4.1 从问题到方程
一、选择题
1．下列式子是等式的有（ ）.
①5x＋2＝3x－2，②2a＋b＝b＋2a，③x＋2y≠0，④4x＋2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列等式中是方程的有（ ）.
①5＋3＝8，②a＝0，③y2－2y，④x－3＝8．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下列是一元一次方程的是（ ）.
A．2＋3 ＝5 B．2y＋3＝7 C．x＋y＝9 D．4x2＝9
4．根据下列条件，能用方程来描述的是（ ）.
A．一个数的2倍比它小3 B．a与1的差的
C．甲数的3倍与乙数的的和 D．a与b的和的
5．小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张．设所用的1元纸币为x张，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）.
A．x＋5（12－x）＝48 B．x＋5（x－12）＝48
C．x＋12（x－5）＝48 D．5x＋（12－x）＝48
二、填空题
6．如果方程（m－1）x＋2＝0是表示关于x的一元一次方程，则m_______．
7．设某数为x，它的4倍是它的3倍与7的差，则列出的方程为______．
8．若－2x2m－3－7m＋1＝0是关于x的一元一次方程，则m＝_______．
9．一种药物涨价25%的价格是50元，那么涨价前的价格x满足的方程是_______．
10．某班学生39人到公园划船，共租用9艘船，每艘大船可坐5人．每艘小船可坐3人，每艘船都坐满．问：大船、小船各租了多少艘？如果设大船租了x艘，可列方程为_______．
三、解答题
11．若（m－2）＝5是一元一次方程，求m的值．
12．某中学长方形足球场的周长为310米，长比宽多25米，问这个足球场的长和宽分别是多少米？请你设未知数，列出方程．
13．黄豆芽是人们喜欢食用的蔬菜，已知把黄豆发成豆芽后，重量可增加7.5倍，现有300千克这样的豆芽需要黄豆多少千克？请你设未知数，列出方程．
14．有一位科学家，他年龄的为少儿时代，为青年时代；随后，用的时间做了大量的研究工作；又过了5年，他培养了一个研究生，研究生和他一起合作了他的半生，直到4年前才离开他．问这位科学家今年多大年龄？请你列出方程．
参考答案
一、1．B 2．B 3．B 4．A 5．A
二、6．≠1 7．4x＝3x－7 8．2
9．（1＋25%）x＝50 10．5x＋3（9－x）＝39
三、11．解：x＝－2.
12．解：设这个足球场的长为x米，那么宽为（x－25）米，根据题意，得2[x＋（x－25）]＝310．
13．解：设需要x千克黄豆，根据题意，得x＋7.5x＝300.
14．解：设今年为x岁，．
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4.2 解一元一次方程
一、选择题
1．方程2x+3=7的解是（ ）.
A．x=5 B．x=4 C．x=3.5 D．x=2
2．已知方程x﹣2y+3=8，则整式x﹣2y的值为（ ）.
A．5 B．10 C．12 D．15
3．若2（a+3）的值与4互为相反数，则a的值为（ ）.
A．﹣1 B．﹣ C．﹣5 D．
4．在解方程时，方程两边同时乘6，去分母后，正确的是（ ）.
A．2x﹣1+6x=3（3x+1） B．2（x﹣1）+6x=3（3x+1）
C．2（x﹣1）+x=3（3x+1） D．（x﹣1）+x=3（x+1）
5．如图，两个天平都平衡，则与2个球体相等质量的正方体的个数为（ ）.
A．2 B．3 C．4 D．5
6．适合|2a+7|+|2a﹣1|=8的整数a的值的个数有（ ）.
A．5 B．4 C．3 D．2
二、填空题
7．若代数式x﹣5与2x﹣1的值相等，则x的值是 ．
8．关于x的方程kx﹣1=2x的解为正实数，则k的取值范围是 ．
9．当x= 时，2x﹣3与的值互为倒数．
10．如果x=2是方程x+a=﹣1的根，那么a的值是 ．
11．规定一种运算“*”，a*b=a﹣b，则方程x*2=1*x的解为 ．
12．如果关于x的方程（m+2）x=8无解，那么m的取值范围是 ．
13．现规定一种新的运算，那么时，x= ．
14．在数学活动课上，老师说有人根据如下的证明过程，得到“1=2”的结论．
设a，b为正数，且a=b．
因为a=b，
所以ab=b2． ①
所以ab﹣a2=b2﹣a2． ②
所以a（b﹣a）=（b+a）（b﹣a）． ③
所以a=b+a． ④
所以a=2a． ⑤
所以1=2． ⑥
大家经过认真讨论，发现上述证明过程中从某一步开始出现错误，这一步是 （填入编号），造成错误的原因是 ．
三、解答题
15．解方程：（1）．
（2）5x+2=3（x+2）.
16．x为何值时，代数式﹣的值比代数式﹣3的值大3．
17．已知关于x的方程2（x+1）﹣m=﹣2（m﹣2）的解比方程5（x+1）﹣1=4（x﹣1）+1的解大2，求m的值．
18．若关于x的方程3x﹣（2a﹣3）=5x+（3a+6）的解是负数，求a的取值范围．
19．仔细观察下面的解法，请回答为问题．
解方程：﹣1
解：15x﹣5=8x+4﹣1，
15x﹣8x=4﹣1+5，
7x=8，
x=．
（1）上面的解法错误有 处．
（2）若关于x的方程+a，按上面的解法和正确的解法的得到的解分别为x1，x2，且x为非零整数，求|a|的最小值．
参考答案
一、1．D 2．A 3．C 4．B 5．D 6．B
二、7．﹣4 8．k＞2 9．3 10．﹣2 11． 12．m=﹣2
13．1 14. ④ 等式两边除以零 无意义
三、15．解：（1）去分母，得2x﹣3（30﹣x）=60，
去括号，得2x﹣90+3x=60，
移项、合并同类项，得5x=150，
解得x=30．
（2）去括号，得5x+2=3x+6，
移项、合并同类项，得2x=4，
解得x=2．
16．解：由题意，得
﹣9（x+1）=2（x+1）
﹣9x﹣9=2x+2
﹣11x=11
x=﹣1．
17．解：5（x+1）﹣1=4（x﹣1）+1，
解得x=﹣7.
因为方程2（x+1）﹣m=﹣2（m﹣2）的解比方程5（x+1）﹣1=4（x﹣1）+1的解大2，
所以x=﹣5，
把x=﹣5代入2（x+1）﹣m=﹣2（m﹣2）中，得m=12．
18．解：由原方程，得3x﹣2a+3=5x+3a+6．
整理，得2x=﹣（5a+3）．
所以x=﹣．
因为x＜0，
所以﹣＜0．
解得a＞﹣．
所以a的取值范围是a＞﹣．
19．解：（1）上面的解法错误有2处.
（2）=+a，
错误解法为：15x﹣5=8x+4+a，
移项合并，得7x=9+a，
解得x=，即x1=；
正确解法为：
去分母，得15x﹣5=8x+4+10a，
移项、合并同类项，得7x=9+10a，
解得x=，即x2=，
根据题意，得x2﹣=﹣=，
由为非零整数，得到|a|最小值为7．
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4.3 用一元一次方程解决问题
一、选择题
1．互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，某微信平台上一件商品标价为200元，按标价的五折销售，仍可获利20元，则这件商品的进价为（ ）.
A．120元 B．100元 C．80元 D．60元
2．某场音乐会贩卖的座位分成一楼与二楼两个区域．若一楼售出与未售出的座位数比为4：3，二楼售出与未售出的座位数比为3：2，且此场音乐会一、二楼未售出的座位数相等，则此场音乐会售出与未售出的座位数比为何？（ ）
A．2：1 B．7：5 C．17：12 D．24：17
3．商场将某种商品按原价的8折出售，仍可获利20元．已知这种商品的进价为140元，那么这种商品的原价是（ ）.
A．160元 B．180元 C．200元 D．220元
4．在如图的某年6月份的月历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的数，这三个数的和不可能是（ ）.
A．27 B．51 C．69 D．72
5．文具店的老板均以60元的价格卖了两个计算器，其中一个赚了20%，另一个亏了20%，则该老板（ ）.
A．赚了5元 B．亏了25元 C．赚了25元 D．亏了5元
6．一列“动车组”高速列车和一列普通列车的车身长分别为80米与100米，它们相向行驶在平行的轨道上，若坐在高速列车上的旅客看见普通列车驶过窗口的时间是5秒，则坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间是（ ）.
A．7.5秒 B．6秒 C．5秒 D．4秒
7．某商场将一件玩具按进价提高60%后标价，销售时按标价打折销售，结果相对于进价仍获利20%，则这件玩具销售时打的折扣是（ ）.
A．8折 B．7.5折 C．6折 D．3.3折
8．如图，将一段标有0～60均匀刻度的绳子铺平后折叠（绳子无弹性），使绳子自身的一部分重叠，然后在重叠部分沿绳子垂直方向剪断，将绳子分为A、B、C三段，若这三段的长度由短到长的比为1：2：3，则折痕对应的刻度不可能是（ ）.
A．20 B．25 C．30 D．35
二、填空题
9．一件服装的标价为300元，打八折销售后可获利60元，则该件服装的成本价是 元．
10．为了改善办学条件，学校购置了笔记本电脑和台式电脑共100台，已知笔记本电脑的台数比台式电脑的台数的还少5台，则购置的笔记本电脑有 台．
11．某商品的进价为每件100元，按标价打八折售出后每件可获利20元，则该商品的标价为每件 元．
12．书店举行购书优惠活动：
①一次性购书不超过100元，不享受打折优惠；
②一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折；
③一次性购书200元一律打七折．
小丽在这次活动中，两次购书总共付款229.4元，第二次购书原价是第一次购书原价的3倍，那么小丽这两次购书原价的总和是 元．
13．甲乙二人在环形跑道上同时同地出发，同向运动．若甲的速度是乙的速度的2倍，则甲运动2周，甲、乙第一次相遇；若甲的速度是乙的速度的3倍，则甲运动周，甲、乙第一次相遇；若甲的速度是乙的速度4倍，则甲运动周，甲、乙第一次相遇，…，以此探究正常走时的时钟，时针和分针从0点（12点）同时出发，分针旋转 周，时针和分针第一次相遇．
14．某次数学测验共有20道题，每题答对得5分，不答得0分，答错得﹣2分．若小丽这次测验得分是质数，则小丽这次最多答对 题．
15．李明同学利用暑假外出旅游一周，已知这一周各天的日期之和是126，那么李斌同学回家的日期是 号．
16．实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1，用两个相同的管子在容器的5cm高度处连通（即管子底端离容器底5cm）．现三个容器中，只有甲中有水，水位高1cm，如图所示．若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升cm，则开始注入 分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm．
三、解答题
17．在红城中学举行的“我爱祖国”征文活动中，七年级和八年级共收到征文118篇，且七年级收到的征文篇数是八年级收到的征文篇数的一半还少2篇，求七年级收到的征文有多少篇？
18．世界读书日，某书店举办“书香”图书展，已知《汉语成语大词典》和《中华上下五千年》两本书的标价总和为150元，《汉语成语大词典》按标价的50%出售，《中华上下五千年》按标价的60%出售，小明花80元买了这两本书，求这两本书的标价各多少元．
19．小陈妈妈做儿童服装生意，在“六一”这一天上午的销售中，某规格童装每件以60元的价格卖出，盈利20%，求这种规格童装每件的进价．
20．如图是一根可伸缩的鱼竿，鱼竿是用10节大小不同的空心套管连接而成．闲置时鱼竿可收缩，完全收缩后，鱼竿长度即为第1节套管的长度（如图1）：使用时，可将鱼竿的每一节套管都完全拉伸（如图2）．图3是这跟鱼竿所有套管都处于完全拉伸状态下的平面示意图．已知第1节套管长50cm，第2节套管长46cm，以此类推，每一节套管均比前一节套管少4cm．完全拉伸时，为了使相邻两节套管连接并固定，每相邻两节套管间均有相同长度的重叠，设其长度为xcm．
（1）请直接写出第5节套管的长度；
（2）当这根鱼竿完全拉伸时，其长度为311cm，求x的值．
21．由于雾霾天气频发，市场上防护口罩出现热销，某医药公司每月固定生产甲、乙两种型号的防雾霾口罩共20万只，且所有产品当月全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表：
甲 乙
原料成本 12 8
销售单价 18 12
生产提成 1 0.8
（1）若该公司五月份的销售收入为300万元，求甲、乙两种型号的产品分别是多少万只？
（2）公司实行计件工资制，即工人每生产一只口罩获得一定金额的提成，如果公司六月份投入总成本（原料总成本+生产提成总额）不超过239万元，应怎样安排甲、乙两种型号的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润（利润=销售收入﹣投入总成本）
22．根据以下对话，分别求小红所买的笔和笔记本的价格．
23．某牛奶加工厂现有鲜奶8吨，若市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润500元；制成酸奶销售，每吨可获取利润1200元；制成奶片销售，每吨可获取利润2000元．该工厂的生产能力是：如制成酸奶每天可加工3吨；制成奶片每天可加工1吨．受人员制约，两种加工方式不可同时进行；受气温制约，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕．为此，该工厂设计了两种可行方案：
方案一：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶；
方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成．
你认为选择哪种方案获利最多？为什么？
24．某大型超市的采购人员先后购进两批晋祠大米，购进第一批大米共花费5400元，进货单价为m元/千克，该超市将其中3000千克优等品以进货单价的两倍对外出售，余下的二等品则以1.5元/千克的价格出售．当第一批大米全部售出后，花费5000元购进了第二批大米，这一次的进货单价比第一批少了0.2元．其中优等品占总重量的一半，超市以2元/千克的单价出售优等品，余下的二等品在这批进货单价的基础上每千克加价0.6元后全部卖完，若不计其他成本，则售完第二批大米获得的总利润是4000元（总售价﹣总进价=总利润）
（1）用含m的代数式表示第一批大米的总利润．
（2）求第一批大米中优等品的售价．
25．某超市为了回馈广大新老客户，元旦期间决定实行优惠活动．
优惠一：非会员购物所有商品价格可获九折优惠；
优惠二：交纳200元会费成为该超市的一员，所有商品价格可优惠八折优惠．
（1）若用x（元）表示商品价格，请你用含x的式子分别表示两种购物优惠后所花的钱数；
（2）当商品价格是多少元时，两种优惠后所花钱数相同；
（3）若某人计划在该超市购买价格为2700元的一台电脑，请分析选择哪种优惠更省钱？
参考答案
一、1．C 2．C 3．C 4．D 5．D 6．D 7．B 8．C
二、9．180 10．16 11．150 12．248或296 13． 14.17 15．21
16．或或
三、17．解：设七年级收到的征文有x篇，则八年级收到的征文有（118﹣x）篇，
依题意，得（x+2）×2=118﹣x，
解得x=38．
答：七年级收到的征文有38篇．
18．解：设《汉语成语大词典》的标价为x元，则《中华上下五千年》的标价为（150﹣x）元，依题意，得50%x+60%（150﹣x）=80，
解得x=100，
150﹣100=50（元）．
答：《汉语成语大词典》的标价为100元，《中华上下五千年》的标价为50元．
19．解：设这种规格童装每件的进价为x元，
根据题意，得（1+20%）x=60，
解方程，得x=50，
答：这种规格童装每件的进价为50元．
20．解：（1）第5节套管的长度为：50﹣4×（5﹣1）=34（cm）．
（2）第10节套管的长度为：50﹣4×（10﹣1）=14（cm）.
设每相邻两节套管间重叠的长度为xcm.
根据题意，得（50+46+42+…+14）﹣9x=311，
即320﹣9x=311，
解得x=1．
答：每相邻两节套管间重叠的长度为1cm．
21．解：（1）设甲型号的产品有x万只，则乙型号的产品有（20﹣x）万只.
根据题意，得18x+12（20﹣x）=300，
解得x=10，
则20﹣x=20﹣10=10.
则甲、乙两种型号的产品分别为10万只，10万只；
（2）设安排甲型号产品生产y万只，则乙型号产品生产（20﹣y）万只，
根据题意，得13y+8.8（20﹣y）≤239，
解得y≤15.
根据题意，得利润W=（18﹣12﹣1）y+（12﹣8﹣0.8）（20﹣y）=1.8y+64，
当y=15时，W最大，最大值为91万元．
22．解：设笔的价格为x元/支，则笔记本的价格为3x元/本（1分）
由题意，10x+5×3x=30（5分）
解之得x=1.2，3x=3.6（7分）
答：笔的价格为1.2元/支，则笔记本3.6元/本（8分）
23．解：方案一：最多生产4吨奶片，其余的鲜奶直接销售.
则其利润为：4×2000+（8﹣4）×500=10000（元）；
方案二：设生产x天奶片，则生产（4﹣x）天酸奶，
根据题意，得x+3（4﹣x）=8，
解得x=2.
2天生产酸奶加工的鲜奶是2×3=6吨，
则利润为2×2000+2×3×1200=4000+7200=11200（元），
得到第二种方案可以多得1200元的利润．
24．解：（1）由题意得，总利润为：3000×2m+1.5×（﹣3000）-5400
=6000m+﹣9900；
（2）设第一批进货单价为m元/千克.
由题意，得××2+××（m﹣0.2+0.6）﹣5000=4000，
解得m=1.2，
经检验：m=1.2是原分式方程的解，且符合题意．
则售价为2m=2.4．
答：第一批大米中优等品的售价是2.4元．
25．解：（1）由题意可得：优惠一：付费为：0.9x，优惠二：付费为：200+0.8x；
（2）当两种优惠后所花钱数相同，则0.9x=200+0.8x，
解得：x=2000，
答：当商品价格是2000元时，两种优惠后所花钱数相同；
（3）因为某人计划在该超市购买价格为2700元的一台电脑，
所以优惠一：付费为：0.9x=2430，优惠二：付费为：200+0.8x=2360，
答：优惠二更省钱．
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