13.3.2 第1课时 等边三角形的性质与判定学案(要点讲解+当堂检测+答案)
文档属性
| 名称 | 13.3.2 第1课时 等边三角形的性质与判定学案(要点讲解+当堂检测+答案) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-09-02 10:37:19 | ||
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文档简介
人教版数学八年级上册同步学案
第十三章 轴对称
13.3 等腰三角形
13.3.2 等边三角形
第1课时 等边三角形的性质与判定
要 点 讲 解
要点一 等边三角形的性质
1. 等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.
2. 性质
(1)等边三角形的三条边相等.
(2)等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.
(3)等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴.
经典例题1 如图，△ABD，△AEC都是等边三角形，BE，CD相交于O.
(1)求证：BE＝DC；
(2)求∠BOC的度数.
解析：(1)可将BE和DC置于△AEB，△ACD中，通过证明△ACD≌△AEB来证得BE＝DC，要证明△ACD≌△AEB，需要的条件可从等边三角形中获得；(2)根据三角形外角的性质可将要求的角转化为∠BDO＋∠DBO.
(1)证明：∵△ABD，△AEC都是等边三角形，∴AB＝AD，AC＝AE，∠ADB＝∠ABD＝∠BAD＝∠CAE＝60°.
∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠DAC＝∠BAE.
在△ACD和△AEB中，
∴△ACD≌△AEB(SAS).
∴BE＝DC.
(2)解：∵△ACD≌△AEB，∴∠ADC＝∠ABE.
∴∠BDO＋∠DBO＝∠ADB＋∠ABD＝120°.
∴∠BOC＝∠BDO＋∠DBO＝120°.
要点二 等边三角形的判定
判定方法1：三条边都相等的三角形是等边三角形.
判定方法2：三个角都相等的三角形是等边三角形.
判定方法3：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
经典例题2 如图，△ABC是等边三角形，D是BC延长线上一点，CE平分∠ACD，且CE＝BD.
求证：△DAE为等边三角形.
解析：由于CE＝BD，AB＝AC，因此可考虑证明△ABD≌△ACE，由此可证AD＝AE，要说明△DAE为等边三角形，我们只需再证明DE和AD或AE相等或者证明△ADE中一个角等于60°即可.
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠B＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
∴∠ACD＝180°－∠ACB＝120°.
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠ACD＝60°.
∴∠B＝∠ACE.
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(SAS).
∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE.
∴∠DAE＝∠BAC＝60°.
∴△DAE为等边三角形.
当 堂 检 测
1. 等边三角形的两个内角平分线所成的角是( )
A. 120° B. 60°和120° C. 100° D. 40°
2. 已知AD是等边三角形ABC的高，且BD＝1cm，那么BC的长是( )
A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm
3. 如图，过等边△ABC的顶点A作射线，若∠1＝20°，则∠2的度数是( )
A. 100° B. 80° C. 60° D. 40°
第3题 第4题
4. 如图，△ABC是等边三角形，D，E，F为各边中点，则图中共有等边三角形( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
5. 如图，等边△ABC的边长如图所示，那么y＝ .
第5题 第6题
6. 如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置.若∠α＝40°，则∠β＝ .
7. 如图所示，在等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DF⊥BE，垂足为F.求证：BF＝EF.
8. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E.若BE∥AC，试判断△ABC的形状，并说明理由.
当堂检测参考答案
1. B 2. B 3. A 4. D
5. 3
6. 20°
7. 证明：∵BD是等边△ABC的中线，∴BD平分∠ABC.∴∠DBE＝∠ABC＝30°.又∵CE＝CD，∴∠E＝∠ACB＝30°.∴∠DBE＝∠E.∴DB＝DE.∵DF⊥BE，∴DF为底边上的中线.∴BF＝EF.
8. 解：△ABC是等边三角形.理由如下：∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠BAD＝∠CAD.又∵AB平分∠DAE，∴∠EAB＝∠DAB，∴∠EAB＝∠BAD＝∠CAD.又∵BE⊥AE，BE∥AC，∴∠CAE＝180°－∠E＝90°，∴∠EAB＋∠BAD＋∠CAD＝90°，∴∠EAB＝∠BAD＝∠CAD＝30°，∴∠BAC＝60°.又∵AB＝AC.∴△ABC是等边三角形.
第十三章 轴对称
13.3 等腰三角形
13.3.2 等边三角形
第1课时 等边三角形的性质与判定
要 点 讲 解
要点一 等边三角形的性质
1. 等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.
2. 性质
(1)等边三角形的三条边相等.
(2)等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.
(3)等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴.
经典例题1 如图，△ABD，△AEC都是等边三角形，BE，CD相交于O.
(1)求证：BE＝DC；
(2)求∠BOC的度数.
解析：(1)可将BE和DC置于△AEB，△ACD中，通过证明△ACD≌△AEB来证得BE＝DC，要证明△ACD≌△AEB，需要的条件可从等边三角形中获得；(2)根据三角形外角的性质可将要求的角转化为∠BDO＋∠DBO.
(1)证明：∵△ABD，△AEC都是等边三角形，∴AB＝AD，AC＝AE，∠ADB＝∠ABD＝∠BAD＝∠CAE＝60°.
∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠DAC＝∠BAE.
在△ACD和△AEB中，
∴△ACD≌△AEB(SAS).
∴BE＝DC.
(2)解：∵△ACD≌△AEB，∴∠ADC＝∠ABE.
∴∠BDO＋∠DBO＝∠ADB＋∠ABD＝120°.
∴∠BOC＝∠BDO＋∠DBO＝120°.
要点二 等边三角形的判定
判定方法1：三条边都相等的三角形是等边三角形.
判定方法2：三个角都相等的三角形是等边三角形.
判定方法3：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
经典例题2 如图，△ABC是等边三角形，D是BC延长线上一点，CE平分∠ACD，且CE＝BD.
求证：△DAE为等边三角形.
解析：由于CE＝BD，AB＝AC，因此可考虑证明△ABD≌△ACE，由此可证AD＝AE，要说明△DAE为等边三角形，我们只需再证明DE和AD或AE相等或者证明△ADE中一个角等于60°即可.
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠B＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
∴∠ACD＝180°－∠ACB＝120°.
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠ACD＝60°.
∴∠B＝∠ACE.
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(SAS).
∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE.
∴∠DAE＝∠BAC＝60°.
∴△DAE为等边三角形.
当 堂 检 测
1. 等边三角形的两个内角平分线所成的角是( )
A. 120° B. 60°和120° C. 100° D. 40°
2. 已知AD是等边三角形ABC的高，且BD＝1cm，那么BC的长是( )
A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm
3. 如图，过等边△ABC的顶点A作射线，若∠1＝20°，则∠2的度数是( )
A. 100° B. 80° C. 60° D. 40°
第3题 第4题
4. 如图，△ABC是等边三角形，D，E，F为各边中点，则图中共有等边三角形( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
5. 如图，等边△ABC的边长如图所示，那么y＝ .
第5题 第6题
6. 如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置.若∠α＝40°，则∠β＝ .
7. 如图所示，在等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DF⊥BE，垂足为F.求证：BF＝EF.
8. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E.若BE∥AC，试判断△ABC的形状，并说明理由.
当堂检测参考答案
1. B 2. B 3. A 4. D
5. 3
6. 20°
7. 证明：∵BD是等边△ABC的中线，∴BD平分∠ABC.∴∠DBE＝∠ABC＝30°.又∵CE＝CD，∴∠E＝∠ACB＝30°.∴∠DBE＝∠E.∴DB＝DE.∵DF⊥BE，∴DF为底边上的中线.∴BF＝EF.
8. 解：△ABC是等边三角形.理由如下：∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠BAD＝∠CAD.又∵AB平分∠DAE，∴∠EAB＝∠DAB，∴∠EAB＝∠BAD＝∠CAD.又∵BE⊥AE，BE∥AC，∴∠CAE＝180°－∠E＝90°，∴∠EAB＋∠BAD＋∠CAD＝90°，∴∠EAB＝∠BAD＝∠CAD＝30°，∴∠BAC＝60°.又∵AB＝AC.∴△ABC是等边三角形.