2.4等比数列（二）
教学目标
知识与技能目标
等比中项的概念；
掌握＂判断数列是否为等比数列＂常用的方法；
进一步熟练掌握等比数列的通项公式、性质及应用．
过程与能力目标
明确等比中项的概念；
进一步熟练掌握等比数列的通项公式、性质及应用．
教学重点
等比数列的通项公式、性质及应用．
教学难点
灵活应用等比数列的定义及性质解决一些相关问题．
教学过程
一、复习
1．等比数列的定义．
2. 等比数列的通项公式:
， ，
3．｛an｝成等比数列
4．求下面等比数列的第4项与第5项：
（1）5，－15，45，……；（2）1.2，2.4，4.8，……；（3），…….
二、讲解新课：
思考：类比等差中项的概念，你能说出什么是等比中项吗？
1．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a, G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项. 即G=±（a,b同号） ，则，
反之，若G=ab,则，即a,G,b成等比数列 ∴a,G,b成等比数列G=ab（a·b≠0）
例1．三个数成等比数列,它的和为14,它们的积为64,求这三个数.
解:设m,G,n为所求的三个数,
有已知得m+n+ G =14, ,
这三个数为8,4,2或2,4,8.
解法二:设所求三个数分别为则
又 解得
这三个数为8,4,2或2,4,8.
2．等比数列的性质：若m+n=p+k，则
在等比数列中，m+n=p+q，有什么关系呢？
由定义得：
，
则
例2. 已知{}是等比数列，且, 求．
解： ∵{}是等比数列，∴ ＋2＋＝(＋)＝25,
又>0, ∴＋＝5;
3．判断等比数列的常用方法：定义法，中项法，通项公式法
例3．已知是项数相同的等比数列，求证是等比数列.
证明：设数列的首项是，公比为;的首项为，公比为，那么数列的第n项与第n+1项分别
它是一个与n无关的常数，所以是一个以q1q2为公比的等比数列.
思考；（1）｛an｝是等比数列，C是不为0的常数，数列是等比数列吗？
（2）已知是项数相同的等比数列，是等比数列吗？
4．等比数列的增减性：当q>1, a1>0或0
当q>1, a1<0,或00时, {an}是递减数列;
当q=1时, {an}是常数列;当q<0时, {an}是摆动数列．
思考：通项为的数列的图象与函数的图象有什么关系？
三、例题讲解
例4． 已知无穷数列，
求证：（1）这个数列成等比数列；
（2）这个数列中的任一项是它后面第五项的；
（3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中．
证：（1）（常数）∴该数列成等比数列．
（2），即：．
（3），∵，∴．
∴且，
∴，（第项）．
四、练习：教材第53页第3、4题．
五、课堂小结：
1.等比中项的定义；
2.等比数列的性质；
3．判断数列是否为等比数列的方法．
六、课外作业
1.阅读教材第52～52页；
2.《习案》作业十六．
课件32张PPT。2.4 等比数列 (二)复习引入1. 等比数列的定义：2. 等比数列通项公式： 复习引入1. 等比数列的定义：2. 等比数列通项公式： 复习引入3. {an}成等比数列?复习引入3. {an}成等比数列?复习引入4. 求下面等比数列的第4项与第5项：讲授新课 类比等差中项的概念，你能说出什么
是等比中项吗？思考：讲授新课 类比等差中项的概念，你能说出什么
是等比中项吗？思考： 如果在a与b中间插入一个数G，使a,
G，b成等比数列，那么称这个数G为a与
b的等比中项. 讲授新课 类比等差中项的概念，你能说出什么
是等比中项吗？思考： 如果在a与b中间插入一个数G，使a,
G，b成等比数列，那么称这个数G为a与
b的等比中项. 即 (a,b同号) 讲授新课 类比等差中项的概念，你能说出什么
是等比中项吗？思考： 如果在a与b中间插入一个数G，使a,
G，b成等比数列，那么称这个数G为a与
b的等比中项. 即 (a,b同号) 则等比中项:反之，若等比中项:反之，若则等比中项:反之，若即a,G,b成等比数列.则等比中项:反之，若即a,G,b成等比数列.∴a, G, b成等比数列,则?(a·b≠0) 讲解范例:例1. 三个数成等比数列，它的和为14，
它们的积为64，求这三个数.等比数列的性质:在等比数列中，m＋n＝p＋q， am，an，
ap， aq有什么关系呢？等比数列的性质:在等比数列中，m＋n＝p＋q， am，an，
ap， aq有什么关系呢？am · an＝ap · aq.等比数列的性质:若m＋n＝p＋q，则am · an＝ap · aq.在等比数列中，m＋n＝p＋q， am，an，
ap， aq有什么关系呢？am · an＝ap · aq.讲解范例:例2. 已知{an}是等比数列，且an＞0，
a2·a4＋2a3·a5＋a4·a6＝25，求a3＋a5.判断等比数列的常用方法: 定义法
等比中项法
通项公式法讲解范例:例3.已知{an}、{bn}是项数相同的等比数
列，求证{an · bn}是等比数列.思考:1. {an}是等比数列，C是不为0的常数，数列{can}是等比数列吗？思考:2. 已知{an}，{bn}是项数相同的等比数列， 是等比数列吗？1. {an}是等比数列，C是不为0的常数，数列{can}是等比数列吗？等比数列的增减性:1. 当q＞1, a1＞0或0＜q＜1, a1＜0时,
{an}是递增数列;
等比数列的增减性:1. 当q＞1, a1＞0或0＜q＜1, a1＜0时,
{an}是递增数列;
2. 当q＞1, a1＜0,或0＜q＜1, a1＞0时,
{an}是递减数列;
等比数列的增减性:1. 当q＞1, a1＞0或0＜q＜1, a1＜0时,
{an}是递增数列;
2. 当q＞1, a1＜0,或0＜q＜1, a1＞0时,
{an}是递减数列;
3. 当q＝1时, {an}是常数列;
等比数列的增减性:1. 当q＞1, a1＞0或0＜q＜1, a1＜0时,
{an}是递增数列;
2. 当q＞1, a1＜0,或0＜q＜1, a1＞0时,
{an}是递减数列;
3. 当q＝1时, {an}是常数列;
4. 当q＜0时, {an}是摆动数列．思考:通项为an＝2n－1的数列的图象与
函数 y＝2x－1的图象有什么关系？讲解范例:例4.已知无穷数列，求证：
(1) 这个数列成等比数列;
(2) 这个数列中的任一项是它后面第五
项的(3) 这个数列的任意两项的积仍在这个
数列中．练习:教材P.53练习第3、4题．课堂小结1. 等比中项的定义；
2. 等比数列的性质；
3. 判断数列是否为等比数列的方法． 阅读教材P.52；
2. 《习案》作业十六.课后作业双基限时练(十三)
1．在等比数列{an}中，如果a6＝6，a9＝9，那么a3为( )
A．4 B.
C. D．2
解析 a6·q3＝a9，∴q3＝＝，∴a3＝＝6×＝4.
答案 A
2．在各项均为正数的等比数列{an}中，若a5a6＝9，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10等于( )
A．12 B．10
C．8 D．2＋log35
解析 由等比数列的性质，知
a1·a2·a3…a10＝(a5·a6)5＝95＝310，
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1·a2…a10)＝log3310＝10.
答案 B
3．数列{an}为等比数列，且an＝an＋1＋an＋2，an>0，则该数列的公比q是( )
A. B.
C. D.
解析 由an＝an＋1＋an＋2，得an＝anq＋anq2.
∵an>0，∴q2＋q－1＝0，解得q＝.
答案 D
4．在等比数列{an}中，an>an＋1，且a7·a14＝6，a4＋a17＝5，则等于( )
A. B.
C. D．6
解析 ∵a7·a14＝a4·a17＝6，
a4＋a17＝5，且an>an＋1，
∴a4＝3，a17＝2，∴q13＝＝.
∴＝＝＝.
答案 A
5．在等比数列{an}中，a5·a6·a7＝3，a6·a7·a8＝24，则a7·a8·a9的值等于( )
A．48 B．72
C．144 D．192
解析 a6·a7·a8＝(a5·a6·a7)q3
∴24＝3q3，∴q3＝8，
∴a7·a8·a9＝(a6·a7·a8)q3＝24×8＝192.
答案 D
6．设等差数列{an}的公差d不为0，a1＝9d，若ak是a1与a2k的等比中项，则k＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析 依题意，知ak＝a1＋(k－1)d＝9d＋(k－1)d＝(k＋8)d，
a2k＝a1＋(2k－1)d＝(2k＋8)d.
又a＝a1·a2k.∴(k＋8)2d2＝9d·(2k＋8)d.
即k2－2k－8＝0.
∴k＝4，或k＝－2(舍去)．
答案 B
7．已知{an}是等比数列，若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，则a3＋a5＝________.
解析 ∵a2a4＝a，a4a6＝a，
∴a＋2a3a5＋a＝25，即(a3＋a5)2＝25.
又an>0，∴a3＋a5＝5.
答案 5
8．公差不为零的等差数列{an}中，2a3－a＋2an＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝________.
解析 ∵2a3－a＋2a11＝2(a3＋a11)－a＝4a7－a＝0，
又b7＝a7≠0，∴a7＝4.∴b6b8＝b＝16.
答案 16
9．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米．
解析 依题意这10个正方形的边长构成以2为首项，为公比的等比数列{an}，(1≤n≤10，n∈N*)，则第10个正方形的面积S＝a＝[2()9]2＝4×29＝2048.
答案 2048
10．一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项，并求出通项公式．
解 设这个等比数列的第1项是a1，公比是q，那么
a1q2＝12，①
a1q3＝18，②
②÷①得 q＝.③
把③代入①得 a1＝.
因此，a2＝a1q＝×＝8，
an＝a1·qn－1＝·()n－1，
所以数列的第1项和第2项分别为和8，通项公式为an＝()n－1.
11．三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列这三个数，又可成为等比数列，这三个数的和为6，求这三个数．
解 由已知，可设这三个数为a－d，a，a＋d，则a－d＋a＋a＋d＝6，∴a＝2.
故这三个数可表示为2－d,2,2＋d.
①若2－d为等比中项，则有(2－d)2＝2(2＋d)．
解得d＝6或d＝0(舍去)．
此时三个数为－4,2,8.
②若2为等比中项，则有22＝(2－d)(2＋d)．解得d＝0(舍去)．
③若2＋d为等比中项，则有(2＋d)2＝2(2－d)，解得d＝－6或d＝0(舍去)．
此时三个数为8,2，－4.
综上可知，这三个数是8,2，－4.
12．在等比数列{an}中，an>0(n∈N*)，公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又a3与a5的等比中项为2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log2an，数列{bn}的前n项和为Sn，求数列{Sn}的通项公式；
(3)当＋＋…＋最大时，求n的值．
解 (1)∵a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，∴a＋2a3a5＋a＝25.
又an>0，∴a3＋a5＝5.①
又a3与a5的等比中项为2，
∴a3a5＝4.②
而q∈(0,1)，∴a3>a5.
∴由①与②解得a3＝4，a5＝1.
∴q2＝＝，q＝.∴a1＝16.
∴an＝16×()n－1＝25－n.
(2)bn＝log2an＝5－n，bn＋1－bn＝－1，b1＝4.
∴数列{bn}是以b1＝4为首项，－1为公差的等差数列．
∴Sn＝.
(3)由＝，得当n≤8时，>0，
当n＝9时，＝0，当n>9时，<0，
∴当n＝8或n＝9时，＋＋…＋最大．
第2课时 等比数列的性质
1．复习巩固等比数列的概念及其通项公式．
2．掌握等比中项的应用．
3．掌握等比数列的性质，并能解决有关问题．
1．等比数列的定义及通项公式
【做一做1】 等比数列{an}的公比q＝3，a1＝，则a5等于( )
A．3 B．9 C．27 D．81
2．等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成________，那么G叫做a，b的等比中项，这三个数满足关系式________．
【做一做2】 已知10是a与20的等比中项，则a＝__________.
答案：1．同一个常数 公比 q an＝a1qn－1 an＝an－1q
【做一做1】 C
2．等比数列 G2＝ab
【做一做2】 5
1．等比数列的性质
剖析：已知等比数列{an}中，首项为a1，公比为q(q≠0)，则an＝a1·qn－1.
(1)当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，数列{an}是递增数列；当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，数列{an}是递减数列；当q＝1时，数列{an}是常数列；当q＜0时，数列{an}是摆动数列(它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶数项异号)．
(2)an＝am·qn－m(m，n∈N*)．
(3)当m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)时，有am·an＝ap·aq.
(4)数列{an}是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，且等于首末两项之积，即a1·an＝a2·an－1＝a3·an－2＝…＝am·an－m＋1.
(5)数列{λan}(λ为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列；若数列{bn}是公比为q′的等比数列，则数列{an·bn}是公比为q·q′的等比数列；数列是公比为的等比数列；数列{|an|}是公比为|q|的等比数列．
(6)在数列{an}中，每隔k(k∈N*)项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为qk＋1.
(7)当数列{an}是各项都为正数的等比数列时，数列{lg an}是公差为lg q的等差数列．
(8)在数列{an}中，连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或qk2)的等比数列．
(9)若m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列，则am，an，ap成等比数列．
利用等比数列的通项公式易证性质(1)(2)(3)(4)，下面证明其他几条性质
(5)①∵an＝a1·qn－1，
∴λan＝λ·a1·qn－1＝(λa1)·qn－1.
又λ≠0，
∴数列{λan}是首项为λa1，公比为q的等比数列．
②∵bn＝b1·(q′)(n－1)，an＝a1·qn－1，
∴an·bn＝a1·qn－1·b1·(q′)(n－1)
＝(a1·b1)·(q′·q)n－1.
∴数列{an·bn}表示首项为a1·b1，公比为q′·q的等比数列．
③由＝＝·n－1，得数列表示首项为，公比为的等比数列．
④|an|＝|a1·qn－1|＝|a1|·|q|n－1，故数列{|an|}表示首项为|a1|，公比为|q|的等比数列．
(6)例如，等比数列{an}中，从首项a1开始每隔3项取出一项构成新数列为a4，a8，a12，a16，a20，a24，….
∵an＝a1·qn－1，且新数列中＝＝＝＝＝…＝q4，
∴当每隔k项取出一项时，变为＝＝＝…＝qk＋1.
(7)∵an＞0且an＝a1·qn－1(q≠0)，
∴lg an＝lg(a1·qn－1)．
∴lg an－lg an－1＝lg(a1·qn－1)－lg(a1·qn－2)
＝(lg a1＋lg qn－1)－(lg a1＋lg qn－2)
＝lg qn－1－lg qn－2＝(n－1)lg q－(n－2)lg q
＝lg q(常数)．
∴数列{lg an}是公差为lg q的等差数列．
(8)例如，等比数列{an}中，从首项a1开始，连续取相邻两项的和，构成新数列为a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8，….
∵＝＝＝…＝q2，
∴连续取相邻k项的和时，变为：
＝＝…＝qk.
(9)∵m＋p＝2n且m，n，p∈N*，
am＝a1·qm－1，an＝a1·qn－1，ap＝a1·qp－1，
∴am·ap＝a1·qm－1·a1·qp－1＝a·qm＋p－2
＝(a1·)2＝(a1·qn－1)2＝a.
∴am，an，ap成等比数列．
2．等差数列与等比数列的区别与联系
剖析：等差数列与等比数列的区别与联系如下表所示．
等差数列
等比数列
不同点
(1)强调每一项与前一项的差；
(2)a1和d可以为0；[来源:Zxxk.Com]
(3)任意两个实数的等差中项唯一；[来源:Z§xx§k.Com]
(4)当m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)时，
am＋an＝ap＋aq.
(1)强调每一项与前一项的比；
(2)a1与q均不为0；
(3)两个同号实数(不为0)的等比中项有两个值；
(4)当m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)时，
aman＝apaq.
相同点
(1)都强调每一项与其前一项的关系；(2)结果都必须是常数；(3)数列都可以由a1，d或a1，q确定．
联系
(1)若{an}为正项等比数列，则{logman}为等差数列，其中m＞0，且m≠1.(2)若{an}为等差数列，则{ban}为等比数列；(3)非零常数列既是等差数列又是等比数列.
3.在等比数列{an}中，若m＋n＝k(m，n，k∈N*)，则am＋an＝ak不成立．
剖析：设等比数列{an}的公比为q，
则am＋an＝a1qm－1＋a1qn－1＝a1q－1(qm＋qn)，
ak＝am＋n＝a1qm＋n－1＝a1q－1(qm＋n)．
由于qm＋qn＝qm＋n不成立，
则am＋an＝ak不成立．
根据以上推导过程也可知，此时aman＝ak也不成立．
例如，等比数列{an}的公比q＝2，a1＝1，
则a1＝1，a2＝2，a3＝4，则a1＋a2＝3≠a3，a1a2＝2≠a3.
题型一 等比数列的性质的应用
【例题1】 已知等比数列{an}中，a2a6a10＝1，求a3a9.
分析：既可以利用通项公式计算，也可以运用等比数列的性质计算．
反思：在等比数列的有关运算中，常涉及到次数较高的指数运算，若按常规解法，往往是建立关于a1和q的方程(组)，这样解起来比较麻烦，如本题解法二．而采用等比数列性质，进行整体变换，会起到化繁为简的效果，如本题解法一．
题型二 等比中项的应用
【例题2】 已知四个数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，中间两数之积为16，前后两数之积为－128，求这四个数．
分析：适当地设这四个数是解决本题的关键．可利用a，q表示四个数，根据中间两数之积为16，将中间两数设为，aq，列方程解得a，q.这样既可使未知量减少，同时解方程也较为方便．
反思：合理地设出所求的数是解决此类问题的关键．一般地，三个数成等比数列，可设为，a，aq；三个数成等差数列，可设为a－d，a，a＋d.
答案：【例题1】 解法一：∵a2a10＝a26，∴a2a6a10＝a36＝1，
∴a6＝1.∴a3a9＝a26＝1.
解法二：设公比为q，
则a2a6a10＝a1q·a1q5·a1q9＝a31q15＝1，
∴a1q5＝1.
∴a3a9＝a1q2·a1q8＝(a1q5)2＝1.
【例题2】 解：设所求四个数为－aq，，aq，aq3，
则由已知，得
解得a＝4，q＝2或a＝4，q＝－2或a＝－4，q＝2或a＝－4，q＝－2.
因此所求的四个数为－4,2,8,32或4，－2，－8，－32.
1在等比数列{an}中，若a4＝8，q＝－2，则a7的值为( )
A．－64 B．64 C．－48 D．48
2等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于( )
A．－6 B．－8 C．8 D．6
3在等比数列{an}中，a2 011a2 012a2 013＝64，则a2 012＝__________.
4有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，求出这四个数．
5等比数列{an}中a2＋a7＝66，a3a6＝128，求等比数列的通项公式an.
答案：1．A 2.A 3.4
4．解：由题意设此四个数为，b，bq，a，
则有解得或
所以这四个数为1，－2,4,10或，－2，－5，－8.
5．解：设等比数列的首项为a1，公比为d，
由题意得
或
∴q5＝或，∴q＝2或.[来
∴an＝a2qn－2＝2n－1或.
∴an＝2n－1或an＝28－n.
§2.4 等比数列(二)
课时目标
1．进一步巩固等比数列的定义和通项公式．
2．掌握等比数列的性质，能用性质灵活解决问题．
1．一般地，如果m，n，k，l为正整数，且m＋n＝k＋l，则有am·an＝ak·al，特别地，当m＋n＝2k时，am·an＝a.
2．在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列．
3．如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么数列{}，{an·bn}，{}，{|an|}仍是等比数列，且公比分别为，q1q2，，|q1|.
一、选择题
1．在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1.若am＝a1a2a3a4a5，则m等于( )
A．9 B．10
C．11 D．12
答案 C
解析 在等比数列{an}中，∵a1＝1，
∴am＝a1a2a3a4a5＝aq10＝q10.
∵am＝a1qm－1＝qm－1，
∴m－1＝10，∴m＝11.
2．已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(b，c)，则ad等于( )
A．3 B．2 C．1 D．－2
答案 B
解析 ∵y＝(x－1)2＋2，∴b＝1，c＝2.
又∵a，b，c，d成等比数列，∴ad＝bc＝2.
3．若a，b，c成等比数列，m是a，b的等差中项，n是b，c的等差中项，则＋＝( )
A．4 B．3 C．2 D．1
答案 C
解析 设等比数列公比为q.
由题意知：m＝，n＝，
则＋＝＋＝＋＝2.
4．已知各项为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于( )
A．5 B．7
C．6 D．4
答案 A
解析 ∵a1a2a3＝a＝5，∴a2＝.
∵a7a8a9＝a＝10，∴a8＝.
∴a＝a2a8＝＝50，
又∵数列{an}各项为正数，
∴a5＝50.
∴a4a5a6＝a＝50＝5.
5．在由正数组成的等比数列{an}中，若a4a5a6＝3，log3a1＋log3a2＋log3a8＋log3a9的值为( )
A. B. C．2 D．3
答案 A
解析 ∵a4a6＝a，∴a4a5a6＝a＝3，得a5＝3.
∵a1a9＝a2a8＝a，
∴log3a1＋log3a2＋log3a8＋log3a9＝log3(a1a2a8a9)
＝log3a＝log33＝.
6．在正项等比数列{an}中，an＋1A. B. C. D.
答案 D
解析 设公比为q，则由等比数列{an}各项为正数且an＋1由a2·a8＝6，得a＝6.
∴a5＝，a4＋a6＝＋q＝5.
解得q＝，∴＝＝()2＝.
二、填空题
7．在等比数列{an}中，a1＝1，a5＝16，则a3＝________.
答案 4
解析 由题意知，q4＝＝16，∴q2＝4，a3＝a1q2＝4.
8．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2＝________.
答案 －6
解析 由题意知，a3＝a1＋4，a4＝a1＋6.
∵a1，a3，a4成等比数列，
∴a＝a1a4，∴(a1＋4)2＝(a1＋6)a1，
解得a1＝－8，∴a2＝－6.
9．在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________．
答案 8
解析 设这8个数组成的等比数列为{an}，
则a1＝1，a8＝2.
插入的6个数的积为a2a3a4a5a6a7＝(a2a7)·(a3a6)·(a4a5)＝(a1a8)3＝23＝8.
10．已知数列－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，则的值是________．
答案
解析 ∵－1，a1，a2，－4成等差数列，设公差为d，
则a2－a1＝d＝[(－4)－(－1)]＝－1，
∵－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，
∴b＝(－1)×(－4)＝4，∴b2＝±2.
若设公比为q，则b2＝(－1)q2，∴b2<0.
∴b2＝－2，∴＝＝.
三、解答题
11．有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项和为21，中间两项和为18，求这四个数．
解 设这四个数分别为x，y,18－y,21－x，
则由题意得，
解得或.
故所求的四个数为3,6,12,18或，，，.
12．设{an}、{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn，证明数列{cn}不是等比数列．
证明 设{an}、{bn}的公比分别为p、q，p≠0，q≠0，p≠q，cn＝an＋bn.
要证{cn}不是等比数列，只需证c≠c1·c3成立即可．
事实上，c＝(a1p＋b1q)2＝ap2＋bq2＋2a1b1pq，
c1c3＝(a1＋b1)(a1p2＋b1q2)
＝ap2＋bq2＋a1b1(p2＋q2)．
由于c1c3－c＝a1b1(p－q)2≠0，因此c≠c1·c3，故{cn}不是等比数列．
能力提升
13．若互不相等的实数a、b、c成等差数列，c、a、b成等比数列，且a＋3b＋c＝10，则a等于( )
A．4 B．2 C．－2 D．－4
答案 D
解析 依题意有
①代入③求得b＝2.
从而?a2＋2a－8＝0，
解得a＝2或a＝－4.
当a＝2时，c＝2，即a＝b＝c与已知不符，
∴a＝－4.
14．等比数列{an}同时满足下列三个条件：
①a1＋a6＝11 ②a3·a4＝ ③三个数a2，a，a4＋依次成等差数列，试求数列{an}的通项公式．
解 由等比数列的性质知a1a6＝a3a4＝
∴解得求
当时q＝2
∴an＝·2n－1
a2＋a4＋＝，2a＝
∴a2，a，a4＋成等差数列，
∴an＝·2n－1
当时q＝，an＝·26－n
a2＋a4＋≠2a，
∴不符合题意，
∴通项公式an＝·2n－1.
1．等比数列的基本量是a1和q，依据题目条件建立关于a1和q的方程(组)，然后解方程(组)，求得a1和q的值，再解决其它问题．
2．如果证明数列不是等比数列，可以通过具有三个连续项不成等比数列来证明，即存在an，an＋1，an＋2，使a≠an·an＋2.
3．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要．
课件23张PPT。例1、在等比数列中，填空：
(1) 1， ， ， ，…… 中第 15 项是 __________
(2) 2，2 ，4，4 ，…… 中第 ____ 项是 32
(3) 第 7 项为 ，公比为 ，则第一项为 ________
(4) a 1 = －2 且 a 5 = －162，则 q = ________910000±3等 比 数 列例2、已知数列 { a n } 中，a 1 = －2 且 a n + 1 －2a n = 0，
(1) 求证： { a n } 是等比数列；(2) 求通项公式。解: (1) 由题 a n + 1 = 2a n 故{ a n } 是公比为 2 的等比数列(2) 由 a 1 = －2 且公比 q = 2∴ a n = (－2 ) ×2 n －1= －2 n 故 { a n } 的通项公式为 a n = －2 n 例3、在 8 和 5832 之间插入 5 个数，使它们成等比数列，
求这 5 个数。故所求数为 24，72，216，648，1944
或 －24，72， － 216，648， － 1944例4、公差不为零的等差数列的第二、三、六项成等比数
列，求公比 q ,∵ q ≠1故 q = 3想一下：本题还又没有其他解法？练习题等比数列的性质 类比等差中项的概念，你能说出什么
是等比中项吗？思考： 如果在a与b中间插入一个数G，使a,
G，b成等比数列，那么称这个数G为a与
b的等比中项. 即 (a,b同号) 反之，若即a,G,b成等比数列.∴a, G, b成等比数列则?(a·b≠0) 讲解范例:例1. 三个数成等比数列，它的和为14，
它们的积为64，求这三个数.例2、等比数列 {an} 中， a 4·a 7 = －512，
a 3 + a 8 = 124, 公比q为整数，求a10法一：直接列方程组求 a 1、q法二：由 a 4 · a 7 = a 3 · a 8 = －512∵ 公比 q 为整数∴ a 10 = a 3×q 10 －3= －4×(-2) 7= 512思考:通项为an＝2n－1的数列的图象与
函数 y＝2x－1的图象有什么关系？讲解范例:例4.已知{an}、{bn}是项数相同的等比数
列，求证{an · bn}是等比数列.思考:2. 已知{an}，{bn}是项数相同的等比数列， 是等比数列吗？1. {an}是等比数列，C是不为0的常数，数列{can}是等比数列吗？例4.已知{an}、{bn}是项数相同的等比数
列，求证{an · bn}是等比数列.课堂小结1. 等比中项的定义；
2. 等比数列的性质；
3. 判断数列是否为等比数列的方法．a，a+d，a+2da, aq, aq2a-3d，a-d，a+d， a+3dan=am +(n-m) dan=amqn-m