2．1数列的概念与简单表示法（一）
一、教学要求：
理解数列及其有关概念；了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项的特征写出它的一个通项公式.
二、教学重点、教学难点：
重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用.
难点：根据一些数列的前几项，抽象、归纳出数列的通项公式.
三、教学过程：
导入新课
“有人说，大自然是懂数学的”“树木的，。。。。。”，
（一）、复习准备：
1. 在必修①课本中，我们在讲利用二分法求方程的近似解时，曾跟大家说过这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，即如果将初始量看成“1”，取其一半剩“”，再取一半还剩“”，、、、、、、，如此下去，即得到1，，，，、、、、、、
2. 生活中的三角形数、正方形数. 阅读教材
提问：这些数有什么规律？与它所表示的图形的序号有什么关系？
（二）、讲授新课：
1. 教学数列及其有关概念：
（1）三角形数：1，3，6，10，···
（2）正方形数：1，4，9，16，···
（2）1，2，3，4……的倒数排列成的一列数：
（3）-1的1次幂，2次幂，3次幂，……排列成一列数：-1，1，-1，1，-1，。。。。。
（4）无穷多个1排列成的一列数：1，1，1，1，。。。。。。
有什么共同特点？ 1. 都是一列数；2. 都有一定的顺序
① 数列的概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.
辩析数列的概念：（1）“1，2，3，4，5”与“5，4，3，2，1”是同一个数列吗？
与“1，3，2，4，5”呢？ ----------数列的有序性
（2）数列中的数可以重复吗？
（3）数列与集合有什么区别？
集合讲究：无序性、互异性、确定性，数列讲究：有序性、可重复性、确定性。
② 数列中每一个数叫数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项（或首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项、、、、、、排在第位的数称为这个数列的第项.
③ 数列的一般形式可以写成，简记为.
④ 数列的分类：(1)按项数分：有穷数列与无穷数列，
(2)按项之间的大小关系：递增数列、递减数列、常数列与摆动数列.
⑤ 数列中的数与它的序号有怎样的关系？
序号可以看作自变量，数列中的数可以看作随着变动的量。把数列看作函数。
即：数列可看作一个定义域是正整数集或它的有限子集的函数，当自变量从小到大依次取值对应的一列函数值。反过来，对于函数，如果有意义，可以得到一个数列：
如果数列的第n项与项数之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。
函数
数列（特殊的函数）
定义域
R或R的子集
或它的子集
解析式
图象
点的集合
一些离散的点的集合
2．应用举例
例1、写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
（1） （2） 2，0，2，0．
练习：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：
(1) 3, 5, 7, 9, 11,……； (2) , , , , , ……；
(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,……； (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ……；
(5) 2, －6, 18, －54, 162, …….
例2. 写出数列的一个通项公式，并判断它的增减性。
思考：是不是所有的数列都存在通项公式？根据数列的前几项写出的通项公式是唯一的吗？
例3．根据下面数列的通项公式，写出前五项：
（1） （2）
例4．求数列中的最大项。
例5．已知数列的通项公式为，求是这个数列的第几项？
三. 小结：数列及其基本概念，数列通项公式及其应用.
四、巩固练习：
1. 练习：P31面1、2、题、
2. 作业：《习案》九。
课件37张PPT。2.1数列的概念与
简单表示法(一)复习引入(单位：尺)1. 一尺之棰,日取其半,万世不竭.复习引入2. 三角形数(单位：尺)1. 一尺之棰,日取其半,万世不竭.复习引入2. 三角形数3. 正方形数(单位：尺)1. 一尺之棰,日取其半,万世不竭.复习引入3. 正方形数1. 1，3，6，10，···1，4，9，16，···2. 三角形数复习引入3. 正方形数1. 2. 三角形数 这些数有什么规律？与它所表示的
图形的序号有什么关系？ 1，3，6，10，···1，4，9，16，···讲授新课4. －1的1次幂, 2次幂, 3次幂, ……排列成
一列数：－1, 1, －1, 1, －1,…3. 1, 2, 3, 4,……的倒数排列成的一列数：5. 无穷多个1排列成的一列数：
1, 1, 1, 1, …1. 三角形数：1，3，6，10，···2. 正方形数：1，4，9，16，···有什么共同特点？ 讲授新课 1. 都是一列数； 2. 都有一定的顺序. 有什么共同特点？ 讲授新课 按照一定顺序排列着的一列数称为
数列，数列中的每一个数叫做这个数列
的项. 数列及其有关概念:1. 数列的概念:辨析数列的概念:(1) “1, 2, 3, 4, 5”与“5, 4, 3, 2, 1”是同一
个数列吗？与“1, 3, 2, 4, 5”呢？
(2) 数列中的数可以重复吗？
(3) 数列与集合有什么区别？
数列及其有关概念:辨析数列的概念:(1) “1, 2, 3, 4, 5”与“5, 4, 3, 2, 1”是同一
个数列吗？与“1, 3, 2, 4, 5”呢？
——数列的有序性
(2) 数列中的数可以重复吗？
(3) 数列与集合有什么区别？
数列及其有关概念:辨析数列的概念:(1) “1, 2, 3, 4, 5”与“5, 4, 3, 2, 1”是同一
个数列吗？与“1, 3, 2, 4, 5”呢？
——数列的有序性
(2) 数列中的数可以重复吗？
(3) 数列与集合有什么区别？
集合讲究：无序性、互异性、确定性，
数列讲究：有序性、可重复性、确定性.数列及其有关概念:2. 数列的项:数列及其有关概念: 数列中的每一个数叫做这个数列的
项. 数列中的每一项都和它的序号相关，
排在第一位的数称为这个数列的第1项
(通常也叫做首项)，排在第二位的数称
为这个数列的第2项……排在第n位的
数成为这个数列的第n项.2. 数列的项:数列及其有关概念:3. 数列的一般形式:数列及其有关概念:3. 数列的一般形式:a1, a2, a3, a4,…, an,…数列及其有关概念:3. 数列的一般形式:可简记为{an}.a1, a2, a3, a4,…, an,…数列及其有关概念:4. 数列的分类:数列及其有关概念:4. 数列的分类:(1) 按项数分：有穷数列与无穷数列；数列及其有关概念:4. 数列的分类:(1) 按项数分：有穷数列与无穷数列；(2) 按项之间的大小关系：递增数列、
递减数列、常数列与摆动数列.数列及其有关概念:5. 数列的通项公式:数列及其有关概念:5. 数列的通项公式: 如果数列{an}的第n项与序号n之间
的关系可以用一个公式来表示，那么这
个公式就叫做这个数列的通项公式.数列及其有关概念:数列及其有关概念:数列及其有关概念:讲解范例:例1.写出下面数列的一个通项公式，使
它的前4项分别是下列各数： 讲解范例:例1.写出下面数列的一个通项公式，使
它的前4项分别是下列各数： 讲解范例:例1.写出下面数列的一个通项公式，使
它的前4项分别是下列各数： 练习:根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：An=n+[(-1)^n+1]/2讲解范例:例2.写出数列的一个通项公式，并判断它的增减性.讲解范例:例2.写出数列的一个通项公式，并判断它的增减性. 是不是所有的数列都存在通项公式？
根据数列的前几项写出的通项公式是唯
一的吗？思考：讲解范例:例3. 根据下面数列{an}的通项公式，写出
前五项：讲解范例:例4. 求数列{－2n2＋9n＋3}中的最大项.讲解范例:例5. 已知数列{an}的通项公式为
an＝log2(n2＋3)－2，
求log23是这个数列的第几项？例4. 求数列{－2n2＋9n＋3}中的最大项.教材P.31练习第1、2题.练习：课堂小结1. 数列及其基本概念；
2. 数列通项公式及其应用. 阅读必修5教材P.28到P.31;
2. 《习案》作业九.课后作业双基限时练(七)
1．下列叙述正确的是( )
A．数列1,3,5,7与7,5,3,1是同一数列
B．数列0,1,2,3，…的通项公式为an＝n
C. 0,1,0,1，…是常数列
D．数列是递增数列
答案 D
2．数列，，，，…的第10项是( )
A. B.
C. D.
答案 C
3．数列1,3,6,10，x,21，…中，x的值是( )
A．12 B．13
C．15 D．16
答案 C
4．下列说法不正确的是( )
A．数列可以用图形表示
B．数列的通项公式不唯一
C．数列的项不能相等
D．数列可能没有通项公式
答案 C
5．已知an＋1－an－3＝0，则数列{an}是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
解析 由an＋1－an－3＝0，得an＋1＝an＋3，
∴数列{an}是递增数列．
答案 A
6．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( )
A．an＋1＝an＋n(n∈N*)
B．an＝an－1＋n(n∈N*，n≥2)
C．an＋1＝an＋(n＋1)(n∈N*，n≥2)
D．an＝an－1＋(n－1)(n∈N*，n≥2)
解析 把数的前5项代入验证，知an＝an－1＋n适合．
答案 B
7．观察数列的特点，用适当的一个数填空：1，，，，________，，….
答案 3
8．在数列－1,0，，，…，，…中，0.08是它的第________项．
解析 令＝0.08，得
2n2－25n＋50＝0，解得n＝10，或n＝(舍去)，
∴a10＝0.08.
答案 10
9．若数列的通项公式是an＝3－2n，则a2n＝________；＝________.
解析 ∵an＝3－2n，∴a2n＝3－22n＝3－4n，
＝＝.
答案 3－4n
10．已知数列{an}的通项公式是an＝n2－8n＋12，那么该数列中为负数的项一共有________项．
解析 由an＝n2－8n＋12<0，
得(n－2)(n－6)<0，
∴2
∴n＝3,4,5共3项．
答案 3
11．根据数列的通项公式，写出下列数列的前5项，并用图象表示出来．
(1)an＝(－1)n＋2；
(2)an＝.
解 (1)∵an＝(－1)n＋2，
∴a1＝1，a2＝3，a3＝1，a4＝3，a5＝1.
∴数列的前5项是1,3,1,3,1.
图象如图①.
① ②
(2)数列{an}的前5项依次是：1，，，，.图象如图②.
12．已知数列{an}的通项公式为an＝.
(1)求a10；
(2)是否为该数列中的项？若是，它为第几项？
(3)求证：0解 (1)a10＝＝.
(2)令an＝，即＝，解得n＝3，
∴为数列{an}中的项，为第3项．
(3)证明：an＝＝1－.
∵n∈N*，∴3n＋1>3.
∴0<<1，∴0<1－<1，即0第1课时 数列的概念与简单表示法
1．理解数列的概念、表示、分类．
2．理解数列的通项公式及其简单应用．
3．能根据数列的前几项写出一个通项公式．
1．数列
(1)定义：按照一定顺序排列的一列____叫做数列．
(2)项：数列中的每一个数都叫做这个数列的____．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做______)，排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第____位的数称为这个数列的第n项．
数列的特征：①每一项都是数；②数列中的数有顺序，同一组数可组成多个不同的数列．
(3)表示：数列的一般形式可以写成：a1，a2，…，an，…，简记为______．an表示数列中的第n个数．
【做一做1】 下列说法错误的是( )
A．数列4,7,3,4的首项是4
B．数列{an}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3
C．数列－1,0,1,2与数列0,1,2，－1不相同
D．数列中的项不能是三角形
2．数列的分类
(1)按数列的项数是否有限，分为有穷数列和无穷数列．
项数______的数列叫做有穷数列；项数______的数列叫做无穷数列．
(2)按数列的每一项随序号的变化趋势，分为递增数列、递减数列、常数列和摆动数列．
从第2项起，每一项都______它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都______它的前一项的数列叫做递减数列；各项______的数列叫做常数列；从第2项起，有些项______它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列．
在写数列时，对于有穷数列，要把末项(有穷数列的最后一项)写出，如：数列1，，，…，表示有穷数列；但如果把数列写成1，，，，…，，…或1，，，，…则表示无穷数列．
【做一做2】 数列5,4,3，m，…，是递减数列，则m的取值范围是__________．
3．数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与______之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
(1)已知通项公式an＝f(n)，那么只需依次用1,2,3，…代替公式中的n，就可以求出这个数列的各项．
(2)一个数列的通项公式可以有不同的形式，如an＝(－1)n可以写成an＝(－1)n＋2，还可以写成an＝这些通项公式形式上虽然不同，但都表示同一数列．
(3)数列的通项公式也可用一个分段函数表示．例如，函数1,0,1,0，…的通项公式可以表示为an＝
(4)数列的通项公式实际上就是相应函数的解析式．
(5)并不是所有的数列都有通项公式，就像并不是所有的函数都能用解析式表示一样．
【做一做3－1】 数列{an}中，an＝3n－1，则a2等于( )
A．2 B．3 C．9 D．32
【做一做3－2】 已知数列1,2,3,4，…，则这个数列的一个通项公式是( )
A．an＝1 B．an＝n2
C．an＝n D．an＝
答案：1．(1)数 (2)项 首项 n (3){an}
【做一做1】 B
2．(1)有限 无限 (2)大于 小于 相等 大于
【做一做2】 (－∞，3)
3．序号n
【做一做3－1】 B[来源:学§
【做一做3－2】 C
1．对数列有关概念的理解
剖析：要准确理解数列的定义，需特别注意定义中的两个关键词：“一列数”，即不止一个数；“一定顺序”，即数列中的数是有顺序的．同时还要注意以下五点：
(1)数列中项与项之间用“，”隔开．
(2)数列中的项通常用an表示，其中下标n表示项的位置序号，即an为第n项．
(3)与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：
①确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的．(与集合相同)
②可重复性：数列中的数可以重复．(与集合不同)如数列1,1,1，而由1,1,1组成的集合是{1}．
③有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序有关．(与集合不同)如1,3,4与1,4,3代表不同的数列，而集合{1,3,4}与{1,4,3}却是相同的．
(4)“项”与序号n是不同的：数列的项是这个数列中某一个确定的数，它实质上是序号n的函数值f(n)；而序号则是指该项在这个数列中的位置序号．另外，序号与项数也是不同的概念，项数表示整个数列共有多少项．
(5){an}与an是两个不同的概念：{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…，而an只表示数列的第n项．
2.数列与函数的关系
剖析：对于数列{an}中的每一项的序号n与这一项an的对应关系可以看作序号集合到另一个数的集合的映射．例如数列1，，，，，可用映射表示，如图．
(1)数列是一个以正整数作为自变量的特殊函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题．如由数列是定义在N*或它的子集{1,2,3，…，n}上的函数可知an是n的函数，即an＝f(n)．因此当{an}的通项公式的一端的某个“n”用某个数或某个式子或某个记号代替后，则两端的所有的“n”必须用同一个数或式子或记号代替．如，已知{an}的通项公式为an＝3n－，若bn＝a2n－1，求bn的通项公式时，就能用上述方法：bn＝a2n－1＝3(2n－1)－.
(2)要注意数列的特殊性(离散型)．由于它的定义域是N*或它的子集{1,2，…，n}，因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究的初等函数一般都是连续的曲线．在解决数列问题时，要充分利用这一特殊性．
类似于函数的三种表示法，数列也相应地有三种表示法：
①列表法：列一个两行多列的表格，第一行是项的序号，第二行是对应项的值．比如：
n
1
2
3
…
n
…
an
a1
a2
a3
…
an
…
②解析法：用数列的通项公式来表示数列．如，数列{an}中，an＝2n－3，也可以写为{2n－3}．
③图象法：在平面直角坐标系中，画出点(n，an)，这些点就表示一个数列．
3．常见数列的通项公式
剖析：熟练地掌握一些常见数列的通项公式．比如，下面这些数列均属于常见数列，这些通项公式必须记住并且熟练地应用它们解题．
(1)数列－1,1，－1,1，…的通项公式是an＝(－1)n，数列1，－1,1，－1，…的通项公式是an＝(－1)n＋1或(－1)n－1.
(2)数列1,2,3,4，…的通项公式是an＝n.
(3)数列1,3,5,7，…的通项公式是an＝2n－1.
(4)数列2,4,6,8，…的通项公式是an＝2n.
(5)数列1,2,4,8，…的通项公式是an＝2n－1.
(6)数列1,4,9,16，…的通项公式是an＝n2.
(7)数列1,3,6,10，…的通项公式是an＝.
(8)数列，，，，…的通项公式是an＝.
题型一 根据数列的前几项写出数列的一个通项公式[
【例题1】 写出下列数列的一个通项公式：
(1)，2，，8，，…；
(2)1，－3,5，－7,9，…；
(3)9,99,999,9 999，…；
(4)，，，，….
分析：经过观察、分析寻找每一项与其项数的统一规律．
反思：根据数列的前几项写出数列的一个通项公式实际上是一个归纳、总结，找出前几项的共同特点的过程，各项与其序号的关系等式就是一个通项公式．其归纳、总结的方法是：将数列的前几项恒等变形为统一的代数式形式，并且这个代数式中仅有一处是不同的，是变化的，并且变化的规律是随着序号每次增加1，用n来替换代数式中变化的地方，替换后的代数式就是数列的通项公式．
写出来的通项公式的正确性也可以验证，令通项公式中的n＝1,2,3，得到数列的前三项，看看是否与实际相符；若符合则写出的通项公式是正确的，否则是错误的．
题型二 通项公式的应用
【例题2】 已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.
(1)写出数列的第4项和第6项；
(2)－49是否是该数列的一项？如果是，是哪一项？68是否是该数列的一项呢？
分析：(1)令n＝4，n＝6，分别代入通项公式，即可求得a4，a6.(2)令an＝－49和68，求得n值，若n∈N*，则是数列的项，否则不是该数列的项．
反思：数列的通项公式给出了第n项an与它的序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．
判断某数值是否为该数列的项，需先假定它是数列中的项，列方程求解．若方程的解为正整数，则该数值是数列的项；若方程无解或解不是正整数，则该数值不是此数列的项．
题型三 按项的变化趋势对数列分类
【例题3】 (1)判断数列1，，，－2是否是递增数列？
(2)已知数列{an}的通项公式为an＝，按项的变化趋势应是哪一类数列．
反思：按项的变化趋势对数列分类的步骤：
(1)当给出数列的全部项时，按递增数列、递减数列、常数列、摆动数列的定义来确定，如本题(1)．
(2)当给出数列的通项公式时，常常用作差的方法，通过判断差的符号来确定．对n∈N*，
当an＋1－an＞0时，{an}为递增数列；[X|K]
当an＋1－an＜0时，{an}为递减数列；
当an＋1－an＝0时，{an}为常数列；
当an＋1－an的符号不确定时，{an}为摆动数列．
题型四 易错辨析
【例题4】 求数列{－2n2＋29n＋3}中的最大项．
错解：由已知，得an＝－2n2＋29n＋3＝－22＋108，
∴数列{－2n2＋29n＋3}中的最大项为108.
错因分析：上述解法忽略了数列中的项数n应为正整数的条件，n的值不能取到.
反思：数列是一个特殊的函数，在用函数的有关知识求解数列问题时，要注意它的定义域是N*(或它的有限子集{1,2，…，n})这一约束条件．
答案：【例题1】 解：(1)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，，，，，…，所以，它的一个通项公式为an＝.
(2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…是连续的正奇数，其通项公式为2n－1；考虑(－1)n＋1具有转换符号的作用，所以数列的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(2n－1)．
(3)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1.
(4)数列中每一项由三部分组成，分母是从1开始的奇数列，其通项公式为2n－1；分子的前一部分是从2开始的自然数的平方，其通项公式为(n＋1)2，分子的后一部分是减去一个自然数，其通项公式为n，综合得原数列的一个通项公式为an＝＝.
【例题2】 解：(1)a4＝3×16－28×4＝－64，
a6＝3×36－28×6＝－60.
(2)设3n2－28n＝－49，解得n＝7或n＝(舍去)，
∴n＝7，即－49是该数列的第7项．
设3n2－28n＝68，解得n＝或n＝－2.
∵N*，－2N*，∴68不是该数列的项．
【例题3】 解：(1)设该数列为{an}，则a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝－2，则有a1＜a2，但a3＞a4.故该数列是摆动数列．
(2)∵an＋1－an＝－＝＜0，
∴an＋1＜an.故该数列是递减数列．
【例题4】 正解：由已知，得
an＝－2n2＋29n＋3＝－22＋108.
由于n∈N*，故当n取距离最近的正整数7时，an取得最大值108.
故数列{－2n2＋29n＋3}中的最大项为a7＝108.
1数列1,3,7,15,31，…的一个通项公式为( )
A．an＝2n B．an＝2n＋1
C．an＝2n－1 D．an＝2n－1
2已知数列{an}中，an＝，则{an}是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
3(2011·广东广州二模)已知数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a10＝( )
A．－55 B．－5 C．5 D．55
4设数列，，，，…，则是这个数列的( )
A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项
5已知数列{an}中，an＝5n－3.
(1)求a5；
(2)判断27是否为数列{an}的一项．
答案：1．C 2.A 3.C 4.B[来源:Z.xx.k.Com]
5．解：(1)a5＝5×5－3＝22.
(2)令5n－3＝27，解得n＝6，即27是数列{an}的第6项．
第二章 数 列
§2.1 数列的概念与简单表示法(一)
课时目标
1．理解数列及其有关概念；
2．理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；
3．对于比较简单的数列，会根据其前n项写出它的通项公式．
1．按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，…，排在第n位的数称为这个数列的第n项．
2．数列的一般形式可以写成a1，a2，…，an，…，简记为{an}．
3．项数有限的数列称有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．
4．如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．
一、选择题
1．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为( )
A．an＝n B．an＝n＋1
C．an＝n＋2 D．an＝2n
答案 B
2．已知数列{an}的通项公式为an＝，则该数列的前4项依次为( )
A．1,0,1,0 B．0,1,0,1
C.，0，，0 D．2,0,2,0
答案 A
3．若数列的前4项为1,0,1,0，则这个数列的通项公式不可能是( )
A．an＝[1＋(－1)n－1]
B．an＝[1－cos(n·180°)]
C．an＝sin2(n·90°)
D．an＝(n－1)(n－2)＋[1＋(－1)n－1]
答案 D
解析 令n＝1,2,3,4代入验证即可．
4．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－50，则－8是该数列的( )
A．第5项 B．第6项
C．第7项 D．非任何一项
答案 C
解析 n2－n－50＝－8，得n＝7或n＝－6(舍去)．
5．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( )
A．an＝n2－n＋1 B．an＝
C．an＝ D．an＝n2＋1
答案 C
解析 令n＝1,2,3,4，代入A、B、C、D检验即可．排除A、B、D，从而选C.
6．设an＝＋＋＋…＋ (n∈N*)，那么an＋1－an等于( )
A. B.
C.＋ D.－
答案 D
解析 ∵an＝＋＋＋…＋
∴an＋1＝＋＋…＋＋＋，
∴an＋1－an＝＋－＝－.
二、填空题
7．已知数列{an}的通项公式为an＝.则它的前4项依次为____________．
答案 4,7,10,15
8．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，那么是这个数列的第______项．
答案 10
解析 ∵＝，
∴n(n＋2)＝10×12，∴n＝10.
9．用火柴棒按下图的方法搭三角形：
按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是______________．
答案 an＝2n＋1
解析 a1＝3，a2＝3＋2＝5，a3＝3＋2＋2＝7，a4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴an＝2n＋1.
10．传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前570年—公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将石子摆成如图所示的三角形状，就将其所对应石子个数称为三角形数，则第10个三角形数是______．
答案 55
解析 三角形数依次为：1,3,6,10,15，…，第10个三角形数为：1＋2＋3＋4＋…＋10＝55.
三、解答题
11．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：
(1)－1,7，－13,19，…
(2)0.8,0.88,0.888，…
(3)，，－，，－，，…
(4)，1，，，…
(5)0,1,0,1，…
解 (1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)(n∈N*)．
(2)数列变形为(1－0.1)，(1－0.01)，
(1－0.001)，…，∴an＝(n∈N*)．
(3)各项的分母分别为21,22,23,24，…易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－，因此原数列可化为－，，－，，…，
∴an＝(－1)n·(n∈N*)．
(4)将数列统一为，，，，…对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn＝2n＋1，对于分母2,5,10,17，…联想到数列1,4,9,16…即数列{n2}，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1，
∴可得它的一个通项公式为an＝(n∈N*)．
(5)an＝或an＝(n∈N*)
或an＝(n∈N*)．
12．已知数列；
(1)求这个数列的第10项；
(2)是不是该数列中的项，为什么？
(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；
(4)在区间内有、无数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由．
(1)解 设f(n)＝
＝＝.
令n＝10，得第10项a10＝f(10)＝.
(2)解 令＝，得9n＝300.
此方程无正整数解，所以不是该数列中的项．
(3)证明 ∵an＝＝＝1－，
又n∈N*，∴0<<1，∴0∴数列中的各项都在区间(0,1)内．
(4)解 令即.∴又∵n∈N*，∴当且仅当n＝2时，上式成立，故区间上有数列中的项，且只有一项为a2＝.
能力提升
13．数列a，b，a，b，…的一个通项公式是______________________．
答案 an＝＋(－1)n＋1
解析 a＝＋，b＝－，
故an＝＋(－1)n＋1.
14．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有多少个点．
解 图(1)只有1个点，无分支；图(2)除中间1个点外，有两个分支，每个分支有1个点；图(3)除中间1个点外，有三个分支，每个分支有2个点；图(4)除中间1个点外，有四个分支，每个分支有3个点；…；猜测第n个图中除中间一个点外，有n个分支，每个分支有(n－1)个点，故第n个图中点的个数为1＋n(n－1)＝n2－n＋1.
1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：
(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的．
(2)可重复性：数列中的数可以重复．
(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关．
2．并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1,3.14,3.141，…，它没有通项公式．
3．如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．例如：数列－1,1，－1,1，－1,1，…的通项公式可写成an＝(－1)n，也可以写成an＝(－1)n＋2，还可以写成
an＝其中k∈N*.
课件28张PPT。2.1数列的概念与简单表示法456781567812334264个格子1223344551667788OK456781456781233264个格子你认为国王有能力满足上述要求吗每个格子里的麦粒数都是前一个格子里麦粒数的2倍且共有64格子麦粒总数?？?1844,6744,0737,0955,1615三角形数1, 3, 6, 10, .….. 正方形数1, 4, 9, 16, ……观察下列图形：提问：这些数有什么规律吗？一.定义： 按照一定顺序排列着的一列数叫数列。(1)三角形数：1, 3, 6, 10, .….. (2)正方形数：1, 4, 9, 16, ……数列中的每一个数叫做这个数列的项。 (3)4，5，6，7，8，9，10；
(4)10，9，8，7，6，5，4； 数列中的每一项都和它的序号有关，排第一位的数称为这个数列的第1项（通常叫做首项）， 排第二位的数称为这个数列的第2项，······，
排第 n 位的数称为这个数列的第n项.
数列的一般形式可以写成： (1)三角形数：1, 3, 6, 10, .….. (2)正方形数：1, 4, 9, 16, …… 按照一定顺序排列着的一列数叫数列。(1)三角形数：1, 3, 6, 10, .….. (2)正方形数：1, 4, 9, 16, ……一.定义： 按照一定顺序排列的一列数叫数列。思考1：数列 4，5，6，7，8，9，10；
数列 10，9，8，7，6，5，4；是否相同？思考2：数列中的数是否可以重复？
如：数列－1，1，－1，1，···。
项数有限的数列.
例如数列1，2，3，4，5，6。是有穷数列
项数无限的数列.
例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列1）根据数列项数的多少分：二.数列的分类： P28观察有穷数列：
无穷数列：2）根据数列项的大小分：
递增数列：
递减数列：
常数数列：
摆动数列：
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列。
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列。
各项相等的数列。
从第2项起，有些项大于它的前一项，
有些项小于它的前一项的数列⑴全体自然数构成数列：
⑵1996~2002年某市普通高中生人数（单位：万人）0，1，2，3, … .
82，93，105，119，129，130，132.构成数列
⑶无穷多个3构成数列3，3，3，3，3, … .⑷目前通用的人民币面额从大到小的顺序构成数列（单位:元）100，50，20，10，5，2，1，0.5，0.2，0.1，0.05，0.02，0.01.⑸-1的1次幂， 2次幂， 3次幂， 4次幂 构成数列-1，1，-1，1, … .……递增数列递减数列常数列递增数列摆动数列以下数列属于哪种分类？ 观察下列数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？ 1 2 3 4 5 ….项序号2， 4， 6， 8， 10，…1 2 3 4 5 ……序号项 数列中的每一个数都对应着一个序号，反过来，每个序号也都对应着一个数。三.数列的表示： nn2n数列与函数的关系 : 数列可以看作特殊的函数，序号是其自变量，项是序号所对应的函数值，数列的定义域是正整数集 ，或是正整数集 的有限子集 ． 于是我们研究数列就可借用函数的研究方法，用函数的观点看待数列． 数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集{1，2，3，4，…,n}）为定义域的函数an=f(n),当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值。思考正方形数：1, 4, 9, 16, …… 通项公式可以看成是数列的函数解析式。 如果只知道数列的通项公式，那能写出这个数列吗？例1、 写出下面数列的一个通项公式，使它的 前4项分别是下列各数： 练习：P31 1,3,4数列 2，4，6，8，10，……
其通项公式是：图象为：an
10
9
8
7
6
5
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3
2 0 1 2 3 4 5 n例2、图中的三角形称为谢宾斯基（Sierpinski）三角形，在下图4个三角形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象。an
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3
o 1 2 3 4 5 n问题：如果一个数列{an}的首项a1=1，从第二项起每一项等于它的前一项的2倍再加1，
即 an = 2 an-1 + 1（n∈N，n>1），（※）你能写出这个数列的前三项吗？递推公式例3 设数列 满足 写出这个数列的前五项。练习：P31 2例3 设数列 满足 递推公式是数列所特有的表示法，它包含两个部分，一是递推关系，一是初始条件，二者缺一不可． 观察下面数列的特点，用适当的数
填空，并写出每个数列的一个通项公式： 练 习 题写出下面数列的一个通项公式，
使它的前4项分别是下列各数： 练 习 题练习:根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：讲解范例:例2. 已知数列{an}的通项公式为
an＝log2(n2＋3)－2，
求log23是这个数列的第几项？例1. 求数列{－2n2＋9n＋3}中的最大项.1.由数字1，2，3，4四个数字一共可以组成多少个不同的数列？2. 已知数列{an}的通项公式为 ，试判断 和 是不是它的项？如果是，是第几项？ 练 习 题补充练习小结1、数列的定义
2、数列的实质—特殊的函数（离散函数）
3、数列的通项公式
4、数列的表示方法：
列表法，
通项公式法，
图象法，
递推公式法
