苏科版八年级上册数学 几何专题解析：角平分线辅助线 讲义

八上几何专题解析：角平分线辅助线
知识点一 角平分线性质
（1）角平分线上的点到角的两边的距离相等；
（2）到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
（3）天然的轴对称模型，三线合一模型
知识点二 角平分线辅助线
秘籍一：往角两边作垂线
解读：用角平分线上的点往角两边作垂线，这是常用的辅助线，可以利用边角边构造全等

秘籍二：往角两边截取相等的线段
解读：在角两边截取相等的线段，这也是角平分线常用的辅助线，常用于解决线段和差问题

秘籍三：过角平分线上的点作垂线
解读：过角平分线上的点作垂线，常用于构造三线合一，构造等腰三角形

秘籍四：过角平分线上的点作角一边的平行线
解读：可以构造等腰三角形，可以记作口诀：“角平分线+平行线，等角三角形现。

总结：往角两边作垂线或平行线、及截取等线段，或用四点共圆
知识点三 角平分线模型
模型一 两角平分线相交模型
解读：这些是三角形角平分线的经典题型，必须让学生掌握这些证明过程
类型一：在中，如图1，为和的角平分线，与为

推理方法：如图①，可得，，化简可得
类型二：如图2，为和的角平分线，求与之间的关系为

推理方法：如图②，可得，，化简可得
类型三：如图3，为和的角平分线，则与之间的关系为

推理方法：如图③，，，化简可得
模型二 对角互补模型
条件：①，②∠AOB+∠DCE =180?
结论：①
②
③





典例精析
已知中，，、分别平分和，、交于点，试判断、、的数量关系，并加以证明．

【答案】
理由是：在上截取，连结
利用证得≌
∴，∵
∴，∴
∴
∴
∴，∵
∴，∴
利用证得≌
∴，∴

【练1】如图，在中，、分别是、的角平分线，且，则的度数为_________．

【答案】．
【练2】如图，在中，，、分别平分、，且与的交点为．求证：．

【答案】在上截取，连结，，
，，可推出，
进而证明，有,进而得．

如图，在四边形中，的平分线交于．求证：当是的平分线时，有．

【答案】在上截取，使，连接，
则可得，于是．
由，知，
而，
从而
注意到平分公用，于是，
由角边角公理的推论，知，
从而．故．

【练1】如图所示，平行于，，，，，那么______．



【解析】过做交于F，使，
易证；
则．
【答案】6

【练2】如图，，平分，平分，点在上．
①探讨线段、和之间的等量关系．
②探讨线段与之间的位置关系．

【答案】① ；②
在线段上取点，使，连结．
在和中

∴
∴，
∵
而
∴
在和中

∴
∴，
∴，

已知等腰，，的平分线交于，则．

【答案】（利用角平分作对称模型）如图，延长到，使，在上截取．
∵，为公共边，∴，，．
∵，
∴．
∴，故，．
∵，∴．∴，．
∵，
∴．
∵，∴，故．
∴，故．
∵，∴．
注：学习程度好的，另外补充两种解法
解法一（截长法）：如图，在上截取，连接，
过作，交于，于是，．
又∵，∴，故．显然是等腰梯形．
∴，．∵，
，
∴，∴，
∴，．
又∵，∴．
解法二（补短法）：如图，延长到，使．延长到，
使．连接、、．
∵，公共，∴．
∴，．
又∵，，
∴．∵，．
∴，∴．
而．
∴．又公共，∴．∴．∴

【练1】如图所示，在中，，，是的平分线，延长至，使．求证：

【答案】在上取一点，使得
易证得
∴，
又∵
∴
∵，
∴
∵平分，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴

【练2】已知等腰直角中，，是角平分线，，交延长线于点．求证：．

【答案】延长、交于点．因为，
，所以，
，所以．
因为等腰直角中，，
且，所以，
所以．因为是角平分线，
且，是公共边，
所以．所以，即．

【练3】如图，在直角中，，，，作交的延长线于，求证：平分

【答案】方法同上一题

如图，在中，，是的平分线，且，求的度数.

【答案】解法一（补短）：
如图所示，延长至使，连接、.
由知，
而，则为等边三角形.
注意到，，，
故.
从而有，，
故.
所以，.
解法二（截长）：
在上取点，使得，则由题意可知.
在和中，，，，
则，从而，
进而有，，
.
注意到，则：
，
故.

【练1】如图，在中，，的平分线交与．求证：．

【答案】方法一：在上取一点，使得
连结．
在和中
，

∴
∴，
又∵
，∴．
方法二：在的延长线上取一点
使得，连结．
在和中，
，
∴，∴
又∵
∴∴，∴．
方法三：延长到点
使得，连结
则有

又∵，∴
又∵

∴，∴
方法四：如图，作平分交、于、点
延长到，使，连结
∴
∵，∴．∴
∵，∴
∵，又
即．∴
∴．∴
∵
且
∵，∴．∴
同理
∵，，∴．∴

【练2】在中，平分，．求的值．




【答案】在上截取，连结
根据证得≌，
∴，，
结合已知可得，∴，
∴，

【练3】如图，中，，，平分交于点．求证：．

【答案】方法一：在上截取点使，连结．
∵平分，∴．
在与中
∵，，
∴，∴
∵， ∴∴．
又∵
∴
∴
∴
∵，∴
方法二：如图，延长到，使，连结．
∵，且，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．又∵
∴．
∴．∴．

【练4】如图，在中，，，点在上，平分，若，则的长为____________．

【解析】在上截取，连接．
∵，，
∴
∴，，
∵，
∴，
∴
∴
∴

如图所示，在中，是的外角平分线，是上异于点的任意一点，试比较与的大小，并说明理由．

【解析】，理由如下．
如图所示，在的延长线上截取，连接．
因为是的外角平分线，
故．
在和中，，，公用，
因此，
从而．
在中，，
而，
故．

【练1】在中，，是的平分线．是上任意一点．求证：．

【答案】在上截取，连结，
根据证得≌，
∴，
又中，，，
∴

已知点是四边形的边的中点，且,证明：.

【答案】显然，要证题设的不等式，应当把，，三条线段首尾连接成一条折线，然后再与线段比较.要实现这一构想，折线之首端应与点重合，尾端应与点重合，这可由轴对称来实现.
以为对称轴，作点关于的对称点，连接、，
则，，即≌，由此.
再以为对称轴，作点关于的对称点，连接、，
则，，即≌，由此.
而，所以.
注意到，
因此，
而，所以是等边三角形，.
由于两点之间以直线段为最短，所以，
即.

【练1】设是凸四边形的边的中点，，求证：.

【答案】作点关于的对称点，作点关于的对称点，
连接、、，
则，
且，.
而，
则，
故.

如图1，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形.
请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图2，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F.请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；
（2）如图3，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其他条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

图一 图二 图三
【解析】略
已知，点P是∠MON的平分线上的一动点，射线PA交射线OM于点A，将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B，且使∠APB+∠MON=180°.
（1）利用图1，求证：PA=PB；
（2）如图2，若是与的交点，当时，求PB与PC的比值；
（3）若∠MON=60°，OB=2，射线AP交ON于点，且满足且，
请借助图3补全图形，并求的长.
【解析】（1）在OB上截取OD=OA，连接PD，
∵OP平分∠MON，
∴∠MOP=∠NOP．
又∵OA=OD，OP=OP，
∴△AOP≌△DOP．　　　
∴PA=PD，∠1=∠2．
∵∠APB+∠MON=180°，
∴∠1+∠3=180°．
∵∠2+∠4=180°，
∴∠3=∠4．
∴PD=PB．
∴PA=PB．　　　
（2）∵PA=PB，
∴∠3=∠4．
∵∠1+∠2+∠APB=180°，且∠3+∠4+∠APB=180°，
∴∠1+∠2=∠3+∠4．
∴∠2=∠4．
∵∠5=∠5，
∴△PBC∽△POB． 　
∴．
（3）作BE⊥OP交OP于E，
∵∠AOB=600，且OP平分∠MON，
∴∠1=∠2=30°．
∵∠AOB+∠APB=180°，
∴∠APB=120°．
∵PA=PB，
∴∠5=∠6=30°．
∵∠3+∠4=∠7，
∴∠3+∠4=∠7=(180°30°)÷2=75°．
∵在Rt△OBE中，∠3=600，OB=2
∴∠4=150，OE=，BE=1
∴∠4+∠5=450，
∴在Rt△BPE中，EP=BE=1
∴OP= 　
已知：如图1，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B和∠D都是直角.
（1）求证：BC=CD.
（2）若将原题中的已知条件“∠B和∠D都是直角”放宽为“∠B和∠D互为补角”，其余条件不变，猜想：BC边和邻边CD的长度是否一定相等？证明你的结论.
（3）探究：在（2）的情况下，如果再限制∠BAD=60°，那么相邻两边AB、AD和对角线AC之间有什么确定的数量关系？需说明理由.




【答案】∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC.
又∵∠D =∠B=90°，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC.
∴ BC=CD.
⑵ 一定相等
证明：如图，不妨设∠B为锐角，作CE⊥AB于E，则点E必在线段AB上
∵∠B和∠D互为补角，
∴∠D是钝角，作CF⊥AD于F，
则点F必在线段AD的延长线上.
∴∠CDF与∠ADC互补.
∴∠B=∠CDF.
又∵AC是∠BAD的平分线， ∴ CE=CF.
∴Rt△BCE≌Rt△DCF
∴ BC=CD. ⑶ AB+AD=AC.
理由是：图2中，由已知条件，易知AE=AF，BE=DF.
∴AB+AD=（AE+BE）+（AF-DF）=AE+AF=2AE.
当∠BAD=60°时，∠CAE=30°，AE=AC.
∴AB+AD=2AE=AC.