2.1 正数与负数
一、选择题
1．下列四个数中，在－3到0之间的数是（ ）.
A．－2 B．1 C．－4 D．3
2．在数0，2，－3，－1.2中，属于负整数的是（ ）.
A．0 B．2 C．－3 D．－1.2
3．如果零上3 ℃记作+3 ℃，那么零下3 ℃记作（ ）.
A．3 B．－6 C．－3 ℃ D．－6 ℃
4．下列说法正确的是（ ）.
A．整数包括正整数和负数 B．零是整数，但不是正数，也不是负数
C．分数包括正分数、负分数和零 D．一个数不是正数就是负数
5．如果+20％表示增加20％，那么－6％表示（ ）.
A．增加14％ B．增加6％ C．减少6％ D．减少26％
6．某项科学研究，以45分钟为1个时间单位，并记每天上午10 时为0，10时以前记为负，10时以后记为正.例如，9：15记为－1，10：45记为1等，依此类推，上午7：45应记为（ ）.
A．3 B．－3 C．－2.15 D．－7.45
二、填空题
7．气温－12 ℃表示的意义是 ．
8．某蓄水池的标准水位记为0 m，如果水面高于标准水位0.23 m表示为+0.23 m，那么水面低于标准水位0.1 m表示为 ．
9．已知下列各数：－2，+3 005，0，－2 398，36，，则正数有 ；负数有 ．
10．据有关资料介绍，高度每升高1 km，气温大约下降6 ℃，如果山脚下的气温为12 ℃，山顶的气温为0 ℃，那么山的高度大约为 km．
11．某粮店出售的三种品牌的面粉袋上，分别标有质量为（25±0.1）kg，（25±0.2）kg，（25±0.3）kg的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差 ．
三、解答题
12．一次军事训练中，一架直升机“停”在离海面180 m的低空，一艘潜水艇潜在水下
150 m处．设海平面的高度为0 m，请用正负数表示该直升机和潜水艇的高度．
13．将下列各数填在相应的集合里．
－3．8，－10，4．3，－，4，0，－．
整数集合：{ …}；
分数集合：{ …}；
正数集合：{ …}；
负数集合：{ …}．
14．在一次英语单词默写中，七（8）班平均每个同学默写正确28个．现规定：高于平均成绩的部分记作正数．
（1）小明默写正确32个单词，他的成绩可以记作多少？
（2）小亮的成绩被记作－5，那么他默写正确的单词有多少个？
15．一零件的长度在图纸上标为10±0.05（单位：mm）．如果这种零件的长度为10 mm，则加工时要求最大不超过多少？ 最小不少于多少？ 实际生产时，测得一零件的长为9.9 mm，问此零件合格吗？
16．在小学我们学习了偶数0，2，4，6，8，…，以及奇数1，3，5，7，9，…，现在我们学过了负数，也知道了负偶数与负奇数，负偶数－2，－4，－6，－8，…，负奇数－1，－3，－5，－7，…，下面我们将这些负偶数与负奇数排列如图.
第一列 第二列 第三列 第四列 第五列
－1 －2 －3 4
－8 －7 －6 －5
－9 －10 －11 －12
－16 －15 －14 －13
在上述的这些数中，观察它们的规律，并求－101在哪一列．
参考答案
一、1．A 2．C 3．C 4．B 5．C 6．B
二、7．零下12 ℃ 8．－0.1 m 9．+3 005 36 －2 398
10．2 11．0.6 kg
三、12．解：直升机的高度为+180 m，潜水艇的高度为－150 m.
13．解：整数集合：{－10，4，0，…}；
分数集合：{－3.8，4.3，－，－，…}；
正数集合：{ 4.3，4，…}；
负数集合：{－3.8，－10，－，－，…}．
14．解：（1） +4. （2） 23个.
15．解：最大不超过10.05 mm，最小不少于9.95 mm，不合格．
16．解：以8个数作为一个循环段，则第96个数在第一列，第100个数在第五列，所以第101个数在第四列，即－101在第四列．
PAGE
3
2.2 有理数与无理数
一、选择题
1．π 是（ ）.
A．整数 B．分数 C．有理数 D．无理数
2．在数0，，，-（-），，0.3，0.141 041 004…（相邻两个1，4之间的0的个数逐次加1），中，有理数的个数为（ ）.
A．3 B．4 C．5 D．6
3．下列语句正确的是（ ）.
A．0是最小的数 B．最大的负数是－1
C．比0大的数是正数 D．最小的自然数是1
4．下列各数中无理数的个数是（ ）.
，0.123 456 789 101 1…，0，2π．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．下列说法中，正确的是（ ）.
A．有理数就是正数和负数的统称 B．零不是自然数，但是正数
C．一个有理数不是整数就是分数 D．正分数、零、负分数统称分数
6．在，3.14，0，0.313 113 111．…，0.43五个数中分数有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
7．最小的正整数是 ，最大的负整数是 ，最小的非负整数是 ．
8．有理数中，是整数而不是正数的数是 ；是整数而不是负数的数是 ．
9．若一个正方形的面积为5，则其边长可能是 数．
10．给出下列数：－18，，3.1416，0，2 001，－，－0.14，95％，其中负数有 ，整数有 ，负分数有 ．
11．有6个数：0.123，－1.5，520.1314，，－2π，0.102 002 000 2…，若其中无理数的个数为x，整数的个数为y，非负数的个数为z，则x+y+z= ．
12．观察下面依次排列的一列数，根据你发现的规律在各列的后面填上三个数．
（1） 1，－2，4，－8，16，－32． ， ， …
（2） 4，3，2，1，0，－1，－2． ， ， …
（3） 1，2，－3，4，5，－6，7，8，－9， ， ， …
三、解答题
13．有一面积为5π的圆的半径为x，x是有理数吗? 说说你的理由．
14．把下列各数填在相应的大括号内：
，0，，314，－，，，－0．55，8，1.121 221 222 1…（两个1之间依次多一个2），0.2111，201，999．
正数集合：{ …}；
负数集合：{ …}；
有理数集合：{ …}；
无理数集合：{ …}．
15.已知有A，B，C三个数集，每个数集中所包含的数都写在各自的大括号内，A={－2，
－3，－8，6，7}，B={－3，－5，1，2，6}，C={－1，－3，－8，2，5}，请把这些数填在图中相应的位置．
16.某原料仓库一天的原料进出记录如下表 （运进用正数表示，运出用负数表示）：
进出数量/吨 -3 4 -1 2 -5
进出次数 2 1 3 3 2
（1） 这天仓库的原料比原来增加了还是减少了? 请说明理由；
（2）根据实际情况，现有两种方案：
方案一：运进每吨原料费用5元，运出每吨原料费用8元；
方案二：不管运进还是运出费用都是每吨原料6元；
从节约运费的角度考虑，选用哪一种方案比较合适．
（3）在（2）的条件下，设运进原料共a吨，运出原料共b吨，a，b之间满足怎样的关系时，两种方案的运费相同？
17．我们知道分数写为小数即0.3，反之，无限循环小数0.3写成分数即．一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式．现在就以0.7为例进行讨论：设0.7=x，由0.7=0.7777…可知，10x－x=7.77…－0.777…=7，即10x－x=7，解方程得x=，于是得0.7=．
请仿照上述例题完成下列各题：
（1）请你把无限循环小数0.5写成分数，即0.5= ….
（2）你能化无限循环小数0.73为分数吗? 请仿照上述例子求解之．
参考答案
一、1. D 2．D 3．C 4．B 5．C 6．B
二 7．1 －1 0
8．0和负整数 0和正整数 9．无理
10．－18 －0.14 －18 0 2001 －0.14
11．6
12.（1） 64 －128 256 ； （2） －3 －4 －5； （3）10 11 －12 .
三、 13．解：x不是有理数，因为x2=5，x既不是整数，也不是分数，而是无限不循环小数．
14．解：正数集合：{，，314，，，8，1.121 221 222 1…（两个1之间依次多一个2），0.211，201，999，…}；
负数集合：{－，一0.55，…}；
有理数集合：{，0.314，－，，，－0.55，8，0.2111，201，999，…}；
无理数集合：{，1.121 221 222 1…（两个1之间依次多一个2），…}．
15．解：如图．
16．解：（1） －6+4－3+6－10=－9．
答：仓库的原料比原来减少9吨．
（2）方案一：（4+6）×5+（6+3+10）×8=202．
方案二：（6+4+3+6+10）×6=174．
因为174<202，所以选方案二运费少．
（3）根据题意，得5a+8b=6（a+b） a=2b．
答：当a=2b时，两种方案运费相同．
17．（1）； （2）.
PAGE
1
2.3数轴
一、选择题
1．若数轴上表示﹣1和3的两点分别是点A和点B，则点A和点B之间的距离是（）.
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
2．下列选项分别为四位同学画的数轴，其中正确的是（）.
A． B．
C． D．
3．数轴上一点A，一只蚂蚁从点A出发爬了4个单位长度到了原点，则点A所表示的数是（）.
A．4 B．﹣4 C．±8 D．±4
4．如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中到原点距离相等的两个点是（）.
A．点B与点DB．点A与点CC．点A与点D D．点B与点C
5．表示 a，b 两数的点在数轴上位置如图，则下列判断错误的是（）.
A．a+b＜0 B．a﹣b＞0 C．a×b＞0 D．a＜|b|
6．数轴上点A表示a，将点A沿数轴向左移动3个单位得到点B，设点B所表示的数为x，则x可以表示为（）.
A．a﹣3B．a+3 C．3﹣aD．3a+3
7．如图，数轴上的A，B，C三点所表示的数分别是a，b，c，其中AB=BC， 如果|a|＞|b|＞|c|，那么该数轴的原点O的位置应该在（）.
A．点A的左边B．点A与点B之间
C．点B与点C之间D．点B与点C之间（靠近点C）或点C的右边
8．已知 a，b，c 三个数在数轴上对应点的位置如图，下列几个判断：①a＜c＜b；②﹣a＜b；③a+b＞0；④c﹣a＜0 中，错误的个数是（）.
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，数轴上点P对应的数为p，则数轴上与数﹣对应的点是（）.
点A B．点BC．点C D．点D
10．如图，有理数a，b，c，d在数轴上的对应点分别是A，B，C，D，若a+c=0， 则b+d（ ）.
大于0 B．小于0 C．等于0D．不确定
二、填空题
11．已知点 A 和点 B 在同一数轴上，点 A 表示数﹣1，又点 B 和点 A 相距 2 个单位长度，则点 B表示的数是．
12．已知 A，B，C 是数轴上的三个点，且 C 在 点B 的右侧．点 A，B 表示的数分
别是 1，3，如图．若 BC=2AB，则点 C 表示的数是．
13．如图，半径为 1个单位长度的圆从点 A 沿数轴向右滚动（无滑动）一周到达点 B，则 AB 的长度为；若点 A 对应的数是﹣1，则点 B 对应的数是．
14．如图，数轴上，点 A 的初始位置表示的数为 1，现点 A 做如下移动：第 1次点 A 向左移动 3 个单位长度至点 A1，第 2 次从点 A1 向右移动 6 个单位长度至点 A2，第 3 次从点 A2 向左移动 9 个单位长度至点 A3，……按照这种移动方式进行下去，如果点 An 与原点的距离不小于 20，那么 n 的最小值是．
8
三、解答题
15.小明早晨跑步，他从自己家出发，向东跑了2km到达小彬家，继续向东跑了1.5km到达小红家，然后又向西跑了4.5km到达学校，最后又向东，跑回到自己家．
（1）以小明家为原点，以向东为正方向，用1个单位长度表示1km，在图中的数轴上，分别用点A表示出小彬家，用点B表示出小红家，用点C表示出学校的位置；
（2）求小彬家与学校之间的距离；
（3）如果小明跑步的速度是250m/min，那么小明跑步一共用了多长时间？
16.阅读材料，并回答问题：
如图，有一根木棒MN放置在数轴上，它的两端M、N分别落在点A、B．将木棒在数轴上水平移动，当点M移动到点B时，点N所对应的数为20，当点N移动到点A时，点M所对应的数为5．（单位：cm）
由此可得，木棒长为 cm．
借助上述方法解决问题：
一天，美羊羊去问村长爷爷的年龄，村长爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，116岁了，哈哈！”美羊羊纳闷，村长爷爷到底是多少岁？
请你画出示意图，求出村长爷爷和美羊羊现在的年龄，并说明解题思路．
17．如图，点 A，B 在数轴上表示的数分别为﹣12 和 8，两只蚂蚁 M,N 分别从 A、B 两点同时出发，相向而行．M 的速度为 2 个单位长度/秒，N 的速度为 3 个单位长度/秒．
（1）运动 秒钟时，两只蚂蚁相遇在点 P；点 P 在数轴上表示的数是 ；
（2）若运动 t 秒钟时，两只蚂蚁的距离为 10，求出 t 的值（写出解题过程）．
18．如图，在数轴上点 A 表示的有理数为﹣4，点 B 表示的有理数为 6，点 P 从点 A 出发以每秒 2 个单位长度的速度在数轴上沿由 A 到 B 方向运动，当点 P 到达点 B 后立即返回，仍然以每秒 2 个单位长度的速度运动至点 A 停止运动．设运动时间为 t（单位：秒）．
（1）求 t=2 时点 P 表示的有理数；
（2）求点 P是 AB 的中点时 t 的值；
（3）在点 P 由点 A 到点 B 的运动过程中，求点 P 与点 A 的距离（用含 t的代数式表示）；
（4）在点 P 由点 B 到点 A 的返回过程中，点 P 表示的有理数是多少（用含 t的代数式表示）．
19.已知数轴上，点 O 为原点，点 A 对应的数为 11，点 B 对应的数为 b，点 C在点 B 右侧，长度为 3 个单位的线段 BC 在数轴上移动.
（1）如图 1，当线段 BC 在 O，A 两点之间移动到某一位置时，恰好满足线段AC=OB，求此时 b 的值；
（ 2） 线段 BC 在数轴上沿射线 AO方向移动的过程中， 是否存在 AC﹣OB=AB？若存在，求此时满足条件的 b 的值；若不存在，说明理由．
参考答案
一、1．D 2．D3．D4．C 5．C6．A7．D8．D
9． C10．B
二、11．﹣3 或 112．713．2π，2π﹣114.13
三、15．解：（1）如图．
（2）小彬家与学校的距离是2﹣（﹣1）=3（km）．
故小彬家与学校之间的距离是3km．
（3）小明一共跑了（2+1.5+1）×2=9（km），
小明跑步一共用的时间是：9000÷250=36（分钟）．
答：小明跑步一共用了36分钟长时间．
16．解：（1）5．
由数轴观察知三根木棒长是20﹣5=15，
则此木棒长为15÷3=5.
（2）如图.
点A表示美羊羊现在的年龄，点B表示村长爷爷现在的年龄，木棒MN的两端分别落在点A，B．
由题意可知，当点N移动到点A时，点M所对应的数为﹣40，当点M移动到点B时，点N所对应的数为116．
可求MN=52．
所以点A所对应的数为12，点B所对应的数为64．
即美羊羊今年12岁，村长爷爷今年64岁．
17．解：4 -4．
（1）设运动 x 秒时，两只蚂蚁相遇在点 P，根据题意可得 2x+3x=8-（-12），
解得x=4．
所以-12+2×4=-4．
答：运动 4 秒钟时，两只蚂蚁相遇在点 P，点 P 在数轴上表示的数为-4；
（2）运动 t 秒钟，蚂蚁 M 向右移动了 2t，蚂蚁 N 向左移动了 3t，若在相遇之前距离为 10，则有 2t+3t+10=20，解得t=2．
若在相遇之后距离为 10，则有 2t+3t﹣10=20，
解得t=6．
综上所述，t 的值为 2 或 6．
18．解：（1）点 P表示的有理数为-4+2×2=0．
（2）6-（-4）=10，10÷2=5，5÷2=2.5，（10+5）÷2=7.5．
故点 P是 AB 的中点时 t=2.5或 7.5．
（3）在点 P由点 A 到点 B 的运动过程中，点 P 与点 A 的距离为 2t．
（4）在点 P 由点 B 到点 A 的返回过程中，点 P 表示的有理数是 6-2（t-5）=16-2t．
19．解：（1）由题意，得 11﹣（b+3）=b，
解得b=4．
答：线段 AC=OB，此时 b 的值是 4．
（2）由题意，得
①11-（b+3）-b= （11﹣b），
解得b= .
②11-（b+3）+b= （11﹣b）， 解得b=﹣5．
答：若 AC-0B=AB，满足条件的 b 值是或-5．
2.4绝对值与相反数
一、选择题
1．﹣2017的相反数是（）.
A．﹣2017B．2017 C.D．
2．的绝对值是（）.
A．﹣3B．3C． D．
3．若 x 与 3 互为相反数，则|x+3|等于（）.
A．0B．1C．2D．3
4．下列各组数，互为相反数的是（）.
A.|+2|与|-2| B．-|+2|与+（-2）
C．-（-2）与+（+2） D．|-（-3）|与-|-3|
5．如图，数轴上有 A，B，C，D 四个点，其中表示 2 的相反数的点是（）.
点 AB．点 BC．点 C D．点 D
6．的相反数是（）.
A． B． C．﹣2 D．2
7．已知点 M，N，P，Q 在数轴上的位置如图，则其中对应的数的绝对值最大的点是（）.
MB．NC．P D．Q
8．已知 a，b 是有理数，|ab|=﹣ab（ab≠0），|a+b|=|a|-b．用数轴上的点来表示 a，b ，下列正确的是（）.
A． B．
C． D．
9．a，b 在数轴上的位置如图，化简|a+b|的结果是（）.
A．﹣a﹣bB．a+b C．a﹣b D．b﹣a
二、填空题
10．若|2+a|+|3﹣b|=0，则 ab=．
11．如果 m，n 互为相反数，那么|m+n﹣2017|=．
12．如果|2x+5|=3，则 x=．
13．已知整数 ，，，，…满足下列条件，=0，=﹣|+1|，=﹣|+2|，=﹣|+3|，=﹣|+4|，依此类推，则 的值为．
三、解答题
14.当a≠0时，请解答下列问题：
（1）求的值；
（2）若b≠0，且，求的值．
15.计算：已知|x|=，|y|=，且x＜y＜0，求6÷（x﹣y）的值．
16．数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．如图，点 A，B 在数轴上分别对应的数为 a，b，则 A，B 两点间的距离表示为|AB|=|a﹣b|．
根据以上知识解题：
（1）若数轴上两点 A，B 表示的数为 x，﹣1，
①点A，B 之间的距离可用含 x 的式子表示为；
②若该两点之间的距离为2，那么 x 值为．
（2）|x+1|+|x﹣2|的最小值为，此时 x 的取值是 ；
（3）已知（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣3|+|y+2|）=15，求 x﹣2y 的最大值和最小值．
17．阅读：已知点 A，B 在数轴上分别表示有理数 a，b，A，B 两点之间的距离表示为|AB|=|a﹣b|．
理解：
（1）数轴上表示 2 和﹣3 的两点之间的距离是；
（2）数轴上表示 x 和﹣5 的两点 A 和 B 之间的距离是；
（3）当代数式|x﹣1|+|x+3|取最小值时，相应的 x 的取值范围是；最小值是． 应用：某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A，B，C，D，它们顺次有快递车 16 辆，8 辆，4 辆，12 辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数．
参考答案
一、1．B2．C3．A4．D5．A6．A 7．D8．C9．A
二、10.﹣611．201712．﹣4 或﹣113．﹣1008
三、14.解：（1）当a＞0时，=1；
当a＜0时，=﹣1；
（2）因为，
所以a，b异号，
当a＞0，b＜0时，=﹣1；
当a＜0，b＞0时，=﹣1；
15.解：因为|x|=，|y|=，且x＜y＜0，
所以x=﹣，y=﹣，
所以6÷（x﹣y）=6÷（﹣+）=﹣36．
16．解：（1）①点A，B 之间的距离可用含 x 的式子表示为|x+1|．
②依题意，有|x+1|=2，
x+1=﹣2 或 x+1=2，
解得 x=﹣3 或 x=1．
（2）|x+1|+|x﹣2|的最小值为 3，此时 x 的取值范围是﹣1≤x≤2．
（3）因为（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣3|+|y+2|）=15，
所以﹣1≤x≤2，﹣2≤y≤3，
所以x﹣2y 的最大值为 2﹣2×（﹣2）=6，最小值为﹣1﹣2×3=﹣7．
17．解：（1）2 和﹣3 的两点之间的距离是|2﹣（﹣3）|=5．
（2）点A ， B 之间的距离是|x﹣（﹣5）|=|x+5|.
（3）代数式|x﹣1|+|x+3|表示在数轴上到 1 和﹣3 两点的距离的和，当 x 在﹣3 和 1 之间时，代数式取得最小值，最小值是﹣3 和 1 之间的距离|1﹣（﹣3）|=4． 故当﹣3≤x≤1 时，代数式取得最小值，最小值是 4．
应用：根据题意，共有 5 种调配方案，如图．
由上可知，调出的最小车辆数为4+2+6=12 （辆）．
5
