(共43张PPT)
第四章
圆的方程
4.1 圆的方程
4.1.1 圆的标准方程
自主预习学案
有一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m．当水面下降1 m后，水面宽多少米？
1．圆
圆心
半径
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
基本
要素 当圆心的位置与半径的大小确定后，圆就唯一确定了，因此，确定一个圆的基本要素是____和________
标准
方程 圆心为C(a，b)，半径为r的圆的标准方程是
____________________________
坐标
>
＝
<
B
2．以(2，－1)为圆心，4为半径的圆的方程为( )
A．(x＋2)2＋(y－1)2＝4
B．(x＋2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x－2)2＋(y＋1)2＝16
D．(x－2)2＋(y－1)2＝16
[解析] 圆心为(2，－1)，半径为4的圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝16.
C
3．圆心C在直线2x－y－7＝0上且与y轴交于两点A(0，－4)、B(0，－2)，则圆C的方程为___________________________.
(x－2)2＋(y＋3)2＝5
4．圆C与直线3x＋4y－14＝0相切于点(2,2)，其圆心在直线x＋y－11＝0上，求圆C的方程．
互动探究学案
(2018·浙江省杭州市高三月考)已知圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的标准方程为( )
A．(x＋1)2＋y2＝1
B．x2＋y2＝1
C．x2＋(y＋1)2＝1
D．x2＋(y－1)2＝1
命题方向1 ?求圆的标准方程
C
典例 1
『规律方法』 (1)要确定圆的标准方程需要两个条件(包含三个代数量)：圆的圆心坐标和圆的半径长；反之如果已知圆的标准方程也能直接得到圆的圆心坐标和半径；
(2)求解圆的标准方程时，一般先求出圆心和半径，再写方程．
〔跟踪练习1〕
(2018·江苏省苏州市高二检测)过点A(5,2)和点B(3，－2)，且圆心C在直线2x－y－3＝0上的圆的标准方程为___________________________.
(x－2)2＋(y－1)2＝10
已知两点P1(3,8)和P2(5,4)，求以线段P1P2为直径的圆的方程，并判断点M(5,3)、N(3,4)、P(3,5)是在此圆上，在圆内，还是在圆外？
命题方向2 ?判断点与圆的位置关系
典例 2
『规律方法』 点与圆的位置关系的判断方法：
(1)几何法：利用圆心到该点的距离d与圆的半径r比较；
(2)代数法：直接利用下面的不等式判定：
①(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2，点在圆外；
②(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，点在圆上；
③(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2，点在圆内．
A
求过点A(1，－1)、B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程．
命题方向3 ?圆的标准方程的综合应用
典例 3
『规律方法』 1.直接代入法
已知圆心坐标和半径大小，直接代入圆的标准方程即可．
2．待定系数法
(1)根据题意，设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)；
(2)根据已知条件，建立关于a，b，r的方程组；
(3)解方程组，求出a，b，r的值；
(4)将a，b，r代入所设的方程中，即可得到所求圆的方程．
3．几何性质法
如果在求解圆的方程问题时能够结合圆的有关几何性质来考虑，可以更加直观地解决问题，这就是我们所说的“数形结合”思想．
常用的圆的几何性质：
(1)圆心与切点的连线垂直于圆的切线；
(2)圆心到切线的距离等于圆的半径；
(3)圆的半径r，弦长的一半h，弦心距d满足r2＝h2＋d2；
(4)圆的弦的垂直平分线过圆心；
(5)一般地，三角形有唯一的外接圆，圆心为三角形三边垂直平分线的交点；
(6)已知圆心所在的直线及圆上两点，则两点连线(圆的弦)的垂直平分线与圆心所在直线的交点即为圆心．
C
1．若点P在⊙C外；直线PC交⊙C于A、B两点，Q是⊙C上任一点，则有|PC|－r≤|PQ|≤|PC|＋r.如图．
由于在△PQC中，|PQ|＋|QC|>|PC|＝|PA|＋|CA|＝|PA|＋|QC|，
∴|PQ|>|PA|＝|PC|－r.
又|PB|＝|PC|＋|CB|＝|PC|＋|CQ|>|PQ|.
∴|PC|＋r>|PQ|.
数形结合思想
2．若点P在⊙C内，直线PC交⊙C于A，B两点，Q是⊙C上任一点，则总有|PA|≤|PQ|≤|PB|.
如图，由于|PA|＋|PC|＝|AC|＝|CQ|<|PC|＋|PQ|，
∴|PA|<|PQ|.
作CD⊥PQ，垂足为D，则由半径大于半弦知|BC|>|MD|.
又Rt△PCD中，|PC|>|PD|，
∴|PB|>|PM|>|PQ|.
故仍有r－|PC|≤|PQ|≤r＋|PC|.
典例 4
〔跟踪练习4〕
(2018·四川省成都外国语学校月考)圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为______________________.
(x－2)2＋y2＝5
已知某圆圆心在x轴上，半径为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程．
对圆心位置考虑不全致错
典例 5
[错因分析] 由题意知，|OC|＝4，C在x轴上，则C可能在x轴正半轴上，也可能在x轴负半轴上，错解只考虑了在x轴正半轴上的情况．
正解二：由题意设所求圆的标准方程为(x－a)2＋y2＝25.
∵圆截y轴所得线段长为8，∴圆过点A(0,4)．
代入方程得a2＋16＝25，∴a＝±3，∴所求圆的标准方程为(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25.
[警示] 借助图形解决数学问题，只能是定性地分析，而不能定量研究，要定量研究问题，就应考虑到几何图形的各种情况，本题出错就是由于考虑问题不全面所致．
1．方程(x－a)2＋(y－b)2＝0表示的图形是( )
A．以(a，b)为圆心的圆
B．以(－a，－b)为圆心的圆
C．点(a，b)
D．点(－a，－b)
C
2．已知A(0，－5)、B(0，－1)，则以线段AB为直径的圆的方程是( )
A．(x＋3)2＋y2＝2 B．x2＋(y＋3)2＝4
C．(x＋3)2＋y2＝4 D．(x－3)2＋y2＝2
B
±2
(共39张PPT)
第四章
圆的方程
4.1 圆的方程
4.1.2 圆的一般方程
自主预习学案
一个形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？若是圆，它的圆心坐标和半径分别是什么？
D2＋E2－4F>0
(3)用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤：
①根据题意，选择圆的标准方程或圆的一般方程；
②根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；
③解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程．
2．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是：___________________________________________.
3．点P(x0，y0)与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)的位置关系是：
P在圆内?___________________________，
P在圆上?____________________________，
P在圆外?__________________________.
A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0
x＋y＋Dx0＋Ey0＋F<0
x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0
x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0
4．求轨迹方程的五个步骤：
①________：建立适当的坐标系，用(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；
②________：写出适合条件P的点M的集合P＝{M|p(M)}；
③________：用坐标(x，y)表示条件p(M)，列出方程F(x，y)＝0；
④________：化方程F(x，y)＝0为最简形式；
⑤________________：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
建系
设点
列式
化简
查漏、剔假
A
2．(2018·辽宁省丹东市期中)若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为( )
A．－1 B．1
C．3 D．－3
[解析] 将圆的一般方程化为标准方程得(x＋1)2＋(y－2)2＝5，则圆心为(－1,2)．
∵直线过圆心，∴3×(－1)＋2＋a＝0，∴a＝1.
B
C
4．求经过两点P(－2,4)、Q(3，－1)，且在x轴上截得的弦长为6的圆的方程．
互动探究学案
m是什么实数时，关于x、y的方程(2m2＋m－1)x2＋(m2－m＋2)y2＋m＋2＝0表示一个圆？
命题方向1 ?二元二次方程与圆的关系
典例 1
『规律方法』 形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有两种方法：①由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F>0，则表示圆，否则不表示圆；②将方程配方，根据圆的标准方程的特征求解．应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式．若不是，则要化为这种形式再求解．
〔跟踪练习1〕
已知方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求：
(1)实数m的取值范围；
(2)圆心坐标和半径．
已知△ABC的三个顶点为A(1,4)、B(－2，3)、C(4，－5)，求△ABC的外接圆的一般方程．
命题方向2 ?用待定系数法求圆的方程
典例 2
『规律方法』 用待定系数法求圆的一般方程的步骤如下：
求圆的方程的基本思想
(1)由圆的标准方程和圆的一般方程可以看出方程都含有三个参数，因此必须具备三个独立的条件，才能确定一个圆；
(2)求圆的方程时，若能根据已知条件找出圆心坐标和半径，则可直接写出圆的标准方程，否则可通过圆的标准方程或圆的一般方程用待定系数法求解；
(3)解答圆的相关问题时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质，以简化运算过程．
〔跟踪练习2〕
求过点C(－1,1)和D(1,3)且圆心在直线y＝x上的圆的一般方程．
求轨迹方程的常用方法：
(1)直接法：能直接根据题目提供的条件列出方程．步骤如下：
(2)代入法(也称相关点法)：若动点P(x，y)跟随某条曲线(直线)C上的一个动点Q(x0，y0)的运动而运动，则找到所求动点与已知动点的关系，代入已知动点所在的方程．具体步骤如下：
①设所求轨迹上任意一点P(x，y)，与点P相关的动点Q(x0，y0)；
②根据条件列出x，y与x0、y0的关系式，求得x0、y0(即用x，y表示出来)；
③将x0、y0代入已知曲线的方程，从而得到点D(x，y)满足的关系式即为所求的轨迹方程．
(3)定义法：动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程．
等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个端点是B(3,5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．
典例 3
已知点P在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程．
典例 4
〔跟踪练习4〕
(2019·郑州高一检测)已知圆的方程为x2＋y2－6x－6y＋14＝0，求过点A(－3，－5)的直线与圆相交所得弦PQ的中点M的轨迹方程．
已知点O(0,0)在圆x2＋y2＋kx＋2ky＋2k2＋k－1＝0外，求k的取值范围．
忽视圆的方程成立的条件
典例 5
[思路分析] 方程是否满足表示圆的条件，这是将二元二次方程按圆的方程处理时应首先考虑的问题．
B
2．过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为( )
A．x2＋y2－2x－3y＝0 B．x2＋y2＋2x－3y＝0
C．x2＋y2－2x＋3y＝0 D．x2＋y2＋2x＋3y＝0
A
3．(浙江文)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________________，半径是________.
[解析] 由题可得a2＝a＋2，解得a＝－1或a＝2.
当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，表示圆，
故圆心为(－2，－4)，半径为5.当a＝2时，方程不表示圆．
(－2，－4)
5
4．已知圆经过A(2，－3)和B(－2，－5)，若圆心在直线x－2y－3＝0上，求圆的方程．
(共41张PPT)
第四章
圆的方程
4.2 直线、圆的位置关系
4.2.1 直线与圆的位置关系
自主预习学案
早晨的日出非常美丽，如果我们把海平面看成一条直线，而把太阳抽象成一个运动着的圆，观察太阳缓缓升起的这样一个过程，你能想象到什么几何知识呢？没错，日出升起的过程可以体现直线与圆的三种特殊位置关系，你发现了吗？
1．直线与圆的位置关系：
(1)直线与圆________，有两个公共点；
(2)直线与圆________，只有一个公共点；
(3)直线与圆________，没有公共点．
2．几何判定法：
设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离：
(1)d>r?圆与直线________；
(2)d＝r?圆与直线________；
(3)d相交
相切
相离
相离
相切
相交
相交
相切
相离
1．(2018·郑州一中测试)若直线l与圆C有公共点，则直线l与圆C的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．相切或相交
[解析] 当只有一个公共点时，直线l与圆C相切；当有两个公共点时，直线l与圆C相交．
D
2．(2018·北京市海淀区检测)直线3x＋4y－13＝0与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的位置关系是( )
A．相离 B．相交
C．相切 D．无法判定
C
4π
4．已知圆C：x2＋y2－4x＋3＝0，过原点的直线l与其交于不同的两点A、B．
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
(2)求线段AB的中点P的轨迹方程．
互动探究学案
已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线
(1)有两个公共点；
(2)只有一个公共点；
(3)没有公共点？
命题方向1 ?直线与圆的位置关系
典例 1
[思路分析] 直线与圆有两个公共点?直线与圆相交；直线与圆只有一个公共点?直线与圆相切；直线与圆没有公共点?直线与圆相离．
『规律方法』 (1)处理直线与圆的位置关系问题主要用几何法，即比较圆心到直线的距离和半径长的大小，而较少用联立方程．
(2)注意到直线过定点(1，－1)，可以借助数形结合讨论解决．
〔跟踪练习1〕
已知圆的方程是x2＋(y－1)2＝2，直线y＝x－b，当b为何值时，圆与直线有两个公共点，只有一个公共点，没有公共点？
命题方向2 ?弦长问题
典例 2
B
(2018·丹东一模)若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为___________________.
[解析] 由点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，知此圆的方程为x2＋y2＝5，所以该圆在点P处的切线方程为1×x＋2×y＝5，即x＋2y－5＝0.
命题方向3 ?圆的切线问题
x＋2y－5＝0
典例 3
『规律方法』 求圆的切线方程的常见类型及解法
类型一 求斜率为k且与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2相切的圆的切线方程
(1)先设切线方程为y＝kx＋M，然后化为一般式kx－y＋M＝0，利用圆心到直线的距离等于半径，列出方程求得M.
(2)设切线方程为y＝kx＋M，与圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2联立，得到关于x的一元二次方程，再利用判别式Δ＝0，求出M.
图1
图2
类型三 求过圆外一点P(x0，y0)的圆的切线方程
先假设切线斜率存在，如图2①所示．
(1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，可得k，切线方程即可求出．
(2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0求得k，切线方程即可求出．
说明：过圆外一点的切线必有两条，无论用几何法还是代数法，当求得的k值是一个时，另一条切线斜率一定不存在，可用数形结合法求出，如图2②中过点P的一条切线PB的斜率不存在．
A
1．已知直线l与⊙C相离，圆心C到l的距离为d，圆半径为r，P是⊙C上任意一点，P到l的距离d1，满足d－r≤d1≤d＋r.过C作CD⊥l，垂足为D，直线CD交⊙C于A、B，过A、B、P作l的平行线l1、l2、l3，l3与CD相交于E，则有d1＝ED，而AD≤ED≤BD，∴d－r≤d1≤d＋r.
数形结合思想
C
典例 3
已知圆x2＋y2＋2x＋2y＋k＝0和定点P(1，－1)，若过点P的圆的切线有两条，则k的取值范围是( )
A．(－2，＋∞) B．(－∞，2)
C．(－2,2) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
[错解] 选A．由题意知点P(1，－1)必须在圆的外部，则12＋(－1)2＋2×1＋2×(－1)＋k>0，解得k>－2.答案：A
[错因分析] 产生错解的原因是忽视了一个隐含条件：必须保证方程x2＋y2＋2x＋2y＋k＝0表示一个圆．
[正解] 因为方程x2＋y2＋2x＋2y＋k＝0表示一个圆，所以4＋4－4k>0，解得k<2.又由错解知，要使P在圆外，则k>－2，故－2忽视隐含条件
典例 5
C
1．直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．无法判断
B
C
3．若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A、B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则r＝________.
2
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第四章
圆的方程
4.2 直线、圆的位置关系
4.2.2 圆与圆的位置关系
自主预习学案
观察下面这些生活中常见的图形，感受一下圆与圆之间有哪些位置关系？
外离
外切
相交
内切
内含
2．两圆的公切线条数：
当两圆内切时有________公切线；当两圆外切时有________公切线；相交时有________公切线；相离时有________公切线；内含时________公切线．
一条
三条
两条
四条
无
1．圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2＝2的位置关系是( )
A．相切 B．外离
C．内含 D．相交
C
2．(2019·山东省泰安市校级月考)若圆x2＋y2－2x＋10y＋1＝0与圆x2＋y2－2x＋2y－m＝0相交，则m的取值范围是( )
A．(－2,39) B．(0,81)
C．(0,79) D．(－1,79)
D
3．若圆x2＋y2＝m与圆x2＋y2＋6x－8y－11＝0内切，则m＝________.
1或121
互动探究学案
命题方向1 ?两圆位置关系的判断
典例 1
『规律方法』 判断两圆位置关系的方法有两种，一是代数法，看方程组的解的个数，但往往较繁琐，另外须注意方程组有“一个”解与两圆相切不等价；二是几何法，看两圆连心线的长d，若d＝r1＋r2，两圆外切；d＝|r1－r2|时，两圆内切；d>r1＋r2时，两圆外离；d<|r1－r2|时，两圆内含；|r1－r2|〔跟踪练习1〕
(2019·山东省济宁市段考)圆A：(x＋2)2＋(y＋1)2＝4与圆B：(x－1)2＋(y－3)2＝4的位置关系是( )
A．相交 B．外离
C．外切 D．内含
B
实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？
命题方向2 ?由圆与圆的位置关系求参数的值或取值范围
典例 2
『规律方法』 根据圆与圆的位置关系，利用圆心距与半径的和或差的绝对值的大小关系列出关系式，求出参数的值或取值范围，注意相切和相离均包括两种情况．
〔跟踪练习2〕
已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，m为何值时：(1)圆C1与圆C2相外切；(2)圆C1与圆C2内含．
已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.
(1)试判断两圆的位置关系；
(2)求公共弦所在的直线方程；
(3)求公共弦的长度．
命题方向3 ?两圆的公共弦问题
典例 3
『规律方法』 求两圆公共弦长的方法
1．代数法：求交点的坐标，利用两点间的距离公式求出公共弦长．
2．几何法：利用圆的半径、公共弦的一半、圆心到弦的垂线段构成的直角三角形，根据勾股定理求出公共弦长．
〔跟踪练习3〕
(2019·江苏省启东中学期中)圆心在直线x－y－4＝0上，且经过圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程为______________________.
[思路点拨] 先求出两圆的交点坐标，可以利用圆的几何性质求圆心坐标和半径，也可以利用待定系数法求圆心坐标和半径，进而求得圆的方程；还可以利用圆系方程进行求解．
(x－3)2＋(y＋1)2＝16
(7)圆面积最大等价于圆的周长最大，等价于圆的半径最大．
(8)直线与圆有公共点等价于d≤r，等价于Δ≥0.
(9)直线l与⊙C切于点P，等价于CP⊥l且CP＝r.
(10)过直线l：Ax＋By＋C＝0与⊙C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的交点的圆的方程可设为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0.
典例 4
〔跟踪练习4〕
(2019·湖北省荆州市高二期中)在△ABO中，|OB|＝3，|OA|＝4，|AB|＝5，P是△ABO的内切圆上的一点，求以|PA|，|PB|，|PO|为直径的三个圆的面积之和的最大值与最小值．
[思路点拨] 求三个圆的面积之和的最值实质上是求|PA|2＋|PB|2＋|PO|2的最值．
求半径为4，与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9相切，且和直线y＝0相切的圆的方程．
两圆的位置有关系考虑不全面致错
典例 5
[错因分析] 两圆相切可为内切和外切，不要遗漏．
1．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
B
2．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝( )
A．21 B．19
C．9 D．－11
C
(共45张PPT)
第四章
圆的方程
4.2 直线、圆的位置关系
4.2.3 直线与圆的方程的应用
自主预习学案
某县位于山区，居民的居住区域大致呈如右图所示的五边形，近似由一个正方形和两个等腰直角三角形组成，若AB＝60 km，AE＝CD＝30 km，为了解决当地人民看电视难的问题，准备建一个电视转播台，理想方案是转播台距五边形各顶点的距离平方和最小，图中P1、P2、P3、P4是AC的五等分点，你能判断出转播台应建在何处吗？
直线与圆的方程的应用
用坐标法解决平面几何问题的步骤：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为________问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：把代数运算结果“翻译”成________结论．
这是用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”，又简称为“一建二算三译”．
代数
几何
1．某洞口的横截面是半径为5 cm的半圆，则该半圆的方程是( )
A．x2＋y2＝25
B．x2＋y2＝25(y≥0)
C．(x＋5)2＋y2＝25(y≤0)
D．随着建立的直角坐标系的变化而变化
[解析] 在不同的坐标系下，方程不同．
D
2．(2019·南安一中高一检测)如图是某圆拱桥的示意图．这个圆拱桥的水平面跨度AB＝24 m，拱高OP＝8 m．现有一船，宽10 m，水面以上高6 m，这条船能从桥下通过吗？为什么？
3．有一种大型商品，A、B两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每公里的运费A地是B地的两倍，若A、B两地相距10 km，顾客选择A地或B地购买这种商品的运费和价格的总费用较低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？
互动探究学案
如图所示，有一块五边形的铁皮ABCDE，|CD|＝100 cm，|BC|＝80 cm，|AB| ＝70 cm，|DE|＝60 cm.现要将这块铁皮截成一个矩形，使矩形的两边分别落在BC和CD上．问怎样截才能使矩形的面积最大？
命题方向1 ?直线方程的实际应用
玉
典例 1
〔跟踪练习1〕
设有半径为3 km的圆形村落，甲、乙两人同时从村落中心出发，乙向正北直行，甲先向正东直行，出村后不久，改变前进方向，沿着与村落边界相切的直线前进，后来恰与乙相遇．设甲、乙两人匀速前进，其速率比为3?1，问两人在何处相遇？
如图所示，一座拱桥，当水面在l位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽多少米？
命题方向2 ?圆的方程的实际应用
典例 2
『规律方法』 解析法在求解实际应用问题时，有着广泛的应用．解析法的关键是建系，合理适当的建系对问题的解决会有很大帮助，“适当”要结合具体问题来体会．
一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受到影响的范围半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
命题方向3 ?直线与圆的位置关系的实际应用
典例 3
『规律方法』 解决直线与圆的方程的实际应用题时应注意以下几个方面：
〔跟踪练习3〕
已知台风中心从A地以每小地20 km的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A的正东40 km处，求B城市处于危险区内的时间．
与圆有关的最值问题与代数表达式的几何意义
典例 4
〔跟踪练习4〕
已知圆M：x2＋y2＝10和圆N：x2＋y2＋2x＋2y－14＝0，求过两圆交点，且面积最小的圆的方程．
忽视方程中未知数的取值范围致误
典例 5
D
[错解] 选A或选C
D
2．已知集合A＝{(x，y)|x、y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x、y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B的元素个数为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
C
3
(共35张PPT)
第四章
圆的方程
4.3 空间直角坐标系
4.3.1 空间直角坐标系
4.3.2 空间两点间的距离公式
自主预习学案
1．空间直角坐标系
垂直
原点
坐标轴
坐标平面
zOx
45°或135°
定义 以空间中两两________且相交于一点O的三条直线分别为x轴、y轴、z轴，这时就说建立了空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标________，x轴、y轴、z轴叫做________.通过每两个坐标轴的平面叫做________，分别称为xOy平面、yOz平面、________平面
画法 在平面上画空间直角坐标系O－xyz时，一般使∠xOy＝_____________，∠yOz＝90°
x
y
z
平面
一一对应
(x，y，z)
M(x，y，z)
横坐标
纵坐标
竖坐标
[归纳总结]
(1)空间直角坐标系中特殊位置点的坐标
如下表所示(无谁谁为0)
点的位置 点的坐标形式
原点 (0,0,0)
x轴上 (a,0,0)
y轴上 (0，b,0)
z轴上 (0,0，c)
xOy平面上 (a，b,0)
yOz平面上 (0，b，c)
xOz平面上 (a,0，c)
1．在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)关于x轴的对称点的坐标是( )
A．(－2,1，－4) B．(－2，－1，－4)
C．(2，－1,4) D．(2,1，－4)
[解析] 由于点P关于x轴作对称点后，它的x坐标不变，y，z坐标变为原来的相反数，所以对称点的坐标是(－2，－1，－4)．
B
C
3．(2019·南平高一检测)已知点(1，－1,2)关于x轴的对称点为A，则点A的坐标为________.
[解析] 点(1，－1,2)关于x轴的对称点的横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为原来的相反数，∴A(1,1，－2)．
(1,1，－2)
互动探究学案
如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝4，|AD|＝3，|AA1|＝5，N为棱CC1的中点，分别以AB、AD、AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．
命题方向1 ?空间点的坐标及位置确定
典例 1
『规律方法』 确定点(x0，y0，z0)的位置的四种方法
方法一 确定点(x0，y0，z0)的位置，可以通过从原点出发先沿x轴移动|x0|个单位长度，再沿y轴移动|y0|个单位长度，然后沿z轴移动|z0|个单位长度得到．
注意：沿坐标轴正向还是负向移动由x0，y0，z0的符号决定．
方法二 在x轴上找出点M1(x0,0,0)，过点M1作与x轴垂直的平面α；再在y轴上找出点M2(0，y0,0)，过点M2作与y轴垂直的平面β；最后在z轴上找出点M3(0,0，z0)，过点M3作与z轴垂直的平面γ，于是平面α，β，γ交于一点，该点即所求点(x0，y0，z0)．
方法三 先找到点(x0，y0,0)在xOy平面上的位置，再由z坐标确定点(x0，y0，z0)的位置．
方法四 以原点O为一个顶点，构造棱长分别为|x0|，|y0|，|z0|的长方体(三条棱的位置要与x0，y0，z0的符号一致)，则长方体中与原点O相对的顶点即所求的点(x0，y0，z0)．
〔跟踪练习1〕
已知棱长为2的正方体ABCD－A′B′C′D′，建立如图所示不同的空间直角坐标系，试分别写出正方体各顶点的坐标．
[解析] ①对于图一，因为D是坐标原点，A、C、D′分别在x轴、y轴、z轴的正半轴上，又正方体的棱长为2，所以D(0,0,0)、A(2,0,0)、C(0,2,0)、D′(0,0,2)．
因为B点在xDy平面上，它在x轴、y轴上的射影分别为A、C，所以B(2,2,0)．
同理，A′(2,0,2)、C′(0,2,2)．
因为B′在xDy平面上的射影是B，在z轴上的射影是D′，所以B′(2,2,2)．
②对于图二，A、B、C、D都在xD′y平面的下方，所以其z坐标都是负的，A′、B′、C′、D′都在xD′y平面上，所以其z坐标都是零．因为D′是坐标原点，A′，C′分别在x轴、y轴的正半轴上，D在z轴的负半轴上，且正方体的棱长为2，所以D′(0,0,0)、A′(2,0,0)、C′(0,2,0)、D(0,0，－2)．
同①得B′(2,2,0)、A(2,0，－2)、C(0,2，－2)、B(2,2，－2)．
如右图所示，在长方体OABC－O1A1B1C1中，|OA|＝2，|AB|＝3，|AA1|＝2，E是BC的中点，作OD⊥AC于点D，求线段B1E的长度及顶点O1到点D的距离．
命题方向2 ?空间两点间距离公式
典例 2
[思路分析] 先根据空间直角坐标系，求出点B1、E、O1、D的坐标，然后利用两点间的距离公式求解．
『规律方法』 1.建立空间直角坐标系时应遵循以下原则：
(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；
(2)充分利用几何图形的对称性．
2．求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离添上正负号)确定第三个坐标．
〔跟踪练习2〕
如图所示，在河的一侧有一塔CD＝5 m，河宽BC＝3 m，另一侧有点A，AB＝4 m，求点A与塔顶D的距离AD．
如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，所有的棱长都是1，建立适当的坐标系，并写出各点的坐标．
空间点的坐标的求法
典例 3
[错解] 如图，分别以AB、AC、AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．显然A(0,0,0)，又∵各棱长均为1，且B、C、A1均在坐标轴上，
∴B(1,0,0)、C(0,1,0)、A1(0,0,1)，
B1、C1分别在xOz平面和yOz平面内，
∴B1(1,0,1)、C1(0,1,1)，
∴各点坐标为A(0,0,0)、B(1,0,0)、C(0,1,0)、A1(0,0,1)、B1(1,0,1)、C1(0,1,1)．
[错因分析] 因为三棱柱各棱长均为1，所以△ABC为正三角形，即∠BAC＝60°，即错解中建立的坐标系∠xOy≠90°.故本题做错的根本原因在于建系时没有抓住空间直角坐标系三个坐标轴两两垂直的本质．建系时应选取从一点出发的三条两两垂直的线作为坐标轴．如果没有满足条件的直线，可以让某一条坐标轴“悬空”．
1．下列点在x轴上的是( )
A．(0.1,0.2,0.3) B．(0,0,0.001)
C．(5,0,0) D．(0,0.01,0)
[解析] x轴上的点的纵坐标和竖坐标为0，故选C．
C
2．在空间直角坐标系中，点M(－1,2，－4)关于x轴的对称点的坐标是( )
A．(－1，－2,4) B．(－1，－2，－4)
C．(1,2，－4) D．(1，－2,4)
[解析] 关于x轴对称的点的纵坐标、竖坐标变为原来的相反数，故选A．
A
3．如下图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则点B1的坐标是( )
A．(1,0,0) B．(1,0,1)
C．(1,1,1) D．(1,1,0)
[解析] 点B1的坐标为(1,1,1)．
C
5
