次函数(正比例函数)；
当A≠0时(此时d≠0)，Sn＝An2＋Bn是关于n的二次函数．
从上面的分析，我们可以看出：
(1)一个数列{an}是等差数列，则其前n项和公式Sn＝f(n)是关于n的二次函数或一次函数或常数函数，且其常数项为0，即Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．
(2)如果一个数列的前n项和的表达式为Sn＝An2＋Bn＋C(A，B，C为常数)，则当C≠0时，数列{an}不是等差数列．
(3)当d≠0时，点(1，S1)，(2，S2)，(3，S3)，…，(n，Sn)，…在抛物线y＝x2＋x的图象上．
(4)由二次函数图象的性质可知，当d＞0时，{an}是递增数列，Sn有最小值；当d＜0时，{an}是递减数列，Sn有最大值．
2．Sn与an的关系
剖析：已知数列{an}的通项公式an，前n项和Sn，则Sn与an有如下的关系：an＝
推导如下：
∵Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，
且当 n≥2时，Sn－1＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1.
∴当n≥2时，Sn－Sn－1＝(a1＋a2＋a3＋…＋an)－(a1＋a2＋a3＋…＋an－1)＝an.
又当n＝1时，a1＝S1，∴an＝
若S1满足Sn－Sn－1形式，则有an＝Sn－Sn－1(n≥1，n∈N*)；若S1不满足Sn－Sn－1形式，则可表示成上述分段形式．
这是实现an与Sn相互转化的重要方法．
题型一 已知Sn求an
【例题1】 已知下面各数列{an}的前n项和Sn的公式，求{an}的通项公式．
(1)Sn＝2n2－3n； (2)Sn＝3n－2.
分析：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)求解．
反思：已知数列{an}的前n项和公式Sn，求通项公式an的步骤：
(1)当n＝1时，a1＝S1.
(2)当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1.
(3)如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式为an＝Sn－Sn－1(如本题(1))；
如果a1不满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式要分段表示为an＝(如本题(2))．
题型二 等差数列前n项和的有关计算
【例题2】 已知等差数列{an}中，
(1)a1＝，d＝－，Sn＝－15，求n及an；
(2)a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求d.
分析：合理地使用前n项和公式，并注意其变形；要应用方程的思想．
反思：a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题，一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)来求解．这种方法是解决数列运算的基本方法，在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用．
题型三 等差数列前n项和的最值问题
【例题3】 数列{an}是等差数列，a1＝50，d＝－0.6.
(1)该数列前多少项都是非负数？
(2)求此数列的前n项和Sn的最大值．
分析：(1)满足不等式组的正整数解即是；(2)既可以从项的正负考虑，也可以利用等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，考虑对应二次函数的最值．
反思：求等差数列的前n项和Sn的最值有两种方法：
(1)由二次函数的最值特征得解．
Sn＝na1＋d＝n2＋n
＝2－
＝2－2.[
由二次函数的最大值、最小值知识及n∈N*知，当n取最接近－的正整数时，Sn取到最大值(或最小值)，如本题(2)方法二．值得注意的是最接近－的正整数可能有1个，也可能有2个．
(2)根据项的正负来定．
①首项a1＞0，公差d＜0，m满足时，前n项和Sn的最大值是Sm.
②首项a1＜0，公差d＞0，m满足时，前n项和Sn的最小值是Sm.
题型四 易错辨析
【例题4】 已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2，求此数列的通项公式．
错解：an＝Sn－Sn－1＝n2＋2－(n－1)2－2＝2n－1.
错因分析：∵Sn＝n2＋2，∴a1＝S1＝12＋2＝3，而当n＝1时，an＝2n－1＝2×1－1＝1≠3，则an＝2n－1不是数列{an}的通项公式．错解中忽视了an＝Sn－Sn－1成立的条件是n≥2.
反思：已知数列{an}的前n项和Sn与an的关系求an，一般使用公式an＝Sn－Sn－1(n≥2)，但必须写明它成立的条件：n∈N*，n≥2，忽视了这一点往往会导致错误．
答案：【例题1】 解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝2×12－3×1＝－1；
当n≥2时，Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)＝2n2－7n＋5，
则an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－(2n2－7n＋5)
＝2n2－3n－2n2＋7n－5
＝4n－5.
此时若n＝1，则an＝4n－5＝4×1－5＝－1＝a1，
故an＝4n－5.
(2)当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1；
当n≥2时，Sn－1＝3n－1－2，
则an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝3n－3n－1
＝3·3n－1－3n－1＝2·3n－1.
此时若n＝1，则an＝2·3n－1＝2·31－1＝2≠a1，
故an＝[来源:Z&xx&k.Com]
【例题2】 解：(1)∵Sn＝n·＋＝－15，
整理，得n2－7n－60＝0，
解得n＝12或n＝－5(舍去)，
∴a12＝＋(12－1)×＝－4.
(2)由Sn＝＝＝－1 022，
解得n＝4.
又由an＝a1＋(n－1)d，即－512＝1＋(4－1)d，
解得d＝－171.
【例题3】 解：(1)由a1＝50，d＝－0.6，
知an＝50－0.6(n－1)＝－0.6n＋50.6.
令即
解得＜m≤，
又m∈N*，则m＝84，
即前84项都是非负数．
(2)方法一：由(1)得a84＞0，a85＜0，
则Sn的最大值是S84＝50×84＋×(－0.6)＝2 108.4.
方法二：Sn＝50n＋·(－0.6)＝－0.3n2＋50.3n＝－0.32＋，由二次函数的性质知，当n＝84时，Sn取最大值S84＝2 108.4.
【例题4】 正解：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2－(n－1)2－2＝2n－1；
当n＝1时，a1＝S1＝12＋2＝3，不适合上式，
故an＝
1 (2019·山东济南二模)数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2n2－17n，则当Sn取得最小值时，n的值为( )
A．4或5 B．5或6
C．4 D．5
2已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5＜ak＜8，则k等于( )[来源:学]
A．9 B．8 C．7 D．6
3(2019·北京丰台一模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝1，S5＝10，则S7＝__________.
4(2019安徽“江南十校”高三联考)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－3，则数列{an}的通项公式为__________．
5等差数列{an}中，a3＝－5，a6＝1，此数列的通项公式为__________，设Sn是数列{an}的前n项和，则S8等于__________．
答案：1．C 2.B 3.21 4.an＝
5．an＝2n－11 －16
§2.3 等差数列的前n项和(一)
课时目标
1．掌握等差数列前n项和公式及其性质．
2．掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn之间的关系．
1．把a1＋a2＋…＋an叫数列{an}的前n项和，记做Sn.例如a1＋a2＋…＋a16可以记作S16；a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝Sn－1 (n≥2)．
2．若{an}是等差数列，则Sn可以用首项a1和末项an表示为Sn＝；若首项为a1，公差为d，则Sn可以表示为Sn＝na1＋n(n－1)d.
3．等差数列前n项和的性质
(1)若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为.
(2)Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列．
(3)设两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，则＝.
一、选择题
1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于( )
A．13 B．35
C．49 D．63
答案 C
解析 S7＝＝＝49.
2．等差数列{an}中，S10＝4S5，则等于( )
A. B．2
C. D．4
答案 A
解析 由题意得：
10a1＋×10×9d＝4(5a1＋×5×4d)，
∴10a1＋45d＝20a1＋40d，
∴10a1＝5d，∴＝.
3．已知等差数列{an}中，a＋a＋2a3a8＝9，且an<0，则S10为( )
A．－9 B．－11 C．－13 D．－15
答案 D
解析 由a＋a＋2a3a8＝9得
(a3＋a8)2＝9，∵an<0，
∴a3＋a8＝－3，
∴S10＝
＝＝＝－15.
4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36.则a7＋a8＋a9等于( )
A．63 B．45 C．36 D．27
答案 B
解析 数列{an}为等差数列，则S3，S6－S3，S9－S6为等差数列，即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，
∵S3＝9，S6－S3＝27，则S9－S6＝45.
∴a7＋a8＋a9＝S9－S6＝45.
5．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( )
A．765 B．665 C．763 D．663
答案 B
解析 ∵a1＝2，d＝7,2＋(n－1)×7<100，∴n<15，
∴n＝14，S14＝14×2＋×14×13×7＝665.
6．一个等差数列的项数为2n，若a1＋a3＋…＋a2n－1＝90，a2＋a4＋…＋a2n＝72，且a1－a2n＝33，则该数列的公差是( )
A．3 B．－3 C．－2 D．－1
答案 B
解析 由
得nd＝－18.
又a1－a2n＝－(2n－1)d＝33，所以d＝－3.
二、填空题
7．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝________.
答案 15
解析 设等差数列的公差为d，则
S3＝3a1＋d＝3a1＋3d＝3，
即a1＋d＝1，
S6＝6a1＋d＝6a1＋15d＝24，
即2a1＋5d＝8.
由解得
故a9＝a1＋8d＝－1＋8×2＝15.
8．两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知＝，则的值是________．
答案
解析 ＝＝＝.
9．在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n的值为________．
答案 10
解析 S奇＝＝165，
S偶＝＝150.
∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，∴＝＝，
∴n＝10.
10．等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则数列{an}的前3m项的和S3m的值是________．
答案 210
解析 方法一 在等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列．
∴30,70，S3m－100成等差数列．
∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.
方法二 在等差数列中，，，成等差数列，
∴＝＋.
即S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.
三、解答题
11．在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.
解 由
得
解方程组得或
12．设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列的前n项和，求Tn.
解 设等差数列{an}的公差为d，
则Sn＝na1＋n(n－1)d，
∵S7＝7，S15＝75，∴，
即，解得，
∴＝a1＋(n－1)d＝－2＋(n－1)，
∵－＝，
∴数列是等差数列，其首项为－2，公差为，
∴Tn＝n×(－2)＋×＝n2－n.
能力提升
13．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )
A．9 B．10 C．19 D．29
答案 B
解析 钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．
∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n＝.
当n＝19时，S19＝190.
当n＝20时，S20＝210>200.
∴n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．
14．已知两个等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则使得为整数的正整数n的个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 D
解析 ＝＝＝
＝＝7＋，
∴n＝1,2,3,5,11.
1．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量．
在求等差数列的和时，一般地，若已知首项a1及末项an，用公式Sn＝较好，若已知首项a1及公差d，用公式Sn＝na1＋d较好．
2．等差数列的性质比较多，学习时，不必死记硬背，可以在结合推导过程中加强记忆，并在解题中熟练灵活地应用．
课件48张PPT。 泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。
传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。
你知道这个图案一共花了多少宝石吗？
等差数列的前n项和 1.等差数列的定义：2.通项公式：3.重要性质: 高斯出生于一个工匠家庭，幼时家境贫困，但聪敏异常。上小学四年级时，一次老师布置了一道数学习题：“把从1到100的自然数加起来，和是多少？”年仅10岁的小高斯略一思索就得到答案5050，这使老师非常吃惊。那么高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？?? 高斯（1777---1855）， 德国数学家、物理学家和天文学家。他和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家。有“数学王子”之称。 高斯“神速求和”的故事:首项与末项的和： 1＋100＝101，第2项与倒数第2项的和： 2＋99 =101， 第3项与倒数第3项的和： 3＋98 ＝101，? · · · · · · 第50项与倒数第50项的和：50＋51＝101，于是所求的和是：求 S=1+2+3+······+100=？你知道高斯是怎么计算的吗？高斯算法：高斯算法用到了等差数列的什么性质？ 如图，是一堆钢管，自上而下每层钢管数为4、5、6、7、8、9、10，求钢管总数。即求：S=4+5+6+7+8+9+10.高斯算法：
S=（4+10) +（5+9）+（6+8）+7 = 14×3+7=49.还有其它算法吗？S=10+9+8+7+6+5+4.S=4+5+6+7+8+9+10.相加得：倒序相加法怎样求一般等差数列的前n项和呢？等差数列的前n项和公式公式1公式2结论：知 三 求 二思考：(1)两个求和公式有何异同点？公式记忆—— 类比梯形面积公式记忆等差数列前n项和公式的函数特征：特征：思考：结论：例1、计算：例2、注：本题体现了方程的思想.解：例3、解：又解：整体运算的思想!例4、解：1、一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式。解：解:四、随堂练习1、根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛an｝的sn(1)a１=5,an=95,n=10(2)a1=100,d=－2,n=50(3)a1=14.5,d=0.7,an=322、(1)求正整数列中前n个数的和；
(2)求正整数列中前n个偶数的和。3、等差数列5,4,3,2,1,…前多少项的和是－30？［前15项］1、用倒序相加法推导等差数列前n项和公式;3、应用公式求和.“知三求二”，方程的思想.①已知首项、末项用公式Ⅰ；
已知首项、公差用公式Ⅱ.
②应用求和公式时一定弄清项数n.
③当已知条件不足以求出a1和d时，要认真观察，灵活应用等差数列的性质，看能否用整体思想求a1+an的值. 作 业P46 习题2.3 A组 第2题2.3 等差数列的前n项和——性质及其应用（上）一、复习引入1.若一个等差数列前3项和为34，最后三项和为146，且所有项的和为390，则这个数列共有______项。2.已知两个等差数列{an},{bn}，它们的前n项和分别是Sn,Tn，若热身练习比值问题整体思想方法一：方程思想方法二：成等差数列等差数列前n项和性质：(等差数列等分若干段后,各段和依序成等差数列)等差数列前项和的最值问题： 考一本第13课时知识点2： 解：方法一练习解：方法二练习1、已知一个等差数列中满足 等差数列前n项和—————性质以及应用（下）等差数列 奇、偶项和问题1、已知一个等差数列前12项的和是354，前
12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差．分析：方法一：直接套用公式；
方法二：利用奇数项与偶数项的关系．解：方法一： 1、已知一个等差数列前12项的和是354，前 12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差． 解：方法二： 分析：还是利用奇数项和偶数项之间
的关系，相差一个公差d.求数列前n项和方法之一：裂项相消法设{an}是公差为d的等差数列，则有特别地，以下等式都是①式的具体应用：①(裂项相消法)；；求数列前n项和方法之二：公式单利：银行利息按单利计算（利息没有利息）
本利和=本金×（1+利率×存期）例如：存入10000元，利率为0.72%特点：每一项与前一项的差是同一个常数复利：银行利息按复利计算（利滚利）
本金和=本金×（1+利率）存期例如：存入10000元，利率为1.98%特点：后一顶与前一项的比是同一个常数
