2.5等比数列的前n项和（二）
教学目标
知识与技能目标
等比数列前n项和公式．
过程与能力目标
综合运用等比数列的定义、通项公式、性质、前n项和公式解决相关的问题．
教学重点
进一步熟悉掌握等比数列的通项公式和前n项和公式的理解、推导及应用．
教学难点
灵活应用相关知识解决有关问题．
教学过程
一、复习引入：
1．等比数列求和公式：
2．数学思想方法：错位相减，分类讨论，方程思想
3．练习题：
求和：
二、探究
1．等比数列通项an与前n项和Sn的关系？
{an}是等比数列其中.
练习：
若等比数列{an}中，则实数m＝ .
2．Sn为等比数列的前n项和, ，则是等比数列．
解：设等比数列首项是，公比为q,
①当q=－1且k为偶数时，不是等比数列.
∵此时， =0.
(例如：数列1,－1,1,－1,…是公比为－1的等比数列，S2=0 )
②当q≠－1或k为奇数时，＝
＝
＝
（）成等比数列．
评述：①注意公比q的各种取值情况的讨论，
②不要忽视等比数列的各项都不为0的前提条件．
练习：
①等比数列中,S10= 10,S20= 30,则S30= 70 .
②等比数列中,Sn= 48,S2n= 60,则S3n= 63 .
3．在等比数列中,若项数为2n (n∈N *),S偶与S奇分别为偶数项和与奇数项和,则 q .
练习：
等比数列{an}共2n项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q = 2 .
综合应用:
例1: 设等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,若成等差数列,则q的值为 -2 .
解：
．
例2:等差数列{an}中,a1=1,d=2,依次抽取这个数列的第1,3,32,…，3n-1项组成数列{bn},
求数列{bn}的通项和前n项和Sn.
解:由题意an =2n-1,
故
Sn=b1+b2+…+bn
=2(1+3+32+…+3n-1)-n
=3n-n-1.
三、课堂小结：
1．{an}是等比数列其中.
2．Sn为等比数列的前n项和,则一定是等比数列.
3．在等比数列中,若项数为2n (n∈N *),S偶与S奇分别为偶数项和与奇数项和,则.
四、课外作业：
1．阅读教材第59~60．
2．《习案》作业十八．
课件21张PPT。2.5 等比数列的
前n项和 (二)复习引入1. 等比数列求和公式复习引入1. 等比数列求和公式复习引入1. 等比数列求和公式2. 数学思想方法：
错位相减，分类讨论，方程思想.复习引入3. 练习探究：1. 等比数列通项an与前n项和Sn的关系？探究：1. 等比数列通项an与前n项和Sn的关系？{an}是等比数列 练习：若等比数列{an}中，Sn＝m·3n＋1，则
实数m＝__________.探究：2. Sn为等比数列的前n项和，Sn≠0，
则Sk， S2k－Sk， S3k－S2k(k∈N*)是
等比数列．练习：(1) 等比数列中，S10＝10，S20＝30，则
S30＝_______.
(2) 等比数列中，Sn＝48，S2n＝60，则
S3n＝_______. 练习： 70(1) 等比数列中，S10＝10，S20＝30，则
S30＝_______.
(2) 等比数列中，Sn＝48，S2n＝60，则
S3n＝_______. 练习： 7063(1) 等比数列中，S10＝10，S20＝30，则
S30＝_______.
(2) 等比数列中，Sn＝48，S2n＝60，则
S3n＝_______. 探究：3. 在等比数列中，若项数为2n(n∈N *)，
S偶与S奇分别为偶数项和与奇数项和， 则探究：3. 在等比数列中，若项数为2n(n∈N *)，
S偶与S奇分别为偶数项和与奇数项和， 则q练习：等比数列{an}共2n项，其和为－240，
且奇数项的和比偶数项的和大80，
则公比q ＝________.练习：等比数列{an}共2n项，其和为－240，
且奇数项的和比偶数项的和大80，
则公比q ＝________.2例1. 设等比数列{an}的公比为q，前n项和
为Sn，若Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列，则
q的值为______.讲解范例:例1. 设等比数列{an}的公比为q，前n项和
为Sn，若Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列，则
q的值为______.－2讲解范例:讲解范例:例2. 等差数列{an}中，a1＝1，d＝2，依次
抽取这个数列的第1，3，32，…，3n－1项
组成数列{bn}，求数列{bn}的通项公式和
前n项和Sn.课堂小结:1. {an}是等比数列 2. Sn为等比数列的前n项和，则Sn,S2n－Sn,
S3n－S2n是等比数列．3. 在等比数列中，若项数为2n(n∈N *)，
S偶与S奇分别为偶数项和与奇数项和， 则 阅读教材P.59到P.60；
2. 《习案》作业十八.课后作业双基限时练(十五)
1．在各项都为正数的等比数列{an}中，a1＝3，前3项和为21，则a3＋a4＋a5＝( )
A．33 B．72
C．84 D．189
解析 ∵a1＝3，a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝21，
∴1＋q＋q2＝7.
解得q＝2，或q＝－3(舍去)．∴a3＝a1q2＝12.
∴a3＋a4＋a5＝a3(1＋q＋q2)＝12×7＝84.
答案 C
2．在等比数列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a5＋a6＝( )
A．80 B．90
C．95 D．100
解析 ∵a1＋a2＝a1(1＋q)＝40，
a3＋a4＝a3(1＋q)＝60，
∴q2＝＝.
∴a5＋a6＝q2(a3＋a4)＝×60＝90.
答案 B
3．已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a是不为零的常数)，则数列{an}( )
A．一定是等差数列
B．一定是等比数列
C．或者是等差数列，或者是等比数列
D．既非等差数列，也非等比数列
解析 由Sn＝an－1，知当a＝1时，
Sn＝0，此时{an}为等差数列(an＝0)．
当a≠1时，{an}为等比数列．
答案 C
4．数列1,1＋2,1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…前n项和等于( )
A．2n＋1－n B．2n＋1－n－2
C．2n－n D．2n
解析 解法1：当a1＝1，a2＝3，a3＝7，…，
an＝2n－1，∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(2－1)＋(22－1)＋(23－1)＋…＋(2n－1)
＝2＋22＋23＋…＋2n－n
＝－n＝2n＋1－2－n.
解法2：取n＝2，则S2＝4，排除A，C，取n＝3，则S3＝11，排除D.
答案 B
5．已知数列a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则实数a的取值范围是( )
A．a≠1 B．a≠0或a≠1
C．a≠0 D．a≠0且a≠1
解析 由等比数列的定义，知a≠0，且a≠1.
答案 D
6．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则{an}的公比为________．
解析 依题意，有4S2＝S1＋3S3，
即4(a1＋a2)＝a1＋3(a1＋a2＋a3)，
即a2＝3a3，∴q＝＝.
答案
7．若{an}是等比数列，下列数列中是等比数列的序号为________．
①{a}；②{a2n}；③{}；④{lg|an|}
答案 ①②③
8．求数列，，，，…的前n项和．
解 Sn＝＋＋＋＋…＋
＝(1＋2＋3＋…＋n)＋
＝＋
＝＋1－.
9．等差数列{an}中，a4＝10，且a3，a6，a10成等比数列，求数列{an}前20项的和S20.
解 设数列{an}的公差为d，则a3＝a4－d＝10－d，
a6＝a4＋2d＝10＋2d，
a10＝a4＋6d＝10＋6d，
由a3，a6，a10成等比数列，得a3·a10＝a，
即(10－d)(10＋6d)＝(10＋2d)2，
解得d＝0，或d＝1.
当d＝0时，S20＝20a4＝200.
当d＝1时，a1＝a4－3d＝7.
于是S20＝20a1＋×d＝20×7＋190＝330.
10．设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋4.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an＋bn}的前n项和Sn.
解 (1)设{an}的公比为q，由a1＝2，a3＝a2＋4，得2q2＝2q＋4，解得q＝2或q＝－1(舍去)，∴q＝2.因此{an}的通项公式为an＝2n.
(2)由题意Sn＝＋n×1＋×2＝2n＋1＋n2－2.
11．已知公差不为0的等差数列{an}的前4项的和为20，且a1，a2，a4成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝n×2an，求数列{bn}的前n项和，并判断是否存在n(n∈N*)，使得Sn＝1440成立？若存在，求出所有n的解；若不存在，请说明理由．
解 (1)设{an}的公差为d，依题意得
即解得∴an＝2n.
(2)∵bn＝n×22n＝n×4n，
∴Sn＝1×4＋2×42＋3×43＋…＋(n－1)×4n－1＋n×4n，
4Sn＝1×42＋2×43＋…＋(n－1)×4n＋n×4n＋1，
两式相减，得
－3Sn＝4＋42＋43＋…＋4n－n×4n＋1
∴Sn＝4n＋1＋.
令4n＋1＋＝1440，化简得(3n－1)4n＝3239.
∵左边为偶数，右边为奇数，∴方程无解．即不存在n∈N*，使Sn＝1440成立．
2.5 等比数列的前n项和
1．理解并掌握等比数列前n项和公式及其推导方法．
2．能利用等比数列的前n项和公式解决有关问题．
3．掌握等比数列前n项和的性质及应用．
等比数列的前n项和公式
数列{an}是公比为q的等比数列，则
当q＝1时，Sn＝____；
当q≠1时，Sn＝＝________.
(1)在运用等比数列的前n项和公式时，一定要注意对公比q的讨论(q＝1或q≠1)．
(2)当q≠1时，若已知a1及q，则用公式Sn＝较好；若已知an，则用公式Sn＝较好．
【做一做】 等比数列{an}的公比q＝2，首项a1＝2，则Sn等于( )
A．n2＋n B．n2－n
C．2n＋1－2 D．2n－1
答案：na1
【做一做】 C
1．等比数列的前n项和公式与函数的关系
剖析：①当公比q≠1时，我们已经求得等比数列的前n项和公式是Sn＝，它可以变形为Sn＝－·qn＋，设A＝，上式可写成Sn＝－Aqn＋A.由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．
当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，是n的正比例函数．
②当q≠1时，数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图象是函数y＝－Aqx＋A图象上的一群孤立的点．当q＝1时，数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图象是正比例函数y＝a1x图象上的一群孤立的点．
2．等比数列前n项和的性质
剖析：等比数列{an}的公比为q，则有：
(1)性质1：若某数列的前n项和公式为Sn＝－A·qn＋A(A≠0，q≠0且q≠1，n∈N*)，则此数列一定是等比数列．
(2)性质2：在等比数列中，间隔相等、连续等长的片段和序列成等比数列．
即Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，公比为qn(q≠－1)．
在运用性质(2)时，要注意的是Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列，而Sm，S2m，S3m不一定成等比数列．
(3)性质3：在等比数列{an}中，当总项数为2n时，S偶＝qS奇．
(4)性质4：在等比数列{an}中，公比为q，
则a1·a2·a3·…·an＝a·＝，
(5)性质5：Sn＋m＝Sn＋qnSm.
推导如下：设首项为a1，公比为q.
若q＝1，显然成立．
若q≠1，则Sm＋n＝，
Sn＝，Sm＝，
∴Sn＋qnSm＝(1－qn＋qn－qm＋n)＝(1－qm＋n)＝Sm＋n.[
此性质还可推导如下：
Sm＋n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋…＋an＋m－1＋an＋m
＝Sn＋a1·qn＋a2·qn＋a3·qn＋…＋am·qn
＝Sn＋qn(a1＋a2＋…＋am)
＝Sn＋qnSm.
(6){an}为等比数列Sn＝Aqn＋B(A＋B＝0)．
题型一 等比数列前n项和的有关计算问题
【例题1】 在等比数列{an}中，已知Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n.
分析：已知an，Sn，q，可列方程组求a1和n.
反思：等比数列的前n项和公式中共有五个量：Sn，an，a1，q，n.“知三求二”是常见题型，常用解方程组的方法求得，解方程组消元的策略是将所得方程相除．
题型二 等比数列前n项和的性质应用
【例题2】 在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.
分析：用求和公式直接求解或用性质求解．
反思：此类问题的解题通法是先利用等比数列前n项和公式建立方程组，求出a1和q，再求解；这种方法思路自然清晰，但有时运算较为复杂，如本题解法一．如果能联想相关性质，运用性质求解，可以提高解题速度，减少解题时间，如本题解法二．特别是在客观题解答中，有时能起到事半功倍之巧效．
题型三 实际应用问题
【例题3】 某地本年度旅游业收入估计为400万元，由于该地出台了一系列措施，进一步发展旅游业，预计今后旅游业的收入每年会比上一年增加.
(1)求n年内旅游业的总收入；
(2)试估计大约几年后，旅游业的总收入超过8 000万元．
分析：(1)先证明这n年内每年的旅游业收入组成等比数列，转化为求等比数列前n项和；(2)利用(1)的结论，转化为解不等式．
反思：1.解数列应用题的具体步骤是：
(1)认真审题，理解题意，达到如下要求：
①明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题，还是等比数列问题，还是递推数列问题？是求an，还是Sn？特别要注意准确弄清项数为多少．
②弄清题目中主要的已知事项．
(2)抓住数量关系，联想所学的数学知识和数学方法，恰当地引入参数变量，并将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达．
(3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求的量联系起来，并根据题意列出数学关系式．
2．价格升降、细胞繁殖、利率、税率、增长率(如本题)等问题常归结为等比数列模型，即从实际背景中抽象出数学事实，归纳转化为数列问题去解决．
题型四 易错辨析
【例题4】 已知等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，求a3和q.
错解：由等比数列的前n项和公式，
得S3＝＝＝6，
解得q＝－2.
故a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8.
错因分析：在上面的求解过程中，没有讨论公比q是否为1，就直接使用了等比数列的前n项和公式Sn＝，从而有可能出现漏解情况
反思：在使用等比数列的前n项和公式解题时，要注意对公比q是否为1进行讨论．当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝.
答案：【例题1】 解：由Sn＝及an＝a1·qn－1，
得
①÷②，得＝，
解得2n＝64，则n＝6.代入①，得a1＝3.
【例题2】 解法一：∵S2n≠2Sn，∴q≠1.
由已知，得
②÷①，得1＋qn＝，即qn＝.③
③代入①，得＝64.
故S3n＝＝64×＝63.
解法二：∵{an}为等比数列，
∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列，
∴(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，
∴S3n＝＋S2n＝＋60＝63.
【例题3】 解：设第n年的旅游业收入估计为an万元，
则a1＝400，an＋1＝an＝an，
∴＝.∴{an}是公比为的等比数列．
∴Sn＝＝
＝1 600，
即n年内旅游业总收入为1 600万元．[来源:Z§xx§k.Com]
(2)由(1)知Sn＝1 600，令Sn＞8 000，
即1 600＞8 000，
∴n＞6.∴lgn＞lg 6.
∴n＞≈8.029 6.[来源
∴大约第9年后，旅游业总收入超过8 000万元．
【例题4】 正解：若q＝1，则S3＝3a1＝6，符合题意．
此时，q＝1，a3＝a1＝2.
若q≠1，则由等比数列的前n项和公式，
得S3＝＝＝6，
解得q＝1(舍去)或q＝－2.
此时，a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8.
综上所述，q＝1，a3＝2或q＝－2，a3＝8.
1(2011·北京朝阳一模)已知{an}是由正数组成的等比数列，Sn表示{an}的前n项的和．若a1＝3，a2a4＝144，则S10的值是( )
A．511 B．1 023 C．1 533 D．3 069
2在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an＝__________.
3已知等比数列的前20项的和为30，前30项的和为70，则前10项的和为__________．
4一个七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是__________．
5等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．
(1)求{an}的公比q；
(2)若a1－a3＝3，求Sn.
答案：1．D 2.4n－1 3.10 4.192
5．解：(1)依题意，有2S3＝S1＋S2，
即a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)．
由于a1≠0，故2q2＋q＝0.
又q≠0，所以q＝.
(2)由已知，可得＝3，解得a1＝4.
从而Sn＝＝.
§2.5 等比数列的前n项和(二)
课时目标
1．熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题．
2．能用等比数列的前n项和公式解决实际问题．
1．等比数列{an}的前n项和为Sn，当公比q≠1时，Sn＝＝；当q＝1时，Sn＝na1.
2．等比数列前n项和的性质：
(1)连续m项的和(如Sm、S2m－Sm、S3m－S2m)，仍构成等比数列．(注意：q≠－1或m为奇数)
(2)Sm＋n＝Sm＋qmSn(q为数列{an}的公比)．
(3)若{an}是项数为偶数、公比为q的等比数列，则＝q.
3．解决等比数列的前n项和的实际应用问题，关键是在实际问题中建立等比数列模型．
一、选择题
1．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前3项和为21，则a3＋a4＋a5等于( )
A．33 B．72 C．84 D．189
答案 C
解析 由S3＝a1(1＋q＋q2)＝21且a1＝3，得q＋q2－6＝0.∵q>0，∴q＝2.∴a3＋a4＋a5＝q2(a1＋a2＋a3)＝22·S3＝84.
2．某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为( )
A．1.14a B．1.15a C．10a(1.15－1) D．11a(1.15－1)
答案 D
解析 注意去年产值为a，今年起5年内各年的产值分别为1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a.
∴1.1a＋1.12a＋1.13a＋1.14a＋1.15a＝11a(1.15－1)．
3．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列{}的前5项和为( )
A.或5 B.或5 C. D.
答案 C
解析 若q＝1，则由9S3＝S6得9×3a1＝6a1，
则a1＝0，不满足题意，故q≠1.
由9S3＝S6得9×＝，
解得q＝2.
故an＝a1qn－1＝2n－1，
＝()n－1.
所以数列{}是以1为首项，为公比的等比数列，其前5项和为
S5＝＝.
4．一弹性球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( )
A．300米 B．299米 C．199米 D．166米
答案 A
解析 小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×8＝299≈300(米)．
5．在等比数列中，S30＝13S10，S10＋S30＝140，则S20等于( )
A．90 B．70 C．40 D．30
答案 C
解析 q≠1 (否则S30＝3S10)，
由，∴，
∴，∴q20＋q10－12＝0.
∴q10＝3，∴S20＝＝S10(1＋q10)
＝10×(1＋3)＝40.
6．某企业在今年年初贷款a万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还( )
A.万元 B.万元
C.万元 D.万元
答案 B
解析 设每年偿还x万元，则：x＋x(1＋γ)＋x(1＋γ)2＋x(1＋γ)3＋x(1＋γ)4＝a(1＋γ)5，
∴x＝.
二、填空题
7．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则{an}的公比为________．
答案
解析 由已知4S2＝S1＋3S3，即4(a1＋a2)＝a1＋3(a1＋a2＋a3)．
∴a2＝3a3，
∴{an}的公比q＝＝.
8．在等比数列{an}中，已知S4＝48，S8＝60，则S12＝
________________________________________________________________________.
答案 63
解析 方法一 ∵S8≠2S4，∴q≠1，
由已知得
由②÷①得
1＋q4＝，∴q4＝ ③
将③代入①得＝64，
∴S12＝＝64(1－)＝63.
方法二 因为{an}为等比数列，
所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列，
所以(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，
所以S3n＝＋S2n，
所以S12＝＋S8＝＋60＝63.
9．一个蜂巢里有一只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了2个伙伴；第2天，3只蜜蜂飞出去，各自找回了2个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有________只蜜蜂．
答案 729
解析 每天蜜蜂归巢后的数目组成一个等比数列，a1＝3，q＝3，∴第6天所有蜜蜂归巢后，蜜蜂总数为a6＝36＝729(只)．
10．某工厂月生产总值的平均增长率为q，则该工厂的年平均增长率为________．
答案 (1＋q)12－1
解析 设第一年第1个月的生产总值为1，公比为(1＋q)，该厂第一年的生产总值为S1＝1＋(1＋q)＋(1＋q)2＋…＋(1＋q)11.
则第2年第1个月的生产总值为(1＋q)12，
第2年全年生产总值S2＝(1＋q)12＋(1＋q)13＋…＋(1＋q)23＝(1＋q)12S1，
∴该厂生产总值的平均增长率为＝－1＝(1＋q)12－1.
三、解答题
11．为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2010年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.
(1)以2010年为第一年，设第n年出口量为an吨，试求an的表达式；
(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2010年最多出口多少吨？(保留一位小数)
参考数据：0.910≈0.35.
解 (1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a1＝a，公比q＝1－10%＝0.9，∴an＝a·0.9n－1 (n≥1)．
(2)10年的出口总量S10＝＝10a(1－0.910)．
∵S10≤80，∴10a(1－0.910)≤80，
即a≤，∴a≤12.3.
故2010年最多出口12.3吨．
12．某市2008年共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划于2009年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：
(1)该市在2015年应该投入多少辆电力型公交车？
(2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的？(lg 657＝2.82，lg 2＝0.30，lg 3＝0.48)
解 (1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列{an}，其中a1＝128，q＝1.5，则在2015年应该投入的电力型公交车为a7＝a1·q6＝128×1.56＝1 458(辆)．
(2)记Sn＝a1＋a2＋…＋an，
依据题意，得>，
于是Sn＝>5 000(辆)，即1.5n>.
两边取常用对数，则n·lg 1.5>lg ，
即n>≈7.3，又n∈N＋，因此n≥8.
所以到2016年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的.
能力提升
13．有纯酒精a L(a>1)，从中取出1 L，再用水加满，然后再取出1 L，再用水加满，如此反复进行，则第九次和第十次共倒出纯酒精________L.
答案 8
解析 用{an}表示每次取出的纯酒精，a1＝1，加水后浓度为＝1－，a2＝1－，加水后浓度为＝2，a3＝2，
依次类推：a9＝8，a10＝9.
∴8＋9＝8.
14．现在有某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元，两方案使用期都是10年，到期后一次性归还本息，若银行贷款利息均按本息10%的复利计算，试比较两种方案谁获利更多？(精确到千元，数据1.110≈2.594,1.310≈13.79)
解 甲方案10年中每年获利数组成首项为1，公比为1＋30%的等比数列，其和为
1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9＝≈42.63(万元)，
到期时银行贷款的本息为
10(1＋0.1)10≈10×2.594＝25.94(万元)，
∴甲方案扣除贷款本息后，净获利约为
42．63－25.94≈16.7(万元)．
乙方案10年中逐年获利数组成等差数列，
1＋1.5＋…＋(1＋9×0.5)
＝
＝32.50(万元)，
而贷款本利和为
1．1×[1＋(1＋10%)＋…＋(1＋10%)9]
＝1.1×
≈17.53(万元)．
∴乙方案扣除贷款本息后，净获利约为
32．50－17.53≈15.0(万元)，
比较得，甲方案净获利多于乙方案净获利．
1．准确理解等比数列的性质，熟悉它们的推导过程是记忆的关键．用好其性质也会降低解题的运算量，从而减少错误．
2．利用等比数列解决实际问题，关键是构建等比数列模型．要确定a1与项数n的实际含义，同时要搞清是求an还是求Sn的问题．
课件37张PPT。等差数列与等比数列对比记忆表 an+1-an=dd 叫公差q叫公比 an= a1+(n-1)d an=a1qn-1 an=am+(n-m)d an=amqn-m等差数列与等比数列对比记忆表a，a+d，a+2da, aq, aq2a-3d，a-d，a+d， a+3d等差数列与等比数列对比记忆表数列求和S=a+b+c+d+e+f+g+h数列求和介绍求一个数列的前 n 项和的几种方法：1、运 用 公 式 法2、错 位 相 减 法3、裂 项 相 消 法4、分组求和 法5、倒序相加 法一、运用公式法 运用公式法主要是使用已经证明，并承认其在解决其他问题时可以使用的公式来进行数列求和。如：等差数列的求和公式：等比数列的求和公式：还有一些常用公式：数例1 求数列 的前n项和分析：由这个数列的前五项可看出该数列是由一个首项为1、公差为2的等差数列与一个首项为 、公比为 的等比数列的和数列。所以它的前n项和可看作一个等差数列的前 n项和与一个等比数列的前n项和的和。解：归纳出：奇数列的前n项和列求和1分组求和 法 , + n 1 练习1:求数列 + 2 3 , + 的前n项和 。 ... , 2 , +cn=an+bn({an}、{bn}为等差或等比数列。）分组求和法的反思与小结：
要善于从通项公式中看本质：一个等差{n} ＋一个等比{2n} ，另外要特别观察通项公式，如果通项公式没给出，则有时我们需求出通项公式，这样才能找规律解题。 练习2.求数列2+3, 22 +32 , 23 +33 , ……, 2n +3n 的前n项和。 二、错 位 相 减 法 错位相减法在推导等比数列求前 n项和时用过；它主要用于由一个等差数列与一个等比数列的积数列求和。求法步骤如下：1、在 的两边同时乘于公比q2、两式相减 ；左边为 ，右边q的同次式相减3、右边去掉最后一项（有时还得去掉第一项）剩下的
各项组成等比数列，可用公式求和。看以下例子数列求和例2 求数列 的前n项和 考一本第19课时分析：该数列可看作等差数列 等比数列 的积数列这里等比数列的公比 q =解：两式相减：所以：运算整理得：数列求和2例3 设 ,求数列 的前n项和 分析： 这个数列的每一项都含有a，而a等于1或不等于1，对数列求和有本质上的不同，所以解题时需进行分类讨论解：两边同乘a:两式相减：所以：运算并整理得：数列求和2cn=an·bn({an}为等差数列,{bn}为等比数列)二、错位相减求和法 小结练习题 考一本P53 习题三、裂 项 相 消 法 顾名思义，“裂项相消法”就是把数列的项拆成几项，然后，前后交叉相消为0达到求和目的的一种求和方法。求 法 步 骤1、先分析数列的项的结构，把通项式“裂”成几项。（注意：裂开后的通项式当n=k和n=k+d时有相消为0的情况出现才行）2、解题时；对裂开后的通项式令n取1，2，3，,n然后相加得3、把和式中每一对相消为0的式子除去，整理剩下的
式子即为和式。请 看 下 面 例 子数列求和例4 求数列 的前n 项和。分析：该数列的特征是：分子都是1，分母是一个以1为首项，以3为公差的等差数列的相邻两项的乘积。只要分子变为公差3，就可以裂项了。解：数列求和3例5 求数列 的前n项和分析： 该数列的分子是偶数的平方，分母是奇数列相邻两项的乘积；从例4的经验看：该数列求和使用“裂项相消法”的可能性较大，那就看分子能否化为常数。注意到该数列的通项公式的特征：分子、分母同次且没有一次项；
所以使用处理分式函数的常用手段：“分离常数法”即可把分子化为常数。变化如下：数列求和3解：共 n 项数列求和3（数列{an}是等差数列）三、裂项相消求和法 小结注意裂项相消法的关键：
将数列的每一项拆成二项或多项使数列中的项出现有规律的抵消项，进而达到求和的目的。常见的拆项公式：练习：（求和） 四、倒序相加法教材P40等差数列前n项的和公式推导即为此法！例1：已知lg(xy)=a,
求Ｓ＝lgxn+lg(xn-1y)+lg(xn-2y2)+…+lgyn与首尾两项等距的两项之和等于首尾两项之和，则可先将Sn顺着写，再将Sn倒着写，最后将两个Sn相加。Ｓ＝lgyn+lg(xyn-1)+lg(x2yn-2)+…+lgxn2Ｓ＝lg(xy)n+lg(xy)n+lg(xy)n+…+lg(xy)n
＝(n+1)lg(xy)n ＝ n(n+1)lgxy
Ｓ＝n(n+1)a/2a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…
练习：
1. 求数列 前n项和
2. 求数列 的前n项和
3. 求和：
4. 求和：1×4+2×5+3×6+…+n×(n + 3)
5. 求数列1，(1+a)，(1+a+a2)，…，
(1+a+a2+…+an?1)，…的前n项和. 学有所思举 一 返 三下次再见四、通 项 分 析 法 通项分析法就是根据前面学过的运用公式法、错位相减法、裂项相消法为基础，对数列的通项公式进行分析，从而决定使用那种方法求和。求 法 步 骤1、确定所求和数列的通项公式，必要时，注意使用由已 知数列的前几项，求这数列的一个通项公式的方法2、分析通项公式时，在确定首项、末项、及项数的同时
还要分析清楚是那些数列的和、差、积、商数列。 请 看 下 面 例 子数列求和例7 求数列 的前n项和分析：由数列的结构来分析，该数列的第k项应该是：通过分析可知：该数列是以 为首项，以 为末项，共有n项的数列。从通项公式的结构来分析，该数列是一个以2为首项，以2为公比的等比数列与一个常数列的差数列。所以它的前n项和是一个等比数列的前n项和与一个常数为1的常数列的前 n项和的差。通过这样分析，确定解题方向就方便了解：数列求和4例8 求和 分析：这个数列是数列1，2，3. . . n与它的倒序数列的积数列，共有n项，在这里把n看成常数来分析它的通项就容易了。(k取从1到n的自然数）所以，该数列可以看作通项为 的三个数列的差、和数列解：数列求和4例9 求数列 前n项和分析：由 所求数列的每一项都是一个等比数列的和，其第k项 通项公式理解清楚后，现在可以就以上三种情况考虑求和了该数列是自然数列，求和容易。n为偶数时n为奇数时此时的和式，转化为求数列的通项公式解：数列求和4分析：( k 取1，2，3、、、n)所以：数列求和4分析：所以：每一项由三个连续自然数的积组成，前后两项有两个因子相同，很自然联想使用裂项相消求和。对例10的两种解法进行归纳可以清楚看到平时练习时有意识的经验积累，在关键时产生联想是很有帮助的。 数列求和4例11 设等差数列 的前n项为 ，且 ，
若 ，求数列 的前n项和 分析：由已知该数列是等差数列且已知 ，所以必能求出通项和前n项和 这样确定 就没问题了。 1、2、3、现在来边解题边研究解：数列求和4分析：所以：求和时，先分n为奇，偶数进行讨论，后考虑并合。所以：数列求和4课件8张PPT。
