2.1认识一元二次方程
一、选择题（本题包括8个小题.每小题只有1个选项符合题意）
1. 如果方程（k-2）-3kx-1=0是一元二次方程，那么k的值不可能是（ ）
A. 0 B. 2 C. -2 D. 1
2. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. 2x+1=9 B. +2x+3=0 C. x+2x=7 D.
3. 若关于x的方程是一元二次方程，则m=（ ）
A. 1 B. -1 C. ±1 D. 无法确定
4. 方程是（ ）
A. 一元二次方程 B. 分式方程 C. 无理方程 D. 一元一次方程
5. 已知一元二次方程（m-2）+3x-4=0，那么m的值是（ ）
A. 2 B. ±2 C. -2 D. 1
6. 若关于x的方程（a-1）+3x-2=0是一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
A. a≥1 B. a≠0 C. a≠1 D. a＞1
7. 下列式子中是一元二次方程的是（ ）
A. xy+2=1 B. （+5）x=0 C. -4x-5 D. =0
8. 关于x的方程是一元二次方程，则a满足（ ）
A. a＞0 B. a=1 C. a≥0 D. a≠0
二、填空题（本题包括4个小题）
9. 试写出一个含有未知数x的一元二次方程________．
10. 关于x的一元二次方程-bx-c=0的a的取值范围________．
11. 当k满足条件________时，关于x的方程（k-3）+2x-7=0是一元二次方程．
12. 方程+3x-1=0是一元二次方程，则a=________．
三．解答题（本题包括5个小题）
13. 若（m+1）+6-2=0是关于x的一元二次方程，求m的值．
14. 若关于x的方程（）+x+5=0是一元二次方程，求k的取值范围．
15. 已知关于x的一元二次方程2-3-5=0，试写出满足要求的所有a，b的值．
16. 试比较下列两个方程的异同，+2x-3=0，+2x+3=0．
17. 已知a、b、c为三角形三个边，+bx（x-1）=-2b是关于x的一元二次方程吗？
答案
一、选择题
1.【答案】B
【解析】根据一元二次方程的定义，得： ，解得 .故选B.
2. 【答案】B
【解析】根据一元二次方程的定义，易得B.
3. 【答案】B
【解析】根据一元二次方程的定义，得 ，解得m=-1.故选 B.
4. 【答案】A
【解析】原方程可化为： ，易得是一元二次方程.故选A.
5.【答案】C
【解析】由题意得： ，解得：m=-2.故选C.
6.【答案】C
【解析】根据一元二次方程的定义，得a-1≠0，解得a≠1.故选C.
7. 【答案】D
【解析】根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且最高次为2次的整式方程.易得D是一元二次方程.故选D.
8. 【答案】A
【解析】根据一元二次方程的定义，得 .故选A.
二、填空题
9. 【答案】-2x+1=0
【解析】据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且最高次为2次的整式方程.答案不唯一.
10. 【答案】a≠0
【解析】根据一元二次方程的定义，得a≠0.故答案为a≠0.
11.【答案】k≠3
【解析】根据一元二次方程的定义，得k-3≠0.得k≠3.故答案为k≠3.
12. 【答案】3或-3
【解析】根据一元二次方程的定义，得 .故答案为3或-3.
三．解答题
13. 【答案】m=1
【解析】根据一元二次方程的定义，要求未知数的次数最高为二次，且二次项的系数不为0，即，解得m=1．
解：因为是关于x的一元二次方程，这个方程一定有一个二次项，则（m+1）x|m|+1一定是此二次项．
所以得到，解得m=1．
【方法点睛】本题目考查一元二次方程的基本定义，要求未知数的最高次项为2次项，且二次项的系数不为0，这两点是解决问题的关键.
14. 【答案】k≥1且k≠2.
【解析】根据一元二次方程的定义，要求未知数的次数最高为二次，且二次项的系数不为0，同时被开方数是非负数，即 ，解得：k≥1且k≠2.
15. 【答案】a=2，b=2或a=2，b=1或a=2，b=0，或a=1，b=2或a=0，b=2
【解析】根据一元二次方程的定义，要求未知数的最高次数为2次，分类讨论：若a=2,b=2,则方程化简为 ；若a=2,b=0,则方程化简为 ；若a=2,b=1,则方程化简为 ；若a=0,b=2,则方程化简为；若a=1,b=2,则方程化简为；
解：根据题意，若a=2,b=2,则方程化简为 ；
若a=2,b=0,则方程化简为 ；
若a=2,b=1,则方程化简为 ；
若a=0,b=2,则方程化简为；
若a=1,b=2,则方程化简为；
故答案为：a=2，b=2或a=2，b=1或a=2，b=0，或a=1，b=2或a=0，b=2.
16. 【答案】见解析
【解析】相同点：从各项来分析：①都是一元二次方程；②二次项系数均为1；③一次项系数均为2；④常数项的绝对值相等；从整体来分析：⑤都是一元二次方程的一般形式；⑥都是整系数方程等．不同点：①常数项符号相反；②前者方程左边可因式分解，后者实数范围内不能分解.答案不唯一.
解：相同点：①都是一元二次方程；②都化成了一元二次方程的一般形式；③二次项系数均为1；④一次项系数均为2；⑤常数项的绝对值相等；⑥都是整系数方程等．
不同点：①数项符号相反；②前者方程左边可因式分解，后者实数范围内不能分解
【方法点睛】本题目考查学生的分析问题能力，观察问题的能力——观察方法（从部分上，整体上分析；从相同点、不同点来分析）.
17.【答案】是
【解析】将方程+bx（x-1）=-2b 化简得（a+b-c）-bx+2b=0，因为a、b、c为三角形的三条边，根据三角形两边之和大于第三边，得：a+b＞c，即a+b-c＞0，得：（a+b-c）-bx+2b=0，是一元二次方程+bx（x-1）= -2b是关于x的一元二次方程．
解：化简+bx（x-1）= -2b，得（a+b-c）-bx+2b=0，
∵a、b、c为三角形的三条边，
∴a+b＞c，即a+b-c＞0，
∴+bx（x-1）= -2b是关于x的一元二次方程．
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2.2 用配方法求解一元二次方程
一、选择题（本题包括6个小题.每小题只有1个选项符合题意）
1. 用配方法解方程x2﹣4x﹣7=0时，原方程应变形为（ ）
A. （x﹣2）2=11 B. （x+2）2=11 C. （x﹣4）2=23 D. （x+4）2=23
2. 将代数式x2+6x﹣3化为（x+p）2+q的形式，正确的是（ ）
A. （x+3）2+6 B. （x﹣3）2+6 C. （x+3）2﹣12 D. （x﹣3）2﹣12
3. 用配方法解方程2x2﹣4x+1=0时，配方后所得的方程为（ ）
A. （x﹣2）2=3 B. 2（x﹣2）2=3 C. 2（x﹣1）2=1 D. 2（x﹣1）2=
4. 已知M=a﹣1，N=a2﹣a（a为任意实数），则M、N的大小关系为（ ）
A. M＜N B. M=N C. M＞N D. 不能确定
5. 将代数式x2﹣10x+5配方后，发现它的最小值为（ ）
A. ﹣30 B. ﹣20 C. ﹣5 D. 0
6. 对于代数式﹣x2+4x﹣5，通过配方能说明它的值一定是（ ）
A. 非正数 B. 非负数 C. 正数 D. 负数
二、填空题（本题包括8个小题）
7. 若x2﹣4x+5=（x﹣2）2+m，则m=________．
8. 若a为实数，则代数式的最小值为________．
9. 用配方法解方程3x2﹣6x+1=0，则方程可变形为（x﹣______）2=________．
10. 已知方程x2+4x+n=0可以配方成（x+m）2=3，则（m﹣n）2016=________．
11. 设x，y为实数，代数式5x2+4y2﹣8xy+2x+4的最小值为________．
12. 若实数a，b满足a+b2=1，则a2+b2的最小值是________．
13. 将一元二次方程x2﹣6x+5=0化成（x﹣a）2=b的形式，则ab=________．
14. 若代数式x2﹣6x+b可化为（x﹣a）2﹣3，则b﹣a=________．
三、解答题（本题包括4个小题）
15. 解方程：
（1）x2+4x﹣1=0． （2）x2﹣2x=4．
16. “a2=0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：x2+4x+5=x2+4x+4+1=（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：
（1）填空：因为x2﹣4x+6=（x ）2+ ；所以当x= 时，代数式x2﹣4x+6有最 （填“大”或“小”）值，这个最值为 ．
（2）比较代数式x2﹣1与2x﹣3的大小．
17. 阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知a2+6ab+10b2+2b+1=0，求a﹣b的值；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣6b+11=0，求△ABC的周长；
（3）已知x+y=2，xy﹣z2﹣4z=5，求xyz的值．
18. 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：求代数式y2+4y+8的最小值．
解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4
∵（y+2）2≥0
∴（y+2）2+4≥4
∴y2+4y+8的最小值是4．
（1）求代数式m2+m+4的最小值；
（2）求代数式4﹣x2+2x的最大值；
（3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB=x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？
答案
一、选择题
1. 【答案】A
【解析】方程x2?4x?7=0，变形得：x2?4x=7，配方得：x2?4x+4=11，即(x?2)2=11，故选：A.
2. 【答案】C
【解析】x2+6x?3=x2+6x+9?9?3=(x+3)2?12.故选：C.
3. 【答案】C
【解析】2x2-4x=-1，x2-2x=, x2-2x+1=+1,∴（x-1）2=，即2（x-1）2=1.故选C.
4. 【答案】A
【解析】∵M=a﹣1，N=a2﹣a (a为任意实数)，∴N?M=a2?a+1=(a?)2+，∴N>M，即M5. 【答案】A
【解析】把常数项-5移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数4的一半的平方，即x2+4x-5=0，x2+4x=5，x2+4x+4=9，（x+2）2=9，故答案选A．
考点：配方法解一元二次方程．
6. 【答案】D
【解析】?x2+4x?5=?(x2?4x)?5=?(x?2)2?1，∵?(x?2)2<0，∴?(x?2)2?1<0，故选：D.
点睛：此题主要考查了配方法的应用，正确应用配方法是解题的关键.
二、填空题
7.【答案】1
【解析】已知等式变形得：x2?4x+5=x2?4x+4+1=(x?2)2+1=(x?2)2+m，则m=1，故答案为：1
8. 【答案】3
【解析】因，根据非负数的性质可得当a=3时，有最小值为9，所以当a=3时，有最小值为3.
考点：配方法的应用；非负数的性质：偶次方；二次根式的性质与化简．
9. 【答案】 (1). 1 (2).
【解析】原方程为3x2?6x+1=0，二次项系数化为1，得x2?2x=?，即x2?2x+1=?+1，所以(x?1)2= .故答案为：1，.
10. 【答案】1
【解析】由(x+m)2=3，得：x2+2mx+m2?3=0，∴2m=4，m2?3=n，∴m=2，n=1，∴(m?n)2016=1，故答案为：1.
11.【答案】3
【解析】原式=(x2+2x+1)+(4x2?8xy+4y2)=4(x?y)2+(x+1)2+3，∵4(x?y)2和(x+1)2的最小值是0，即原式=0+0+3=3，∴5x2+4y2?8xy+2x+4的最小值为3.故答案为：3.
12. 【答案】
【解析】∵a+b2=1，∴b2=1?a，∴a2+b2=a2+1?a=(a?)2+，∵(a?1)2?0，∴(a?1)2+?，故答案为：.
13. 【答案】12
【解析】x2?6x+5=0，x2?6x=?5，x2?6x+9=?5+9，(x?3)2=4，所以a=3，b=4，ab=12，故答案为：12.
14. 【答案】3
【解析】根据题意，得x2-6x+b=(x2-6x+9)+b-9=(x-3)2+b-9=(x-a)2-3,可得a=3，b?9=?3，解得：a=3，b=6，则b?a=3.故答案为：3.
点睛：此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键.
三、解答题
15. 【答案】（1）x1=﹣2+，x2=﹣2﹣；（2）x1=1+，x2=1﹣
【解析】（1）利用配方法即可解决；（2）利用配方法即可解决．
解：（1）∵x2+4x﹣1=0，∴x2+4x=1
∴x2+4x+4=1+4，∴（x+2）2=5
∴x=﹣2±
∴x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．
（2）配方x2﹣2x+1=4+1
∴（x﹣1）2=5
∴x=1±
∴x1=1+，x2=1﹣．
点睛：本题考查一元二次方程的解法，记住配方法的解题步骤是解题的关键，属于中考常考题型．
16. 【答案】（1）﹣2；2；2；小；2；（2）x2﹣1＞2x﹣3．
【解析】（1）把原式利用平方法化为完全平方算与一个常数的和的形式，利用偶次方的非负性解答；（2）利用求差法和配方法解答即可．
解：（1）x2-4x+6=（x-2）2+2，
所以当x=2时，代数式x2-4x+6有最小值，这个最值为2，
故答案为：-2；2；2；小；2；
（2）x2-1-（2x-3）
=x2-2x+2；
=（x-1）2+1＞0，
则x2-1＞2x-3．
17.【答案】（1）4；（2）7；（3）2
【解析】（1）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质解答即可；（2）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质和三角形三边关系解答即可；（3）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质解答即可．
解：（1）∵a2+6ab+10b2+2b+1=0，∴a2+6ab+9b2+b2+2b+1=0，
∴（a+3b）2+（b+1）2=0，∴a+3b=0，b+1=0，
解得b=-1，a=3，
则a-b=4；
（2）∵2a2+b2-4a-6b+11=0，
∴2a2-4a++2+b2-6b+9=0，
∴2（a-1）2+（b-3）2=0，
则a-1=0，b-3=0，
解得，a=1，b=3，
由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3，
∴△ABC的周长为1+3+3=7；
（3）∵x+y=2，∴y=2-x，
则x（2-x）-z2-4z=5，
∴x2-2x+1+z2+4z+4=0，
∴（x-1）2+（z+2）2=0，
则x-1=0，z+2=0，
解得x=1，y=1，z=-2，
∴xyz=2．
点睛：本题主要考查的是配方法的应用和三角形三边的关系，灵活运用完全平方公式、掌握三角形三边的关系是解题的关键.
18. 【答案】（1）；（2）5；（3）当x=5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2．
【解析】 (1)将原式进行配方，然后根据非负数的性质得出最小值；(2)将原式进行配方，然后根据非负数的性质得出最大值；(2)、根据题意得出代数式，然后进行配方得出最值.
解：(1) m2+m+4=（m+）2+， ∵（m+）2≥0， ∴（m+）2+≥，
则m2+m+4的最小值是；
(2)4﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+5， ∵﹣（x﹣1）2≤0， ∴﹣（x﹣1）2+5≤5，
则4﹣x2+2x的最大值为5；
(3)、由题意，得花园的面积是x（20﹣2x）=﹣2x2+20x，
∵﹣2x2+20x=﹣2（x﹣5）2+50=﹣2（x﹣5）2≤0， ∴﹣2（x﹣5）2+50≤50，
∴﹣2x2+20x的最大值是50，此时x=5， 则当x=5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2．
考点：一元二次方程的应用.
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2.3用公式法求解一元二次方程
一、选择题（本题包括9个小题.每小题只有1个选项符合题意）
1. 已知4个数据：?，2，a，b，其中a、b是方程-2x-1=0的两个根，则这4个数据的中位数是（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
2. 已知α是一元二次方程-x-1=0较大的根，则下面对α的估计正确的是（ ）
A. 0＜α＜1 B. 1＜α＜1.5 C. 1.5＜α＜2 D. 2＜α＜3
3. 一元二次方程+2x-6=0的根是（ ）
A. == B. =0，=-2 C. =，=-3 D. =-，=3
4. 方程（x-5）（x+2）=1的解为（ ）
A. 5 B. -2 C. 5和-2 D. 以上结论都不对
5. 用公式法解方程6x-8=5x2时，a、b、c的值分别是（ ）
A. 5、6、-8 B. 5、-6、-8 C. 5、-6、8 D. 6、5、-8
6. 方程（x-1）（x-2）=1的根是（ ）
A. x1=1，x2=2 B. x1=-1，x2=-2 C. x1=0，x2=3 D. 以上都不对
7. 方程x2-3x+2=0的最小一个根的倒数是（ ）
A. 1 B. 2 C D．4
8. 如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）能用公式法求解，那么必须满足的条件是（ ）
A. b2-4ac≥0 B. b2-4ac≤0 C. b2-4ac＞0 D. b2-4ac＜0
9. 用公式法解方程（x+2）2=6（x+2）-4时，b2-4ac的值为（ ）
A. 52 B. 32 C. 20 D. -12
二、填空题（本题包括2个小题）
10. 方程（x+1）（x-2）=1的根是____
11. 写出方程x2+x-1=0的一个正根_______
三、解答题（本题包括4个小题）
12. 公式法求一元二次方程x2-3x-2=0的解
13. 已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2-8x+7=0的两个根，求这个直角三角形的斜边长
14. 解方程：x2-3x-7=0
15. 解方程：x（x-2）=3x+1
答案
一、选择题
1. 【答案】A
【解析】∵a、b是方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，∴a=，b=，或a=，b=，这组数据按从小到大的顺序排列为，，，，中位数为（+）÷2=1，故选A．
2. 【答案】C
【解析】解一元二次方程x2﹣x﹣1=0可得，因α是一元二次方程x2﹣x﹣1=0较大的根，所以α=；又因2＜＜3，所以1．5＜＜2，故答案选C．
考点：一元二次方程的解法；二次根式的估算．
3. 【答案】C
【解析】，a=1，b=，c=-6，∴△=b2-4ac==32＞0，∴x==
，故选C．
4. 【答案】D
【解析】根据因式分解法解方程.所以x1=5，x2=-2.故选C.
5. 【答案】C
【解析】5x2-6x+8=0，∴a=5，b=-6，c=8．故选C．
6. 【答案】D
【解析】方程整理得：x2﹣3x+1=0，这里a=1，b=﹣3，c=1，∵△=b2﹣4ac=9﹣4=5，∴x=．故选D．
7. 【答案】A
【解析】x2﹣3x+2=0，（x﹣1）（x﹣2）=0，x﹣1=0或x﹣2=0，x1=1或x2=2，所以方程x2﹣3x+2=0的最小一个根的倒数是1，故选A．
点睛：本题考查了一元二次方程的解法和倒数的概念．解题的关键是求出方程的解，找出最小的根．
8. 【答案】A
【解析】一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）能用公式法求解，那么必须满足的条件是b2-4ac≥0．故选A．
9. 【答案】C
【解析】∵（x+2）2=6（x+2）-4，∴x2-2x-4=0，∴a=1，b=-2，c=-4,∴b2-4ac=4+16=20.故选C.
点睛：此题考查了公式法解一元一次方程，解此题时首先要化简．还要注意熟练应用公式．
二、填空题
10. 【答案】
【解析】整理后求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．整理得：x2﹣x﹣3=0，b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×1×
（﹣3）=13，x=，x1= ，x2=，故答案为：x1= ，x2=．
点睛：本题考查了用公式法解一元二次方程的应用，主要考查学生能否正确运用公式法解一元二次方程．
11.【答案】
【解析】a=1，b=1，c=-1，△=1+4=5，∴x=.故正根为：x=．故答案为：x=．
三、解答题
12.【答案】
【解析】找出a、b、c的值，代入求根公式即可．
解：∵a=1，b=-3，c=-2，
∴b2-4ac =（-3）2-4×1×（-2）=9+8=17，
∴x=．
13.【答案】3
【解析】设直角三角形的斜边为c，两直角边分别为a与b．
∵直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两个根，
∴a＋b＝4，ab＝3.5；
根据勾股定理可得：c2＝a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝16－7＝9，
∴c＝3，
即直角三角形的斜边长为3．故答案为3．
点睛：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
14.【答案】
【解析】利用求根公式来解方程．
解：在方程x2-3x-7=0中，a=1，b=-3，c=-7．则
x=，
解得 x1=，x2=．
考点：解一元二次方程-公式法．
15.【答案】
【解析】整理后求出b2-4ac的值，再代入公式求出即可．
解：x（x-2）=3x+1，
整理得：x2-5x-1=0，
b2-4ac=（-5）2-4×1×（-1）=29，
∴x=.
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2.4用因式分解法求解一元二次方程
一．选择题（本题包括8个小题.每小题只有1个选项符合题意）
1. 如果一个等腰三角形的两边长分别为方程x2﹣5x+4=0的两根，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A. 6 B. 9 C. 6或9 D. 以上都不正确
2. 已知3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（ ）
A. 7 B. 10 C. 11 D. 10或11
3. 解方程（5x﹣1）2=3（5x﹣1）的适当方法是（ ）
A. 开平方法 B. 配方法 C. 公式法 D. 因式分解法
4. 若分式的值为0，则x的值为（ ）
A. 3或﹣2 B. 3 C. ﹣2 D. ﹣3或2
5. 已知x为实数，且满足（x2+x+1）2+2（x2+x+1）﹣3=0，那么x2+x+1的值为（ ）
A. 1 B. ﹣3 C. ﹣3或1 D. ﹣1或3
6. 三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为（ ）
A. 14 B. 12 C. 12或14 D. 以上都不对
7. 一元二次方程2x（x﹣3）=5（x﹣3）的根为（ ）
A. x= B. x=3 C. x1=3，x2=﹣ D. x1=3，x2=
8. 已知关于x的方程（x﹣1）[（k﹣1）x+（k﹣3）]=0（k是常数），则下列说法中正确的是（ ）
A. 方程一定有两个不相等的实数根 B. 方程一定有两个实数根
C. 当k取某些值时，方程没有实数根 D. 方程一定有实数根
二．填空题（本题包括5个小题）
9. 方程3x（x﹣1）=2（x﹣1）的解为_____．
10. 若（x2+y2）2﹣5（x2+y2）﹣6=0，则x2+y2=_____．
11. 如果（x2+y2）（x2+y2﹣2）=3，则x2+y2的值是_____．
12. 关于x的一元二次方程（k﹣1）x+6x+8=0的解为_____．
13. 对任意实数a，b，若（a2+b2）（a2+b2﹣1）=12，则a2+b2=_____．
三．解答题（本题包括5个小题）
14. 解方程：
①2x2﹣4x﹣7=0（配方法）； ②4x2﹣3x﹣1=0（公式法）；
③（x+3）（x﹣1）=5； ④（3y﹣2）2=（2y﹣3）2．
15. 解下列方程：
（1）9（y+4）2﹣49=0；
（2）2x2+3=7x（配方法）；
（3）2x2﹣7x+5=0 （公式法）；
（4）x2=6x+16；
（5）2x2﹣7x﹣18=0；
（6）（2x﹣1）（x+3）=4．
16. 用适当的方法解下列方程：
（1） x2﹣5x﹣6=0；
（2）（1﹣x）2﹣1=；
（3）8x（x+2）=3x+6；
（4）（y+）（y-）=20．
17. 阅读下面的例题与解答过程：
例．解方程：x2﹣|x|﹣2=0．
解：原方程可化为|x|2﹣|x|﹣2=0．
设|x|=y，则y2﹣y﹣2=0．
解得 y1=2，y2=﹣1．
当y=2时，|x|=2，∴x=±2；
当y=﹣1时，|x|=﹣1，∴无实数解．
∴原方程的解是：x1=2，x2=﹣2．
在上面的解答过程中，我们把|x|看成一个整体，用字母y代替（即换元），使得问题简单化、明朗化，解答过程更清晰．这是解决数学问题中的一种重要方法﹣﹣换元法．请你仿照上述例题的解答过程，利用换元法解下列方程：
（1）x2﹣2|x|=0； （2）x2﹣2x﹣4|x﹣1|+5=0．
18. 现定义一种新运算：“※”，使得a※b=4ab
（1）求4※7的值；
（2）求x※x+2※x﹣2※4=0中x的值；
（3）不论x是什么数，总有a※x=x，求a的值．
答案
一．选择题
1. 【答案】B
【解析】解方程得：，（1）若等腰三角形的腰长为1，底边为4，∵1+1<4，∴此时围不成三角形，此种情况不成立；（2）若等腰三角形的腰长为4，底边为1，∵1+4>4，∴此时能围成三角形，三角形的周长为9；故选B.
2.【答案】D
【解析】把x=3代入方程得9-3（m+1）+2m=0，解得m=6，则原方程为x2-7x+12=0，解得x1=3，x2=4，因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，①当△ABC的腰为4，底边为3时，则△ABC的周长为4+4+3=11；②当△ABC的腰为3，底边为4时，则△ABC的周长为3+3+4=10．综上所述，该△ABC的周长为10或11．故选D．
3. 【答案】D
【解析】方程可化为[2（5x-1）-3]（5x-1）=0，即5（2x-1）（5x-1）=0，根据分析可知分解因式法最为合适．故选D．
考点：解一元二次方程-因式分解法．
4. 【答案】A
【解析】由题意可得：，解得：.∵当时，，当时，，∴的值为3或-2.故选A.
5. 【答案】A
【解析】设x2+x+1=y，则原式可化为y2+2y-3=0，解得y1=-3，y2=1.∵，∴x2+x+1=1.故选A.
6.【答案】B
【解析】解，得(x-5)(x-7)=0，∴x1=5,x2=7.又∵3,4,7不能组成三角形；∴x=5.则周长为3+4+5=12，故选B
考点：一元二次方程的解
7. 【答案】D
【解析】2x（x－3）＝5（x－3），2x（x－3）-5（x－3）=0，,（x－3）（2x－5）=0，所以x－3=0，或2x－5=0，所以x1＝3，x2＝，故选：D．
考点：解一元二次方程．
8. 【答案】D
【解析】原方程可化为：，（1）当时，原方程可化为：，此时原方程是一元一次方程，有实数根；（2）当时，原方程是一元二次方程，此时：△=，∴此时，原方程有两个实数根；综上所述，无论k为何值，原方程都有实数根.故选D.
二．填空题
9.【答案】1或
【解析】原方程可化为为：，∴或，∴或.
10. 【答案】6
【解析】设a=x2+y2，则原方程可化为a2-5a-6=0，解得a1=6，a2=-1（舍去），所以x2+y2=6.
11.【答案】3
【解析】设，则原方程可化为：，解得：，∵，∴.
12. 【答案】x1=4，x2=﹣1
【解析】∵方程是关于的一元二次方程，∴ ，解得：，∴原方程为：，化简得：，解得：.∴原方程的解为：.
13. 【答案】4
【解析】设，则原方程可化为：，解得：，∵，∴.
点睛：在解出“x”的值之后，不要忽略了“”这一隐含条件.
三．解答题
14. 【答案】①x1=1+，x2=1﹣②x1=1，x2=﹣③x1=﹣4，x2=2④y1=1，y2=﹣1
【解析】①②按题中指定方法解答即可；③先将方程整理为一般形式，再用“因式分解法”解方程即可；④根据方程特点用“因式分解法”解方程即可.
解：①移项得：x2﹣2x=
配方得：x2﹣2x+1= ，即（x﹣1）2=，
∴x﹣1=±
∴ x1=1+，x2=1﹣．
② ∵在方程4x2﹣3x﹣1=0中，a=4，b=﹣3，c=﹣1，
∴ △ =9+16=25x=，
∴x1=1，x2=﹣．
③原方程整理得：x2+2x﹣8=0，
(x+4)(x﹣2)=0，
∴ x1=﹣4，x2=2．
④原方程可化为：(3y﹣2+2y﹣3)(3y﹣2﹣2y+3)=0，
(5y﹣5)(y+1)=0，
∴ y1=1，y2=﹣1．
15. 【答案】（1）y1=﹣，y2=﹣；（2）x1=3，x2=；（3）x1=2.5，x2=1；（4）x1=﹣2，x2=8（5）x=；（6）x1=﹣3.5，x2=1．
【解析】（1）用“直接开平方法”解此方程即可；（2）、（3）按指定方法解方程即可；（4）先将方程化为一般形式，再用“因式分解法”解此方程：（5）用“公式法”解此方程即可；（6）先整理为一般形式，再用“因式分解法”解此方程.
解：（1）方程可化为：（y+4）2=，
开方得：y+4=±，解得：y1=﹣，y2=﹣；
（2）方程整理得：x2﹣x=﹣，
配方得：x2﹣x+=，即（x﹣）2=，
开方得：x﹣=±，
解得：x1=3，x2=；
（3）∵在方程2x2﹣7x+5=0中，a=2，b=﹣7，c=5，
∴△=49﹣40=9，
∴x=，
解得：x1=2.5，x2=1；
（4）原方程整理得：x2﹣6x﹣16=0，即(x+2)(x﹣8)=0，
解得：x1=﹣2，x2=8；
（5）∵在方程2x2﹣7x﹣18=0
中，a=2，b=﹣7，c=﹣18，
∵△=49+144=193，
∴ x=；
∴，.
（6）原方程整理得：2x2+5x﹣7=0，
即(2x+7)(x﹣1)=0，
解得：x1=﹣3.5，x2=1．
16. 【答案】（1）x1=6，x2=﹣1（2）x1=﹣，x2=（3）x1=﹣2，x2=（4）y1=5，y2=﹣5
【解析】（1）用“因式分解法”解方程即可；（2）用“直接开平方法”解方程即可；（3）先移项，再用“直接开平方法”解方程即可；（4）先化简，再用“直接开平方法”解方程即可；
解：（1）x2﹣5x﹣6=0，
原方程可化为：（x﹣6）（x+1）=0，
∴x-6=0或x+1=0，
∴ x1=6，x2=﹣1．
（2）原方程可化为：（1﹣x）2=+1，
即：（1﹣x）2=，
∴1﹣x=，
∴x1=﹣，x2=．
（3）原方程可化为：8x（x+2）﹣3（x+2）=0，
∴(x+2)(8x﹣3)=0，
∴x+2=0或8x-3=0
解得x1=﹣2，x2=．
（4）原方程可化为：y2﹣5=20，
∴y2=25，∴y=±5，即 y1=5，y2=﹣5．
17. 【答案】（1）x1=0，x2=﹣2，x3=2（2）x1=﹣1，x2=3
【解析】（1）把原方程化为：|x|2﹣2|x|=0，再按照“范例”中的方法解答即可；（2）把原方程化为：|x﹣1|2﹣4|x﹣1|+4=0，再按照“范例”中的方法解答即可.
解：（1）原方程可化为|x|2﹣2|x|=0，
设|x|=y，则y2﹣2y=0．
解得 y1=0，y2=2．
当y=0时，|x|=0，∴x=0；
当y=2时，∴x=±2；
∴原方程的解是：x1=0，x2=﹣2，x3=2．
（2）原方程可化为|x﹣1|2﹣4|x﹣1|+4=0．
设|x﹣1|=y，则y2﹣4y+4=0，解得 y1=y2=2．
即|x﹣1|=2，
∴x=﹣1或x=3．
∴原方程的解是：x1=﹣1，x2=3．
20. 【答案】（1）112（2）x1=2，x2=﹣4（3）a=
【解析】（1）按照“新运算：※”的运算规则，把题目中的“新运算”转化为普通运算，再按有理数的相关运算法则计算即可；（2）先按题目中“新运算”的规则把所涉及的“新运算”转化普通运算，就可将涉及“新运算”的方程转化为“一元二次方程”，然后再解方程即可；（3）先按题目中“新运算”的规则把所涉及的“新运算”转化为普通运算，得到普通的含有“字母”系数的方程，再根据题意解答即可.
解：（1）4※7=4×4×7=112；
（2）由新运算的定义可转化为：4x2+8x﹣32=0，
解得x1=2，x2=﹣4；
（3）∵由新运算的定义得4ax=x，
∴（4a﹣1）x=0，
∵不论x取和值，等式恒成立，
∴4a﹣1=0，即．
点睛：在涉及“新运算”的问题中，弄清把“新运算”转化为“普通运算”的规则，把题目中涉及新运算的部分按“规则”转化为普通运算，其余部分不变，再按普通方法解答即可.
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*2.5一元二次方程的根与系数的关系
一、选择题（本题包括8个小题.每小题只有1个选项符合题意）
1. 若关于x一元二次方程x2-x-m+2=0的两根x1，x2满足（x1-1）（x2-1）=-1，则m的值为（ ）
A. 3 B. -3 C. 2 D. -2
2. 若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-1，则另一个根为（ ）
A. -2 B. 2 C. 4 D. -3
3. 设x1，x2是一元二次方程-2x-3=0的两根，则 =（ ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
4. 已知一元二次方程-4x +3=0两根为x1、x2，则x1?x2=（ ）
A. 4 B. 3 C. -4 D. -3
5. 判断一元二次方程式x2-8x-a=0中的a为下列哪一个数时，可使得此方程式的两根均为整数？（ ）
A. 12 B. 16 C. 20 D. 24
6. 若关于x的一元二次方程x2-4x+5-a=0有实数根，则a的取值范围是（ ）
A. a≥1 B. a＞1 C. a≤1 D. a＜1
7. 已知x1，x2是一元二次方程x2-4x+1=0的两个实数根，则x1x2-x1-x2的值等于（ ）
A. -3 B. 0 C. 3 D. 5
8. 如果一元二次方程x2-3x-1=0的两根为x1、x2，那么x1+x2=（ ）
A. -3 B. 3 C. -1 D. 1
二、填空题（本题包括3个小题）
9. 已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2-8x+7=0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是_________
10. 已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是_______，m的值是_______
11. 已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有实数根，则m的取值范围是__________
三、解答题（本题包括4个小题）
12. 关于x的一元二次方程（m-2）x2+2x+1=0有实数根，求m的取值范围.
13. 已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2-8x+7=0的两个根，求这个直角三角形的斜边长.
14. 已知：关于x的方程x2+2mx+m2-1=0
（1）不解方程，判别方程根的情况；
（2）若方程有一个根为3，求m的值．
15. 已知关于x的一元二次方程（x-1）（x-4）=p2，p为实数．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）p为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由）
答案
一、选择题
1. 【答案】A
【解析】根据题意得x1＋x2＝1，x1x2＝－m＋2，∵(x1－1)(x2－1)＝－1，∴x1x2－(x1＋x2)＋1＝－1，∴－m＋2－1＋1＝－1，∴m＝3．故选A．
点睛：题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1＋x2＝，x1x2＝．
2. 【答案】A
【解析】根据一元二次方程根与系数的关系，利用两根和，两根积，即可求出a的值和另一根．设一元二次方程的另一根为x1，则根据一元二次方程根与系数的关系， 得﹣1+x1=﹣3，解得x1=﹣2．
考点：根与系数的关系．
3. 【答案】C
【解析】∵、x2是一元二次方程的两根,∴x1+x2=2,x1x2=-3,∴=(x1+x2)2-
2x1x2=4+6=10.故选C.
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，比较简单．要求掌握根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=－ ，，x1x2= ，再将变形成含x1+x2和x1x2的形式，再将值代入即可.
4. 【答案】B
【解析】∵一元二次方程x2﹣4x+3=0两根为x1、x2，∴x1x2==3，故选B．
考点：根与系数的关系．
5. 【答案】C
【解析】∵一元二次方程式x2－8x－a＝0的两个根均为整数，∴△＝64＋4a，△的值若可以被开平方即可，A、△＝64＋4×12＝102，＝，此选项不对；B、△＝64＋4×16＝128，＝，此选项不对；C、△＝64＋4×20＝144，＝12，此选项正确；D、△＝64＋4×24＝160，＝，此选项不对．故选C．
6. 【答案】A
【解析】∵关于x的一元二次方程x2-4x+5-a=0有实数根，∴△=（-4）2-4（5-a）≥0，∴a≥1．故选A．
7.【答案】A
【解析】根据题意得x1＋x2＝4，x1x2＝1，∴x1x2－x1－x2＝x1x2－(x1＋x2)＝1－4＝－3．故选A．
8.【答案】B
【解析】根据一元二次方程根与系数关系可知x1＋x2＝＝3．故选B．
二、填空题
9. 【答案】3
【解析】设直角三角形的斜边为c，两直角边分别为a与b．∵直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两个根，∴a＋b＝4，ab＝3.5；根据勾股定理可得：c2＝a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝16－7＝9，∴c＝3，即直角三角形的斜边长为3．故答案为3．
点睛：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
10.【答案】 (1). 3 (2). -4
【解析】根据韦达定理可得，x1·x2==3，则方程的另一根为3；根据韦达定理可得，x1+x2=-=4=-m，则m=-4.
11.【答案】m≤1
【解析】∵一元二次方程x2+2x+m=0有实数根，∴△=22-4m≥0，解得：m≤1．
三、解答题
12.【答案】m≤3且m≠2
【解析】方程有实数根，则△≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．
解：根据题意得m﹣2≠0且△=22﹣4（m﹣2）×（﹣1）≥0，
解得m≥1且m≠2．
13.【答案】3
【解析】设直角三角形的斜边为c，两直角边分别为a与b．
∵直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两个根，
∴a＋b＝4，ab＝3.5；
根据勾股定理可得：c2＝a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝16－7＝9，
∴c＝3，
即直角三角形的斜边长为3．
故答案为3．
点睛：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
14. 【答案】（1）证明见解析（2）m=-4或m=-2
【解析】(1)根据根的判别式判断即可； (2)将x=3代入方程，解方程即可得m的值，继而可得方程的另一个根．
解：(1)∵a=1，b=2m，c=m2﹣1， ∴△=b2﹣4ac=（2m）2﹣4×1×（m2﹣1）=4＞0，
即方程有两个不相等的实数根；
(2)∵x2+2mx+m2﹣1=0有一个根是3，
∴把x=3代入方程得：32+2m×3+m2﹣1=0，整理得：m2+6m+8=0，
解得：m=﹣4或m=﹣2； 当m=﹣4时，另一根为5；当m=﹣2时，另一根为1．
考点：(1)、根与系数的关系；(2)、根的判别式．
15. 【答案】（1）证明见解析（2）当p=0，±1时
【解析】（1）原方程可化为x2﹣5x+4﹣p2=0，
∵△=（﹣5）2﹣4×（4﹣p2）=4p2+9＞0，
∴不论p为任何实数，方程总有两个不相等的实数根，
（2）原方程可化为x2﹣5x+4﹣p2=0，
∵方程有整数解，∴为整数即可，
∴p可取0，2，﹣2时，方程有整数解．
【点评】本题考查了一元二次方程的根的情况，判别式△的符号，把求未知系数的范围的问题转化为解不等式的问题是解题的关键．
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2.6应用一元二次方程
一、选择题（本题包括10个小题.每小题只有1个选项符合题意）
1. 一个三角形的两边长分别为5和3，第三边的边长是方程(x－2)(x－4)＝0的根，则这个三角形的面积是( )
A. 6 B. 3 C. 4 D. 12
2. 如图，AB⊥BC，AB＝10 cm，BC＝8 cm，一只蝉从C点沿CB方向以每秒1 cm的速度爬行，蝉开始爬行的同时，一只螳螂由A点沿AB方向以每秒2 cm的速度爬行，当螳螂和蝉爬行x秒后，它们分别到达了M，N的位置，此时，△MNB的面积恰好为24 cm2，由题意可列方程( )
A. 2x·x＝24 B. (10－2x)(8－x)＝24 C. (10－x)(8－2x)＝24 D. (10－2x)(8－x)＝48
3. 用一条长为40 cm的绳子围成一个面积为a cm2的长方形，a的值不可能为( )
A. 20 B. 40 C. 100 D. 120
4. 如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2 m，另一边减少了3 m，剩余一块面积为20 m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是( )
A. 7 m B. 8 m C. 9 m D. 10 m
5. 将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3 cm的小正方形，做成一个无盖的盒子．已知盒子的容积为300 cm3，则原铁皮的边长为( )
A. 10 cm B. 13 cm C. 14 cm D. 16 cm
6. 在一次同学聚会上，同学之间每两人都握了一次手，聚会所有人共握手45次，则参加这次聚会的同学共有（ ）
A. 11人 B. 10人 C. 9人 D. 8人
7. 小明家承包的果园，前年水果产量为50吨，后来改进了种植技术，今年的总产量是60.5吨，小明家去年，今年平均每年的粮食产量增长率是（ ）
A. 5% B. 10% C. 15% D. 20%
8. 已知△ABC是等腰三角形，BC=8，AB ， AC的长是关于x的一元二次方程x2-10x+k=0的两根，则（ ）
A. k=16 B. k=25 C. k=-16或k=-25 D. k=16或k=25
9. 汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）与行驶的时间t（单位：秒）的函数关系式是s=15t-6t2，那么汽车刹车后几秒停下来？（ ）
A. 0 B. 1.25 C. 2.5 D. 3
10. 某厂改进工艺降低了某种产品的成本，两个月内从每件产品250元，降低到了每件160元，平均每月降低率为（ ）
A. 15% B. 20% C. 5% D. 25%
二、填空题（本题包括5个小题）
11. 如图，某小区内有一块长、宽比为2∶1的矩形空地，计划在该空地上修筑两条宽均为2 m的互相垂直的小路，余下的四块小矩形空地铺成草坪，如果四块草坪的面积之和为312 m2，请求出原来大矩形空地的长和宽．
(1)请找出上述问题中的等量关系：________________________________；
(2)若设大矩形空地的宽为x m，可列出的方程为______________________________，方程的解为________________________，原来大矩形空地的长和宽分别为____________．
12. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，则P、Q分别从A、B同时出发，经过________秒钟，使△PBQ的面积等于8 cm2.
13. 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施． 经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件．据此规律计算：每件商品降价________元时，商场日盈利可达到2100元。
14. 在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交均价由去年10月份的7000元/m2下降到12月份的5670元/m2 ， 则11、12两月平均每月降价的百分率是________%。
15. 某商品原价100元，连续两次涨价后，售价为144元．若平均增长率为x ， 则x=________。
三、解答题（本题包括4个小题）
16. 某地区2013年投入教育经费2500万元，2015年投入教育经费3025万元．
(1)求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率；
(2)根据第一题所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费多少万元．
17. 现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．求该快递公司投递总件数的月平均增长率；
18. 如图，用一根铁丝分成两段可以分别围成两个正六边形，已知它们的边长比是1∶2，其中小正六边形的边长为(x2－4)cm，大正六边形的边长为(x2＋2x)cm(其中x＞0)．求这根铁丝的总长．
19. 在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，决定在原定票价基础上每张降价80元，这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元．
(1)求每张门票的原定票价；
(2)根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠政策，原定票价经过连续二次降价后降为324元，求平均每次降价的百分率.
答案
一、选择题
1.【答案】A
【解析】(x－2)(x－4)＝0，解得x1=2，x2=4．2+3=5，2,3,5不能组成三角形；所以3,4,5组成三角形，3,4,5是勾股数，所以三角形面积是6.所以选A.
2. 【答案】D
【解析】设x秒后，螳螂走了 2x,蝉走了x,MB=10-2x,NC=8-x,由题意知(10－2x)(8－x)＝24,(10－2x)(8－x)＝48,选D.
3. 【答案】D
【解析】设围成面积为acm2的长方形的长为xcm，由长方形的周长公式得出宽为（40÷2-x）cm，根据长方形的面积公式列出方程x（40÷2-x）=a，整理得x2-20x+a=0，由△=400-4a≥0，求出a≤100，即可求解．设围成面积为acm2的长方形的长为xcm，则宽为（40÷2-x）cm，依题意，得x（40÷2-x）=a，整理，得x2-20x+a=0.∵△=400-4a≥0，解得a≤100，故选D．
4. 【答案】A
【解析】本题主要考查一元二次方程，设原正方形空地的边长为 m，则剩余的面积可以表示为 ，即，解得 （不符合题意）.所以原正方形的边长为7 m，故选A.
5.【答案】D
【解析】设原铁皮的边长为xcm，则(x－6)(x－6)×3=300，解得：x=16或x=－4(舍去)，即原铁皮的边长为16cm.
考点：一元二次方程的应用
6. 【答案】B
【解析】设参加聚会的同学有x人，由题意，得，解得x=10或x=-9（不符合题意，舍去）即参加聚会的同学有10人，故选B.
7. 【答案】A
【解析】设小明家去年、今年的平均每年的粮食产量增长率是x，由题意，得50(1+x) ?=60.5，解得：x?=0.1=
10%,x?=?2.1(舍去)。故选B.
8. 【答案】A
【解析】根据当BC是腰，则AB或AC有一个是8，进而得出k的值，再利用当BC是底，则AB和AC是腰，再利用根的判别式求出即可．当BC是腰，则AB或AC有一个是8，故82-10×8+k=0，解得：k=-16，当BC是底，则AB和AC是腰，则b2-4ac=102-4×1×k=100-4k=0，解得：k=-25，综上所述：k=-16或k=-25．故选：C．
考点: 一元二次方程的应用．
9. 【答案】B
【解析】∵s=15t?6t?=?6(t?1.25) ?+9.375，∴汽车刹车后1.25秒，行驶的距离是9.375米后停下来.故选：B.
10. 【答案】B
【解析】如果设平均每月降低率为x，根据题意可得250（1﹣x）2=160，解得：x=20%．故选B．
考点：一元二次方程．
二、填空题
11. 【答案】(1)原矩形面积－小路面积＝草坪面积;
(2)x·2x－(x·2＋2x·2－2×2)＝312, x＝14或x＝－11(宽应为正数，故舍去) 28 m、14 m
【解析】（1）原矩形面积－小路面积＝草坪面积.（2）利用关系式列方程,并解方程.(1)原矩形面积－小路面积＝草坪面积.(2)x·2x－(x·2＋2x·2－2×2)＝312 ，x＝14或x＝－11(宽应为正数，故舍去),所以，原来长宽是28 m、14 m.
点睛：一元二次方程与面积问题，可以把四个小面积合而为一，相当于宽变成x-2,长变成2x-2,所以面积是（x-2）(2x-2)=312，运算更简单.
12. 【答案】2或4
【解析】设x秒时．由三角形的面积公式列出关于x的方程，（6-x）?2x=8，通过解方程求得x1=2，x2=4；故答案为2或4.
13. 【答案】20
【解析】∵降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数=50﹣x，由题意得：（50﹣x）（30+2x）=2100，化简得：x2﹣35x+300=0，解得：x1=15，x2=20，∵该商场为了尽快减少库存，∴降的越多，越吸引顾客，∴选x=20．
14. 【答案】10
【解析】7000(1-x)2=5670,解得 1-x=0.9,x1=0.1, x2=1.9(舍去)则11、12两月平均每月降价的百分率是10%.
点睛：平均增长（降低）率是x，增长(降低)一次，一般形式为a（1x）=b；增长（降低）两次，一般形式为a（1x）2=b；增长（降低）n次，一般形式为a（1x）n=b ,a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
15. 【答案】20%
【解析】根据原价为100元，连续两次涨价x后，现价为144元，根据增长率的求解方法，列方程求x．依题意，有：100（1+x）2=144，1+x=±1．2， 解得：x=20%或-2．2（舍去）．
考点：一元二次方程的应用．
三、解答题
16. 【答案】(1) 10%;(2) 3327.5万元
【解析】（1）一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），2015年要投入教育经费是2500（1+x）万元
，在2015年的基础上再增长x，就是2016年的教育经费数额，即可列出方程求解．（2）利用2016年的经费×（1+增长率）即可．
解：（1）设增长率为x，根据题意2015年为2500（1+x）万元，2016年为2500（1+x）（1+x）万元．
则2500（1+x）（1+x）=3025，
解得x=0.1=10%，或x=﹣2.1（不合题意舍去）．
答：这两年投入教育经费的平均增长率为10%．
（2）3025×（1+10%）=3327.5（万元）．
故根据（1）所得的年平均增长率，预计2017年该地区将投入教育经费3327.5万元．
17.【答案】10%
【解析】设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据“今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同”建立方程，解方程即可.
解:设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据题意得
10（1+x）2=12.1，
解得x=0.1，或x=-2.2（不合题意舍去）．
答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%；
18. 【答案】216cm
【解析】利用边的比例关系列方程，解方程.
解：由题意，得2(x2－4)＝x2＋2x，整理，得x2－2x－8＝0.
解得x1＝4，x2＝－2(舍去)．
∴x2－4＝12，x2＋2x＝24.
则铁丝长为12×6＋24×6＝216(cm)．
19. 【答案】（1）400元；（2）10%
【解析】（1）设每张门票的原定票价为x元，则现在每张门票的票价为（x-80）元，根据“按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元”建立方程，解方程即可；（2）设平均每次降价的百分率为y，根据“原定票价经过连续二次降价后降为324元”建立方程，解方程即可．
解：（1）设每张门票的原定票价为x元，则现在每张门票的票价为（x-80）元，
根据题意得，
解得x=400．
经检验，x=400是原方程的根．
答：每张门票的原定票价为400元；
（2）设平均每次降价的百分率为y，根据题意得
400（1-y）2=324，
解得：y1=0.1，y2=1.9（不合题意，舍去）．
答：平均每次降价10%．
考点：1.一元二次方程的应用；2.分式方程的应用．
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