13.4 课题学习 最短路径问题学案(要点讲解+当堂检测+答案)
文档属性
| 名称 | 13.4 课题学习 最短路径问题学案(要点讲解+当堂检测+答案) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-09-02 10:46:18 | ||
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文档简介
人教版数学八年级上册同步学案
第十三章 轴对称
13.4 课题学习 最短路径问题
要 点 讲 解
要点 最短路径问题
1. 最短路径问题
(1)求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要连接这两点，所得线段与直线的交点即为所求的位置.
如图1所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找到一个点C，使CA＋CB最小，这时点C是直线l与AB的交点.依据是两点之间线段最短.
图1 图2
(2)求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置.
如图2所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找到一个点C，使CA＋CB最小.这时先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点；或者先作点A关于直线l的对称点A′，则点C是直线l与A′B的交点，可以证明点C的位置符合要求.
证明：在直线l上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′.
由作图可知，点B和点B′关于直线l对称，所以直线l是线段BB′的垂直平分线.因为点C与点C′在直线l上，所以BC＝B′C，BC′＝B′C′.在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，所以AC＋CB′＜AC′＋B′C′，所以AC＋BC＜AC′＋BC′.
(3)求两相交线之间一点到两直线的距离
如图3，在直线l1，l2上分别求点M，N，使PM＋MN＋PN的长度之和最小.分别作点P关于两直线l1，l2的对称点P′，P″，连接P′P″与两直线的交点即为点M，N.PM＋MN＋PN的最小值为P′P″的值.
图3 图4
(4)求两相交线之间两点到两直线的距离的和最小的问题
如图4，在直线l1，l2上分别求点M，N，使PM＋MN＋NQ＋PQ的长度之和最小.分别作点P，Q关于直线l1，l2的对称点P′，Q′，连接P′Q′，与两直线的交点即为点M，N.PM＋MN＋NQ＋PQ的最小值为P′Q′＋PQ的值.
经典例题1 如图所示，OX，OY是两条公路，在两条公路夹角的内部有一油库A，现在想在两条公路边分别建一个加油站，为使运油的油罐车从油库出发先到一个加油站，再到另一个加油站，最后回到油库的路程最短，问加油站应如何选址？请说明理由.
解：如图所示，分别作点A关于射线OX，OY的对称点A1，A2，连接A1A2交OX，OY于B，C两点，则B，C两点就是加油站的位置.
理由：设M，N(不同于为B，C)分别是射线OX，OY上的任意两点，连接A1M，MN，NA2，AB，AC，AM，AN.
因为点A，A1关于射线OX对称，所以A1B＝AB，A1M＝AM.
又因为点A，A2关于射线OY对称，所以AC＝A2C，AN＝A2N.
所以AB＋BC＋CA＝A1B＋BC＋CA2＝A1A2，AM＋MN＋AN＝A1M＋MN＋A2N.
由“两点之间，线段最短”，可知A1M＋MN＋A2N>A1A2，所以B，C两点为加油站的位置.
2. “造桥选址问题”
解决“造桥选址”问题，一般用平移的方法，利用平移前后的对应线段相等，把未知的线段转换到一条直线上，再结合“两点之间，线段最短”解决问题.
图5
如图5，在互相平行的直线l1，l2上，找一条垂直于l1，l2的线段MN，使AM＋MN＋NB的长度之和最小.
过点A作AA′⊥l1且使AA′的长度等于两平行线间的距离，连接A′B，则A′B与l2的交点即为N点，作MN⊥l1于点M，则根据“两点之间线段最短”，可得AM＋MN＋NB的最小值为MN(两平行线间的距离)＋A′B.
经典例题2 如图(1)所示，某条护城河在CC′处直角转弯，河宽均为5m，从A处到达B处，须经过两座桥(桥宽不计，桥与河垂直)，设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，恰当地造桥可使从A处到B处的路程最短，请确定两座桥的位置.
图(1) 图(2)
解：如图(2)所示，作法如下：
(1)过点A作AF⊥CM，使AF等于河宽；过点B作BG⊥CN，使BG等于河宽.
(2)连接GF，分别与河岸C′N′，C′M′相交于点E′，D′.
(3)过点D′作D′D⊥CM于点D，过点E′作E′E⊥CN于点E，则D′D，E′E即为两座桥的位置.
当 堂 检 测
1. 如图，直线l外有不重合的两点A，B，在直线l上求作一点C，使得AC＋BC的长度最短，作法为：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′与直线l相交于点C，则点C为所求作的点.在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是( )
A. 转化思想
B. 三角形的两边之和大于第三边
C. 两点之间，线段最短
D. 三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
第1题 第2题
2. 如图，在平面直角坐标系中，点A(－2，4)，B(4，2)，在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是( )
A. (－2，0) B. (4，0) C. (2，0) D. (0，0)
3. 如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，EF垂直平分BC，点P是直线EF上的任一点，则AP＋BP的最小值是( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
第3题 第4题
4. 如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小时，∠AMN＋∠ANM的度数为( )
A. 130° B. 120° C. 110° D. 100°
5. 从A到B有三条路径，选择路径 时，路程最短，理由是 .
6. 如图，某牧童在A处放牛，其家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC，BD，且AC＝BD，若A到河岸CD的中点的距离为500米.
(1)牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水所走的路程最短？
(2)最短路程是多少？
7. 如图，已知在直线l的同侧有两点A，B.
(1)在图1的直线上找一点P，使PA＋PB最短；
(2)在图2的直线上找一点P，使PA－PB最长.
当堂检测参考答案
1. D 2. C 3. A 4. B
5. ② 两点之间，线段最短
6. 解：(1)在CD的中点处饮水所走的路程最短.
(2)最短路程是1000米.
7. 解：(1)作点B关于直线l的对称点C，连接AC交直线l于点P，连接BP.点P即为所求.图略.
(2)连接AB并延长，交直线l于点P.点P即为所求.图略.
第十三章 轴对称
13.4 课题学习 最短路径问题
要 点 讲 解
要点 最短路径问题
1. 最短路径问题
(1)求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要连接这两点，所得线段与直线的交点即为所求的位置.
如图1所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找到一个点C，使CA＋CB最小，这时点C是直线l与AB的交点.依据是两点之间线段最短.
图1 图2
(2)求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置.
如图2所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找到一个点C，使CA＋CB最小.这时先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点；或者先作点A关于直线l的对称点A′，则点C是直线l与A′B的交点，可以证明点C的位置符合要求.
证明：在直线l上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′.
由作图可知，点B和点B′关于直线l对称，所以直线l是线段BB′的垂直平分线.因为点C与点C′在直线l上，所以BC＝B′C，BC′＝B′C′.在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，所以AC＋CB′＜AC′＋B′C′，所以AC＋BC＜AC′＋BC′.
(3)求两相交线之间一点到两直线的距离
如图3，在直线l1，l2上分别求点M，N，使PM＋MN＋PN的长度之和最小.分别作点P关于两直线l1，l2的对称点P′，P″，连接P′P″与两直线的交点即为点M，N.PM＋MN＋PN的最小值为P′P″的值.
图3 图4
(4)求两相交线之间两点到两直线的距离的和最小的问题
如图4，在直线l1，l2上分别求点M，N，使PM＋MN＋NQ＋PQ的长度之和最小.分别作点P，Q关于直线l1，l2的对称点P′，Q′，连接P′Q′，与两直线的交点即为点M，N.PM＋MN＋NQ＋PQ的最小值为P′Q′＋PQ的值.
经典例题1 如图所示，OX，OY是两条公路，在两条公路夹角的内部有一油库A，现在想在两条公路边分别建一个加油站，为使运油的油罐车从油库出发先到一个加油站，再到另一个加油站，最后回到油库的路程最短，问加油站应如何选址？请说明理由.
解：如图所示，分别作点A关于射线OX，OY的对称点A1，A2，连接A1A2交OX，OY于B，C两点，则B，C两点就是加油站的位置.
理由：设M，N(不同于为B，C)分别是射线OX，OY上的任意两点，连接A1M，MN，NA2，AB，AC，AM，AN.
因为点A，A1关于射线OX对称，所以A1B＝AB，A1M＝AM.
又因为点A，A2关于射线OY对称，所以AC＝A2C，AN＝A2N.
所以AB＋BC＋CA＝A1B＋BC＋CA2＝A1A2，AM＋MN＋AN＝A1M＋MN＋A2N.
由“两点之间，线段最短”，可知A1M＋MN＋A2N>A1A2，所以B，C两点为加油站的位置.
2. “造桥选址问题”
解决“造桥选址”问题，一般用平移的方法，利用平移前后的对应线段相等，把未知的线段转换到一条直线上，再结合“两点之间，线段最短”解决问题.
图5
如图5，在互相平行的直线l1，l2上，找一条垂直于l1，l2的线段MN，使AM＋MN＋NB的长度之和最小.
过点A作AA′⊥l1且使AA′的长度等于两平行线间的距离，连接A′B，则A′B与l2的交点即为N点，作MN⊥l1于点M，则根据“两点之间线段最短”，可得AM＋MN＋NB的最小值为MN(两平行线间的距离)＋A′B.
经典例题2 如图(1)所示，某条护城河在CC′处直角转弯，河宽均为5m，从A处到达B处，须经过两座桥(桥宽不计，桥与河垂直)，设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，恰当地造桥可使从A处到B处的路程最短，请确定两座桥的位置.
图(1) 图(2)
解：如图(2)所示，作法如下：
(1)过点A作AF⊥CM，使AF等于河宽；过点B作BG⊥CN，使BG等于河宽.
(2)连接GF，分别与河岸C′N′，C′M′相交于点E′，D′.
(3)过点D′作D′D⊥CM于点D，过点E′作E′E⊥CN于点E，则D′D，E′E即为两座桥的位置.
当 堂 检 测
1. 如图，直线l外有不重合的两点A，B，在直线l上求作一点C，使得AC＋BC的长度最短，作法为：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′与直线l相交于点C，则点C为所求作的点.在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是( )
A. 转化思想
B. 三角形的两边之和大于第三边
C. 两点之间，线段最短
D. 三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
第1题 第2题
2. 如图，在平面直角坐标系中，点A(－2，4)，B(4，2)，在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是( )
A. (－2，0) B. (4，0) C. (2，0) D. (0，0)
3. 如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，EF垂直平分BC，点P是直线EF上的任一点，则AP＋BP的最小值是( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
第3题 第4题
4. 如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小时，∠AMN＋∠ANM的度数为( )
A. 130° B. 120° C. 110° D. 100°
5. 从A到B有三条路径，选择路径 时，路程最短，理由是 .
6. 如图，某牧童在A处放牛，其家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC，BD，且AC＝BD，若A到河岸CD的中点的距离为500米.
(1)牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水所走的路程最短？
(2)最短路程是多少？
7. 如图，已知在直线l的同侧有两点A，B.
(1)在图1的直线上找一点P，使PA＋PB最短；
(2)在图2的直线上找一点P，使PA－PB最长.
当堂检测参考答案
1. D 2. C 3. A 4. B
5. ② 两点之间，线段最短
6. 解：(1)在CD的中点处饮水所走的路程最短.
(2)最短路程是1000米.
7. 解：(1)作点B关于直线l的对称点C，连接AC交直线l于点P，连接BP.点P即为所求.图略.
(2)连接AB并延长，交直线l于点P.点P即为所求.图略.