2.1 有理数
2.1.1正数和负数
一．选择题
1．如果收入80元记作+80元，那么支出20元记作（ ）
A．+20元 B．﹣20元 C．+100元 D．﹣100元
2．如果水位升高3 m时水位变化记作+3m，那么水位下降3m时水位变化记作（ ）
A．﹣3 m B．3 m C．6 m D．﹣6 m
3．杨梅开始采摘啦！每筐杨梅以5 千克为基准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如图，则这4筐杨梅的总质量是（ ）
A．19.7千克 B．19.9千克 C．20.1千克 D．20.3千克
4．向东行驶3 km，记作+3 km，向西行驶2 km记作（ ）
A．+2 km B．﹣2 km C．+3 km D．﹣3 km
5．若火箭发射点火前10秒记为﹣10秒，那么火箭发射点火后5秒应记为（ ）
A．﹣5秒 B．﹣10秒 C．+5秒 D．+10秒
6．在一条东西向的跑道上，小明先向西走了10 米，记作“﹣10 米”，又向东走了8 米，此时他的位置可记作（ ）
A．﹣2 米 B．+2 米 C．﹣18 米 D． +18 米
7．如果+30 m表示向东走30 m，那么向西走40m表示为（ ）
A．+30 m B．﹣30 m C．+40 m D． ﹣40 m
8．有四包洗衣粉，每包以标准克数（500 克）为基准，超过的克数记作正数，不足的克数记作负数，以下数据是记录结果，其中表示实际克数最接近标准克数的是（ ）
A．+6 B．﹣7 C．﹣14 D． +18
二．填空题
9．一运动员某次跳水的最高点离跳板2m，记作+2 m，则水面离跳板3 m可以记作 ____m．
10．如果收入50元，记作+50元，那么支出30元记作 _____元．
11．若超出标准质量0.05 克记作+0.05 克，则低于标准质量0.03 克记作 _____克．
12．如果规定向东为正，那么向西即为负．汽车向东行驶3 千米记作+3 千米，向西行驶2 千米应记作 ____千米．
13．﹣1，0，0.2，，3中正数一共有 ______个．
14．既不是正数也不是负数的数是 ______．
15．某药品说明书上标明药品保存的温度是（20±2）℃，该药品在 ______℃范围内保存才合适．
三．解答题
16．在修我市解放路的BRT（快速公交）时，需要对部分建筑进行拆迁，市政府成立了拆迁工作组，他们步行去做拆迁户主的思想工作；如果向南记为负，向北记为正；以下是他们一天中行程（单位：km）：出发点，﹣0.7，+2.7，﹣1.3，+0.3，﹣1.4，+2.6，拆迁点；
（1）工作组最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？
（2）在一天的工作中，最远处离出发点有多远？
（3）如果平均每个拆迁地址（出发点处没有拆迁）要做1小时的思想工作，他们步行的速度为2km/h，工作组早上九点出发，做完工作时是下午几点？
17．小张上周星期五买进某公司股票1000股，每股46元，下表为本周内每日收盘是该股票的涨跌情况：
星期 一 二 三 四 五
每日涨跌 +4 +4.5 ﹣1 ﹣2.5 ﹣4
（1）星期三收盘时，每股是多少元？
（2）本周内每股最高是多少元？最低是多少元？
（3）本周星期五收盘时，这种股票的价格为每股多少元？
18．欢欢在一家玩具厂里测量了20个底座是圆形的玩具底座直径，测得结果如下（单位：mm）：
25 25 24 24 23 24 24 25 26 25 23 23 24 25 25 24 24 26 26 25．
试计算这20个玩具的平均直径．你能找出比较简单的计算方法吗？如果可以，请叙述你的方法．
19．已知某种食品每袋的标准质量是11克，工作人员对一批这种食品进行抽查，在所抽查的10袋中，有两袋的质量超过标准质量的5克，有四袋的质量低于标准质量8克，有三袋标准质量，还有一袋的质量低于标准质量15克，求这10袋食品的总质量．
20．某天，小华在一条东西方向的公路上行走，他从家出发，如果把向东280米记作﹣280米，那么他折回来行走350米，表示什么意思？这时，他停下来休息，休息的地方在他家什么方向，距家多远？小华走了多少米？
答案
一、1．B 分析：“正”和“负”相对，所以如果+80元表示收入80元，那么支出20元表示为﹣20元．故选B．
2．A 分析：因为上升记为+，所以下降记为﹣，所以水位下降3m时水位变化记作﹣3m．故选A．
3.C 分析：（﹣0.1﹣0.3+0.2+0.3）+5×4=20.1（千克），故选C．
4． B
5．C 分析：因为火箭发射点火前10秒记为﹣10秒，所以火箭发射点火后5秒应记为﹣5秒．故选C．
6.A
7.D
8.A 分析：|6|＜|﹣7|＜|﹣14|＜|18|，A越接近标准.故选A．
二、9．﹣3 10．﹣30 11．﹣0.03 12．﹣2 13． 3 14．0
15．18℃～22℃ 分析：温度是20℃±2℃，表示最低温度是20℃﹣2℃=18℃，最高温度是20℃+2℃=22℃，即18℃～22℃之间是合适温度．
三、16．解：（1）﹣0.7+2.7+（﹣1.3）+0.3+（﹣1.4）+2.6=2.2（km），
答：工作组最后到达的地方在出发点的北方，距出发点2.2km；
（2）第一次的距离是|﹣0.7|=0.7（km），第二次的距离是|﹣0.7+2.7|=2（km），第三次的距离是|2+（﹣1.3）|=0.7（km），第四次的距离是|0.7+0.3|=1（km），第五次的距离是|1+（﹣1.4）|=0.4，第六次的距离是|﹣0.4+2.6|=2.2（km），
∵2.2＞2＞1＞0.7＞0.4，
答：在一天的工作中，最远处离出发点有2.2 km；
（3）（|﹣0.7|+2.7+|﹣1.3|+0.3+|﹣1.4|+2.6）÷2=4（h），
9+4+6=19（点），
即下午7点，
答：工作组早上九点出发，做完工作时是下午7点．
17.解：（1）周三 46+4+4.5﹣1=53.5（元），
答：星期三收盘时，每股是53.5元；
（2）周一 46+4=50（元），周二50+4.5=54.5（元），周三 54.5﹣1=53.5（元），周四53.5﹣2.5=51（元），周五51﹣4=47（元），
54.5＞53.5＞51＞50＞47，
答：本周内每股最高是54.5元，最低是47元；
（3）46+4+4.5﹣1+（﹣2.5）﹣4=47（元），
答：本周星期五收盘时，这种股票的价格为每股47元．
18.解：[0+0+（﹣1）+（﹣1）+（﹣2）+（﹣1）+（﹣1）+0+1+0+（﹣2）+（﹣2）+（﹣1）+0+0+（﹣1）+（﹣1）+1+1+0]÷20+25
=﹣0.2+25=24.8
乙25为标准，超过的记为正，不足的记为负，再进行加法运算．
19.解：两袋记为+5g，四袋记为﹣8g，三袋记为0g，一袋记为﹣15g，
这10袋食品的总质量是[5×2+（﹣8）×4+0×3+（﹣15）×1]+11×10=73（g），
答：这10袋食品的总质量73g．
20.解：小华在一条东西方向的公路上行走，他从家出发，如果把向东280米记作﹣280米，那么他折回来行走350米，表示+350m，
350+（﹣280）=70（m），
|﹣280|+|+350|=630（m）．
答：休息的地方在他家西方，距家70米，小华走了630米．
2.1.2有理数
一．选择题
1．0这个数是（ ）
A．正数 B．负数 C．整数 D．无理数
2．在0，﹣l，2，﹣1.5这四个数中，是负整数的是（ ）
A．﹣1 B．0 C．2 D．﹣1.5
3．在﹣1，0，1，2这四个数中，既不是正数也不是负数的是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
4．把下列各数填在相应的大括号里，填写正确的是（ ）
+，﹣3.8，0，﹣1，﹣19，0.04，+56．
A．正整数集合：{0，+56，…} B．负数集合：{﹣3.8，﹣1，﹣19，…}
C．非负数集合：{+，0.04，+56，…} D．小数集合：{﹣3.8，0.04，…}
5．下列说法正确的是（ ）
A．最小的整数是0 B．平方等于它本身的数只有1
C．绝对值最小的数是0 D．倒数等于它本身的数只有1
6．在﹣2.5，，0，2这四个数中，是正整数的是（ ）
A．﹣2.5 B． C．0 D．2
7．在，﹣1，0，﹣3.2这四个数中，属于负分数的是（ ）
A． B．﹣1 C．0 D． ﹣3.2
8．下列说法正确的是（ ）
A．最大的负有理数是﹣1
B．0是最小的数
C．任何有理数的绝对值都是正数
D．如果两个数互为相反数，那么它们的绝对值相等
二．填空题
9．把下列各数填在相应的横线上：﹣1，0.2，﹣，3，﹣2.1，0，；负分数是 ____ ；整数是 _________ 10．1，﹣8，﹣0.23，，0，1，﹣，300%中是整数的有 _________ ．
11．给出下列说法：①0是正数；②0是整数；③0是自然数；④0是最小的自然数；⑤0是最小的正数；⑥0是最小的非负数；⑦0是偶数；⑧0就表示没有．其中正确的说法有 _____．
12．既不是真分数，也不是零的有理数是 _________ ．
13．给出下列各数：4.443，0，π，3.1159，﹣1000，，其中有理数的个数是m，非负数的个数是n，则m+n= _______．
14．最小的自然数是 _________ ，最大的负整数是 _________ ，绝对值最小的数是 _________ ，任意一个数的绝对值都是 _________ ，非负数有最 _________ （填大或小）值，非正数有最 _________ （填大或小）值．
三．解答题
15．把下列各数分别填入相应的集合里：+（﹣2），0，﹣0.314，﹣（﹣11），，﹣4，0.，
正有理数集合：{ …}，
负有理数集合：{ …}，
整数集合：{ …}，
自然数集合：{ …}，
分数集合：{ …}．
16．把下列各数填写在相应的集合内．
﹣，11，0，2，+30，﹣1.432
17．将下列各数填入相应的集合中：7，﹣，，|﹣21|，0，+2，﹣7，1.25．
负整数集合{ …}
正分数集合{ …}
非负数集合{ …}．
18．如图，下列两个圈内分别表示某个集合，重叠部分是这两个集合所共有的．把有理数﹣3，2006，0，37，填入它所属的集合的圈内.
19．把下列各数分别填入相应的集合里：
0、（﹣7）2、﹣0.3142、﹣（﹣19）、、﹣3、0.8、|﹣4|
整数集合{ …}，
负有理数集合{ …}，
分数集合{ …}．
答案
一、1． C 2.﹣1 3．B
4．B 分析：A.正整数集合：{+56}．故本选项错误；B.负数集合：{﹣3.8，﹣1，﹣19}．故本选项正确；C.非负数集合：{+，0，0.04，+56}．故本选项错误；D.小数集合：{+，﹣3.8，﹣1，0.04}．故本选项错误．故选B．
5．C 分析：A.没有最小的整数，故A错误；B.0的平方等于0，故B错误；C.0的绝对值最小，故C正确；D.倒数等于它本身的数是±1，故D错误.故选C．
6.D 分析：A.﹣2.5是负分数．故本选项错误；B.是正分数．故本选项错误；C.0是整数，它既不是正整数，也不是负整数．故本选项错误；D.2是正整数．故本选项正确；故选D．
7.D
8.D分析：A.最大的负有理数是﹣1，说法错误；B.0是最小的数，说法错误，还有负数；C.任何有理数的绝对值都是正数，说法错误，0的绝对值是0，不是正数；D.如果两个数互为相反数，那么它们的绝对值相等，说法正确．故选D．
二、9. ﹣，﹣2.1；﹣1，3，0 分析：在﹣1，0.2，﹣，3，0，﹣，中，负分数是﹣，﹣2.1；整数是：﹣1，3，0．
10.1，﹣8，0，300%
11. ②③④⑥⑦ 分析：①0不是正数，故说法错误；②0是整数，故说法正确；③0是自然数，故说法正确；④0是最小的自然数，故说法正确；⑤0不是正数，故说法错误；⑥0是最小的非负数，故说法正确；⑦0是偶数，故说法正确；⑧在有理数中，0的意义不仅表示没有，在进行运算时，0还有表示占位的意义，0还表示正整数与负整数的分界等，故说法错误．所以正确的说法有②③④⑥⑦．
12．假分数
13. 10分析：4.443，0，3.1159，﹣1000，，是有理数，m=5，4.443，0，π，3.1159，是非负数，n=5，m+n=5+5=10，
14. 0，﹣1，0，非负数，小，大 分析：最小的自然数是 0，最大的负整数是﹣1，绝对值最小的数是 0，任意一个数的绝对值都是 非负数，非负数有最 小（填大或小）值，非正数有最 大（填大或小）值.
三、15．解：正有理数集合：{﹣（﹣11），，0.，}；
负有理数集合：{+（﹣2），﹣0.314，﹣4}；
整数集合：{+（﹣2），0，﹣（﹣11）}；
自然数集合：{0，﹣（﹣11）}；
分数集合：{﹣0.314，，﹣4，0.，}．
16．解：整数集合的有：11，0，+30；
分数集合有：﹣，2，﹣1.432．
17．解：非负整数集合：{﹣7，…}；
正分数集合：{、1.25，…}；
非负数集合：{7、、|﹣21|、0、+2、1、25，…}．
18．解：
19.解：整数集合{0、（﹣7）2、﹣（﹣19）}
负有理数集合{﹣0.3142、}
分数集合{、、0.8、||}．
9
2.2 数轴
一、选择题
1.如图,在数轴上所标出的点中,相邻两点间的距离相等,则点C表示的数为( )
A.30 B.50 C.60 D. 80
2.下列各数,比-1小的是 ( )
A.-2 B.0 C.2 D.3
3.在数轴上点A表示-4,如果把原点向负方向移动1.5个单位长度,那么在新数轴上点A表示的数是 ( )
A.-5. 5 B.-4 C.-2.5 D.2.5
二、填空题
4.如图,A,B两点在数轴上,点A对应的数为2,若线段AB的长为3,则点B对应的数为_ _.
5.如图,数轴上的点P表示的数是-1,将点P向右移动3个单位长度得到点P',则点P'表示的数是________.
6.冷库A的温度是-5℃,冷库B的温度是-15 ℃,则温度较高的冷库是________,若使它的温度达到-16℃的标准,应该________(填“升高”或“降低”)________℃.
三、解答题
7.将有理数-2,1,0,-2,3在数轴上表示出来,并用“<”号连接各数.
8.在数轴上有三个点A,B,C,如图.
(1)将A点向右移动4个单位长度,此时该点表示的数是多少?
(2)将C点向左移动6个单位长度得到数x1,再向右移动2个单位长度得到数x2,问数x1,x2分别是多少?用“>”把表示点B,x1,x2的数连接起来.
9.我们规定:数轴上的点向右移动1个单位长度,表示为+1,那么向左移动2个单位长度,表示为-2.如图,一个点从原点开始,先向右移动3个单位长度,再向右移动2个单位长度,到达的终点是表示5的点,这个过程用算式表示为:(+3)+(+2)=+5.
(1)如果有一个点从原点开始按下列方式移动,先画图,再用算式表示移动过程:
①向左移动1个单位长度,再向左移动2个单位长度;
②向左移动2个单位长度,再向右移动2个单位长度;
③向左移动1个单位长度,再向右移动5个单位长度;
(2)将上述①,②和③中移动到达终点表示的数用“<”连接起来.
答案
1.B 分析：每个间隔之间所表示的单位长度为100÷4=25,点C在原点右边,与原点相距两个格,因此点C表示的数为50.
2. A 分析：在数轴上表示-2的点在表示-1的点的左边,因此-2<-1.
3. C 分析：平移后点A距离原点2.5个单位长度,且在原点的左边,所以点A表示的数是-2.5.
4. 5 分析：因为点A距离原点2个单位长度,点B距离点A3个单位长度,所以点B距离原点5个单位长度,又因为点B在原点的右边,所以点B对应的数为5.
5.2 分析：点P在原点左边,距离原点1个单位长度,从原点往右再2个单位长度表示的数为2.
6. A 降低 11分析：易知-5大于-15,所以冷库A温度较高,应降低11℃才达到-16℃的标准.
7. 解：如图.
由图知,-2<-2<0<1<3.
8.解：(1)将A点向右移动4个单位长度可以看作:先将A点向右移动3个单位长度,到达原点,再从原点向右移动1个单位长度,此时该点表示的数是1.
(2)将C点向左移动6个单位长度可以看作:先将C点向左移动4个单位长度到达原点,再从原点向左移动2个单位长度,此时该点表示的数是-2,即x1=-2;将表示-2的点再向右移动2个单位长度,此时该点表示的数为0,即x2=0.表示点B,x1,x2的数连接起来为:0>-1>-2.
9.解：(1)①如图:
算式:(-1)+(-2)=-3.
②如图:
算式:(-2)+(+2)=0.
③如图:
算式:(-1)+(+5)=+4.
(2)-3<0<+4.
4
2.3 相反数
1．下列各组数，互为相反数的是（ ）
A．3和－3 B．－3和
C．－3和 D．和3
2．下列说法正确的是（ ）
A．和－0.125不互为相反数 B．－m不可能等于0
C．正数和负数互为相反数 D．任何一个数都有相反数
3．一个数的相反数是非负数，则这个数一定是（ ）
A．正数 B．负数
C．正数或0 D．负数或0
4．下列各组数，互为相反数的有（ ）
①+（+1）与－（－1）；②－（+1）与+（－1）；③+（+1）与－（+1）；④+（－1）与－（－1）.
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
5．如果a＝－b，那么a，b两个实数一定是（ ）
A．一正一负B．相等的数
C．互为相反数 D．互为倒数
6．下列各对数，互为相反数的是（ ）
A．－（+7）与+（－7） B．与+（－0.5）
C．与 D．+（－0.01）与
7．一个数在数轴上所对应的点向左移动2018个单位长度后，得到它的相反数对应的点，则这个数是（ ）
A．2018 B．－2018 C．1009 D．－1009
8．下面各组数，互为相反数的有( )．
和 ②－(－6)和＋(－6) ③－(－4)和＋(＋4)
④－(＋1)和＋(－1) ⑤和＋ ⑥和
A.4组 B.3组 C.2组 D.1组
9．下列说法正确的有( )
①－3和＋3互为相反数；②符号不同的两个数互为相反数；③互为相反数的两个数必定一个是正数，一个是负数；④的相反数是－3.14；⑤一个数和它的相反数不可能相等．
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个或更多
10．若一个数的相反数是，则这个数是________；若x－2与－5互为相反数，则x的相反数是________.
11．已知n是－（－5）的相反数，6比最小的正整数大4，c是最大的负整数，求a，b，c的值各是多少.
12．已知表示数a，b的点在数轴上的位置如图.
（1）在数轴上表示出a，b的相反数的位置.
（2）若数6与其相反数相距20个单位长度，则6表示的数是多少？
（3）在（2）的条件下，若表示数a的点与表示数b的相反数的点相距5个单位长度，则a表示的数是多少？
答案
1．A
2．D 解析 ，与相比只有符号不同，它们互为相反数，故A不正确；m是字母可能等于0，则－m也可能等于0，故B不正确；正数和负数除符号不同外，其他可能也不同，如－2和3，所以不一定互为相反数，故C不正确．故选D．
3．D 解析 非负数是指正数或0，而正数的相反数是负数，0的相反数是0，所以这个数一定是负数或0．
4．C 解析 ＋（＋1）＝1，－（－1）＝1，所以①中的两个数不互为相反数；－（＋1）＝－1，＋（－1）＝－1，所以②中的两个数不互为相反数；＋（＋1）＝1，－（＋1）＝－1，所以③中的两个数互为相反数；＋（1）＝－1，－（－1）＝1，所以④中的两个数互为相反数．故选C．
5．C 解析 a＝－b，则a＋b＝0，两数互为相反数．
6．D 解析 化简题中各数：－（＋7）＝－7，＋（－7）＝－7，故－（＋7）＝＋（－7），A不符合题意；，B不符合题意；，与不互为相反数，C不符合题意；＋（－0.01）＝－0.01，，－0.01和0.01互为相反数，故D符合题意．
7．C 解析这两个点之间的距离为2 018，由相反数是在数轴上原点的两侧且与原点的距离相等的两个点所表示的数，得两个数是1 009和－1 009．又因为这个数所对应的点在原点的右侧，所以这个数为1 009．
8.A 9.B
10．；－7 解析 若一个数的相反数是，则这个数应是的相反数，故为；x－2等于5的相反数，而－5的相反数是5，所以x－2＝5，x＝7，则x的相反数为－7．
11．解：因为－（－5）＝5，所以－（－5）的相反数为－5，a＝－5；
因为最小的正整数为1，b比最小的正整数大4，
所以b＝1＋4＝5；
因为最大的负整数为－1，
所以c＝－1．
故a的值是5，b的值是5，c的值是－1．
12．解：（1）如图．
（2）因为b与其相反数相距20个单位长度，所以b距原点10个单位长度．同时，b在原点的左侧，所以b表示的数是－10．（3）由（2）可知－b表示的数是10，因为a在－b的左侧，且距表示－b的点5个单位长度，所以a表示的数是5．
4
2.4 绝对值
一、选择题
1. -5的绝对值是 ( )
A.5 B.-5 C. D.-
2.如图,数轴的单位长度为1,如果点A,B表示的数的绝对值相等,那么点A表示的数是 ( )
A.-4 B.-2 C.0 D.4
3.如果|a|=-a,那么a的取值范围是 ( )
A.a>0 B.a<0 C.a≤0 D.a≥0
二、填空题
4.│-(+4.8)│的相反数为________.
5.已知|x|=2012,|y|=2013,且x>0>y,则x=________,y=________.
6.现定义某种新运算:对任意两个有理数a,b,有a※b=×|b|,如2※3=×|3|=×3=,
4※(-2)=×|-2|=×2=.计算:3※(-6)=________.
三、解答题
7.已知│a-2│+│b-3│=0,求a+2b的值.
8.北京航天研究院所属工厂,制造“神舟十号”运载火箭上的一种螺母,要求螺母内径可以有±0.02mm的误差,抽查5个螺母,超过规定内径的毫米数记作正数,没有超过规定内径的毫米数记作负数,检查结果如下:+0.010, -0.018,+0.006,-0.002,+0.015.
(1)指出哪些产品是合乎要求的?(即在误差范围内的)
(2)指出合乎要求的产品中哪个质量好一些,哪个质量稍差一些?
9.阅读材料,解答下列问题:
当a>0时,如a=6则|a|=|6|=6,此时a的绝对值是它本身;
当a=0时,|a|=0,此时a的绝对值是零;
当a<0时,如a=-6则|a|=|-6|=6=-(-6),此时a的绝对值是它的相反数.
综上所述,一个数的绝对值要分三种情况,即|a|=这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想.请仿照例中分类讨论的方法,分析猜想|a|与-a的大小关系.
答案
1. A 分析：一个负数的绝对值是它的相反数,所以-5的绝对值是5.
2. B 分析：在数轴上到原点距离等于2的点所表示的数是-2和2,左边表示的数是-2,所以点A表示的数是-2.
3. C分析：因为一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0,所以如果|a|=-a,那么a的取值范围是a≤0.
4.-4.8分析：先化简│-(+4.8)│得4. 8,所以4.8的相反数是-4.8.
5. 2012 -2013 分析：因为|x|=2012,所以x=±2012.因为|y|=2013,所以y=±2013.因为x>0>y,所以x=2012,y=-2013.
6.2 分析： 3※(-6)=×|-6|=×6=2.
7.解：因为│a-2│≥0,│b-3│≥0,
又│a-2│+│b-3│=0,
所以│a-2│=0,│b-3│=0,
由于绝对值是0的数只有0,所以a-2=0,b-3=0.
所以a=2,b=3.
所以a+2b=2+2×3=8.
8.解：(1)因为|+0.010|=0.010<0.02,|-0. 018|=0.018<0.02,|+0.006|=0.006<0.02,
|-0.002|=0.002<0.02,|+0.015|=0.015<0.02,所以所抽查的产品都合乎要求.
(2)绝对值越接近0质量越好,|-0.002|=0.002最接近0,所以质量好一些;|-0.018|=0.018最大,所以质量稍差一些.
9.解：(1)当a>0时,|a|=a值为正数,-a为负数,因为正数大于负数,所以|a|>-a.
(2)当a=0时,|a|=|0|=0,-a=0,所以|a|=-a.
(3)当a<0时,|a|=-a.
综上所述,|a|≥-a.
3
2.5 有理数的大小比较
1．比较，，的大小，结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列比较大小正确的是（ ）
A．－（－21）<+（－21） B．
C．－｜－7｜＝－（－7） D．
3．若｜－x｜＝5，则x等于（ ）
A．－5 B．5 C． D．±5
4．a，b为有理数，a>0，b<0，且a<｜b｜，则a，b，－a，｜b｜的大小关系是（ ）
A．b<－a<｜b｜
C．b<｜b｜<－a5．如图，四个有理数在数轴上的对应点分别为M，P，N，Q，若原点在点N与点P之间，则绝对值最大的数表示的点是（ ）
A．点M B．点P C．点Q D．点N
6．检查4个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表：
篮球的编号 1 2 3 4
与标准质量的差（克） +4 +5 －5 －3
则质量较好的篮球的编号是（ ）
A．1号 B．2号 C．3号 D．4号
7．如图，数轴上的A，B，C三点所表示的数分别是a，b，c，其中AB＝BC，如果｜a｜>b>c，那么该数轴的原点O的位置应该在（ ）
A．点A的左边 B．点A与点B之间
C．点B与点C之间 D．点B与点C之间或点C的右边
8．绝对值不大于3的整数有________；绝对值大于2.5小于7.2的所有负整数为________.
9．比较下列各数的大小，并用“<”号把各数连接起来：
－2.5，1，0，，3，，1，5.
10．已知有理数a，－b，－c在数轴上的位置如图，试用“<”号将a，－a，b，－b，c，－c，0连接起来.
11．正式足球比赛所用足球的质量有严格的规定.下面是6个足球的质量检测结果（用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数）：
－25，+10，－20，+30，+15，－40.
请指出哪个足球的质量好一些，并用绝对值的知识进行说明.
12.某工厂负责生产一批螺帽，根据产品质量要求，螺帽的内径可以有0.02 mm的误差，抽查5只螺帽，超过规定内径的毫米数记作正数，不足规定内径的毫米数记作负数，检查结果如下表（单位：mm）：
+0.030 －0.018 +0.026 －0.025 +0.015
（1）指出哪些产品是合乎要求的（即在误差范围内）.
（2）指出合乎要求的产品哪个质量好一些（即最接近标准）.
拓展延伸：
（3）如果对两个螺帽作上述检查，检查的结果分别为a和b，请利用学过的绝对值知识指出哪个螺帽的质量好一些？
13．如果｜a｜＝4，｜6｜＝3，且a>b，求a，b的值，
14．a是有理数，且｜a｜＝8.
（1）若－a<0，求a的值；
（2）若a<0，在数轴上把表示a的点向右移动5个单位长度后得到的点表示的数是多少？
15．已知a，b，c为有理数，且它们在数轴上的位置如图.
（1）试判断a，b，c的正负性.
（2）在数轴上标出a，b，c的相反数的位置.
（3）根据数轴化简：
①｜a｜＝________，②｜b｜＝________，
③｜c｜＝________，④｜－a｜＝________，
⑤｜－b｜＝________，⑥｜－c｜＝________.
（4）若｜a｜ ＝5，｜b｜＝2.5，｜c｜＝7.5，求a，b，c的值.
答案
1．A 分析：在，，这三个数中，是正数，和是负数，正数大于负数，所以最大．又因为，所以，所以选A．
2．D 分析：因为－（－21）＝21，＋（－21）＝－21，21>－21，所以－（－21）>＋（－21），A不正确；因为，所以B不正确；因为－|－7|＝－7，－（－7）＝7，－7<7，所以－|－7|<－（－7），C不正确；因为，，，所以，故D正确．
3．D 分析：因为|－x|＝5，所以－x＝±5，所以x＝±5．
4．B 分析：可利用数轴进行比较，在数轴上找到a，b，－a，|b|所对应的点，利用左边的数小于右边的数进行比较，如图. 由数轴可知b<－a<0
5．A 分析：因为原点在点N与点P之间，所以原点的位置大约在O点，如图. 所以绝对值最大的数表示的点是点M．
6．D 分析：|－3|<|＋4|<|＋5|＝|－5|．
7．D 解析 原点在A点左边，则|c|>|b|>|a|，因此排除A选项．若原点在点A与点B之间，则|c|最大，因此排除B选项．若原点在点B与点C之间，则|a|最大，此时，若原点靠近点C，|b|>|c|，因此符合要求；若原点在点c的右边，则|a|>|b|>|c|，也符合要求，因此D选项正确．
8．±3，±2，±1，0；－3， 4，－5，－6，－7
9.解：．
10．解：如图，在数轴上标出－a，b，c，则a<－c
11．解：质量检测结果是＋10的足球质量好一些．
因为|－25|＝25，|＋10 |＝10，|－20|＝20，|＋30|＝30，|＋15|＝15，|－40|＝40，
又因为10<15<20<25<30<40，
即|＋10|<|＋15|<|－20|<|－25|<|＋30|<|－40|，
所以质量检测结果是＋10的足球质量好一些．
12．解：（1）因为|－0.018|＝0.018<0.02，|＋0.015|＝0.015<0.02，所以螺帽内径检查结果为－0.018 mm和＋0.015 mm的这两只螺帽合乎要求．
（2）因为|－0.018|＝0.018，0.015<0.018，所以检查结果为0015 mm的螺帽质量要好些．
（3）如果|a|>|b|，则结果为b的质量好一些；
如果|a|<|b|，则结果为a的质量好一些；
如果|a|＝|b|，则两个螺帽的质量一样好．
13．解：因为|a|＝4，|b|＝3，所以a＝±4，b＝±3．
当a＝4，b＝±3时，符合条件a>b；
当a＝－4，b＝±3时，a所以a为4，b为±3．
14．解：（1）根据题意，得a＝±8．当a＝8时，－a<0，符合条件；当a＝－8时，－a>0，不符合条件．所以a＝8．
（2）因为a<0，所以a＝－8，所以把表示－8的点向右移动5个单位长度后，得到的点表示的数是－3．
15．解：（1）a<0，b>0，c>0．
（2）如图．
（3）①－a；②b；③c；④－a；⑤b；⑥c
（4）由题意可知：a＝±5，b＝±2.5，c＝±7.5，
又因为a<0，b>0，c>0，所以可得a＝－5，b＝2.5，c＝7.5．
1
2.6.1有理数的加法法则
一．选择题
1．计算﹣2+3的结果是（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣5 D．﹣6
2．计算（﹣2）+（﹣3）的结果是（ ）
A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5
3．已知a＞b且a+b=0，则（ ）
A．a＜0 B．b＞0 C．b≤0 D．a＞0
4．比﹣1大1的数是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．﹣2
5．如果+□=0，则“□”表示的数应是（ ）
A．﹣3 B．3 C． D．﹣
6．把夏禹时代的“洛书”用数学符号翻译出来就是一个三阶幻方，它的每行、每列、每条对角线上三个数之和均相等，则幻方中的a﹣b的值是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
7．计算|﹣3|+1的结果等于（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．4 D．2
8．气温由﹣3℃上升2℃，此时的气温是（ ）
A．﹣2℃ B．﹣1℃ C．0℃ D．1℃
二．填空题
9．一组数：1，﹣2，3，﹣4，5，﹣6，…，99，﹣100，这100个数的和等于 _________ ．
10．已知|x|=1，|y|=2，且xy＞0，则x+y= _________ ．
11．如果﹣2+△=﹣8，则“△”表示的数应是 _________ ．
12．计算的值为 _________ ．
13．计算：||+= _________ ．
14．若a、b互为相反数，则3a+3b+2= _________ ．
三．解答题
15．在一条东西走向的马路旁，有青少年宫、学校、商场、医院四家公共场所，已知青少年宫在学校东300m处，商场在学校西200m处，医院在学校东500m处，若将马路近似地看作一条直线，以学校为原点，向东方向为正方向，用1个单位长度表示100m．
（1）在数轴上表示出四家公共场所的位置；
（2）列式计算青少年宫与商场之间的距离．
16．计算（+1）+（﹣2）+（+3）+…+（+2015）+（﹣2016）．
17．计算：（﹣）+（﹣）+（﹣）+1．
18．若规定a*b=（﹣a）+（﹣b），求（﹣2）*5的值．
19．计算：（+++…++）+（+++…++）+…+（+）．
答案
一、1.A 2.A
3．D 分析：因为a＞b且a+b=0，所以a＞0，b＜0.故选D．
4．C
5．D 分析：和其相反数相加为0，则其相反数为﹣．故选D．
6．A 分析：三阶幻方的和是3×5=15，右上角的数是15﹣5﹣8=2，a=15﹣2﹣9=4，5左边的数是15﹣8﹣4=3，b=15﹣5﹣3=7，a﹣b=4﹣7=﹣3.故选A．
7．C 8． B
二、9.-50 分析：1﹣2+3﹣4+5﹣6+…+99﹣100=﹣1﹣1﹣1﹣…﹣1=﹣50.
10．±3分析：|x|=1，|y|=2，且xy＞0，x=1，y=2；x=﹣1，y=﹣2，x+y=1+2=3，x+y=﹣1+（﹣2）=﹣3．
11．﹣6
12．-3 分析：原式=﹣﹣2﹣=﹣1﹣2=﹣3．
13．1分析：原式=+=1．
14．2 分析：因为a、b互为相反数，所以a+b=0，则3a+3b+2=3（a+b）+2=2．
三、15.解：（1）如图，点A表示商场，点C表示青少年宫，点D表示医院，原点表示学校.
（2）依题意得青少年宫与商场之间的距离为300﹣（﹣200）=500（m）．
答：青少年宫与商场之间的距离为500m．
16．解：原式=﹣1﹣1﹣1…﹣1=﹣1003．
17．解：原式=[（﹣）+1]+[（﹣）+（﹣）]
=1+（﹣1）
=0．
18．解：根据题意得：（﹣2）*5=2﹣5=﹣3．
19．解：原式=+（）+（）+（）+（）+（）+…+（）
=+1+1.5+2+2.5+3+…+48.5
=（0.5+48.5）×97÷2
=2 376.5．
2.6.2有理数加法的运算律
一、选择题
1．计算（﹣2）+（﹣3）的结果是（ ）
A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5
2．计算15+（﹣22）的结果等于（ ）
A．﹣39 B．﹣7 C．7 D．39
3．气温由﹣3℃上升2℃，此时的气温是（ ）
A．﹣2℃ B．﹣1℃ C．0℃ D．1℃
4．下列计算，正确的是（ ）
A．﹣3+2=1 B．20﹣1=1 C．﹣32=﹣9 D．|+2|=﹣2
5．计算﹣|﹣3|+1结果正确的是（ ）
A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣4
6．下面的数中，与﹣5的和为0的是（ ）
A．5 B．﹣5 C． D．
7．比3的相反数大1的数是（ ）
A．﹣2 B．﹣3 C． D．﹣
8．乐乐家冰箱冷冻室的温度为﹣15℃，调高3℃后的温度为（ ）
A．18℃ B．12℃ C．﹣12℃ D．﹣18℃
二．填空题
9．一组数：1，﹣2，3，﹣4，5，﹣6，…，99，﹣100，这100个数的和等于 _________ ．
10．若a、b互为相反数，则3a+3b+2= _________ ．
11．数轴上A、B两点所表示的有理数的和是 _________ ．
12．某天最低气温是﹣5℃，最高气温比最低气温高5℃，则这天的最高气温是 _____℃．
13．三个小球上的有理数之和等于 _________ ．
14．若|x|=2，|y|=3，且＜0，则x+y= _________ ．
三．解答题
15．计算：（﹣）+（﹣）+（﹣）+1．
16．计算：1+2+3+4+5．
17．计算：﹣0.375+3+（﹣5）+（﹣1.25）．
18．求1，2，﹣3，﹣4，5，6，﹣7，﹣8，…，2009，2010，﹣2011，﹣2012，2013，2014，这2014个数的和．
19．计算：++++++++．
20．计算：+++…++．
答案
一、1.A 2． B 3． B
4．C 分析： A、﹣3+2=﹣1≠1，故选项错误；B、20﹣1=1﹣1=0≠1，故选项错误；C、﹣32=﹣9，故选项正确；D、|+2|=2≠﹣2，故选项错误．故选C．
5．C 分析：﹣|﹣3|+1=﹣3+1=﹣2．故选C．
6． A
7．A 分析：因为3的相反数是﹣3，所以比3的相反数大1的数是：﹣3+1=﹣2．故选A．
8．C 分析：根据题意，得﹣15+3=﹣12（℃）.故选C．
二、9．-50 分析：1﹣2+3﹣4+5﹣6+…+99﹣100=﹣1﹣1﹣1﹣…﹣1=﹣50.
10．2 分析：因为a、b互为相反数，所以a+b=0，则3a+3b+2=3（a+b）+2=2．
11．-1 分析：由数轴得，点A表示的数是﹣3，点B表示的数是2，故A，B两点所表示的有理数的和是﹣3+2=﹣1．
12．0℃
13三-2 分析：2+1+（﹣5）=﹣2．
14．±1 分析：因为|x|=2，|y|=3，所以x=±2，y=±3．又因为＜0，所以x，y异号，所以x=2，y=﹣3
或x=﹣2，y=3．所以x+y=2+（﹣3）=﹣1或﹣2+3=1．
三、15.解：原式=[（﹣）+1]+[（﹣）+（﹣）]
=1+（﹣1）
=0．
16．解：原式=（1+2+3+4+5）+（++++）
=15+（+++）
=15+（++）
=15+（+）
=15+
=15．
17．解：﹣0.375+3+（﹣5）+（﹣1.25）
=﹣0.375+3.25+（﹣5.625）+（﹣1.25）
=﹣0.375+（﹣5.625）+[（﹣1.25）+3.25]
=﹣6+2
=﹣4．
18．解：原式=（1+2﹣3）+（﹣4+5+6﹣7）+（﹣8+9+10﹣11）+…+（﹣2008+2009+2010﹣2011）+（﹣2012+2013+2014）
=2015．
19．解：原式==1﹣=．
20．解：原式=+…
=1+…
=1﹣
=．
1
2.7 有理数的减法
1．0－2017的结果是（ ）
A．2017 B．－2017 C． D．
2．下列计算错误的是（ ）
A．－2－（－2）＝0 B．－3－4＝－7
C．－7－（－3）＝－0 D．12－15＝－3
3．下列说法正确的是（ ）
A．零减去一个有理数，仍得这个有理数
B．两个有理数之差一定小于它们的和
C．互为相反数的两个数的差为零
D．较小的数减去较大的数所得的差必定为负数
4．比－2小3的数是（ ）
A．－5 B．1 C．－1 D．－6
5．已知a，b，c三个数在数轴上对应点的位置如图，下列几个判断：①a0；④c－a<0，错误的有（ ）
A.1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．若｜a－1｜+｜b+3｜＝0，则b－a的值为（ ）
A．－4 B．－2 C．－1 D．1
7．计算1－（－2）的结果是（ ）
A. 3 B. －3 C. 1 D. －1
8．比1小2的数是（ ）
A． B． C． D．
9．比小的数是（ ）
A． B． C． D．
10．等于（ ）
A． B． C． D．
11．两个数的差为负数，这两个数（ ）
A.都是负数 B.一个是正数，一个是负数
C.减数大于被减数 D.减数小于被减数
12．下列说法正确的是（ ）
A.零减去一个数，仍得这个数
B.减去一个数，等于加上这个数
C.两个相反数相减得0
D.有理数的加减法中，和不一定比加数大，差不一定比被减数小
13．若两个数的差是正数，那么（ ）
A．被减数是负数，减数是负数 B．被减数和减数都是正数
C．被减数大于减数 D．被减数和减数不能同为负数
14．设两个有理数的和为a，这两个数的差为b，则a，b之间的关系为（ ）
A．a=b B．a>b C．a15.冬季的某一天，我市的最高气温为7℃，最低气温为-2℃，那么这天我市的最高气温比最低气温高_ __℃.
16. 已知甲地的海拔高度是300m，乙地的海拔高度是-50m,那么甲地比乙地高______m.
17．若x+y＝0，｜x｜＝5，则｜x－y｜＝－________.
18．计算：（1）（－2）－（－9）；（2）0－11；
（3）－2.8－（+2.8）；（4）
19. 已知a是7的相反数，b比a的相反数大3，b比a大多少？
答案
1．B 分析：0－2 017＝0＋（－2 017）＝－2 017．
2．C 分析：－2－（－2）＝－2＋2＝0；－3－4＝－3＋（－4）＝－7；－7－（－3）＝－7＋3＝－4；12－15＝12＋（－15）＝－3．故选C．
3．D 分析：零减去一个有理数，结果为这个有理数的相反数，选项A错误；两个有理数之差不一定小于它们的和，例如－1－（－5）＝－1＋5＝4，而－1＋（－5）＝－6，选项B错误；互为相反数的两个数的和为零，选项C错误；较小的数减去较大的数所得的差必定为负数，选项D正确．
4．A 分析：－2－3＝－2＋（－3）＝－5．
5．C 分析：由数轴可知a0，且|a|>|b|，则－a>0，所以－a>b，故②错误；a＋b应取a的符号，即a＋b<0，故③错误；c－a是大数减小数，是正数，即c－a>0，故④错误．综上共有3个错误的判断.故选C.
6．A 分析：由题意得a－1＝0，b＋3＝0，所以a＝1，b＝－3，所以b－a＝－3—1＝－4．
7．A 8．Ｃ 9．A 10．Ｄ 11．C 12．D 13．C 14．D
15.9 16.350
17．10 分析：因为|x|＝5，所以x＝±5．又因为x＋y＝0，所以当x＝5时，y＝－5；当x＝－5时，y＝5；当x＝5，y＝－5时，|x－y|＝|5－（－5）|＝10；当x＝－5，y＝5时，|x－y|＝|－5—5|＝10.
18．解：（1）（－2）－（－9）＝－2＋9＝7．
（2）0－11＝－11．
（3）－2.8－（＋2.8）＝－2.8—2.8＝－5.6．
（4）
19. -3,提示：a是-7，b=-7+3=-4.所以a-b=（-7）-（-4）=-7+4=-3.
1
2.8 有理数的加减混合运算
一、选择题
1.计算(2-3)+(-1)的结果是 ( )
A.-2 B.0 C.1 D.2
2.某地一天早晨的气温是-7℃,中午上升了11℃,午夜又下降了9℃,则午夜的气温是 ( )
A.5℃ B.-5℃ C.-3℃ D.-9℃
3.已知|a|=1,|b|=2,|c|=4,且a>b>c,则a-b+c= ( )
A.-1或-3 B.7 C.-3或7 D.-1
二、填空题
4.已知有理数+3,-8,-10,+12,请你通过有理数的加减混合运算,使其运算结果最大,这个最大值是________.
5.七年级一班某次数学测验的平均成绩为80分,数学老师以平均成绩为基准,记作0,把小龙、小聪、小梅、小莉、小刚这五位同学的成绩简记为+10,-13,0,+20,-2.问这五位同学的平均成绩是________分.
6.一跳骚在一直线从0点开始,第1次向右跳1个单位,紧接着第2次向左跳2个单位,第3次向右跳3个单位,第4次向左跳4个单位,…,依此规律跳下去,当它跳第100次落下时,落点处离0点的距离是________个单位.
三、解答题
7.计算:(1)+(-)++(-)+(-);
(2)5.6+(-0.9)+4.4+(-8.1)+(-1);
(3)(-3)-(-1)-(-2)+(-1.75);
(4)-108-(-112)+23+18;
(5)(-4)-{3-[-0.13-(-0. 33)]}.
8.若“三角”表示运算a-b+c,“方框”表示运算x-y+z+w,写出-表示的运算,并计算结果.
9.观察下面的变形规律:
=1-;
=-;
=-;
…
解答下面的问题:
(1)若n为正整数,请你猜想=______.
(2)求和:+++…+.
答案
1.A 分析： (2-3)+(-1)=2-3-1=-2.
2.B 分析：根据题意可列式-7+11-9=-5,所以午夜的温度是零下5℃.
3.A 分析：由题意得a=±1,b=±2,c=±4,又由a>b>c,可得a=±1,b=-2,c=-4.
所以当a=1,b=-2,c=-4时,a-b+c=1-(-2)+(-4)=-1.当a=-1,b=-2,c=-4时,a-b+c=(-1)-(-2)+(-4) =-3.
4.33 分析：(+3+12)-(-8-10)=15+18=33.
5.83 分析：五位同学的平均成绩:80+(10-13+0+20-2)÷5=80+3=83(分).
6.50分析：向右跳记为正,向左跳记为负.
根据题意得第100次落下时,落点处离0点1-2+3-4+…+99-100=(1-2)+(3-4)+…+(99-100)=(-1)+(-1)+…+(-1)=-50,即落点处在0点左侧50个单位处.
7.解：(1)原式=[+(-)]+[(-)+(-)]+=-1+=-.
(2)原式=(5.6+4.4)+(-0.9-8.1-1)=10-10=0.
(3)原式=(-3+1)+(2-1)=-2+1=-1.
(4)原式=-108+112+23+18=-108+153=45.
(5)原式=(-4)-(3+0.13-0.33)=-7.7.
8.解：-=(-+)-[(-2)-3+(-6)+3]
=(-+)-(-2-3-6+3)=--(-8)=-+8=7.
9.解：(1)-.
(2)原式=1-+-+-+…+-=1-=.
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