圆的基本概念与性质
内容 基本要求 略高要求 较高要求
圆的有关概念 理解圆及其有关概念 会过不在同一直线上的三点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题
圆的性质 知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系 能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题 能运用圆的性质解决有关问题
垂径定理 会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论 能用垂径定理解决有关问题
圆的定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点叫做圆心，叫做半径．
弧与弦：
弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．
直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的倍．
弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的圆弧记作，读作弧．
等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．
半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
一 与圆有关概念
判断题
（1）直径是弦 ( )
（2）弦是直径 ( )
（3）半圆是弧 ( )
（4）弧是半圆 ( )
（5）长度相等的两条弧是等弧 ( )
（6）等弧的长度相等 ( )
（7）两个劣弧之和等于半圆 ( )
（8）半径相等的两个圆是等圆 ( )
（9）两个半圆是等弧 ( )
（10）圆的半径是，则弦长的取值范围是大于且不大于 ( )
【答案】（1）√；（2）×；（3）√；（4）×；（5）×；（6）√；（7）×；（8）√；（9）×；（10）√
如图，点在半圆上，四边形均为矩形，设，，则下列格式中正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】B
如图，直线，点在直线上，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线于、两点，连接．若，则∠1的大小为________
【答案】72°
如图，内接于，是边上一点，是优弧的中点，连接、、、，当的长度为多少时，是以为底边的等腰三角形？并加以证明．
【答案】解：当时，是以为底边的等腰三角形．
证明：∵是优弧的中点
∴
∴
在与中，
∵
∴．
∴，
即时，是以为底边的等腰三角形．
如图，正方形的边长为2，将长为2的线段的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果点从点出发，沿图中所示方向按滑动到止，同时点从点出发，沿图中所示方向按滑动到止，在这个过程中，线段的中点所经过的路线围成的图形的面积为_________
【答案】
【解析】根据直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，可知：点到正方形各顶点的距离都为1，故点所走的运动轨迹为以正方形各顶点为圆心，以1为半径的四个扇形，点所经过的路线围成的图形的面积为正方形的面积减去4个扇形的面积．
二 垂径定理及其应用
如图，是的直径，是弦，于，交弧于．
（1）请写出五个不同类型的正确结论；
（2）若，求的半径．
【答案】（1）不同类型的正确结论有：
（2）∵，
∴
设的半径为，则，
在中，由勾股定理得：
解得： ，
∴的半径为5．
如图，在中，，则圆心到的距离=_______
【答案】
如图，内接于，为线段的中点，延长交于点, 连接则下列五个结论①,②,③,④,⑤，正确结论的个数是( )
A．2 B．3 C． 4 D．5
【答案】A
如图，为的直径，为弦, ,如果,那么的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
如图，是的在直径，弦于点，若，,则的直径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
如图，是的外接圆，，若的半径为2，则弦的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
小英家的圆镜子被打破了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】B
【解析】考查垂径定理与勾股定理的应用．此题关键找到圆心，由不在同一条直线上的三点确定唯一一个圆．
如图，作线段的垂直平分线交于点，点即为圆镜的圆心，连结,由图可知
，由勾股定理得半径．
如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且CD = 24 m，
OE⊥CD于点E．已测得．
（1）求半径OD；
（2）根据需要，水面要以每小时的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？
【答案】（1）∵OE⊥CD于点E，CD=24， ∴ED ==12．
在Rt△DOE中，∵sin∠DOE?=?=， ∴OD =13（m）．
（2）OE==．
∴将水排干需：小时．
如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为（ ）
A．5米 B． 8米 C．7米 D．米
【答案】B
如图，为的直径，弦,垂足是,连接，若,则_______
【答案】2
一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径,截面圆圆心到水面的距离是6，则水面宽是（ ）
A．16 B．10 C．8 D．6
【答案】A
已知，如图，与坐标轴交与（1,0）、( 5，0)两点，点的纵坐标为，求的半径。
【答案】过 作,垂足为,则有．由（1,0）、( 5，0)，得，．在 中，∵的纵坐标为。∴的半径 = ==３
已知的直径是，的两条平行弦，，求弦与间的距离．
【答案】本题有两种情况：（1），在圆心的同侧，
当，在圆心的同侧时，作于，
交于如右图所示．
∵，∴
由垂径定理知：，．
连结与，．
∴，
∴与之间的距离
（2），在圆心的两侧如右图所示，与之间的距离．
在半径为的中，弦的长分别为和，则的度数为________．
【答案】此题分两种情况讨论：（1）若在圆心的同侧，如图
连结，过点分别作，垂足分别为
则，∴，
∴．
（2）若在圆心的异侧，如图根据圆的对称性，
综上所述，的度数为或．
如图，是的直径，是弦，于,交于,
（1）请写出四个不同类型的正确结论。
（2）连接,设,试找出与之间的关系，并给与证明。
【答案】(1)①;
②；
③;
④（2）答案不唯一，（如∥；;等也可）（２） 同弦所对的圆周角相等或互补．
问题探究
（1）在图①的半径为的半圆内（含弧），画出一边落在直径上的面积最大的正三角形，并求出这个正三角形的面积？
（2）在图②的半径为的半圆内（含弧），画出一边落在直径上的面积最大的正方形，并求出这个正方形的面积？
问题解决
（3）如图③，现有一块半径的半圆形钢板，是否可以裁出一边落在上的面积最大的矩形？若存在，请说明理由，并求出这个矩形的面积；若不存在，说明理由？
【答案】如图
（1） ；（2） ；（3）36
如图，有一木制圆形脸谱工艺品，两点为脸谱的耳朵，打算在工艺品反面两耳连线中点处打一小孔．现在只有一块无刻度单位的直角三角板（斜边大于工艺品的直径），请你用两种不同的方法确定点的位置（画出图形表示），并且分别说明理由．
【答案】方法一：如图①，画的垂线L交于，则点就是的中点，
依据是垂径定理；
方法二：如图②，分别过点画与相交于点，
过点画直线交于点，则点就是的中点，
由画图知，，易得，又，
所以点在的中垂线上，所以；
方法三：如图③．（原理同方法二）
如图，已知是的弦，半径，则 _____
【答案】作于，则平分.．
，
如图，海边立有两座灯塔，暗礁分布在经过两点的弓形（弓形是的一部分）区域内，
．为了避免触礁，轮船与的张角的最大值为_____
【答案】
【解析】当点在优弧上时，的值最大，等于．
如图，是 的直径，点都在上，连结．已知
，则的长是_____
【答案】6
【解析】．
如图，点为优弧所在圆的圆心，。点在延长线上，，则___________．
【答案】
【解析】∵
如图，所对的（图中）的度数为，的半径为5，则弦的长为_____
【答案】
【解析】连结，过作于．
所对的的度数为，
．
．
又在中，
，
由垂径定理得弦．
如图，的两条弦互相垂直，垂足为，且，已知，则 的半径是____
【答案】
【解析】如图，作于，于，
由垂径定理得，
连结，在中，
由勾股定理得，．
高速公路的隧道和桥梁最多．如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以为圆心的圆的一部分，路面米，净高米，则此圆的半径（ ）
A．5 B．7 C． D．
【答案】D
【解析】考查了垂径定理、勾股定理．特别注意此类题经常是构造一个由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形进行计算．
解：,根据垂径定理和勾股定理可得．由垂径定理得米，
设圆的半径为，则结合勾股定理得，即，
解得米．
如图，已知是的弦，半径求的面积．
【难度】4星
【解析】如图，作于，则．
作于点，则有．
在中，
所以，所以
【答案】
如图，台风中心位于点，并沿东北方向移动，已知台风移动的速度为40千米/时，受影响区域的半径为260千米，市位于点的北偏东75°方向上，距离点480千米．
（1）说明本次台风是否会影响市；
（2）若这次台风会影响市，求市受台风影响的时间．
【答案】（1）作于点．
在中，
由条件知，，
∴，
∴本次台风会影响B市．
（2）如图，若台风中心移动到P1时，台风开始影响B市，台风中心移动到P2时，台风影响结束．
由（1）得，由条件得，
∴
∴台风影响的时间
故B市受台风影响的时间为5小时．
中考说明
自检自查必考点
中考必做题
A
O
B
E
C
D
课后作业
圆周角定理与圆内接图形
圆心角和圆周角
圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为等份，每一份的弧对应的圆心角，我们也称这样的弧为的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．
圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．
圆的基本性质有：
⑴ 直径所对的圆周角是直角．
⑵ 同弧所对的圆周角相等．
⑶ 经过圆心及一弦中点的直线垂直平分该弦．
不在同一直线上的三个点确定一个圆
圆的内接四边形对角互补，外角等于内对角
模块一 圆周角定理
若的一条弧所对的圆周，则这条弧所对的圆心角是（ ）
A． B． Ｃ． Ｄ．以上答案都不对
【答案】Ｃ
如图，是圆的弦，圆周角,则的度数是_______
【答案】
如图，正方形的外接圆，点在上，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】
如图，点在上，将圆心角绕点按逆时针方向旋转到,旋转角为，（）．若,,则_______
【答案】
如图，是的直径，是的弦。若,则=_______
【答案】
如图，点都在上，且点在弦所对的优弧上，若，
则是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
如图，的外接圆上，三弧的度数比为．自上取一点,过
分别作直线的并行线，且交于两点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】Ｃ
如图，中，弦相交于点 若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】Ｃ
如图，已知的直径，为上的一点，,则_______
【答案】
如图，在以为直径的半圆中，点是它的中点，若,则的面积是（ ）
【答案】
【解析】考查直径所对圆周角为，
,
如图所示，为的直径，为弦，且，垂足为．
（1）如果的半径为4， ，求的度数；
（2）若点为的中点，连接．求证：平分；
（3）在（1）的条件下，圆周上到直线距离为3的点有多少个？并说明理由．
【答案】（1）解：∵为的直径，
∴
在中，
∴
∴
（2）证明：∵点是的中点
∴
又∵，
∴
∴
又∵
∴
∴平分
（3）解：圆周上到直线的距离为3的点有2个．
因为圆弧上的点到直线的最大距离为2，
上的点到直线的最大距离为6，，根据圆的轴对称性，到直线距离为3的点有2个．
如图，是的外接圆，是的直径，为上一点，，垂足为，连接
（1）求证：平分；
（2）当时，求证：．
【答案】证明：（1）∵为半径，
∴
∴，
∴平分；
（2）∵，
∴，
∴，
又∵于，
∴，
∴，
又∵为的直径，
∴，
在中，
∵
∴．
模块二 三角形外接圆
如图，在平面坐标系中，已知一圆弧过小正方形网格的格点,点的坐标是，则该圆弧所在圆的圆心坐标是_______
【答案】
如图所示，内接于，若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，⊙O的半径为2，则等边三角形ABC的边长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】此题主要考查等边三角形外接圆半径的求法．
解：连接，并作于，则，，∴，∴．
如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D点，且AC=5，CD=3，AB=4 ，则⊙O的直径等于（ ）
A． B． C． D．７
【答案】C
【解析】此题主要考查等边三角形外接圆半径的求法,利用直径所对的圆周角是90度构造直角三角形是常用的辅助线方法．
解：作直径，连接，∵，∴是，由勾股定理得．
∵∠ACD=∠AEB，（同弧圆周角相等），（半圆上的圆周角是直角）
∴， ，∴，则直径．
如图所示，点、、在上，且．若点是上的动点，要使为等腰三角形，则所有符合条件的点有（ ）
A．1 个 B．2 个
C．2 个 D．4个
【答案】D
【解析】,弦不是直径，不是等边三角形．（1）当时，是等腰三角形，这时点是弦的垂直平分线与圆的交点，有两个；（2）当时，这样的点只有一个．（3）当时，这样的点只有一个．综上可得符合条件的点有4个．
已知：如图，内接于, 为的直径，, 点是上一个动点，连结, 与相交于点, 过点作于, 与相交于点,连结和.
(1) 求证：;
（2）如图1，若， 求证：；
（3) 如图2，设 , 四边形的面积为,求与之间的关系式.
【答案】(1) 证明: ∵, 为的直径 ∴
∵，∴
∵ ∴是等腰直角三角形 ∴∴
∴是等腰直角三角形∴，∴≌， ∴ ．
(2)证明：∵∴，∴，
∴，∴是的中点，∴，∴是等腰直角三角形
∴，∴，∴
（3）解：
= （）
已知，如图，在中，,以为直径的分别交、于点、,连结交于点．
（1）求证：；
（2）若,,求的长．
【答案】（1）联结
∵是的直径，,．
,．
（2）方法一：，.
.在、中，，
设，则有，
解得：，
方法二：． 设，在、 中，．．∵，，
，解得：．
方法三：∵BE⊥AC AD⊥BC, ，
，．．
我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段的最小覆盖圆就是以线段为直径的圆．
（1）请分别作出图1中两个三角形的最小覆盖圆；（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）探究三角形的最小覆盖圆有何规律？请写出你所得到的结论；（不要求证明）
（3）某地有四个村庄（其位置如图2所示），现拟建一个电视信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此中转站应建在何处？请说明理由．
【答案】：（1）如图所示：
（2）若三角形为锐角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆；
若三角形为直角或钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长边（直角或钝角所对的边）为直径的圆．
（3）此中转站应建在的外接圆圆心处（线段的垂直平分线与线段的垂直平分线的交点处）．
理由如下：
，
，
∴是锐角三角形，所以其最小覆盖圆为的外接圆，
设此外接圆为，直线EG与交于点，则
．
故点G在内，从而也是四边形的最小覆盖圆．
所以中转站建在的外接圆圆心处，能够符合题中要求．
模块三 圆的内接四边形
下列关于圆内接四边形叙述正确的有（ ）个
①圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角；
②圆内接四边形对角相等；
③圆内接四边形中不相邻的两个内角互补；
④在圆内部的四边形叫圆内接四边形．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了邻补角的定义以及等角的补角相等．
解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴，
而，∴，而，∴∠DCE．
已知：四边形是的内接四边形，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了邻补角的定义以及等角的补角相等．
解：∵四边形是的内接四边形∴∵
∴．
四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠BCD=110°，则∠BAD为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．
SHAPE \* MERGEFORMAT
如图，点都在上，的度数等于，是的平分线，则 _______
【答案】
【解析】的度数为，,故,
又,,
．
如图，是等边三角形的外接圆，点在劣弧上，,则的度数
为_______
【答案】
【解析】同弧所对圆周角相等．因为是等边三角形，所以,∵,
∴．
在数轴上，点所表示的实数为3，点所表示的实数为，的半径为2．下列说法中不正确的是（ ）
A．当时，点在内 B．当点在内
C．当时，点在外 D．当时，点在外
【答案】A
【解析】由图可知B．当时点在内；当或1时点在上；当或
点在外
如图，,,则的度数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】考查同弧所对圆周角是圆心角的一半．
,．所对圆心角为．所对的圆心角为．
．
如图所示，已知是的直径，把为的直角三角板的一条边放在直线上，斜边与交与点，点与点重合．将三角板沿方向平移，使得点与点重合为止．设，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】当点与点重合时，;当点与点重合时，．
故选A
如图，是的直径，弦于点,若,，则_______
【答案】
【解析】利用直径所对圆周角是．
连结,,，∴，在中，
。．
如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠B=60°，则∠CAO的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】
【解析】此题综合考查了圆周角定理和三角形的内角和定理
解：连接，由圆周角定理，得，中，，
∴．
自检自查必考点
中考必做题
课后作业
直线与圆的位置关系
内容 基本要求 略高要求 较高要求
直线与圆的位置关系 了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间关系；会过圆上一点画圆的切线 能判定一条直线是否为圆的切线；能利用直线和圆的位置关系解决简单问题 能解决与切线有关的问题
切线长 了解切线长的概念 会根据切线长知识解决简单问题
一、直线与圆的位置关系
设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表：
位置关系 图形 定义 性质及判定
相离 直线与圆没有公共点． 直线与相离
相切 直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点． 直线与相切
相交 直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线． 直线与相交
二．切线的性质及判定
切线的性质
定理：圆的切线垂直于过切点的半径．
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
注意：这个定理共有三个条件，即一条直线满足：①垂直于切线②过切点③过圆心
①过圆心，过切点垂直于切线．过圆心，过切点，则．
②过圆心，垂直于切线过切点．过圆心，，则过切点．
③过切点，垂直于切线过圆心．，过切点，则过圆心．
切线的判定
定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；
距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；
定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
注意：定理的题设是①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可；定理的结论是“直线是圆的切线”．因此，证明一条直线是圆的切线有两个思路：①连接半径，证直线与此半径垂直；②作垂直，证垂直在圆上．
切线长和切线长定理
切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
三．三角形的内切圆
三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．
多边形的内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．
直角三角形内切圆的半径与三边的关系
设．．分别为中．．的对边，面积为，则内切圆半径为，其中．若，则．
模版一 直线与圆位置关系的确定
已知的面积为，若点到直线的距离为，则直线与的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
【答案】．
如果一个圆的半径是8cm，圆心到一条直线的距离也是8cm，那么这条直线和这个圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定
【答案】．
已知⊙O的半径为，点是直线上一点，长为，则直线与的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．相交．相切．相离都有可能
【答案】
中，，，．给出下列三个结论：
（1）以点为圆心，2.3 cm长为半径的圆与相离；
（2）以点为圆心，2.4 cm长为半径的圆与相切；
（3）以点为圆心，2.5 cm长为半径的圆与相交；
则上述结论中正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】（1），，直线和圆相离，正确；
（2），，直线和圆相切，正确；
（3），，直线和圆相交，正确．故选．
已知：点到直线的距离为，以点为圆心，为半径画圆，如果圆上有且只有两点到直线的距离均为，则半径的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】
【解析】根据题意可知，若使圆上有且只有两点到直线L的距离均为2，
则当圆与直线外离时，；
当圆与直线相交时，；
所以．
故选．
如图，在中，，，，以点为圆心，以的长为半径作圆，则与的位置关系是（）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交
【答案】
如图，在直角梯形中，，，且，是的直径，则直线与的位置关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
【答案】作于．
∵，，，
∴，
又，
∴．
∴．
又，
∴，
即圆心到直线的距离小于圆的半径，则直线和圆相交．
故选．
正方形中，点是对角线上的任意一点（不包括端点），以为圆心的圆与相切，则与的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
【答案】
如图，矩形（）与矩形全等，点在同一条直线上，的顶点在线段上移动，使为直角的点的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】连接．．，如图在中，∵，∴，然后画出以为直径半圆，发现存在的点实际上有两个
如图，点在轴上，交轴于两点，连接并延长交于，过点的直线交轴于，且的半径为，．若函数（）的图象过点，则的值是（ ）
A． B．﹣4 C． D．4
【答案】B
已知在直角坐标系中，以点为圆心，以为半径作，则直线（）与的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．与值有关
【答案】因为直线与y轴的交点是，所以．
则圆心到直线的距离一定小于1，所以直线和一定相交．故选．
如图，在中，，，，经过点且与边相切的动圆与、分别相交于点、，则线段长度的最小值是（ ）
A． B． C． D．8
【答案】B
【解析】取中点，作于点点，连接，当连接，根据三边关系∵，当三点共线时，直径取得最小值，∴
如图，已知A、B两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C的圆心坐标为(－1，0)，半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则ABE面积的最小值是（ ）
A．2 B．1 C． D．
【解析】过点作，ABE面积的最小值，即最小，故最小，最大，即为的切线，∵，故
【答案】C
模版二 切线的性质及判定
?切线的性质
如图，与相切于点，线段与弦垂直于点，，，则切线________．
【答案】4
如图，若的直径与弦的夹角为，切线与的延长线交于点，且的半径为2，则的长为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
如图，是半圆的直径延长线上一点，切半圆于点，于，若，，则___________．
【解析】连结，
，
∴，
∵是半圆的切线，∴，
又，∴，
∴．
【答案】
?切线的判定
如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC、AC分别交于D、E两点， DFAC于F．求证：DF为⊙O的切线；
【答案】连接．
∵是⊙的直径，
∴．
又∵，
∴为的中点．
又∵为的中点，
∴//．
∵，
∴．
又∵为⊙的半径，
∴为⊙O的切线．
如图，是⊙的直径，点是弧上一点，．
求证：是⊙的切线；
【答案】∵是⊙的直径，
∴．
∵，，
∴，
∴．
∴是⊙的切线．
已知：如图，在△中，．以为直径的⊙交于点，过点作⊥于点.
求证：与⊙相切；
【答案】证明：连接.
∵=,
∴.
又∵,
∴.
∴.
∴∥.
∵⊥于,
∴⊥.
∵点在⊙上，
∴与⊙相切.
如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作FE⊥AB于点E，交AC的延长线于点F．
求证：EF与⊙O相切
【答案】连接OD .
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC.
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B.
∴∠ODC=∠B.
∴OD∥AB.
∴∠ODF=∠AEF.
∵EF⊥AB，
∴∠ODF =∠AEF =90°.
∴OD⊥EF .
∵OD为⊙O的半径，
∴EF与⊙O相切.
如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，过O作OE⊥AC于点E，过点A作⊙O的切线 交OE的延长线于点F，连结CF并延长交BA的延长线于点P.
求证：PC是⊙O的切线.
【答案】证明：连结OC ．
?∵ OE⊥AC，
? ∴ AE=CE ．
? ∴ FA=FC．
? ∴ ∠FAC=∠FCA．
∵ OA=OC，
?∴ ∠OAC=∠OCA．
? ∴ ∠OAC+∠FAC=∠OCA+∠FCA．
? 即∠FAO=∠FCO ．
? ∵ FA与⊙O相切，且AB是⊙O的直径，
? ∴ FA⊥AB．
? ∴ ∠FCO=∠FAO=90°．
? ∴ PC是⊙O的切线．
?求线段长
已知：如图，中，，是的切线，以为直径的交于点，于点．若，，求的值．
【答案】连接，
∵是直径，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴．
如图，在中，直径垂直于弦，垂足为，连接，将沿翻折得到，直线与直线相交于点．若，求的长．
【答案】连接
∵，∴．
由翻折得，，．
∴，∴．
∴．
∴直线与相切．
在中，，
∴．
在中，．
∵直径垂直于弦，
∴．
如图，的直径，弦．过点作直线，使．延长交于点，求的长．
【答案】∵=
∵
∴
∴，
已知，点在的平分线上，，以为圆心3cm为半径作圆，则与的位置关系是________．
【答案】相交
如图所示在中，，的平分线交于，为上一点，，以为圆心，以的长为半径画圆．求证：（1）是的切线；（2）．
【答案】（1）如图所示，过点作于．
∵为的切线，平分，
∴
∴是的切线；
（2）在和中，
∵，，
∴
∴
又
∴．
如图，四边形内接于，是的直径，，垂足为，平分．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：连接，∵平分，∴．
∵，∴．∴．
∴．∵，∴，
∴．
∴是的切线．
（2）∵是直径，∴．
∵，
∴．
∵平分，∴
∴．在中，，，∴．在中，，，∴．
∵的长时，∴的长是．
∴
如图，以等腰中的腰为直径作，交于点．过点作，垂足为．
（1）求证：为的切线；
（2）若的半径为5，，求的长．
【答案】（1）证明：连接，．
∵是直径，∴，即
又∵，∴，∴
又∵，∴
∴是的切线
（2）易知
∴．
如图，已知、、分别是⊙上的点，，是直径的延长线上的一点，且．
（1）求证：与⊙相切；
（2）如果，求的长．
【答案】（1）证明：连接．
∵．
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
又∵点在⊙上，
∴是⊙的切线．
（2）在中，
∴．
又∵，
∴．
根据勾股定理得：．
∴，．
∴．
如图，中，，以为直径的⊙交于点，为边的中点，连接．
（1）求证：与⊙相切．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：连接、，
∵为⊙的直径，
∴，
∵为边的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴于点，
∵以为直径的⊙交于点，
∴是半径的外端，
∴与⊙相切．
（2）∵，为边的中点，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
在中，
，
又∵，
∴，
即，
∴．
中考说明
自检自查必考点
中考必做题
课后作业
与圆有关的计算
内容 基本要求 略高要求 较高要求
弧长 了解圆与圆的位置关系 会计算弧长
圆锥 会求圆锥的侧面积和全面积
一、弧长公式
由于圆周角课看做的圆弧，而的圆心角所对的弧长就是圆周长 ，所以在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长的计算公式：
【注意】
圆心角的单位若不全是“度”，一定要化为“度”再代入公式；
公式中的三个未知量只要知道两个就可以求出第三个，从而可以推得圆心角的计算公式为：
二、多边形滚动问题
解决多边形滚动问题，要明确旋转中心，旋转半径、旋转方向以及旋转角度．
常见的多边形滚动问题有：
正三角形沿水平线翻滚；
正方形沿水平线翻滚；
各内角相等的非正多边形沿水平线翻滚；
各内角不相等的多边形沿水平线翻滚．
三、扇形
扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
扇形的周长：在半径为，圆心角的度数为的扇形中，周长的公式为：
扇形面积的计算公式：
（为扇形的弧长）
【注意】扇形的面积有两个计算公式，根据题目的不同可以选择不同的公式进行计算．
四、弓形面积的计算方法
弓形的定义：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．
弓形的面积计算：弓形的面积问题可以转化成扇形面积和三角形面积来计算．根据弧的情况不同，有以下三种情况：
当弓形所含的弧是劣弧时，
当弓形所含的弧是优弧时，
当弓形所含的弧是半圆时，
五、圆锥
圆锥的概念：圆锥可以看做是由一个直角三角形绕一条直角边所在的直线旋转而成的图形．
这条直线叫做圆锥的轴．
垂直于轴的边旋转而成的面叫做圆锥的底面，底面是一个圆面．
斜边旋转而成的面叫做圆锥的侧面．
从圆锥的顶点到底面的距离叫做圆锥的高．
连接圆锥的顶点和底面周长的任意一点的线段叫做圆锥的母线．
圆锥的侧面积：圆锥的侧面展开图是一个扇形，设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，那么这个扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥的底面周长，因此圆锥的侧面积公式为：
圆锥的全面积：圆锥的测面积与底面积之和称为圆锥的全面积．公式为：
【注意】圆锥面积计算公式中的与扇形面积计算公式中的表示的含义是不一样的，应用时不要用混淆．
推论：已知扇形的半径为，圆心角为， 扇形围成的圆锥的底面半径为，则可以三者之间的关系为：
模块一 求弧长
圆心角为60°，且半径为3的扇形的弧长为（ ）
A． B．π C． D．3π
【答案】B
【解析】本题考查了弧长公式：=，其中为弧所对的圆心角的度数，为圆的半径．
在半径为3的圆中，150°的圆心角所对的弧长为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
如图，．是的切线，切点是，已知，，那么所对弧的长度为（ ）
A．6π B．5π C．3π D．2π
【答案】D
如图，六边形是正六边形，曲线……叫做“正六边形的渐开线”，其中，，，，，，……的圆心依次按点循环，其弧长分别记为，…．当时，等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】
按照这种规律可以得到：
∴．故选．
如图，是正三角形，曲线叫做正三角形的渐开线，其中弧、弧、弧的圆心依次是，如果，那么曲线的长是____________．
【答案】
【解析】弧的长是，
弧的长是：，
弧的长是：，
则曲线的长是： ++2π=4π．
75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，则此弧所在圆的半径是__________cm．
【答案】由题意得：圆的半径cm．
如图，已知中，，cm，将绕顶点顺时针旋转至的位置，且三点在同一条直线上，则点过的最短路线的长度是（ ）cm．
A．8 B． C． D．
【答案】弧长=．
故选．
如图，一枚直径为4cm的圆形古钱币沿着直线滚动一周，圆心移动的距离是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】圆心移动的距离等于圆的周长．
在中，，，．把绕点顺时针旋转后，得到，如图所示，则点所走过的路径长为（ ）
A． B．cm C．cm D．cm
【答案】在中，，
cm
故点B所经过的路程为．故选．
如图，把的斜边放在定直线上，按顺时针方向在上转动两次，使它转到的位置．若，则顶点运动到点的位置时，点两次运动所经过的路程．（计算结果不取近似值）
【答案】在中，
∵，
∴，
∴，
∴点A经过的路线的长是．
矩形ABCD的边，现将矩形放在直线上且沿着向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始的位置时(如图所示)，则顶点A所经过的路线长是_________．
【答案】
已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50米，半圆的直径为4米，则圆心O所经过的路线长是_____________米．
【答案】
【解析】解：由图可知，圆心先向前走的长度即圆的周长，然后沿着弧旋转圆的周长，
最后向右平移50米，
所以圆心总共走过的路程为圆周长的一半即半圆的弧长加上50，
由已知得圆的半径为2，
设半圆形的弧长为 ，
则半圆形的弧长，
故圆心所经过的路线长米．
如图，正六边形硬纸片在桌面上由图1的起始位置沿直线l不滑行地翻滚一周后到图2位置，若正六边形的边长为2cm，则正六边形的中心运动的路程为_______cm．
【答案】
【解析】解：根据题意得：每次滚动正六边形的中心就以正六边形的半径为半径旋转60°，
正六边形的中心O运动的路程∵正六边形的边长为2cm，
∴运动的路径为：；
∵从图1运动到图2共重复进行了六次上述的移动，
∴正六边形的中心运动的路程
模块二：求面积
如图，点在直径为的上，，则图中阴影部分的面积等于_________．（结果中保留π）．
【答案】连接，
∵，
∴，
∵的直径为，
∴，
∴∴
钟面上的分针的长为1，从9点到9点30分，分针在钟面上扫过的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
如图，在等腰直角三角形中，，点为的中点，已知扇形和扇形的圆心分别为点、点，且，则图中阴影部分的面积为___________（结果不取近似值）．
【答案】∵，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴
故答案为：．
如图，等腰的直角边长为4，以为圆心，直角边为半径作弧1，交斜边于点，于点，设弧，，围成的阴影部分的面积为，然后以为圆心，为半径作弧，交斜边于点，于点，设弧围成的阴影部分的面积为，按此规律继续作下去，得到的阴影部分的面积=__________．
【答案】根据题意，得．
∴．
∴．
∴．
∴阴影部分的面积．
如图，在半径为，圆心角等于的扇形内部作一个正方形，使点在上，点在上，点在上，则阴影部分的面积为____________．
【答案】
【解析】连结，由勾股定理可计算得正方形的边长为，
则正方形的面积为，等腰直角三角形的面积为，
扇形的面积为，
所以阴影部分的面积为．
将绕点逆时针旋转到使在同一直线上，若，，则图中阴影部分面积为___________cm2．
【答案】
【解析】此题需要把所在的圆补充完整，设它与线段的交点为，与的交点为．从而看出整个阴影部分可以割补成扇形的面积-扇形的面积．即．
如图，正方形中，分别以为圆心，以正方形的边长为半径画弧，形成树叶形（阴影部分）图案，则树叶形图案的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
如图，一根5m长的绳子，一端拴在互相垂直的围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊（羊只能在草地上活动），那么小羊在草地上的最大活动区域面积是？
【答案】
【解析】解：大扇形的圆心角是90度，半径是5，
所以面积；
小扇形的圆心角是，半径是1m，
则面积，
∴小羊在草地上的最大活动区域面积
模块三：与圆锥有关的计算
如图是一个圆锥形型的纸杯的侧面展开图，已知圆锥底面半径为5cm，母线长为15cm，那么纸杯的侧面积为__________cm2．（结果保留π）
【答案】纸杯的侧面积为π×5×15=75πcm2．
故答案为75π．
一个圆锥的底面半径为4cm，将侧面展开后所得扇形的半径为5cm，那么这个圆锥的侧面积等于_______cm2（结果保留π）．
【答案】圆锥的侧面积=π×4×5=20πcm2．
【解析】侧面展开后所得扇形的半径即为圆锥的母线长，那么圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．
某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高=8米，底面半径=6米，则圆锥的侧面积是__________平方米（结果保留π）．
【解析】根据勾股定理求得，再求得圆锥的底面周长即圆锥的侧面弧长，根据扇形面积的计算方法，求得答案即可．
【答案】∵米，米，∴米，
∴圆锥的底面周长=米，
∴（平方米）
故答案为：．
一个圆锥形零件的母线长为4，底面半径为1．则这个圆锥形零件的全面积是_______
【答案】∵底面半径为1．
∴圆锥的底面面积为π，
侧面积为πrl=π×1×4=4π，
∴全面积为π+4π=5π，
∴全面积为5π．
故答案为：5π．
将一块含30°角的三角尺绕较长直角边旋转一周得一圆锥，这个圆锥的高是，则圆锥的侧面积是________．
【答案】∵圆锥的高，底面半径，圆锥的母线三者在一个角是30°的直角三角形中，
∴底面半径是3，母线长是6，
∴底面圆周长是6π，
∴圆锥的侧面积是．
故本题答案为：18π．
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，将△ABC绕边AC所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是________．
【答案】由已知得，母线长l=5，半径r为4，
∴圆锥的侧面积是．
故答案为20π．
如图，把一个半径为12cm的圆形硬纸片等分成三个扇形，用其中一个扇形制作成一个圆锥形纸筒的侧面（衔接处无缝隙且不重叠），则圆锥底面半径是_________cm．
【答案】∵把一个半径为12cm的圆形硬纸片等分成三个扇形，
∴扇形的弧长为：
∵扇形的弧长等于圆锥的底面周长，
∴2πr=8π，
解得：r=4cm，
故答案为：4
若圆锥的侧面展开时一个弧长为l6π的扇形，则这个圆锥的底面半经是_______．
【答案】16π=2πr
解得r=8．
故答案为：8．
若用半径为12，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥底面圆的半径的长_______．
【解析】本题考查圆锥的的侧面展开图．根据图形可知，圆锥的侧面展开图为扇形，且其弧长等于圆锥底面圆的周长．
【答案】设这个圆锥的底面半径是R，则有
解得：R=4．
故答案为：4．
将一个半径为6cm，母线长为15cm的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，所得的侧面展开图的圆心角是________度．
【答案】∵将一个半径为6cm，母线长为15cm的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，
∴圆锥侧面积公式为：S=πrl=π×6×15=90πcm2，
∴扇形面积为，
解得：，
∴侧面展开图的圆心角是．
故答案为：144．
一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数是_________度．
【答案】设母线长为R，底面半径为r，
∴底面周长=2πr，底面面积=πr2，侧面面积=πrR，
∵侧面积是底面积的2倍，
∴R=2r，
设圆心角为n，有，
∴n=180°．
已知圆锥的底面直径为4，母线长为6，则它的侧面展开图的圆心角为_______度．
【答案】圆锥的底面周长=4π，
∴=4π，
解得n=120°．
将一个底面半径为5cm，母线长为12cm的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，所得的侧面展开图的圆心角是______度．
【答案】圆锥的底面周长=2π×5=10π，
∴=10π，
∴n=150°．
用半径为9cm，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥，则该圆锥的高为____cm．
【答案】扇形弧长为：L==6πcm，
设圆锥底面半径为r，
则：2πr=6π，所以，r=3cm，
因为圆锥的高与底面半径、圆锥母线构成直角三角形的三边，
设圆锥高为h，所以，
即：=72，h=cm，
所以圆锥的高为 cm．
故答案为：cm．
问题探究：
（1）如图①所示是一个半径为，高为4的圆柱体和它的侧面展开图，是圆柱的一条母线，一只蚂蚁从点出发沿圆柱的侧面爬行一周到达点，求蚂蚁爬行的最短路程．（探究思路：将圆柱的侧面沿母线剪开，它的侧面展开图如图①中的矩形，则蚂蚁爬行的最短路程即为线段的长）；
（2）如图②所示是一个底面半径为，母线长为4的圆锥和它的侧面展开图，是它的一条母线，一只蚂蚁从点出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点，求蚂蚁爬行的最短路程；
（3）如图③所示，在②的条件下，一只蚂蚁从点出发沿圆锥的侧面爬行一周到达母线上的一点，求蚂蚁爬行的最短路程．
【答案】解：（1）∵，
．
即蚂蚁爬行的最短路程为5．
（2）连接，则的长为蚂蚁爬行的最短路程，
设为圆锥底面半径，为侧面展开图（扇形）的半径，
则，
由题意得：
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴最短路程为．
（3）如图③所示是圆锥的侧面展开图，
过作于点 ，
则线段AC的长就是蚂蚁爬行的最短路程．
∴，
∴蚂蚁爬行的最短距离为 ．
铁匠王老五要制作一个圆锥体模型，操作规则是：在一块边长为16cm的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面．他们首先设计了如图所示的方案一，发现这种方案不可行，于是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图所示的方案二．（两个方案的图中，圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切．方案一中扇形的弧与正方形的两边相切）请你帮助他算一算可以吗？
请说明方案一不可行的理由；
判断方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长及其底面圆半径；若不可行，请说明理由．
【答案】解：连接为两圆的切点，
（1）理由如下：
∵扇形的弧长，圆锥底面周长 ，
∴圆的半径 ．
过作 ，
∴为等腰直角三角形，
∴，
又∵，
而制作这样的圆锥实际需要正方形纸片的对角线长为
∵，
∴方案一不可行；
（2）方案二可行．求解过程如下：
设圆锥底面圆的半径为cm，圆锥的母线长为cm，
∵在一块边长为16cm的正方形纸片上，
∴正方形对角线长为cm，
故所求圆锥的母线长为 cm，底面圆的半径为cm．
如图，有一长为4cm，宽为3cm的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚(顺时针方向)，木板上的顶点A的位置变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板边沿A2C与桌面成30°角，则点A翻滚到A2位置时，共走过的路径长为( )
A．10cm B．35cm
C．45cm D．25cm
【答案】B
【解析】点走过的路径长 要归结到点在两次旋转过程中所走过的路线．A→A1可看做是点绕着点 顺时针旋转得到，此段弧长即为半径为5cm的圆周长的，而A1→A2的路线可看做是A1点绕着点C顺时针旋转得到，此时弧长即为半径为3cm的圆周长的．两段弧长加在一起即为本题最终答案．
如图，在中，，，点为中点，将绕点按逆时针方向旋转得到，则点在旋转过程中所经过的路程为__________．(结果保留)
【答案】
【解析】根据题意在图中标注已知条件，点在旋转过程中所经过的路程可以看做是一条弧．这条弧所在的圆的半径为=3，圆心角=旋转度数=，带入公式，即可得出结果．
一个扇形所在圆的半径为3cm，扇形的圆心角为120°，则扇形的面积是_____cm2．
【答案】
如图7，在中，分别以为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为________．(结果保留)
【答案】
如图，⊙A和⊙B都与x轴和y轴相切，圆心A和圆心B都在反比例函数的图象上，则图中阴影部分的面积于 __________。
【答案】
正边形内接于半径为的圆，这个边形的面积为，则等于____________．
【答案】
的内接多边形周长为，的外切多边形周长为，则下列各数中与此圆的周长最接近的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
如图，已知：边长为1的圆内接正方形中，为边的中点，直线交圆于点．
⑴求弦的长．
⑵若是线段上一动点，当长为何值时，三角形与以为顶点的三角形相似．
SHAPE \* MERGEFORMAT
SHAPE \* MERGEFORMAT
【答案】⑴如图1．过点作于点．
在中，
又
的度数为
⑵如图2．当时有得：．
即点与点重合，
如图3，当时，有
得，即
当或时，三角形与以点为顶点的三角形相似．
（1）在半径为10的圆的铁片中，要裁剪出一个直角扇形，求能裁剪出的最大的直角扇形的面积？
（2）若用这个最大的直角扇形恰好围成一个圆锥，求这个圆锥的底面圆的半径？
（3）能否从最大的余料③中剪出一个圆做该圆锥的底面？请说明理由．
【答案】解：（1）连接，则 ，
∵ ，∴，
∴
（2）圆锥侧面展开图的弧长为： ∴
（3）延长交于点，交扇形于点，，最大半径为 ，
∴不能
中考说明
自检自查必考点
中考必做题
课后作业
B
A
C
D
B
A
D
E
P
C
B
A
D
E
P
C
图1
F
B
A
D
E
P
C
图2
Q
B
A
D
E
P
C
图3
（Q）
