2.5等比数列的前n项和（一）
教学目标
知识与技能目标
等比数列前n项和公式．
过程与能力目标
等比数列前n项和公式及其获取思路；
会用等比数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题．
情感与态度目标
提高学生的推理能力；
培养学生应用意识．
教学重点
等比数列前n项和公式的理解、推导及应用．
教学难点
灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题．
教学过程
一、复习引入：
1．等比数列的定义．
2. 等比数列的通项公式: ，
3．｛｝成等比数列=q（,q≠0） ≠0
4．性质：若m+n=p+q，
二、讲解新课：
（一）提出问题 ：关于国际相棋起源问题
例如：怎样求数列1，2，4，…262，263的各项和？
即求以1为首项，2为公比的等比数列的前64项的和，可表示为：
① 2 ②
由②—①可得：
这种求和方法称为“错位相减法”， “错位相减法”是研究数列求和的一个重要方法．
（二）怎样求等比数列前n项的和？
公式的推导方法一：
一般地，设等比数列它的前n项和是
由 得
∴当时， ① 或 ②
当q=1时，
公式的推导方法二：
由定义， 由等比的性质，
即 （结论同上）
围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式．
公式的推导方法三：
＝＝＝
（结论同上）
“方程”在代数课程里占有重要的地位，方程思想是应用十分广泛的一种数学思想，利用方程思想，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使问题得到解决．
（三）等比数列的前n项和公式：
当时， ① 或 ② 当q=1时，
思考：什么时候用公式（1）、什么时候用公式（2）？
（当已知a1, q, n 时用公式①；当已知a1, q, an时，用公式②.）
三、例题讲解
例1：求下列等比数列前8项的和．
（1），，，… （2）
解：由a1=，得
例2：某商场第一年销售计算机5000台，如果平均每年的售价比上一年增加10％，那么从第一年起，约几年内可使总销售量达到30000台（保留到个位）？
解：根据题意，每年销售量比上一年增加的百分率相同，所以从第一年起，每年的销售量组成一个等比数列{an},其中
a1=5000, 于是得到
整理得两边取对数,得 用计算器算得(年).
答:约5年内可以使总销售量达到30000台.
例3．求数列前n项的和。
例4：求求数列的前n项的和。
练习：教材第58面练习第1题．
三、课堂小结：
1. 等比数列求和公式：当q = 1时，
当时， 或 ；
2．这节课我们从已有的知识出发，用多种方法（迭加法、运用等比性质、错位相减法、方程法）推导出了等比数列的前n项和公式，并在应用中加深了对公式的认识．
四、课外作业：
1.阅读教材第55～57页；
2.《习案》作业十七．
课件62张PPT。2.5 等比数列的
前n项和 (一)复习引入1. 等比数列的定义：2. 等比数列通项公式： 复习引入3. {an}成等比数列?4. 性质：若m＋n＝p＋q，则am · an＝ap · aq.复习引入讲授新课讲授新课讲授新课讲授新课讲授新课讲授新课讲授新课讲授新课讲授新课 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麦粒数依次为：分析：讲授新课 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麦粒数依次为：分析：讲授新课它是以1为首项，公比是2的等比数列， 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麦粒数依次为：分析：讲授新课它是以1为首项，公比是2的等比数列， 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麦粒数依次为：麦粒的总数为:分析：讲授新课请同学们考虑如何求出这个和？讲授新课请同学们考虑如何求出这个和？①讲授新课请同学们考虑如何求出这个和？①讲授新课请同学们考虑如何求出这个和？①②即讲授新课请同学们考虑如何求出这个和？①②即由②－①可得： 讲授新课请同学们考虑如何求出这个和？①②即由②－①可得： 讲授新课请同学们考虑如何求出这个和？①②即由②－①可得： 这种求和的方法,就是错位相减法!讲授新课请同学们考虑如何求出这个和？①②即由②－①可得： 讲授新课请同学们考虑如何求出这个和？①②即由②－①可得： ＝18446744073709551615讲授新课请同学们考虑如何求出这个和？①②即由②－①可得： ＝18446744073709551615≈1.84×1019讲授新课请同学们考虑如何求出这个和？①②即由②－①可得： ＝18446744073709551615≈1.84×1019 如果1000粒麦粒重为40
克，那么这些麦粒的总质
量就是7300多亿吨.根据统
计资料显示，全世界小麦
的年产量约为6亿吨，就是
说全世界都要1000多年才
能生产这么多小麦，国王
无论如何是不能实现发明
者的要求的. 等比数列的前n项和公式的推导1一般地，设等比数列a1, a2, a3, …, an…等比数列的前n项和公式的推导1一般地，设等比数列a1, a2, a3, …, an…它的前n项和是等比数列的前n项和公式的推导1一般地，设等比数列a1, a2, a3, …, an…它的前n项和是等比数列的前n项和公式的推导1一般地，设等比数列a1, a2, a3, …, an…它的前n项和是等比数列的前n项和公式的推导1一般地，设等比数列a1, a2, a3, …, an…它的前n项和是等比数列的前n项和公式的推导1一般地，设等比数列a1, a2, a3, …, an…它的前n项和是这种求和
的方法,就
是错位相
减法!等比数列的前n项和公式的推导1一般地，设等比数列a1, a2, a3, …, an…它的前n项和是∴当q≠1时，①等比数列的前n项和公式的推导1一般地，设等比数列a1, a2, a3, …, an…它的前n项和是∴当q≠1时，①或②等比数列的前n项和公式的推导1一般地，设等比数列a1, a2, a3, …, an…它的前n项和是∴当q≠1时，①当q=1时，等比
数列的前n项和
是什么？或②等比数列的前n项和公式的推导1一般地，设等比数列a1, a2, a3, …, an…它的前n项和是∴当q≠1时，①当q=1时，等比
数列的前n项和
是什么？或②等比数列的前n项和公式的推导2由定义,等比数列的前n项和公式的推导2由定义,由等比的性质,等比数列的前n项和公式的推导2由定义,由等比的性质,即等比数列的前n项和公式的推导2由定义,由等比的性质,即等比数列的前n项和公式的推导2由定义,由等比的性质,即∴当q≠1时，①等比数列的前n项和公式的推导2由定义,由等比的性质,即∴当q≠1时，①或②等比数列的前n项和公式的推导2由定义,由等比的性质,即∴当q≠1时，①或②∴当q＝1时，等比数列的前n项和公式的推导3等比数列的前n项和公式的推导3等比数列的前n项和公式的推导3等比数列的前n项和公式的推导3等比数列的前n项和公式的推导3等比数列的前n项和公式的推导3∴当q≠1时，①或②∴当q＝1时，等比数列的前n项和公式的推导 “方程”在代数课程里占有重要的
地位，方程思想是应用十分广泛的一种
数学思想，利用方程思想，在已知量和
未知量之间搭起桥梁，使问题得到解决．等比数列的前n项和公式当q≠1时，当q＝1时，或①②等比数列的前n项和公式当q≠1时，当q＝1时，或①② 什么时候用公式①, 什么时候用公式②?
思考：等比数列的前n项和公式当q≠1时，当q＝1时，或①② 什么时候用公式①, 什么时候用公式②?
当已知a1, q, n 时用公式①；
思考：等比数列的前n项和公式当q≠1时，当q＝1时，或①② 什么时候用公式①, 什么时候用公式②?
当已知a1, q, n 时用公式①；
当已知a1, q, an时，用公式②.思考：讲解范例:例1.求下列等比数列前8项的和．练习:教材P.58练习第1题.根据下列各题中的条件，求相应的等比
数列{an}的前n项和Sn．讲解范例:例2. 某商场第一年销售计算机5000台，
如果平均每年的售量比上一年增加10%，
那么从第一年起，约几年内可使总销售
量达到30000台（保留到个位）？讲解范例:例3.求数列前n项的和.课堂小结1. 等比数列求和公式：当q≠1时，当q＝1时，或课堂小结2．这节课我们从已有的知识出发，
用多种方法（迭加法、运用等比性
质、错位相减法、方程法）推导出
了等比数列的前n项和公式，并在
应用中加深了对公式的认识． 阅读教材P.42到P.44；
2. 《习案》作业十三.课后作业双基限时练(十四)
1．数列{2n}的前n项和Sn等于( )
A．2n－1 B．2n－2
C．2n＋1－1 D．2n＋1－2
解析 Sn＝＝2n＋1－2.
答案 D
2．已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于( )
A．31 B．33
C．35 D．37
解析 a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1.
a6＋a7＋a8＋a9＋a10
＝q5(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)
＝q5＝25＝32.
∴S10＝1＋32＝33.
答案 B
3．等比数列{an}的各项都是正数，若a1＝81，a5＝16，则它的前5项和是( )
A．179 B．211
C．248 D．275
解析 ∵a5＝a1q4，∴16＝81·q4.
又an>0，∴q＝.
∴S5＝＝＝211.
答案 B
4．在等比数列{an}中，已知a1＝3，an＝96，Sn＝189，则n的值为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析 由an＝a1qn－1，得96＝3qn－1.
∴qn－1＝32＝25.取n＝6，q＝2，
这时S6＝＝189.适合题意．
答案 C
5．等比数列{an}中，Tn表示前n项的积，若T5＝1，则( )
A．a1＝1 B．a3＝1
C．a4＝1 D．a5＝1
解析 由等比数列的性质，知
T5＝a1·a2·a3·a4·a5＝1，∴a3＝1.
答案 B
6．已知公比为q(q≠1)的等比数列{an}的前n项和为Sn，则数列{}的前n项和为( )
A. B.
C. D.
解析 数列{}仍为等比数列，且公比为，
所以前n项和Sn′＝＝＝＝.
答案 D
7．已知数列{an}的前n项和Sn满足log2(Sn＋2)＝n＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.
解析 由log2(Sn＋2)＝n＋1，得
Sn＋2＝2n＋1，Sn＝2n＋1－2.
当n＝1时，S1＝a1＝22－2＝2.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2n＝2n.
当n＝1时也成立，故an＝2n.
答案 2n
8．在等比数列{an}中，若a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，则公比q＝________.
解析 a4－a3＝2(S3－S2)＝2a3，∴a4＝3a3.
∴q＝＝3.
答案 3
9．设数列{an}的前n项和为Sn(n∈N＋)，有下列三个命题：
①若{an}既是等差数列又是等比数列，则an＝an＋1；
②若Sn＝an(a为非零常数)，则{an}是等比数列；
③若Sn＝1－(－1)n，则{an}是等比数列．
其中真命题的序号是________．
解析 易知①是真命题，由等比数列前n项和Sn＝＝－·qn知②不正确，③正确．
答案 ①③
10．已知数列{xn}的首项x1＝3，通项xn＝2np＋nq(n∈N*，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列，求：
(1)p，q的值；
(2)数列{xn}前n项和Sn.
解 (1)由x1＝3，得2p＋q＝3，x4＝24p＋4q，x5＝25p＋5q且x1＋x5＝2x4，得
3＋25p＋5q＝25p＋8q.
解得p＝1，q＝1.
(2)由(1)知xn＝2n＋n，
∴Sn＝x1＋x2＋…＋xn
＝(2＋22＋…＋2n)＋(1＋2＋…＋n)
＝2n＋1－2＋.
11．设数列{an}满足关系：an＝an－1＋5(n≥2)，a1＝－，令bn＝an＋10，求数列{bn}的前n项和Sn.
解 由a1＝－，an＝an－1＋5，bn＝an＋10，知
bn＝an＋10＝an－1＋15
＝(an－1＋10)＝bn－1.
又b1＝a1＋10＝10－＝.
∴数列{bn}是首项为，公比为的等比数列，故
Sn＝＝3＝3n－3.
12．某单位从市场上购进一辆新型轿车，购价为36万元，该单位使用轿车时，一年需养路费、保险费、汽油费、年检费等约6万元，同时该车的年折旧率为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%，当年折旧的费用也为该年花费在该车上的费用)，试问：使用多少年后，该单位花费在该车上的费用就达36万元，并说明理由．
解 用an表示该单位第n年花费在轿车上的费用，则有
a1＝6＋36×0.1，
a2＝6＋(36×0.9)×0.1，
a3＝6＋(36×0.92)×0.1，…，
类推可得an＝6＋(36×0.9n－1)×0.1.
Sn＝a1＋a2＋…＋an
＝6n＋36×0.1×[1＋0.9＋0.92＋…＋0.9n－1]
＝6n＋3.6×
＝6n＋36(1－0.9n)．
令Sn＝36，得n＝6×0.9n,0.9n＝.
注意到1当n＝4时，0.94＝0.6561，＝≈0.6667，所以n＝4.
故使用4年后，花费在轿车上的费用就已达到36万元．
2.5 等比数列的前n项和
1．理解并掌握等比数列前n项和公式及其推导方法．
2．能利用等比数列的前n项和公式解决有关问题．
3．掌握等比数列前n项和的性质及应用．
等比数列的前n项和公式
数列{an}是公比为q的等比数列，则
当q＝1时，Sn＝____；
当q≠1时，Sn＝＝________.
(1)在运用等比数列的前n项和公式时，一定要注意对公比q的讨论(q＝1或q≠1)．
(2)当q≠1时，若已知a1及q，则用公式Sn＝较好；若已知an，则用公式Sn＝较好．
【做一做】 等比数列{an}的公比q＝2，首项a1＝2，则Sn等于( )
A．n2＋n B．n2－n
C．2n＋1－2 D．2n－1
答案：na1
【做一做】 C
1．等比数列的前n项和公式与函数的关系
剖析：①当公比q≠1时，我们已经求得等比数列的前n项和公式是Sn＝，它可以变形为Sn＝－·qn＋，设A＝，上式可写成Sn＝－Aqn＋A.由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．
当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，是n的正比例函数．
②当q≠1时，数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图象是函数y＝－Aqx＋A图象上的一群孤立的点．当q＝1时，数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图象是正比例函数y＝a1x图象上的一群孤立的点．
2．等比数列前n项和的性质
剖析：等比数列{an}的公比为q，则有：
(1)性质1：若某数列的前n项和公式为Sn＝－A·qn＋A(A≠0，q≠0且q≠1，n∈N*)，则此数列一定是等比数列．
(2)性质2：在等比数列中，间隔相等、连续等长的片段和序列成等比数列．
即Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，公比为qn(q≠－1)．
在运用性质(2)时，要注意的是Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列，而Sm，S2m，S3m不一定成等比数列．
(3)性质3：在等比数列{an}中，当总项数为2n时，S偶＝qS奇．
(4)性质4：在等比数列{an}中，公比为q，
则a1·a2·a3·…·an＝a·＝，
(5)性质5：Sn＋m＝Sn＋qnSm.
推导如下：设首项为a1，公比为q.
若q＝1，显然成立．
若q≠1，则Sm＋n＝，
Sn＝，Sm＝，
∴Sn＋qnSm＝(1－qn＋qn－qm＋n)＝(1－qm＋n)＝Sm＋n.[
此性质还可推导如下：
Sm＋n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋…＋an＋m－1＋an＋m
＝Sn＋a1·qn＋a2·qn＋a3·qn＋…＋am·qn
＝Sn＋qn(a1＋a2＋…＋am)
＝Sn＋qnSm.
(6){an}为等比数列Sn＝Aqn＋B(A＋B＝0)．
题型一 等比数列前n项和的有关计算问题
【例题1】 在等比数列{an}中，已知Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n.
分析：已知an，Sn，q，可列方程组求a1和n.
反思：等比数列的前n项和公式中共有五个量：Sn，an，a1，q，n.“知三求二”是常见题型，常用解方程组的方法求得，解方程组消元的策略是将所得方程相除．
题型二 等比数列前n项和的性质应用
【例题2】 在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.
分析：用求和公式直接求解或用性质求解．
反思：此类问题的解题通法是先利用等比数列前n项和公式建立方程组，求出a1和q，再求解；这种方法思路自然清晰，但有时运算较为复杂，如本题解法一．如果能联想相关性质，运用性质求解，可以提高解题速度，减少解题时间，如本题解法二．特别是在客观题解答中，有时能起到事半功倍之巧效．
题型三 实际应用问题
【例题3】 某地本年度旅游业收入估计为400万元，由于该地出台了一系列措施，进一步发展旅游业，预计今后旅游业的收入每年会比上一年增加.
(1)求n年内旅游业的总收入；
(2)试估计大约几年后，旅游业的总收入超过8 000万元．
分析：(1)先证明这n年内每年的旅游业收入组成等比数列，转化为求等比数列前n项和；(2)利用(1)的结论，转化为解不等式．
反思：1.解数列应用题的具体步骤是：
(1)认真审题，理解题意，达到如下要求：
①明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题，还是等比数列问题，还是递推数列问题？是求an，还是Sn？特别要注意准确弄清项数为多少．
②弄清题目中主要的已知事项．
(2)抓住数量关系，联想所学的数学知识和数学方法，恰当地引入参数变量，并将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达．
(3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求的量联系起来，并根据题意列出数学关系式．
2．价格升降、细胞繁殖、利率、税率、增长率(如本题)等问题常归结为等比数列模型，即从实际背景中抽象出数学事实，归纳转化为数列问题去解决．
题型四 易错辨析
【例题4】 已知等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，求a3和q.
错解：由等比数列的前n项和公式，
得S3＝＝＝6，
解得q＝－2.
故a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8.
错因分析：在上面的求解过程中，没有讨论公比q是否为1，就直接使用了等比数列的前n项和公式Sn＝，从而有可能出现漏解情况
反思：在使用等比数列的前n项和公式解题时，要注意对公比q是否为1进行讨论．当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝.
答案：【例题1】 解：由Sn＝及an＝a1·qn－1，
得
①÷②，得＝，
解得2n＝64，则n＝6.代入①，得a1＝3.
【例题2】 解法一：∵S2n≠2Sn，∴q≠1.
由已知，得
②÷①，得1＋qn＝，即qn＝.③
③代入①，得＝64.
故S3n＝＝64×＝63.
解法二：∵{an}为等比数列，
∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列，
∴(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，
∴S3n＝＋S2n＝＋60＝63.
【例题3】 解：设第n年的旅游业收入估计为an万元，
则a1＝400，an＋1＝an＝an，
∴＝.∴{an}是公比为的等比数列．
∴Sn＝＝
＝1 600，
即n年内旅游业总收入为1 600万元．[来源:Z§xx§k.Com]
(2)由(1)知Sn＝1 600，令Sn＞8 000，
即1 600＞8 000，
∴n＞6.∴lgn＞lg 6.
∴n＞≈8.029 6.[来源
∴大约第9年后，旅游业总收入超过8 000万元．
【例题4】 正解：若q＝1，则S3＝3a1＝6，符合题意．
此时，q＝1，a3＝a1＝2.
若q≠1，则由等比数列的前n项和公式，
得S3＝＝＝6，
解得q＝1(舍去)或q＝－2.
此时，a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8.
综上所述，q＝1，a3＝2或q＝－2，a3＝8.
1(2011·北京朝阳一模)已知{an}是由正数组成的等比数列，Sn表示{an}的前n项的和．若a1＝3，a2a4＝144，则S10的值是( )
A．511 B．1 023 C．1 533 D．3 069
2在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an＝__________.
3已知等比数列的前20项的和为30，前30项的和为70，则前10项的和为__________．
4一个七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是__________．
5等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．
(1)求{an}的公比q；
(2)若a1－a3＝3，求Sn.
答案：1．D 2.4n－1 3.10 4.192
5．解：(1)依题意，有2S3＝S1＋S2，
即a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)．
由于a1≠0，故2q2＋q＝0.
又q≠0，所以q＝.
(2)由已知，可得＝3，解得a1＝4.
从而Sn＝＝.
§2.5 等比数列的前n项和(一)
课时目标
1．掌握等比数列前n项和公式的推导方法．
2．会用等比数列前n项和公式解决一些简单问题．
1．等比数列前n项和公式：
(1)公式：Sn＝.
(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q＝1的情况．
2．若{an}是等比数列，且公比q≠1，则前n项和Sn＝(1－qn)＝A(qn－1)．其中
A＝.
3．推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和．
一、选择题
1．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则等于( )
A．11 B．5
C．－8 D．－11
答案 D
解析 由8a2＋a5＝0得8a1q＋a1q4＝0，
∴q＝－2，则＝＝－11.
2．记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝18，则等于( )
A．－3 B．5
C．－31 D．33
答案 D
解析 由题意知公比q≠1，＝
＝1＋q3＝9，
∴q＝2，＝＝1＋q5
＝1＋25＝33.
3．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则等于( )
A．2 B．4
C. D.
答案 C
解析 方法一 由等比数列的定义，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝＋a2＋a2q＋a2q2，
得＝＋1＋q＋q2＝.
方法二 S4＝，a2＝a1q，
∴＝＝.
4．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 ∵{an}是由正数组成的等比数列，且a2a4＝1，
∴设{an}的公比为q，则q>0，且a＝1，即a3＝1.
∵S3＝7，∴a1＋a2＋a3＝＋＋1＝7，
即6q2－q－1＝0.
故q＝或q＝－(舍去)，
∴a1＝＝4.
∴S5＝＝8(1－)＝.
5．在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)，且前n项和为Sn＝3n＋k，则实数k的值为( )
A．0 B．1 C．－1 D．2
答案 C
解析 当n＝1时，a1＝S1＝3＋k，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋k)－(3n－1＋k)
＝3n－3n－1＝2·3n－1.
由题意知{an}为等比数列，所以a1＝3＋k＝2，
∴k＝－1.
6．在等比数列{an}中，公比q是整数，a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，则此数列的前8项和为( )
A．514 B．513 C．512 D．510
答案 D
解析 由a1＋a4＝18和a2＋a3＝12，
得方程组，解得或.
∵q为整数，∴q＝2，a1＝2，S8＝＝29－2＝510.
二、填空题
7．若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝________.
答案 －
解析 显然q≠1，此时应有Sn＝A(qn－1)，
又Sn＝·3n＋t，∴t＝－.
8．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.
答案 3
解析 S6＝4S3?＝?q3＝3(q3＝1不合题意，舍去)．
∴a4＝a1·q3＝1×3＝3.
9．若等比数列{an}中，a1＝1，an＝－512，前n项和为Sn＝－341，则n的值是________．
答案 10
解析 Sn＝，∴－341＝，
∴q＝－2，又∵an＝a1qn－1，∴－512＝(－2)n－1，
∴n＝10.
10．如果数列{an}的前n项和Sn＝2an－1，则此数列的通项公式an＝________.
答案 2n－1
解析 当n＝1时，S1＝2a1－1，∴a1＝2a1－1，∴a1＝1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2an－1)－(2an－1－1)
∴an＝2an－1，∴{an}是等比数列，
∴an＝2n－1，n∈N*.
三、解答题
11．在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a3an－2＝128，Sn＝126，求n和q.
解 ∵a3an－2＝a1an，∴a1an＝128，解方程组
得①
或②
将①代入Sn＝，可得q＝，
由an＝a1qn－1可解得n＝6.
将②代入Sn＝，可得q＝2，
由an＝a1qn－1可解得n＝6.故n＝6，q＝或2.
12．求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn (x≠0)．
解 分x＝1和x≠1两种情况．
(1)当x＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝.
(2)当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，
xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1，
∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1＝－nxn＋1.
∴Sn＝－.
综上可得Sn＝
.
能力提升
13．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，Sn＝54，S2n＝60，求S3n.
解 方法一 由题意Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，
∴62＝54(S3n－60)，∴S3n＝.
方法二 由题意得a≠1，∴Sn＝＝54 ①
S2n＝＝60 ②
由②÷①得1＋qn＝，
∴qn＝，∴＝，
∴S3n＝＝(1－)＝.
14．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋2－4.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝an·log2an，求数列{bn}的前n项和Tn.
解 (1)由题意，Sn＝2n＋2－4，
n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋2－2n＋1＝2n＋1，
当n＝1时，a1＝S1＝23－4＝4，也适合上式，
∴数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，n∈N*.
(2)∵bn＝anlog2an＝(n＋1)·2n＋1，
∴Tn＝2·22＋3·23＋4·24＋…＋n·2n＋(n＋1)·2n＋1， ①
2Tn＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋n·2n＋1＋(n＋1)·2n＋2. ②
②－①得，
Tn＝－23－23－24－25－…－2n＋1＋(n＋1)·2n＋2
＝－23－＋(n＋1)·2n＋2
＝－23－23(2n－1－1)＋(n＋1)·2n＋2
＝(n＋1)·2n＋2－23·2n－1
＝(n＋1)·2n＋2－2n＋2＝n·2n＋2.
1．在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”．
2．前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况．
3．一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列且公比为q，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减的方法求和．
课件37张PPT。2.5 等比数列的前n项和(一)求等比数列的前30项的和。(二)问题探究问题1：这个故事中，地主中计了吗？
到底谁吃亏了？问题2：这个月，农夫一共要给地主多少斤米？问题3：这个月，地主一共要给农夫多少斤米？
（1000粒米约40克）40×30=1200（斤）问题4：这是什么数列求和？求前多少项的和？现在我们一起来寻找答案。米粒的总数为:问题5：如何求出这个和？用计算器怎么样？问题7：怎样求等比数列的前n项和公式？问题6：等差数列有求和的公式，那么等比数列是否也有求和的公式呢？若有就直接用公式时间很长，太麻烦了。(二)问题探究问题8：能否类比等差数列前n项和公式的求法？复习回顾 (2) 在等比数列中若 m+n = p+q , 则 1、等比数列的定义： =q (q=0)2、等比数列的通项公式：n-13、等比数列的性质: (1)??若 a , G , b成等比数列 a a = a am n p q国王奖励国际象棋发明者问题没问题！！！ 1+2+4+8+……+263=?264-1超过7000亿吨二、新课讲解： 根据①式，如何构造另一个式子②？ ②把这两个式子怎么样？等差数列求和公式的推导①① + ② 得：倒序相加(三)方法回顾的目的：出现相等的项，从而化简等比数列的前n项和公式解析1：找个具体的等比数列来检验问题1：对于等比数列，是否也能用倒序相加的方法进行求和呢?请大家动手试试。?(四)类比探究每个括号里的值不相等,不能写成n倍来化简!所以解析2：一般地，对于等比数列，因为：问题1：对于等比数列，是否也能用倒序相加的方法进行求和呢?请大家动手试试。?等比数列的前n项和公式(四)类比探究无法化简问题1：对于等比数列，是否也能用倒序相加的方法进行求和呢?请大家动手试试。?反思：对于等比数列求和，不能照搬倒序相加的方法。而是要挖掘此方法的本质（求和的根本目的）。问题2：求和的根本目的是什么？答：求和的根本目的是消项。消项后就可化简。改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公比来表示。①等比数列的前n项和公式(四)类比探究①问题4：类比等差数列求和方法，需要构造另一个式子②，而要达到消项的目的，就须使两式具有＿＿＿＿问题3：观察求和的式子①，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变成它的后一项？后项=前项×公比相同的项问题5：如何构造式子②？将式子①的两边都乘以②问题6：为了消项，接下来将这两个式子怎么样？相减等比数列的前n项和公式(四)类比探究① - ② 得：问题7：要求出 ，是否可以把上式两边同除以 ？当 时，①②注意：分类讨论是一种常用的数学思想方法！等比数列的前n项和公式(四)类比探究当 q=1 时，当q≠1时，则探究成果：①等比数列的前n项和公式(四)类比探究等差数列方法小结：课后思考：用错位相减法求和时只能乘以公比吗？能否乘以其它的数？联想我们所学过的知识，即类比＿＿＿＿＿＿＿＿，挖掘其方法的＿＿＿（求和的根本目的是＿＿＿），结合等比数列自身的＿＿＿来构造式子②，再把两式＿＿＿，这种求和方法叫做＿＿＿＿＿＿ 求和方法本质消项特征相减错位相减(四)类比探究问题1：还有其它的推导方法吗？①问题2：根据①式的特点，能否建立一个关于 的方程？若能，就可从方程中解出问题3：①式的左边是 ,要建立一个关于 的方程,那就要将①式的右边也用含 的式子来表示。问题4：观察①式的右边，从第二项开始，每一项都含有因式 ，是否可考虑将之提出来？(五)方程探究等比数列的前n项和公式①问题5：括号里面的，与①式右边对照，少了哪一项？问题6：括号里面的，怎样用含 的式子表示？从这个方程解出问题7：这样就得到了一个什么方程？问题8：解方程时要注意对＿＿＿＿＿＿进行＿＿。 一元一次方程未知量的系数讨论(五)方程探究等比数列的前n项和公式移项，得：当 q=1 时，当q≠1时，①①(五)方程探究等比数列的前n项和公式(建立方程)用 表示注意：方程法是一种重要的数学思想方法！ 一部分项提公因式过程小结：解方程根据等比数列求和式子的特点，对其部分项提出公因式＿＿后，可将其用含＿＿＿的式子表示出来，从而建立关于＿＿＿的方程，解此方程即可。 课后思考：对和式①的右边部分，只能提出公比吗？能否提出其它的公因式？ (五)方程探究(六)熟悉理解等比数列前n项和公式当q≠1时，当q＝1时，①②思考1：根据公式①，要求一个等比数列的前n项和，一般要先求出哪些量？思考2：能否将Sn和用a1, q, an来表示？思考3：什么时候用公式①, 什么时候用公式②?例1.求下列等比数列前8项的和．(七)公式的应用思考：能否用公式②求 ？答：可以。但要先求出公比 和解题思路：求出公比 后用公式①求变式1 判断正误：反思总结:用公式前，先弄清楚数列的首项 、公比 、项数n①②③(七)公式的应用×××(八)问题解决问题1：这个故事中，地主中计了吗？
到底谁吃亏了？问题2：这个月，农夫一共要给地主多少斤米？问题3：这个月，地主一共要给农夫多少斤米？
（1000粒米约40克）40×30=1200（斤）地主中计米粒的总数为:智慧来源于积极思考！启示：这个故事告诉我们不贪图眼前小利，把目光放长远！(八)问题解决学会理性思考，学好数学！(九)课堂小结1. 一个公式：2. 两种方法：3. 三种数学思想：这节课我们主要学到了什么？错位相减解方程类比方程分类讨论2.课外思考题：(十)作业布置(2)请从等比数列定义的两种形式出发，分别用不同的方法推导出等比数列前n项和的公式: 形式①形式②(1)求数列 的前n项和1.必做题：P61——A组 1、2、3例1.求和：①在等比数列中，已知 中的三个，可求另外两个。变式2 填空：反思总结:②如果不能用公式直接求出某个量，就要建立方程组来求解。96189515.5-476.511.5-65知三求二等比数列的前n项和练习1等比数列的前n项和练习21. 求等比数列 1，2，4，…从第5项到第10项的和. 从第5项到第10项的和: 2. 求等比数列 从第3项到第7项的和. 从第3项到第7项的和:
