2020中考复习讲义——相似三角形综合应用(含答案)

相似三角形综合应用

内容 基本要求 略高要求
相似三角形 了解两个三角形相似的概念 会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决一些实际问题



模型一 角分线模型
1、内角平分线
是的角平分线，则
【证明】过作交直线于.
∵，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴，
由可得：，
∴
2、外角平分线
的外角平分线交对边的延长线于，则
【证明】过作交直线于.
∵，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴，
由可得：，
∴
模型二 梯形模型
若，则


考点一 与公共边有关的相似问题
如图，在矩形中，对角线、相交于点，为的中点，连接交于，连接，若，则下列四对三角形：①与；②与；③与；④与，其中相似的为（ ）

A．①④ B．①② C．②③④ D．①②③
【答案】D
【解析】②，∴，故

如图，矩形中，于，恰是的中点，下列式子成立的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A










如图，中，于，于，于，交于，、的延长线交于点，求证：.

【解析】可通过射影定理转化成证明，证明∽即可.
如图，中，，于为的中点，的延长线交于．
求证：．

【答案】∵，为中点，∴，∴，又∵，∴，又∵，，∴，又∵，∴，∴，∴．

【巩固】在中，过直角顶点作斜边的垂线，取的中点，连接并延长交的延长于点，求证：

【解析】，

如图，在中，平分，的垂直平分线交于，交的延长线于，
求证：．

【答案】连接∵垂直平分，∴，∴，即，又∵，∴，∵平分，∴，∴，又∵，∴，∴．又∵，∴

【巩固】如上图，在中，，的垂直平分线交于，交的延长线于，
求证：平分．

【答案】连接，∵垂直平分，∴，∵，∴∴，又∵∴，∴，∵，，∴，∴，即平分．

已知，如图，为等边三角形，且的两边交直线于两点，求证：．


【解析】∵，∴．又∵，∴，∴，
∵，∴∴，∴，即，∵，∴．


考点二 与旋转有关的相似问题
如图，直角梯形中，，，，为梯形内一点，且，将绕点旋转使与重合，得到，连交于．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．

【答案】C．

如图，四边形和均为正方形，求_________.

【答案】连接。∵，∴
∴∵∴∵
∴∴∴
∴∴

（1）如图1，等边中，为边上的动点，以为一边，向上作等边，连接，求证：．
（2）如图2，将（1）中的等边改为以为底边的等腰三角形，所作的改成相似于，请问：是否有？证明你的结论．


【答案】（1）由，得，故．
（2）由，得，故．

考点三 与三角形有关的相似综合题
如图，内有一点，过作各边的平行线，把分成三个三角形和三个平行四边形．若三个三角形的面积分别为，则的面积是________．

【解析】设的面积为，则，故．
【答案】

如图所示，是一个凸六边形，、、分别是直线与、与、 与的交点，、、分别是与、与、与的交点，如果，求证：．

【答案】本题的条件和结论都是三个线段之比的连等式，且、、构成一个与相似的三角形的三边，因而可以考虑通过平移变换将、、集中到一起构成一个与相似的三角形．
如图所示，将平移至位置，则，且，

所以，且，
因此，从而，且．
这说明，且，进而，且．
又因为，于是，所以，
注意到，，故．


已知：的高所在直线与高所在直线相交于点．
（1）如图l，若为锐角三角形，且，过点作，交直线于点，求证：；
（2）如图 2，若，过点作，交直线于点，则之间满足的数量关系是_________；
（3）在（2）的条件下，若，，将一个角的顶点与点重合并绕点旋转，这个角的两边分别交线段于两点（如图3），连接，线段分别与线段、线段相交于两点，若，求线段的长．

【答案】（1）证明：∵∴，∴
∵，∴∵，∴
∵，∴∴∵
∴，∴∴，∴
（2）
（3）如图，
∵，∴∵，∴，∴
∵，∴，∴∵∴
∵，由（2）知，∴∴，
∴为等腰直角三角形∴
分别过，作于点 于点∴四边形为矩形
∴∴，∴
∵ ∴ ∴
∵∴∵
∴∴∴∴
∵∴∵
∴∴







∵∴∴，∴
∴∴

考点四 与相似有关的动点问题
如图，中，，点从出发，沿方向以的速度移动，点从出发，沿方向也以的速度移动，若分别从出发，经过多少时间与相似？

【答案】∵，设，
∴，
即，解得（负值已舍去）
∴
设经过后与相似．此时
本题需分两种情况：
（1）当时，
，即，解得
（2）当时，
，即，解得．
综上，当秒或秒时，与相似

如图，在矩形中，，点沿边从点开始向点以秒的速度移动，点沿边以秒的速度从点开始移动，如果同时出发，用（秒）表示移动的时间．
（1）当为何值时，为等腰直角三角形？
（2）求四边形面积，提出一个与计算结果相关的正确结论．
（3）当为何值时，以点为顶点的三角形与相似．

【答案】（1）当为等腰直角三角形时，，
∴，
（2），即四边形的面积为定值．
（3）分2种情况
①当时，，即，解得．
② 当时，，即，解得．
综上当或时，以点为顶点的三角形与相似．

如图，已知在等腰△ABC中，∠A＝∠B＝30°，过点C作CD⊥AC交AB于点D．若过A，D，C三点的圆的半径为，则线段BC上是否存在一点P，使得以P，D，B为顶点的三角形与△BCO相似，若存在，则DP的长为_________．

【解析】∵∠BCD＝∠ACB－∠ACD＝120°－90°＝30°∴∠BCD＝∠B，∴DB＝DC．又∵在Rt△ACD中，DC＝AD·sin30°＝，∴DB＝．①过点D作DP1∥OC，交BC于点P1，则△P1DB∽△COB，∴＝．∵OB＝OD＋DB＝∴DP1＝·OC＝×＝②过点D作DP2⊥AB，交BC于点P2，则△BDP2∽△BCO，∴＝．∵BC＝＝＝3
∴DP2＝·OC＝×＝1



如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，2），点P是线段OA上的一个动点（不与O，A重合），过点P作PQ⊥x轴于Q，以PQ为边向右作正方形PQMN．连接AN并延长交x轴于点B，连接ON．设OQ＝t，△BMN与△MON相似时，则△BMN的面积为_____________．

【答案】或
【解析】当0＜ t ≤1时，如图1．若△BMN∽△MON，则＝．即＝，∴t＝．
∴NM＝，BM＝＝．∴S△BMN ＝BM·NM＝××＝．当1＜ t ＜2时，如图2．
若△BMN∽△MON，则＝．即＝，∴t＝．∴NM＝，BM＝＝．
∴S△BMN ＝BM·NM＝××＝．
如图，∠ACB＝90°，CD是∠ACB的平分线，点P在CD上，CP＝．将三角板的直角顶点放置在点P处，绕着点P旋转，三角板的一条直角边与射线CB交于点E，另一条直角边与直线CA、直线CB分别交于点F、点G．
（1）当点F在射线CA上时
①求证：PF＝PE．
②设CF＝x，EG＝y，求y与x的函数解析式并写出函数的定义域．
（2）连接EF，当△CEF与△EGP相似时，求EG的长．










【解析】（1）①证明：过点P作PM⊥AC，PN⊥BC，垂足分别为M、N
∵CD是∠ACB的平分线，∴PM＝PN
(
A
C
B
F
P
D
E
M
N
2
1
G
)由∠PMC＝∠MCN＝∠CNP＝90°，得∠MPN＝90°
∴∠1＋∠FPN＝90°
∵∠2＋∠FPN＝90°，∴∠1＝∠2
∴△PMF≌△PNE，∴PF＝PE
②解：∵CP＝，∴CN＝CM＝1
∵CF＝x，△PMF≌△PNE，∴NE＝MF＝1－x
∴CE＝2－x
∵CF∥PN，∴ ＝ ，即 ＝
(
A
C
B
F
P
G
E
1
D
)∴CG＝
∴y＝ ＋2－x（0≤ x＜1）
（2）当△CEF与△EGP相似时，点F的位置有两种情况：
①当点F在射线CA上时
∵∠GPE＝∠FCE＝90°，∠1≠∠PEG
∴∠G＝∠1，∴FG＝FE，∴CG＝CE＝CP
在Rt△EGP中，EG＝2CP＝2
(
A
C
B
M
P
F
G
N
E
1
5
2
3
4
D
)②当点F在AC延长线上时
∵∠GPE＝∠FCE＝90°，∠1≠∠2，∴∠3＝∠2
∵∠1＝45°+∠5，∠1＝45°+∠2，∴∠5＝∠2
易证∠3＝∠4，可得∠5＝∠4
∴CF＝CP＝，∴FM＝＋1
易证△PMF≌△PNE，∴EN＝FM＝＋1
∵CF∥PN，∴ ＝ ，即 ＝
∴GN＝－1
∴EG＝－1＋ ＋1＝2












如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，AB＝10，tanA＝ ．点P是CE延长线上的一动点，过点P作PQ⊥CB，交CB延长线于点Q．设EP＝x，BQ＝y．
（1）求y关于x的函数关系式及定义域；
（2）连接PB，当PB平分∠CPQ时，求PE的长；
（3）过点B作BF⊥AB交PQ于F，当△BEF和△QBF相似时，求x的值．









【解析】（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，tanA＝ ＝
∴AC＝6，BC＝8
∵CE是斜边AB上的中线，∴CE＝BE＝ AB＝5
∴∠PCQ＝∠ABC
又∠PQC＝∠ACB＝90°，∴△PCQ∽△ABC
∴ ＝ ＝ ，即 ＝
∴y＝ x－4（x ＞5）
（2）过点B作BH⊥PC于H
∵PB平分∠CPQ，BQ⊥PQ，∴BH＝BQ＝y
∵BH＝ BC＝ ，∴ x－4＝
∴x＝11
（3）∵∠BQF＝∠ACB＝90°，∠QBF＝∠A
∴△BFQ∽△ABC
当△BEF和△QBF相似时，则△BEF和△ABC也相似
有两种情况：
①当∠BEF＝∠A时
在Rt△EBF中，∠EBF＝90°，BE＝5，BF＝ y
∴（ x－4）＝ ×5，解得x＝10
②当∠BEF＝∠ABC时
在Rt△EBF中，∠EBF＝90°，BE＝5，BF＝ y
∴（ x－4）＝ ×5，解得x＝
∴当△BEF和△QBF相似时，求x的值为10或
如图1，在Rt△AOC中，AO⊥OC，点B在OC边上，OB＝6，BC＝12，∠ABO＋∠C＝90°，动点M和N分别在线段AB和AC边上．
（1）求证：△AOB∽△COA，并求cosC的值；
（2）当AM＝4时，△AMN与△ABC相似，求△AMN与△ABC的面积之比；
（3）如图2，当MN∥BC时，以MN所在直线为对称轴将△AMN作轴对称变换得△EMN．设MN＝x，△EMN与四边形BCNM重叠部分的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．








【解析】（1）∵AO⊥OC，∴∠ABO＋∠BAO＝90°
∵∠ABO＋∠C＝90°，∴∠BAO＝∠C
∵∠AOB＝∠COA，∴△AOB∽△COA
∴OB : OA＝OA : OC
∵OB＝6，BC＝12，∴6 : OA＝OA : 18
∴OA＝6
∴AC＝＝＝12
∴cosC＝ ＝ ＝
（2）∵cosC＝ ，∴∠C＝30°
∵tan∠ABO＝ ＝ ＝，∴∠ABO＝60°
∴∠BAC＝30°，∴AB＝BC＝12
①当∠AMN＝∠ABC时（如图1），△AMN∽△ABC
∵AM＝4，∴S△AMN : S△ABC ＝AM 2 : AB 2＝4 2 : 12 2＝1 : 9
②当∠AMN＝∠C时（如图2），△AMN∽△ACB
∵AM＝4，∴S△AMN : S△ABC ＝AM 2 : AC 2＝4 2 :（12）2＝1 : 27
（3）易得S△ABC ＝ BC·OA＝ ×12×6＝36
∵MN/∥BC，∴△AMN∽△ABC
∴S△AMN : S△ABC ＝MN 2 : BC 2，∴S△AMN : 36＝x 2 : 12 2
∴S△AMN ＝ x 2
①当EN与线段AB相交时，设EN与AB交于点F（如图3）
∵MN/∥BC，∴∠ANM＝∠C＝30°
∴∠ANM＝∠BAC，∴AM＝MN＝x
∵以MN所在直线为对称轴将△AMN作轴对称变换得△EMN
∴∠ENM＝∠ANM＝30°，∴∠AFN＝90°
∴MF＝ MN＝ AM＝ x
∴S△FMN : S△AMN ＝MF : AM
∴y : x 2＝ x : x＝1 : 2
∴y＝ x 2（0＜x ≤8）
②当EN与线段AB不相交时，设EN与BC交于点G（如图4）
∵MN/∥BC，∴CN : AC＝BM : AB
∴CN : 12＝（12－x ）: 12，∴CN＝12－ x
∵△CNG∽△CBA，∴S△CNG : S△ABC ＝CN 2 : BC 2
∴S△CNG : 36＝（12－ x ）2 : 12 2
∴S△CNG ＝ （12－ x ）2
∴S阴影＝S△ABC － S△AMN － S△CNG ＝36－ x 2－ （12－ x ）2
即y＝－ x 2＋18x－72（8＜x ＜12）
如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，点O为AB边的中点，点M是BC边上一动点（不与点B、C重合），AD⊥AB，垂足为点A．连接MO，将△BOM沿直线MO翻折，点B落在点B1处，直线MB1与AC、AD分别交于点F、N．
（1）当∠CMF＝120° 时，求BM的长；
（2）设BM＝x，y＝ ，求y关于x的函数关系式。并写出自变量x的取值范围；
（3）连接NO，与AC边交于点E，当△FMC∽△AEO时，求BM的长．



【解析】（1）∵∠CMF＝120° ，∴∠BMN＝60°
∴∠BMO＝30°
∴Rt△MOB中，BM＝OB·cot30°＝2
（2）连接ON，∵OA＝OB＝OB1，ON＝ON
∴Rt△ANO≌Rt△B1NO，∴∠AON＝∠B1ON，AN＝B1N
又∵∠MOB1＝∠MOB，∴∠MON＝90°
∵∠OB1M＝∠B＝90°，∴△MB1O∽△OB1N，
∴OB12＝B1M·B1N
又B1M＝BM＝x，OB1＝OB＝2
∴2 2＝x·B1N，∴B1N＝ ，∴AN＝
∵AD⊥AB，∴∠DAB＝90°
又∠B＝90°，∴AD∥BC，∴△CMF∽△ANF
∴y＝ ＝ ＝ ＝－ x 2＋x
即y＝－ x 2＋x（0＜x ＜4）
（3）由题意知：∠EAO＝∠C＝45°
若△FMC∽△AEO，则有两种情况：∠FMC＝∠AEO或∠FMC＝∠AOE
①当∠FMC＝∠AEO时，有∠CFM＝∠AOE
由（2）知∠AOE＝∠B1OE＝∠OMF
∴∠CFM＝∠OMF，∴OM∥AC
∴∠OMB＝∠C＝45°
∴Rt△MOB中，BM＝OB·cot45°＝2
②当∠FMC＝∠AOE时，∵∠AOE＝∠OMF
∴∠FMC＝∠OMF＝∠OMB＝60°
∴△MOB中，BM＝OB·cot60°＝
综上所述，当△FMC∽△AEO时，求BM的长为2或
在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），A（t，0）是x轴上一动点，M是线段AC的中点．把线段AM绕点A按顺时针方向旋转90°，得到线段AB，过点B作x轴的垂线，过点C作y轴的垂线，两直线交于点D，直线DB交x轴于点E．
（1）若t＝3，则点B的坐标为____________，若t＝－3，则点B的坐标为____________；
（2）若t ＞0，当t为何值时，△BCD的面积等于6 ？
（3）是否存在t，使得以B、C、D为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求此时t的值；若不存在，请说明理由．




【解析】（1）（5，），（－1，－ ）
（2）①当0＜t ＜8时，如图1
∵∠CAB＝90°，∴∠CAO＋∠BAE＝90°
∵∠CAO＋∠ACO＝90°，∴∠BAE＝∠ACO
又∠BEA＝∠AOC＝90°，∴△BEA∽△AOC
∴ ＝ ＝ ＝ ，即 ＝ ＝
∴AE＝2，BE＝ t，∴B（t＋2， t）
∴S△BCD ＝ CD·BD＝ （ t＋2）（ 4－ t ）＝6
解得t＝2或t＝4
②当t ＞8时，如图2
S△BCD ＝ CD·BD＝ （ t＋2）（ t－4 ）＝6
解得t＝10或t＝－4（舍去）
∴当t＝2或t＝4或t＝10时，△BCD的面积等于6
（3）①当0＜t ＜8时，如图1
若△CDB∽△AOC，则 ＝
即 ＝ ，t无实数解
若△BDC∽△AOC，同理，解得t＝－2 －2（舍去）或t＝2 －2
②当t ＞8时，如图2
若△CDB∽△AOC，则 ＝
即 ＝ ，解得t＝－4 ＋8（舍去）或t＝4 ＋8
若△BDC∽△AOC，同理，t无实数解
③当－2＜t ＜0时，如图3
若△CDB∽△AOC，则 ＝
即 ＝ ，t＝－4 ＋8或t＝4 ＋8（舍去）
若△BDC∽△AOC，同理，t无实数解
④当t ＜－2时，如图4
△CDB∽△AOC，则 ＝
即 ＝ ，t无实数解
若△BDC∽△AOC，同理，解得t＝－4或t＝4（舍去）
∴存在t＝2 －2或4 ＋8或－4 ＋8或－4，使得以B、C、D为顶点的三角形与△AOC相似
如图1，在平面直角坐标系中，直线l与坐标轴相交于A（2，0），B（0，）两点，将Rt△AOB绕原点O逆时针旋转得到Rt△A′OB′．
（1）求直线l的解析式；
（2）若OA′⊥AB，垂足为D，求点D的坐标；
（3）如图2，若将Rt△AOB绕原点O逆时针旋转90°，A′B′ 与直线l相交于点F，点E为x轴上一动点．试探究：是否存在点E，使得以点A，E，F为顶点的三角形和△A′BB′ 相似．若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．










【解析】（1）设直线l的解析式为y＝kx＋b
∵点A（2，0），B（0，）在直线l上
∴ 解得：
∴直线l的解析式为y＝－ x＋
（2）∵A（2，0），B（0，），∴OA＝2，OB＝
∴AB＝ ＝5
∵OA′⊥AB即OD⊥AB，∴ OA·OB＝ AB·OD
∴×2×＝ ×5×OD，∴OD＝2
过点D作DH⊥x轴于点H（如图1）
则∠DAH＋∠ADH＝∠ODH＋∠ADH＝90°
∴∠DAH＝∠ODH
∵在Rt△AOB中，tan∠BAO＝ ＝ ＝
∴tan∠ODH＝ ＝ ，DH＝2OH
在Rt△ODH中，设OH＝a，则DH＝2a
∵OH 2＋DH 2＝OD 2，∴a 2＋4a 2＝2 2
∵a ＞0，∴a＝ ，∴OH＝ ，DH＝
∴点D的坐标为（ ，）
（3）存在点E，使得以点A，E，F为顶点的三角形和△A′BB′ 相似
理由：∵△A′OB′ 由△AOB逆时针旋转90°所得
∴△A′OB′≌△AOB，∴∠B′A′O＝∠BAO
又∵∠FBA′＝∠OBA，∴△BFA′∽△BOA
∴ ＝ ，即 ＝
∴ ＝ ，∴BF＝1，∴AF＝AB＋BF＝6
①如图2，当△AFE∽△A′BB′ 时，有 ＝
∴ ＝ ，∴AE＝6，∴OE＝AE－AO＝6－2＝4
∴E1（－4，0）
②如图3，当△AEF∽△A′BB′ 时，有 ＝
∴ ＝ ，∴AE＝ ，∴OE＝AO－AE＝2－ ＝
∴E2（，0）
综上所述，存在点E1（－4，0），E2（，0），使得以点A，E，F为顶点的三角形和△A′BB′ 相似







如图1，甲、乙两人分别从A．B两点同时出发，点O为坐标原点，点，．甲沿AO方向、乙沿BO方向均以每小时4千米的速度行走，t小时后，甲到达M点，乙到达N点．
（1）请说明甲、乙两人到达点O前，MN与AB不可能平行；
（2）当t为何值时，△OMN∽△OBA？
（3）甲、乙两人之间的距离为MN的长．设s＝MN2，求s与t之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值．

图1
【答案】（1）当M．N都在O右侧时，，，
所以．因此MN与AB不平行．
（2）①如图2，当M．N都在O右侧时，∠OMN》∠B，不可能△OMN∽△OBA．
②如图3，当M在O左侧、N在O右侧时，∠MON》∠BOA，不可能△OMN∽△OBA．
③如图4，当M．N都在O左侧时，如果△OMN∽△OBA，那么．
所以．解得t＝2．

图2 图3 图4
（3）①如图2，，，．
．
②如图3，，，．
．
③如图4，，，．
．
综合①、②、③，s
．
所以当t＝1时，甲、乙两人的最小距离为12千米．
如图，等腰中，，于，，延长交于，交于，
求证：．

【答案】连接，
由，
∴，
再证明可得
（也可以由，于是，
等量减等量便可得）
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴．
如图，在直角梯形中，，对角线，垂足为，，过 的直线交于．
（1），
（2）．

【答案】（1）∵，
∴
∴，
又∵，
∴，
（2），，
∴，
∴
∴
中，，，．长为的线段在的边上沿方向以的速度向点运动（运动前点与点重合）．过分别作的垂线交直角边于，两点，线段运动的时间为．
（1）若的面积为，写出与的函数关系式（写出自变量的取值范围）；
（2）线段运动过程中，四边形有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时的值；若不可能，说明理由；
（3）为何值时，以，，为顶点的三角形与相似？

【解析】（1）当点在上时，∵，∴．
∴．
当点在上时，．
．
（2）∵，∴．∴．
∴．
由条件知，若四边形为矩形，需，即，
∴．
∴当时，四边形为矩形．
（3）由（2）知，当时，四边形为矩形，此时，
∴．
除此之外，当时，，此时．
∵，∴．∴．
∵，∴．
又∵，∴．
∵ ．
∴当或时，以为顶点的三角形与相似．
【答案】（1）
（2）当时，四边形为矩形
（3）当或时，以为顶点的三角形与相似